10 Z 4, pp. 1125∼1133

 10 Z 4, pp. 1125∼1133

 ¹

ÅU 8 ý Ž ì Å+ s ÇU ê s0 n É; c   \ ¥  ¹ ÅU 8 ý 5 ” ¼$ []  §Ê Ý ” ¼ $ []  §8 ý V ê s6 X ì Ä ± ŽM Ñ ÷  ¹ Œ ½8 ý å

¾ Ë4 ; c 6 ” X ¢ T  ] ØX ì Ä ± n É ¿ R <

g `

@ ò 6 Bƒ e B

]

jÅ Ò@ /† < Ɠ § “ §¹ ¢ ¤ @ /† < Æ õ † < Ɠ §¹ ¢ ¤ õ , ] jÅ Ò 690-781

(2010¸   8 Z 4 27{ 9  ~ à Î6 £ §, 2010¸   9 Z 4 29{ 9  à º& ñ ‘ : r ~ à Î6 £ §, 2010¸   10 Z 4 17{ 9  > F  S X ‰& ñ )

„

 t _  f ” § > =ƒ    õ  # î § > =ƒ     „  l  r– Ð\ " f „  t _  ? / Ò$ † ½ Óõ  Â Ò $ † ½ Ó_   © œ@ /& h “   ß ¼l \  _  

#

Œ s [ þ t _  „  À Ó : £ ¤$ í s    & ñ H † d`  ¦ s  : r& h “   ] X   H`  ¦ : Ÿ x # Œ ˜ Ð% i  . : £ ¤ y  Â Ò $ † ½ Ó_  ß ¼l  „  t _  ? / Â

Ò$ † ½ Ә Ð   Œ •“ É r % ò % i \ " f „  t _  # î § > =ƒ    \  _  # Œ „  t _  f ” § > =ƒ    – Ð" f  H % 3 `  ¦ à º \ O   H  H „  À Ó

\ 

¦ % 3 `  ¦ à º e ”    H  כ õ  f ” § > =– Ð ƒ       H „  t _  à º 7 £ x † < Ê\ • ¸ „  À Ó & t t  · ú §  H ‰ & ³ © œ\  @ /ô  Ç

"

é

¶ “  `  ¦ µ 1 ß+ À I . Õ ª  X < Â Ò $ † ½ Ó_  ß ¼l  „  t _  ? / Ò$ † ½ Ә Ð   Œ •“ É r % ò % i “ É r t F K  t  ç ß –õ K  M ® o~  

% ò

% i s  .

Ù þ

˜d ” # Q: „  t , f ” § > =ƒ    , # î § > =ƒ    , ? / Ò$ † ½ Ó, Â Ò $ † ½ Ó, „  À Ó

A Theoretical Approach to the Relation of the Relative Magnitude of a Load Resistance to the Internal Resistance of a Battery and the Current in the

Electric Circuit with a Series/Parallel Combination of Batteries

Dong Geul Hyun ^∗

Department of Science Education, Teachers’ College, Jeju National University, Jeju 690-781 (Received 27 August, 2010 : revised 29 September, 2010 : accepted 17 October, 2010)

The theoretical approach used in this study led to the conclusion that the relation of the relative magnitude of a load resistance to the internal resistance of a battery can determine the charac- teristics of the currents in electric circuits with a series and a parallel combination of batteries.

Particularly, the currents for a parallel combination of batteries are found to be much larger than those for a series combination in the resistance region where the load resistance is less than the internal resistance of the battery. In the same region of resistance, the currents in a series combi- nation do not increase in spite of adding batteries. Of partcular note is the fact that this region has been ignored so far.

PACS numbers: 01.40.-d, 01.50.Zv, 01.55.+b, 07.50.Ek, 82.47.Cb

Keywords: Batteries, Series connection, Parallel connection, Internal Resistance, Load resistance, Current

∗

E-mail: [email protected]

-1125-

I. " e  ] Ø

„

 t   H  o† < Æ\  -t \  ¦ „  l \  -t – Ð „  ¨ 8 Š r v   H  © œu 

–

Ð" f „  l  r– Ð\  l „  § 4 `  ¦ / B N/ å L ô  Ç . \  -t _  / B N/ å L" é ¶ Ü

¼– Ð" f ¼ # o $ í õ  î ß –„  $ í `  ¦  © œ& h Ü ¼– Ð   H „  t   H Ó ü t o 

“

§¹ ¢ ¤ _  „  l ü <  l  › ' aº   z  ´+ « >\ " f „  l  r– Ð_  „  § 4 " é ¶ Ü

¼– Ð  Å Ò ; Ÿ ¤V , >   6   x ÷ &“ ¦ e ”  . „  t _  — ¸+ þ A“ É r l „  § 4  õ

 „  t _  ? / Ò$ † ½ Ós  f ” § > =– Ð ƒ    ÷ &# Q e ”   H  כ Ü ¼– Ð
 

 · p . „  t \  ¦ „  § 4 " é ¶ Ü ¼– Ð  6   x   H „  l  r– Ð\ " f „   t

_  ? / Ò$ † ½ ӓ É r „  À Ó\   H % ò † ¾ Ó`  ¦ ï  r  . : £ ¤ y  „  t \  ¦ f ”

§ > =ƒ      
 # î § > =ƒ     # Œ  6   x ½ + É  â Ä º  8¹ ¡ ¤ Õ ª Q 



 [1–3]. „  t \  ¦ f ” § > =ƒ      
 # î § > =ƒ     # Œ „  l  r

–

Ð_  „  § 4 " é ¶ Ü ¼– Ð  6   x ½ + É M : „  t _  ? / Ò$ † ½ Óõ  Â Ò $ 

†

½ Ós  „  À Ó\  p u   H % ò † ¾ Ó 1 p x \  @ /ô  Ç õ † < Æ& h  t d ” _   Ò7 á ¤ s


 „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó`  ¦ ç ß –õ † < ÊÜ ¼– Ð “   # Œ „  l ü <   l

 › ' aº   z  ´+ « >\ " f _ • ¸   H  ü < z  ´+ « >  õ   s \  — ¸í  H s

 µ 1 ÏÒ q t½ + É Ã º e ”   [1, 4]. „  t  „  l  r– Ð\ " f „  § 4 " é ¶ Ü

¼– Ð" f Õ ª % i ½ + És  B Ä º ×  æ כ ¹ô  Ç ½ ¨$ í כ ¹™ èe ” \ • ¸ Ô  ¦ ½ ¨ 

“

¦ ¸ ú ˜  À Ò# Qt t  · ú §“ ¦ e ”   H  כ s  d ” y Œ •ô  Ç ë  H ] j– Ð t & h ÷ &

“

¦ e ” Ü ¼ 9 [5], „  t _  ƒ    \  @ /ô  Ç õ † < Æ& h  > h¥ Æ Ü ¼– Ð [ O 

"

î l  # Q 9î  r ë  H ] j[ þ t s  Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤ ‰ & ³ © œ\  e ”  . Õ ªo “ ¦

„

 t _  ? / Ò$ † ½ Óõ  Â Ò $ † ½ Ó_  › ' a >  „  l  r– Ð_  „  À Ó _

    o\  p u   H % ò † ¾ Ó\  @ / # Œ ˜ Г ¦  ) a ƒ  ½ ¨_    õ   H



_  µ 1 Ï| ÷ &t  · ú §  H   [2].

‘

: r ƒ  ½ ¨  H „  t \  ¦ „  § 4 " é ¶ Ü ¼– Ð  6   x   H „  l  r– Ð\ " f

„

 À Ó_  : £ ¤$ í `  ¦ ˜ Ð  & ñ S X ‰ y  s K  l  0 AK " f  H „  t _ 

?

/ Ò$ † ½ ӓ É r Ó ü t : r, Â Ò $ † ½ Óõ  „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó_   © œ@ /

&

h “   ß ¼l \  ¦ “ ¦ 9K   ô  Ç   H  כ `  ¦ „  ] j– Ð ô  Ç . s  Qô  Ç

„

 ] j\  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð ‘ : r ƒ  ½ ¨_  3 l q& h “ É r 6 Ÿ § _  Z O g Ë :õ  v Ø Ôy   

ñá Ô_  Z O g Ë :Ü ¼– РÒ'  Ä »• ¸  ) a „  t _  f ” § > =ƒ    õ  # î § > =ƒ  

 

 „  l  r– Ð_  „  À Ó › ' a > d ” [ þ t \  @ /K  s  : r& h “   “ ¦¹ 1 Ï`  ¦ :

Ÿ

x # Œ „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó\  @ /ô  Ç Â Ò $ † ½ Ó_   © œ@ /& h “   ß ¼ l

ü < „  À Óü <_  › ' a > \  ¦ s K    H  כ s  . Õ ªo “ ¦ ¢ ¸ ô  Ǽ #  Ü

¼– Ѝ  H s \  ¦ : Ÿ x # Œ Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤ ‰ & ³ © œ\ " f ] jl ÷ &# Q “ : r ë  H ]

j[ þ t`  ¦ K   † < Êõ  1 l x r \  „  t \  ¦  6   x # Œ  H „  À Ó\  ¦ % 3 

`

 ¦ à º e ”   H ~ ½ ÓZ O `  ¦ ] jr    H  כ s  .

a ] X \ " f  H Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤ \ " f  À Ò# Qt “ ¦ e ”   H „  t _  f ” 

§ >

=ƒ    õ  # î § > =ƒ    \  @ /ô  Ç õ † < Æ& h  > h¥ Æ õ  s \  › ' aº   ) a ë

 H ] j[ þ t`  ¦  7 H _ ô  Ç . bõ  c] X \ " f  H „  t _  f ” § > =ƒ     õ

 # î § > =ƒ     „  l  r– Ð\ " f „  t _  ? / Ò$ † ½ Óõ  Â Ò $ † ½ Ó _

  © œ@ /& h “   ß ¼l ü < „  À Óü <_  › ' a > \  ¦ s  : r& h Ü ¼– Ð “ ¦¹ 1 Ï

“ ¦  7 H _ ô  Ç . Õ ªo “ ¦ d] X \ " f  H „  t _  ƒ    ~ ½ ÓZ O \ 



 É r „  À Ó_  : £ ¤$ í `  ¦  7 H _ ô  Ç . e] X “ É r ‘ : r ƒ  ½ ¨_     : r s 



.

II.  ¹ ÅU  Ž ì Å+ s Ç; c" e8 ý à U Ø< g

„

 l \  @ /ô  Ç Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤“ É r „  l  r– Ð_  „  § 4 " é ¶ “   „  t _ 

•

¸{ 9 õ  † < Êa  „  t _  ƒ    ~ ½ ÓZ O \    É r Õ ª : £ ¤f ç `  ¦ s K  



 H  כ Ü ¼– РÒ'  r  Œ •  ) a   [6]. „  t _  ƒ    ~ ½ ÓZ O \  › ' a ô  Ç õ 

†

< Æ& h  t d ” “ É r œ í1 p x † < Ɠ §_  Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤ \ " f • ¸{ 9 ÷ &# Q ×  æ † < Ɠ §

\

 ¦   5 g “ ¦1 p x † < Ɠ §\  s Ø Ô€  " f Õ ª ? /6   x s  d ”  o  ) a  . { 9 ì ø Í

&

h Ü ¼– Ð Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤ \ " f _ þ v1 p q # Œ  ½ + É „  t _  ƒ    \  @ / ô

 Ç õ † < Æ& h  > h¥ Æ “ É r „  t _  f ” § > =ƒ     „  l  r– Ð\ " f ƒ    

  H „  t _  à º 7 £ x ½ + Éà º2 Ÿ ¤ Â Ò \  â ìØ Ô  H „  À Ó & 

”

    H  כ s  9, „  t _  # î § > =ƒ     „  l  r– Ð\ " f  H Â Ò 

\

 â ìØ Ô  H „  À Ӎ  H ƒ    ô  Ç „  t _  à º\  › ' a > \ O s   _  { 9 

&

ñ    H  כ s   [6–9]. s  Qô  Ç   õ [ þ t“ É r ¡ ó „  ½ ¨\  ¦  Ò

$ † ½ ÓÜ ¼– Ð  6   x   H „  l  r– Г    â Ä º, f ” § > =– Ð ƒ    ÷ &



 H „  t _  à º\     ¡ ó „  ½ ¨  H  8 µ 1 ß t “ ¦ „  À Ó & 

”

    H  כ “ É r › ' aº   z  ´+ « >`  ¦ : Ÿ x # Œ S X ‰ “  ½ + É Ã º e ” Ü ¼ 9, ¢ ¸ ô

 Ç „  t [ þ t`  ¦ # î § > =– Ð ƒ     # Œ• ¸ „  t _  à º\     ¡ ó 

„

 ½ ¨  8 µ 1 ß t t  · ú §Ü ¼ 9 „  À Ó  _  { 9 & ñ ô  Ç  כ Ü ¼– Ð S X

‰ “  ½ + É Ã º e ”   [6,7,10].

Õ

ª Q
 „  À Ó â ìØ Ô  H „  ‚   Šҁ  _   l  © œ`  ¦ › ' a ¹ 1 Ï 




 „   $ 3 _  [ jl \  ¦ › ' a ¹ 1 Ï l  0 A # Œ „  ‚  `  ¦ Â Ò – Ð



6   x   H „  l  r– Ð_   â Ä º\ " f  H  © œ S ! s  ² ú ˜ ”   [11].

„

 À Ó_   l  Œ •6   x \  › ' aº   ) a z  ´+ « >\ " f ˜ Ð  Ø  æì  r ô  Ç › ' a8 £ ¤ s

 0 p x ô  Ç  l  © œs 
  l § 4 `  ¦ % 3 Ü ¼ 9€   þ j™ èô  Ç 1A s 



© œ_  „  À Ó € 9 כ ¹  . Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤ ‰ & ³ © œ\ " f ˜ Ð   H „  À Ó

\

 ¦ % 3 l  0 A # Œ s p  _ þ v1 p q ô  Ç „  t _  ƒ    \  @ /ô  Ç õ † < Æ& h 

>

h¥ Æ `  ¦   H  – Ð Â Ò \  „  t [ þ t`  ¦ f ” § > =– Ð ƒ    ô  Ç   H  כ

“ É

r ½ ¨$ í Å Ò_ & h  › ' a& h \ " f• ¸ B Ä º { © œƒ  ô  Ç  כ s  . Õ ª Q


„

 t [ þ t`  ¦ f ” § > =– Ð ƒ     % i `  ¦ M : \ V © œõ   H  Ø Ô>  ‘f ” § > =

ƒ

      H „  t _  à º\  ¦ 7 £ x r & • ¸ „  À Ó & t t  · ú §“ ¦



_  { 9 & ñ  ’  H  כ s  . s   H „  t _  f ” § > =ƒ    \  @ /ô  Ç õ

† < Æ& h  > h¥ Æ õ  { 9 u  t  · ú §  H  © œ S ! Ü ¼– Ð B Ä º s K  l 

#

Q 9¹ ¡ §`  ¦ “ § 
 † < ÆÒ q t[ þ t“ É r  â + « > >   ) a  . p ² D G _  Ó ü t o 

“

§¹ ¢ ¤ _   â Ä º  l  › ' aº   z  ´+ « >\ " f  H „  À Ó\  ¦ % 3 l  0 A # Œ l

„  § 4 s  ß ¼“ ¦ ? / Ò$ † ½ Ós   Œ •“ É r „  t  ô  Ç > hë ß –`  ¦  6   x 

“

¦ e ”   H  כ “ É r s  Qô  Ç ë  H ] jü < Á º › ' a t   H · ú §Ü ¼ 9 [12–14], Ä

ºo _  ×  æ † < Ɠ §ü < “ ¦1 p x † < Ɠ §_   l  › ' aº   z  ´+ « >\ " f l „  

§

4 s  ß ¼“ ¦ ? / Ò$ † ½ Ós   Œ •“ É r „  t  ô  Ç > hë ß –`  ¦  6   x [8,15] 




 f ” À ӄ  " é ¶/ B N/ å L  © œu \  ¦  6   x [9,16,17] # Œ  H „  À Ó\  ¦

%

3 “ ¦ e ”   H  כ ¢ ¸ô  Ç s  Qô  Ç ë  H ] jü < Á º › ' a t   H · ú § .

Figure 1“ É r ‘ : r ƒ  ½ ¨_  „  t _  # î § > =ƒ    \  @ /ô  Ç s  : r& h 

“

¦¹ 1 Ï_    õ \  ¦ z  ´+ « >& h Ü ¼– Ð S X ‰ “  ô  Ç ? /6   x s  . S X ‰ “  ë ß –`  ¦ 3

l q& h Ü ¼– Ð Â Ò $ † ½ Ó R = 0.2 Ω, R = 0.5 Ω, R = 1 Ω, R =

2 Ω, Õ ªo “ ¦ R = 5 Ω \  @ / # Œ l „  § 4  ε = 1.5 V `  ¦ 

Fig. 1. The currents in the parallel combination of n(n=1,2,3,4) batteries depending on the load resistances R=0.2 ©, R=0.5 ©, R=1 ©, R=2 ©, and R=5 ©.

”

  Alkaline (D size) „  t  4> h\  ¦ 1 > hm ”  „  t _  # î § > =ƒ    

\

 Æ Ò €  " f „  À Ó\  ¦ 8 £ ¤& ñ   H é ß –í  H ô  Ç z  ´+ « >`  ¦ ' Ÿ Ù þ ¡ .

Figure 1 _  Â Ò $ † ½ Ó R=2 ©õ  R=5 © \ " f # î § > =ƒ  

 

   H „  t _  à º 7 £ x  # Œ• ¸ y Œ •y Œ • €  • I=0.66 Aü < €  • I=0.27 A _   _  { 9 & ñ ô  Ç „  À Ó â ì É r  . Õ ª Q
 R=1 © _

 Â Ò $ † ½ Ó\ " f  H „  t _  à º ô  Ç > h{ 9  M : €  • I=1.02 A

\

" f „  t  ô  Ç > hm ”  Æ Ò½ + É M :   I=1.21 A, I=1.24 A, I=1.27 A – Ð p [ j >  „  À Ó & ”   . R=0.5 © _   Ò

$ † ½ Ó\ " f  H „  t  ô  Ç > h{ 9  M : I=1.41 A \ " f „  t 

ô

 Ç > hm ”  Æ Ò† < Ê\    " f I=1.76 A, I=1.84 A, I=1.91 A

–

Ð Ì º§  >  „  À Ó & ”   . Õ ªo “ ¦ R=0.2 © _  Â Ò $ 

†

½ Ó\ " f  H „  t  ô  Ç > h{ 9  M : I=2.34 A \ " f # î § > =ƒ     



 H „  t  ô  Ç > hm ”  Æ Ò½ + É M :   I=3.00 A, I=3.33 A, I=3.44 A – Ð  H ; Ÿ ¤ Ü ¼– Ð „  À Ó & t  9, „  t _  à º 7 £ x 

½

+ Éà º2 Ÿ ¤ „  À Ó & t   H ; Ÿ ¤ s   Œ • t  9 à º§ 4 † < Ê`  ¦ ˜ Г   .

s

ü < ° ú  “ É r  H ° ú כ_  „  À Ó[ þ t“ É r „  t _  f ” § > =ƒ     „  l  r– Ð

–

Ð" f  H % 3 `  ¦ à º \ O  .

#

Œl \ " f s  : r& h Ü ¼– Ð
 z  ´+ « >& h Ü ¼– Ð S X ‰ “  ô  Ç „  t _  # î

§ >

=ƒ    \ " f ë  H ] j\  ¦ t & h  €  , Â Ò $ † ½ Ó_  ß ¼l  1 ©˜ Ð



  H  â Ä º“   R=2 ©s 
 R=5 ©_  Â Ò \  â ìØ Ô  H „  À Ó [

þ

t“ É r # î § > =ƒ    ô  Ç „  t _  à º\  › ' a > \ O s   _  { 9 & ñ  



 H „  t _  # î § > =ƒ    \  @ /ô  Ç õ † < Æ& h  > h¥ Æ \  ¸ ú ˜  ҽ + ˝ ) a  .

Õ

ª Q
 1 ©˜ Ð   Œ •“ É r R=0.2 © s 
 R=0.5 © ß ¼l _  Â Ò

$ † ½ Ó[ þ t \ " f  H „  t _  # î § > =ƒ    \  @ /ô  Ç õ † < Æ& h  > h¥ Æ õ 

„

 ) €  ҽ + Ë÷ &t  · ú §  H    H  כ s  . Õ ªo “ ¦  ҽ + Ë÷ &t  · ú §  H

$

† ½ Ó_  ß ¼l  # 3 0 A\ " f ‘„  t \  ¦ # î § > =ƒ     % i `  ¦ M : B Ä º

 H „  À Ó â ì É r  ’  H  כ `  ¦ Å Ò3 l q  .

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  H 0 A\ " f  7 H _   ) a „  t _  ƒ    \ " f_  ë  H ]

j& h [ þ t _  " é ¶ “  `  ¦ µ 1 ßy l  0 A # Œ „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó`  ¦ l  ï

 r Ü ¼– Ð # Œ, Â Ò $ † ½ Ós  ? / Ò$ † ½ Ә Ð   H  â Ä ºü <  Œ •“ É r

 â

Ä º– Ð
¾ º# Q, Õ ªo “ ¦ € 9 כ ¹  €   ° ú  `  ¦  â Ä º_  „  À Ó_  :

£ ¤$ í `  ¦ s  : r& h Ü ¼– Ð “ ¦¹ 1 Ͻ + É  כ s  .

Fig. 2. The electric circuit of a series combination of n batteries connected to a load resistance R.

III.  ¹ ÅU 8 ý Ç k Äc  ǎ ì Å+ s Ç  ¹ ÅM > Hz º

Figure 2  H l „  § 4  ε

i

ü < ? / Ò$ † ½ Ó r

ⁱ

s  " f– Ð   É r n > h _

 „  t  b

i

(i = 1, 2, · · · , n) _  f ” § > =ƒ    \  Â Ò $ † ½ Ó R`  ¦

ƒ

   ô  Ç „  l  r– Ð\ " f „  À ÓI

^s

 â ìØ Ô  H „  l  r– Е ¸s  .

Figure 2 \ " fü < ° ú  s  n> h_  „  t _  f ” § > =ƒ     „  l  r

–

Ð\ " f l „  § 4  ε

_s

  H d ”  (1)õ  (2)ü < ° ú  s 
 è ­ q à º e ”  .

ε

_s

=

n

X

i=1

ε

_i

. (1)

¢

¸ô  Ç I

₁

= I

2

= · · · = I

n

= I

s

s Ù ¼– Ð l „  § 4  ε

_s

  H

ε

s

=

n

X

i=1

I

s

r

i

+ I

s

R. (2)

–

Ð
 è ­ q à º e ”  .

„

 l  r– Ð_  „  t [ þ t s  l „  § 4 õ  ? / Ò$ † ½ Ós  — ¸¿ º ° ú  `  ¦

 â

Ä º, ε

¹

= ε

2

= · · · = ε

n

= ε – Ð Õ ªo “ ¦ r

¹

= r

2

= · · · = r

_n

= r – Ð €   „  t _  f ” § > =ƒ     „  l  r– Ð\ " f „  À Ó I

s

  H d ”

 (3)õ  ° ú  s 
  · p .

I

_s

= nε

R + nr . (3) d ”

 (3)_  „  À Ó I

^s

  H f ” § > = ƒ       H „  t _  à º ns   Å Ò

 H  â Ä º, 7 £ ¤ n → ∞ { 9 M : d ”  (4)ü < ° ú  “ É r F G ô  Ç° ú כ`  ¦ ° ú   H



.

I

s

= ε

r (n → ∞). (4) d ”

 (4)_  F G ô  Ç° ú כ“ É r „  t _  f ” § > =ƒ     „  l  r– Ð\ " f „   t

_  ? / Ò$ † ½ Ó r\  @ /ô  Ç „  t _  l „  § 4  ε_  q Ö  ¦ – Ð" f, f ” 

§ >

=ƒ    ô  Ç „  t _  à º ns 
 Â Ò $ † ½ Ó R\  › ' a > \ O   H € ª œ s

 . ¢ ¸ô  Ç s [ þ t“ É r Â Ò $ † ½ Ó R= 0Ω7 £ ¤ Â Ò  \ O   H „   t

_  f ” § > =ƒ     „  l  r– Ð\ " f â ì\  ¦ à º e ”   H „  À Ó_  ß ¼ l

s  . s   H z  ´| 9 & h Ü ¼– Ð % 3 `  ¦ à º \ O   H „  À Ó_  ß ¼l – Ð

"

f, ‘ : r ƒ  ½ ¨_   7 H _ \ " f  H s  „  À Ó\  ¦ „  t _  f ” § > =ƒ     _

 ô  Ç> „  À Ó(the limit current in a series conbination of batteries)  “ ¦ “ ¦, I

^Ls

– Ð ³ ðr  # Œ  6 £ § õ  ° ú  s  & ñ _ ô  Ç



.

I

_Ls

(r) ≡ ε

r (5)

d ”

 (3)“ É r „  t _  f ” § > =ƒ     # Œ „  § 4 " é ¶ Ü ¼– Ð  6   x   H

„

 l  r– Ð\ " f „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó rõ  Â Ò $ † ½ Ó R_   © œ@ /

&

h “   ß ¼l ü < „  À Ó I

s

ü <_  › ' a > \  @ /ô  Ç & ñ ˜ Ð\  ¦ ] j/ B N ô  Ç .

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  H — ¸Ž  H „  t _  l „  § 4  ε=1.5 V– Ð 1 l x1 p x > 

 9, „  t _  ? / Ò$ † ½ ӓ É r r=0.5 © õ  r=1 ©– Ð ] jô  Çô  Ç .

s

[ þ t“ É r z  ´] j „  t  | 9  à º e ”   H ? / Ò$ † ½ Ó_  # 3 0 A\  5 Å q ô

 Ç  [18,19]. Õ ªo “ ¦ Â Ò $ † ½ ӓ É r, „  l ü <  l  › ' aº   z  ´ +

« >\ " f Â Ò $ † ½ Ós  | 9  à º e ”   H à ºu _  # 3 0 A\  ¦ “ ¦ 9 

#

Œ, R=0.2 © , R=0.5 ©, R=1 ©, R=2 ©, Õ ªo “ ¦ R=5 © Ü

¼– Ð ô  Ç . s  M : Â Ò $ † ½ Ó R_  à ºu [ þ t“ É r ] jô  Çô  Ç ? / Ò$ 

†

½ Ó r\  @ / # Œ  © œ@ /& h Ü ¼– Ð  Œ •“ É r $ † ½ Ó% ò % i õ   H $ † ½ Ó% ò % i 

?

/\  ” > r F  >   ) a  .

Figure 3 _  (a)ü < (b)_  Õ ªA á Ô_  7 á x» ¡ ¤“   „  À Ó » ¡ ¤ Ü ¼– Ð Â

Ò'  · ú ˜ à º e ”   H „  À Ó I

^s

_  ß ¼l ü < # 3 0 A  H „  t _  ? / Ò$ 

† ½

Ó rõ  „  À Ó I

^s

ü <_  › ' a > \  › ' a ô  Ç @ /| Ä Ì& h “   & ñ ˜ Ð\  ¦ ] j/ B N ô

 Ç . f ” § > =ƒ    ô  Ç „  t _  à º n=12 s ? /\ " f „  t _  ? / Â

Ò$ † ½ Ó r=0.5 ©“   (a)_   â Ä º „  À Ó I

^s

_  ß ¼l ü < # 3 0 A  H 0.27 A \ " f 2.90 A, ? / Ò$ † ½ Ó r=1 ©“   (b)_   â Ä º „  À Ó I

s

_  ß ¼l ü < # 3 0 A  H 0.25 A \ " f 1.48 As  . „  t _  ? / Ò

$

† ½ Ó r=1 ©“   (b)_   â Ä º˜ Ð  „  t _  ? / Ò$ † ½ Ós   Œ •“ É r r=0.5 ©“   (a)_   â Ä º „  À Ó I

s

_  ß ¼l • ¸ ß ¼“ ¦ Õ ª # 3 0 A

•

¸ V ,  . „  À Ó_  # 3 0 A  H „  À Ó I

^s

      H # 3 0 A\  ¦ _ p   9, „  À Ó_  # 3 0 A V ,    H  כ “ É r ƒ    ÷ &  H „  t _  à º n

7

£

x ½ + Éà º2 Ÿ ¤ „  À Ó I

s

 ß ¼>    ô  Ç   H  כ `  ¦ _ p ô  Ç .

Figure 3 _  (a)ü < (b)\ " f „  t _  à º nü < „  À Ó I

^s

ü <_ 

› '

a > \  ¦ ˜ Ð# ŒÅ ҍ  H / B G‚  [ þ t _  — ¸€ ª œ“ É r „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó rõ  Â

Ò $ † ½ Ó R_   © œ@ /& h “   ß ¼l ü < „  À Ó I

^s

_  › ' a > \  › ' a ô  Ç

&

ñ ˜ Ð\  ¦ ] j/ B N ô  Ç . Õ ªa Ë >_  / B G‚  [ þ t _  — ¸€ ª œ`  ¦ ¶ ú ˜( R˜ Ѐ  , „   À

Ó I

s

  H „  t _  à º n = 1{ 9  M : I

s

(n = 1) = ε/(R + r) – Ð

&

ñ K t   H é ß –{ 9 „  t  „  l  r– Ð_  „  À Ó_  ß ¼l \ " f r  Œ • 

#

Œ  Œ •“ É r „  t _  à º n\ " f / å L >  & ”   . Õ ª Q
 „  t _  Ã

º ns  7 £ x ½ + Éà º2 Ÿ ¤ ô  Ç> „  À Ó I

^Ls

(r) ˜ Ð   Œ •“ É r „  À Ó\ " f B

Ä º Ö ¼o >  ô  Ç> „  À Ó I

Ls

(r) \  à º§ 4    H { 9 ì ø Í& h “    ⠆ ¾ Ó

`

 ¦ ° ú   H  . Õ ªo “ ¦ „  t _  à º n 7 £ x ½ + Éà º2 Ÿ ¤ „  À Ó I

s



&

t   H % ò % i “ É r Â Ò $ † ½ Ó Rs  „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó r˜ Ð  9 þ t Ã

º2 Ÿ ¤ V , # Q”   . Â Ò $ † ½ Ó Rs  „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó r˜ Ð   Œ • Ü

¼€    Œ •`  ¦ à º2 Ÿ ¤ „  À Ó I

^s

  H ô  Ç> „  À Ó I

^Ls

\   8  s  Õ ªo 

“

¦  8 À 1 Ïo  ] X   H ô  Ç Ê ê  Å Ò Ö ¼o >  ô  Ç> „  À Ó I

Ls

(r) \  à º

Fig. 3. The currents in the series connections of n(n=1,2,· · ·,12) batteries with emf ε=1.5 V and the in- ternal resistances r=0.5 (a) and r=1 © (b) respectively given by the equation (3). The curve lines correspond with the currents through the load resistances R=0.2 ©, R=0.5 ©, R=1 ©, R=2 ©, and R=5 © for the inter- nal resistances r=0.5 © and r=1 © respectively in turns from the top to the bottom. The straight lines are the limit currents in the series connections of n(n=1,2,· · ·,12) batteries given by the equation (5).

§

4 ô  Ç . s  כ “ É r a] X _  „  t ƒ    _  ë  H ] j\ " f ‘f ” § > =ƒ    

  H „  t _  à º\  ¦ 7 £ x r & • ¸ „  À Ó & t t  · ú §“ ¦  _  { 9

& ñ K t   H’ ‰ & ³ © œ`  ¦ [ O " î ½ + É Ã º e ”   H é ß –" f\  ¦ ] j/ B N ô  Ç .

$

† ½ Ós  5 ©“   ¡ ó „  ½ ¨\  ¦ Â Ò – Ð   H „  l  r– Ð\ " f Õ

ª „  § 4 " é ¶ Ü ¼– Ð ? / Ò$ † ½ Ó r = 1 ©“   „  t \  ¦ ô  Ç > hm ”  f ” 

§ >

=– Ð ƒ       H  â Ä º, R=5 ©_  Â Ò $ † ½ Ó`  ¦ : Ÿ x # Œ â ìØ Ô



 H „  À Ӎ  H Fig. 3 _  (b)\ " f „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó r=1 ©s 

“

¦ Â Ò $ † ½ Ó R=5 ©“   / B G‚  `  ¦   H  – Ð \ V8 £ ¤ K  ^  ¦ à º e ” 



. f ” § > =– Ð ƒ     ) a „  t  1> h(n=1){ 9  M : „  À Ó I

s

=0.25 A, n=2{ 9  M : I

s

=0.43 A, n=3{ 9  M : I

s

=0.56 A, n=4{ 9  M : I

s

=0.67 A, Õ ªo “ ¦ n=5{ 9  M : I

^s

=0.75 A 1 p x Ü ¼– Ð Â Ò $ 

† ½

Ó R=5 ©s  & " f „  À Ó I

^s

  H  Œ •t ë ß –, „  t _  à º n 7 £ x 

½

+ Éà º2 Ÿ ¤ „  À Ó I

s

  H Z  }“ É r q Ö  ¦ – Ð & ”   .

Õ

ª Q
 „  À Ó â ìØ Ô  H „  ‚   Šҁ  _   l  © œ_  › ' a ¹ 1 Ï z  ´ +

« >_   â Ä ºü < ° ú  s  $ † ½ Ós  0.2 ©“   „  ‚  `  ¦ Â Ò – Ð  6   x

½

+ É  â Ä º, Â Ò \  â ìØ Ô  H „  À Ó\  ¦ Fig. 3 _  (b)_  „  t _ 

?

/ Ò$ † ½ Ó r=1 ©ü < Â Ò $ † ½ Ó R=0.2 ©“   / B G‚  `  ¦   H  

–

Ð \ V8 £ ¤ €  , n=1{ 9  M : I

s

=1.25 A, n=2{ 9  M : I

s

=1.36 A, n=3{ 9  M : I

s

=1.41 A, n=4{ 9  M : I

s

=1.43 A, Õ ªo “ ¦ n=5{ 9  M : I

^s

=1.44 A 1 p x Ü ¼– Ð Â Ò $ † ½ Ó R=0.2 ©s   Œ • 

"

f „  À Ó I

^s

  H ß ¼t ë ß –, „  À Ó I

^s

 & t   H q Ö  ¦ s  B Ä º ± ú 



 f ” § > =ƒ       H „  t _  à º_  7 £ x \ • ¸ Ô  ¦ ½ ¨ “ ¦ & t  t

 · ú §“ ¦  _  { 9 & ñ >   ) a  .

Ó ü

t o “ §¹ ¢ ¤ \ " f _ þ v1 p q # Œ  ½ + É „  t _  f ” § > =ƒ    \  @ /ô  Ç õ

† < Æ& h  > h¥ Æ “ É r „  t \  ¦ f ” § > =– Ð ƒ     # Œ „  § 4 " é ¶ Ü ¼– Ð   6

 

x   H „  l  r– Ð\ " f ƒ       H „  t _  à º 7 £ x ½ + Éà º2 Ÿ ¤ Â

Ò \  â ìØ Ô  H „  À Ó & ”     H  כ s  . Õ ª Q
 ‘ : r ƒ  ½ ¨ _

   õ – Ѝ  H „  t _  f ” § > =ƒ     „  l  r– Ð\ " f Â Ò $ † ½ Ó R s

 „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó r˜ Ð  9 þ t  â Ä º\   H „  t _  f ” § > =ƒ    

\

 @ /ô  Ç õ † < Æ& h  > h¥ Æ õ  ¸ ú ˜  ҽ + ˝ ) a  . Õ ª Q
 Â Ò $ † ½ Ó R s

 „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó r˜ Ð   Œ •`  ¦  â Ä º\   H ‘f ” § > =ƒ       H

„

 t _  à º_  7 £ x \ • ¸ Ô  ¦ ½ ¨ “ ¦ & t t  · ú §“ ¦  _  { 9 & ñ

>  ÷ &  H  כ ’Ü ¼– Ð „  t _  f ” § > =ƒ    \  @ /ô  Ç õ † < Æ& h  > h¥ Æ  õ

 „  ) €  ҽ + Ë÷ &t  · ú §  H  .

s

\  @ /ô  Ç " é ¶ “  “ É r „  t _  ? / Ò$ † ½ Ә Ð   © œ@ /& h Ü ¼– Ð  H

$

† ½ Ó`  ¦ ”   Â Ò [ þ t`  ¦  6   x €  " f ? / Ò$ † ½ Ә Ð   Œ •“ É r $ 

†

½ Ó_  % ò % i _  ë  H ] j[ þ t`  ¦ ç ß –õ K  “ : r X < l “     H  כ s  .   z 

´ Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤ \ " f  l  › ' aº   z  ´+ « >\ " f  À Ò# Qt   H Â Ò  [

þ

t“ É r  _  „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó\  q  # Œ ß ¼t  · ú § . Õ ª Q
 f ”

§ > =ƒ       H „  t _  à º\  ¦ 7 £ x r & • ¸ „  À Ó ß ¼>    

t  · ú §“ ¦  _  { 9 & ñ K t   H ‰ & ³ © œ“ É r { © œƒ  ô  Ç ‰ & ³ © œs l  ˜ Ð



• ¸ š ¸y  9 z  ´+ « > © œ_  š ¸À Ӗ Ð ç ß –Å ÒK  M ® o “ ¦, # Œl \  @ / ô

 Ç # Q‹ "   Ž ž Е ¸ t F K  t  \ O % 3  . ‘ : r ƒ  ½ ¨  H ì ø Í4 Ÿ ¤ ) a z  ´ +

«

>`  ¦ : Ÿ x # Œ ‘f ” § > =ƒ       H „  t _  à º\  ¦ 7 £ x r & • ¸ „   À

Ó & t t  · ú §“ ¦  _  { 9 & ñ K t   H ‰ & ³ © œ’s  z  ´+ « > © œ_  š ¸ À

Ó\  _ ô  Ç  כ ë ß –“ É r  _ ” `  ¦ S X ‰ “   % i  . ) ± ú š& h s “ ¦  â + « >

&

h “   Z O g Ë :Ü ¼– Ð Ô  ¦  $ í `  ¦ : £ ¤f ç Ü ¼– Ð   H  ƒ  Z O g Ë :“   6 Ÿ § _

 Z O g Ë :õ  v Ø Ôy   ñá Ô_  Z O g Ë :Ü ¼– Ð Ä »• ¸  ) a „  t _  f ” § > =

ƒ

    „  l  r– Ð_  „  À Ó\  ¦   & ñ   H d ”  (3) % i r  Ô  ¦  $ í `  ¦

”     H „  ] j\ " f, s  כ ¢ ¸ô  Ç › ' a ¹ 1 Ïô  Ç  z  ´`  ¦ [ O " î  

 p A _  › ' a ¹ 1 Ï 0 p x ô  Ç  | `  ¦ \ V8 £ ¤   H l 0 p x`  ¦ ”   



 H [20] „  ] j\ " f ‘ : r s  : r& h “   “ ¦¹ 1 Ïs  s À Ò# Q& ’ Ü ¼ 9, s 

\

 @ /ô  Ç   õ s  .

Fig. 4. The electric circuit of a parallel connection of n batteries connected to a load resistance R.

IV.  ¹ ÅU 8 ý ä _ Ëc  ǎ ì Å+ s Ç  ¹ ÅM > Hz º

Figure 4   H l „  § 4  ε

_i

ü < ? / Ò$ † ½ Ó r

i

s  " f– Ð   É r n > h _

 „  t  b

i

(i = 1, 2, · · · , n) _  # î § > =ƒ    \  Â Ò $ † ½ Ó R`  ¦

ƒ

   Ù þ ¡`  ¦ M : Â Ò $ † ½ Ó R`  ¦ : Ÿ x K " f „  À Ó I

p

 â ìØ Ô  H „   l

 r– Е ¸s  .

Â

Ò $ † ½ Ó R\    o   H „  · ú š V  H

V = I

p

R (6) s

Ù ¼– Ð, „  t  b

ⁱ

\  ¦ : Ÿ x K " f â ìØ Ô  H „  À Ó I

ⁱ

  H d ”  (7)õ  ° ú   s


 è ­ q à º e ”  .

I

_i

= ε

_i

− V r

i

. (7)

„

 À Ó I

p

  H  6 £ § õ  ° ú  s  d ”  (8) ¢ ¸  H d ”  (9)õ  ° ú  s 
  è

­ q à º e ”  .

I

P

=

n

X

i=1

I

i

. (8)

I

_P

= P

n

i=1

ε

i

− I

p

R P

n

i=1

r

i

. (9)

„

 t _  # î § > =ƒ     „  l  r– Ð_  „  t [ þ t s  l „  § 4 õ  ? / Ò

$

† ½ Ós  — ¸¿ º ° ú  “ É r  â Ä º, 7 £ ¤ ε

1

= ε

2

= · · · = ε

n

= ε Õ ªo 

“

¦ r

¹

= r

2

= · · · = r

n

= r – Ð €   „  t _  # î § > =ƒ    _  „   l

 r– Ð\ " f „  À Ó I

^p

  H d ”  (10)ü < ° ú  s 
  · p .

I

p

= ε

R +

_n^r

(10) d ”

 (10)\ " f # î § > =ƒ       H „  t _  à ºns   Å Ò  H  â Ä

º, 7 £ ¤ n → ∞{ 9  M : d ” (11)ü < ° ú  “ É r F G ô  Ç° ú כ`  ¦ ° ú   H  

I

_p

= ε

R (n → ∞) (11) d ”

 (11)_  F G ô  Ç° ú כ“ É r Â Ò $ † ½ Ó R\  @ /ô  Ç „  t _  l „  

§

4  ε_  q Ö  ¦ – Ð" f, l „  § 4  ε { 9 & ñ ô  Ç  â Ä º Â Ò $ † ½ Ó R\ 

_

” > r   H € ª œs  . ¢ ¸ô  Ç s  כ “ É r „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó r=0 ©

“

  s  © œ& h “   „  t _  # î § > =ƒ     „  l  r– Ð\ " f % 3 `  ¦ à º e ” 



 H „  À Ós  . Õ ª Q
 z  ´| 9 & h Ü ¼– Ѝ  H % 3 `  ¦ à º \ O   H „  À Ó

–

Ð" f, ‘ : r ƒ  ½ ¨_   7 H _ \ " f  H s  „  À Ó\  ¦ „  t _  # î § > =ƒ     _

 ô  Ç> „  À Ó(the limit current in a parallel connection of batteries)  “ ¦ “ ¦,  6 £ § õ  ° ú  s  ô  Ç> „  À Ó I

Lp

(R)`  ¦ & ñ _

ô  Ç .

I

Lp

(R) ≡ ε

R . (12)

d ”

 (10)“ É r „  t _  # î § > =ƒ     # Œ „  § 4 " é ¶ Ü ¼– Ð  6   x   H

„

 l  r– Ð\ " f „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó rõ  Â Ò $ † ½ Ó R_   © œ@ /

&

h “   ß ¼l ü < „  À Ó I

p

_  › ' a > \  › ' a ô  Ç & ñ ˜ Ð\  ¦ ] j/ B N ô  Ç .

‘

: r ƒ  ½ ¨_  b] X \ " f „  t _  f ” § > =ƒ     „  l  r– Ð_   â Ä

ºü < ° ú  “ É r › ¸| Ü ¼– Ð „  t _  à º n=12 s ? /\ " f „  t _ 

?

/ Ò$ † ½ Ó rõ  Â Ò $ † ½ Ó R_   © œ@ /& h “   ß ¼l \    É r „  À Ó I

p

\  @ /ô  Ç > í ß –  õ \  ¦ Fig. 5 \ " f ˜ Ð# Œï  r  . Fig. 5_  (a)  H „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó r=0.5 ©\  @ /ô  Ç > í ß –  õ s  9, (b)  H r=1 © \  @ /ô  Ç > í ß –  õ s  . Õ ªa Ë >_  / B G‚  [ þ t“ É r 0 A

–

РÒ'  Y V– Ð Â Ò $ † ½ Ó R=0.2 © , R=0.5 ©, R=1 ©, R=2 ©, Õ ªo “ ¦ R=5 ©{ 9  M : „  À Ó I

^p

s  . Õ ªo “ ¦ Õ ª a Ë

>_  f ” ‚  [ þ t“ É r Â Ò $ † ½ Ó R=0.2 © , R=0.5 ©, R=1 ©, R=2 ©, Õ ªo “ ¦ R=5 © 1 p x y Œ •y Œ •\  @ /ô  Ç „  t _  # î § > =ƒ  

 

_  ô  Ç> „  À Ó I

^Lp

(R = 0.2©) = 7.5A, I

Lp

(R = 0.5©) = 3A, I

Lp

(R = 1©)= 1.5A, I

Lp

(R = 2©)= 0.75A, Õ ªo “ ¦ I

Lp

(R = 5©)= 0.3A s  .

„

 t _  # î § > =ƒ     „  l  r– Ð\ " f „  À Ó I

^p

ü < „  t _  ? / Â

Ò$ † ½ Ó rõ _  › ' a > \  › ' a ô  Ç @ /| Ä Ì& h “   & ñ ˜ Ѝ  H Fig. 5 _  (a) ü < (b)_  Õ ªA á Ô_  7 á x» ¡ ¤“   „  À Ó » ¡ ¤ \ " f · ú ˜ à º e ”   H „   À

Ó I

p

_  ß ¼l ü < # 3 0 A\  Å Ò3 l q † < ÊÜ ¼– Ð+ ‹ % 3 `  ¦ à º e ”  . „  t  _

 à º n=12 s ? /\ " f „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó r=0.5 ©“   (a)_ 

 â

Ä º „  À Ó I

^p

_  ß ¼l ü < # 3 0 A 0.27 A\ " f 6.21 As  9,

?

/ Ò$ † ½ Ó r=1 ©“   (b)_   â Ä º „  À Ó I

p

_  ß ¼l ü < # 3 0 A  H 0.25 A \ " f 5.29 As  . „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó r=1 ©  â Ä º˜ Ð



  Œ •“ É r ? / Ò$ † ½ Ó r=0.5 ©“   „  t [ þ t _  # î § > =ƒ     „  l  r

–

Ð\ " f „  À Ó I

p

 Õ ª ß ¼l  ß ¼“ ¦ Õ ª # 3 0 A• ¸ V ,  .

Figure 5 _  (a)ü < (b)\ " f „  t _  à º nõ  „  À Ó I

^p

_  › ' a

>

\  ¦ ˜ Ð# ŒÅ ҍ  H / B G‚  [ þ t _  — ¸€ ª œ\ " f „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó rõ  Â

Ò $ † ½ Ó R_   © œ@ /& h “   ß ¼l ü < „  À Ó I

^p

_  › ' a > \  › ' a ô  Ç

&

ñ ˜ Ð\  ¦ % 3 `  ¦ à º e ”  . Õ ªa Ë >_  / B G‚  [ þ t _  — ¸€ ª œ`  ¦ ¶ ú ˜( R˜ Ѐ  , Â

Ò $ † ½ Ó Rs  „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó r˜ Ð   H % ò % i (R>r“    â Ä

º)\ " f „  À Ó I

^p

  H „  t _  à º n=1{ 9  M : I

^p

(n = 1) = ε/(R + r) – Ð & ñ K t   H é ß –{ 9 „  t  „  l  r– Ð_  „  À Ó\ " f r 



Œ

• # Œ „  t _  à º ns  7 £ x † < Ê\     ô  Ç> „  À Ó I

^Lp

(R) \  ] X

  H # Œ  _  { 9 & ñ >  ÷ & 9, Â Ò $ † ½ Ó Rs  „  t _  ? /

Fig. 5. The currents in the parallel connections of n(n=1,2,· · ·,12) batteries with emf E=1.5 V and the in- ternal resistances r=0.5 © (a) and r=1 © (b) respectively given by the equation (10). The curve lines correspond with the currents through the load resistances R=0.2 ©, R=0.5 ©, R=1 ©, R=2 ©, and R=5 © for the internal resistances r=0.5 © and r=1 © respectively in turns from the top to the bottom. The straight lines are the limit currents in the parallel connections of n(n=1,2,· · ·,12) batteries given by the equation (12).

Â

Ò$ † ½ Ó r˜ Ð  ß ¼€   9 þ t à º2 Ÿ ¤  8  Ø Ô>  ô  Ç> „  À Ó I

^Lp

(R) \  ] X

  H ô  Ç . Õ ª Q
 Â Ò $ † ½ Ó Rs  „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó r˜ Ð 



Œ

•“ É r % ò % i (R<r“    â Ä º)\ " f „  À Ó I

^p

  H  Œ •“ É r „  t _  à º n

\

" f / å L >  & t   n s  > 5 Å q 7 £ x † < Ê\     ¢ - a ë ß – 

>

 & ”   . Õ ªo “ ¦ Â Ò $ † ½ Ó Rs  „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó r˜ Ð 



Œ

•Ü ¼€    Œ •`  ¦ à º2 Ÿ ¤ „  À Ó I

^p

  H & ”   . s  כ “ É r a] X \ " f ] j r

ô  Ç „  t _  ƒ    ~ ½ ÓZ O \ " f ë  H ] j ×  æ ‘„  t \  ¦ # î § > =ƒ     

% i

`  ¦ M : B Ä º  H „  À Ó â ìØ Ô  H’ z  ´+ « >& h    õ \  ¦ s K ½ + É

Ã

º e ”   H é ß –" f\  ¦ ] j/ B N ô  Ç .

Ó ü

t o “ §¹ ¢ ¤ \ " f _ þ v1 p q # Œ  „  t _  # î § > =ƒ    \  @ /ô  Ç õ 

†

< Æ& h  > h¥ Æ “ É r „  t _  # î § > =ƒ     # Œ „  l  r– Ð_  „  § 4 " é ¶ Ü ¼

–

Ð  6   x ½ + É M : Â Ò $ † ½ Ó\  â ìØ Ô  H „  À Ӎ  H ƒ       H „  t  _

 à º\  › ' a > \ O s   _  { 9 & ñ    H  כ s  . Õ ª Q
 ‘ : r ƒ  

½

¨_    õ – Ѝ  H „  t _  # î § > =ƒ     „  l  r– Ð\ " f Â Ò $ † ½ Ó R s  „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó r˜ Ð  9 þ t  â Ä º\   H „  t _  # î § > =ƒ  

 

\  @ /ô  Ç õ † < Æ& h  > h¥ Æ õ  ¸ ú ˜  ҽ + ˝ ) a  . Õ ª Q
 Â Ò $ † ½ Ó R s  „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó r˜ Ð   Œ •`  ¦  â Ä º\   H ‘  H „  À Ó

â

ì É r  ’  H  כ Ü ¼– Ð „  t _  # î § > =ƒ    \  @ /ô  Ç õ † < Æ& h  > h¥ Æ  õ

 „  ) €  ҽ + Ë÷ &t  · ú §  H    H  כ s  .

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  7 H _ ÷ &  H ‘„  t \  ¦ # î § > =ƒ     % i `  ¦ M :  H

„

 À Ó â ìØ Ô  H’ ‰ & ³ © œ“ É r b] X \ " f  7 H _   ) a ‘„  t \  ¦ f ” § > =ƒ  

 

 # Œ• ¸ „  À Ó & t t  · ú §“ ¦ { 9 & ñ K t   H’ ‰ & ³ © œ\  @ /ô  Ç s

 : r& h  “ ¦¹ 1 Ï_    õ \  ¦ „  t _  # î § > =ƒ     „  l  r– Ж Ð S X ‰



© œ   H õ & ñ \ " f \ V © œ½ + É Ã º e ” % 3 ~    כ s  . ¢ ¸ô  Ç s  Qô  Ç

‰

&

³ © œ`  ¦ s  : r& h Ü ¼– Ð \ V © œ  
 z  ´+ « >& h Ü ¼– Ð S X ‰ “  ô  Ç ? /6   x

`

 ¦ ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f % ƒ6 £ § Ü ¼– Ð ˜ Г ¦÷ &  H  כ s  . „  t _  # î § > =

ƒ

   \ " f  H „  À Ó { 9 # Q
  H ‰ & ³ © œ % i r  t F K  t  ç ß –õ  K

 M ® o~   „  t _  ? / Ò$ † ½ Ә Ð   Œ •“ É r $ † ½ Ó_  % ò % i \ " f { 9 

#

Q
  H ‰ & ³ © œs  . Õ ª : £ ¤f ç Ü ¼– Ð # î § > =ƒ       H „  t _  à º

\

 ¦ 7 £ x r ( ” \  _  # Œ B Ä º  H „  À Ó\  ¦ % 3 `  ¦ à º e ”    H  כ s

 .

V.  ¹ ÅU 8 ý Ž ì Å+ s ÇU ê s0 n ÉÊ Ý  ¹ Œ ½

Figure 6“ É r „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó r=1 ©{ 9  M : Â Ò $ † ½ Ó R=0.5 ©, R=1 ©, Õ ªo “ ¦ R=2 ©\  @ / # Œ „  t _  f ” § > =

ƒ

    „  l  r– Ðü < # î § > =ƒ     „  l  r– Ð\ " f_  „  À Ó[ þ t`  ¦ q 

“

§ô  Ç  כ s  . Õ ªa Ë >_  / B G‚  [ þ t“ É r „  t _  # î § > =ƒ     „  l  r

–

Ð_  „  À Ó I

^p

s  9,  / B G‚  [ þ t“ É r „  t _  f ” § > =ƒ     „  l  r

–

Ð_  „  À Ó I

^s

s  . Õ ªa Ë >_  f ” ‚  [ þ t“ É r „  t _  f ” § > =ƒ    õ 

# î

§ > =ƒ     „  l  r– Ð\ " f_  ô  Ç> „  À Ó I

Ls

(r) ü < I

Lp

(R)\  ¦

  · p . s [ þ t“ É r 0 A– РÒ'  Y V– Ð ? / Ò$ † ½ Ó r=1 ©“  

„

 t [ þ t \  @ / # Œ # î § > =ƒ    { 9  M : Â Ò $ † ½ Ó R=0.5 ©_  ô

 Ç> „  À Ó I

^Lp

(R=0.5 ©)=3 A, f ” § > =ƒ    { 9  M : Â Ò $ † ½ Ó R=0.5 ©, R=1 ©, Õ ªo “ ¦ R=2 ©_  ô  Ç> „  À Ó I

^Ls

(r=1

©)=1.5 A, # î § > =ƒ    { 9  M : Â Ò $ † ½ Ó R=1 ©_  ô  Ç> „  À Ó I

Lp

(R=1 © )=1.5 A, Õ ªo “ ¦ # î § > =ƒ    { 9  M : Â Ò $ † ½ Ó R=2 © _  ô  Ç> „  À Ó I

^Lp

(R=2 ©)=0.75 A í  H s  .

Figure 6 \ " f „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó r=1 ©˜ Ð   H Â Ò $ 

†

½ Ó R=2 ©_   â Ä º „  t _  f ” § > =ƒ     „  l  r– Ð\ " f „  À Ó I

_s

ü < „  t _  # î § > =ƒ     „  l  r– Ð\ " f „  À Ó I

p

  H „  t _  Ã

º n=1“   é ß –{ 9 „  t _  „  À Ó I

s

(n=1)=I

p

(n=1)=0.5 A

Fig. 6. The comparisons of the currents in the series and parallel combinations of n(n=1,2,· · ·,12) batteries at the load resistances R=0.5 ©, R=1 ©, and R=2 © for the in- ternal resistance r=1 ©. The curve lines correspond with the currents in the parallel combinations of the batter- ies and the broken curve lines correspond with the cur- rents in the series combinatios of the batteries. And the straight lines are the limit currents in the parallel or the series combinations of n(n=1,2,· · ·,12) batteries.

\

" f „  t _  à º ns  7 £ x † < Ê\     Õ ª ß ¼l  & t €  

"

f, „  À Ó I

s

  H ô  Ç> „  À Ó I

Ls

(r=1 ©)=1.5 A \  à º§ 4   9 „  À Ó I

p

  H ô  Ç> „  À Ó I

Lp

(R=2 ©)=0.75 A \  à º§ 4 ô  Ç



. „  t _  à º n=12 s ? /\ " f „  À Ó I

^s

  H 1.29 A  t  &  t


, „  À Ó I

^p

“    â Ä º  H 0.72 A  t  & 4 R „  À Ó I

^s

\  q  K

 Õ ª    o B Ä º  Œ • . Â Ò $ † ½ Ó R=1 ©{ 9  M : „  t  _

 ? / Ò$ † ½ Ó rõ  Â Ò $ † ½ Ó R_  ß ¼l  ° ú  “ É r  â Ä ºs  .

s

  â Ä º\   H „  À Ó I

^s

ü < I

^p

  H „  t _  à º n=1“   é ß –{ 9 „  t  _

 „  À Ó I

s

(n=1)=I

_p

(n=1)=0.75 A \ " f „  t _  à º ns  7

£

x † < Ê\     ° ú  “ É r ß ¼l – Ð & t €  " f ô  Ç> „  À Ó I

Ls

(r=1

© )=I

Lp

(R=1 ©)=1.5 A \  à º§ 4 ô  Ç . s [ þ t“ É r „  t _  à º n=12 s ? /\ " f 1.39 A t  & ”   .

„

 t _  ? / Ò$ † ½ Ó r=1 © ˜ Ð   Œ •“ É r Â Ò $ † ½ Ó R=0.5 © _

  â Ä º „  t _  f ” § > =ƒ     „  l  r– Ð_  „  À Ó I

s

ü < „  t _ 

# î

§ > =ƒ     „  l  r– Ð_  „  À Ó I

^p

  H I

s

(n=1)=I

p

(n=1)=1 A

\

" f r  Œ • # Œ „  t _  à º ns  7 £ x † < Ê\     Õ ª ß ¼l 

&

t €  " f, „  À Ó I

s

  H ô  Ç> „  À Ó I

Ls

(r=1 ©)=1.5 A \  à º§ 4 

 9 „  À Ó I

^p

  H ô  Ç> „  À Ó I

^Lp

(R=0.5 ©)=3 A \  à º§ 4 ô  Ç



. „  t _  à º n=12 s ? /\ " f „  À Ó I

^p

  H 2.57 A  t  B  Ä

º & t 
, „  À Ó I

s

“    â Ä º  H 1.44 A  t  & 4 R „  À Ó I

p

\  q

K  Õ ª    o B Ä º  Œ • .

Â

Ò $ † ½ Ó Rs  „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó r˜ Ð  9 þ t M : „  t _  f ” 

§ >

=ƒ     „  l  r– Ð_  „  À Ó I

^s

 „  t _  # î § > =ƒ     „  l  r– Ð _

 „  À Ó I

p

˜ Ð  ß ¼ 9, Â Ò $ † ½ Ó Rs  „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó r˜ Ð



  Œ •`  ¦ M :  H 9 þ t M :ü <  H ì ø Í@ /– Ð „  t _  # î § > =ƒ     „  l  r

–

Ð_  „  À Ó I

p

 „  t _  f ” § > =ƒ     „  l  r– Ð_  „  À Ó I

s

˜ Ð



 & ”     H  ⠆ ¾ ӓ É r Fig. 6 _  „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó r=1 © “  

 â

Ä º÷  r ë ß –  m   # QÖ ¼  â Ä º\ • ¸ S X ‰ “  ½ + É Ã º e ”  .

s

 Qô  Ç  ⠆ ¾ ӓ É r „  t _  f ” § > =ƒ     „  l  r– Ð_  „  À Ó I

s

\ 

@

/ô  Ç „  t _  # î § > =ƒ     „  l  r– Ð_  „  À Ó I

p

_  q Ö  ¦`  ¦ ½ ¨

# Œ S X ‰ “  ½ + É Ã º e ”  . 7 £ ¤ „  t _  f ” § > =ƒ     „  l  r– Ð\ " f

„

 À Ó I

^s

\  @ /ô  Ç „  t _  # î § > =ƒ     „  l  r– Ð_  „  À Ó I

^p

_  q

Ö  ¦`  ¦ š  “ ¦ €  , ¿ º „  À Ó_  q Ö  ¦ š  H d ”  (3)õ  (10)`  ¦



6   x # Œ

K = R + nr

nR + r (13) ü

< ° ú  s  % 3 `  ¦ à º e ”  . „  À Ó I

s

\  @ /ô  Ç „  À Ó I

p

_  q Ö  ¦

š  H „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó r, Â Ò $ † ½ Ó R, Õ ªo “ ¦ f ” § > = ¢ ¸  H

# î

§ > =ƒ       H „  t _  à º n\ ë ß – › ' a > ô  Ç . Fig. 7“ É r ? / Â

Ò$ † ½ Ó r=1 © “   „  t \  ¦ „  § 4 " é ¶ Ü ¼– Ð  6   x # Œ % 3 `  ¦ à º e ”

  H „  t _  f ” § > =ƒ     „  l  r– Ð_  „  À Ó I

s

\  @ /ô  Ç „  t  _

 # î § > =ƒ     „  l  r– Ð_  „  À Ó I

p

_  q Ö  ¦ š\  ¦ ˜ Ð# Œï  r  .

#

Œl \ " f  6   x ô  Ç Â Ò $ † ½ ӓ É r R=0.2 © , R=0.5 ©, R=1

©, R=2 ©, Õ ªo “ ¦ R=5 ©s  9, f ” § > = ¢ ¸  H # î § > =ƒ       H

„

 t _  à º  H n=12 s ? /s  . Õ ªa Ë >_  / B G‚  [ þ t“ É r 0 A\ " fÂ Ò '

 Y V– Ð „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó r=1 © \  @ /K " f Â Ò $ † ½ Ó R=0.2 © , R=0.5 ©, R=1 ©, R=2 ©, Õ ªo “ ¦ R=5 ©{ 9  M

: „  t _  f ” § > =ƒ     „  l  r– Ð_  „  À Ó I

^s

\  @ /ô  Ç „  t _ 

# î

§ > =ƒ     „  l  r– Ð_  „  À Ó I

^p

_  q Ö  ¦ š  „  t _  à º n\ 



 É r    o[ þ t s  .

Figure 7 \ " f ˜ Ð# ŒÅ ҍ  H  ü < ° ú  s , Â Ò $ † ½ Ó Rs  „  t  _

 ? / Ò$ † ½ Ó r=1 © õ  ° ú  “ É r R=1 ©“    â Ä º „  À Ó_  q  Ö

 ¦ š  H f ” § > = ¢ ¸  H # î § > =ƒ       H „  t _  à º n\  › ' a > \ O  s

 1s  . s   H „  t _  f ” § > =ƒ     „  l  r– Ð_  „  À Ó I

s

ü <

„

 t _  # î § > =ƒ     „  l  r– Ð_  „  À Ó I

p

 ° ú     H  כ `  ¦ _  p

ô  Ç . Â Ò $ † ½ Ó Rs  „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó r=1 © ˜ Ð   H R=2 © õ  R=5 ©“    â Ä º „  À Ó_  q Ö  ¦ š  H 1 ˜ Ð   Œ •“ É r ° ú כ

`

 ¦ ”   . s   H „  t _  f ” § > =ƒ     „  l  r– Ð_  „  À Ó I

s



„

 t _  # î § > =ƒ     „  l  r– Ð_  „  À Ó I

p

˜ Ð  ß ¼   H  כ `  ¦ _

p ô  Ç . „  À Ó_  q Ö  ¦ š  H Â Ò $ † ½ Ó Rs  „  t _  ? / Ò

$

† ½ Ó r ˜ Ð  9 þ t à º2 Ÿ ¤  8  Œ •“ É r ° ú כ`  ¦ t  9,  Œ •“ É r „  t _  à º n \ " f ns  7 £ x † < Ê\     ¢ - a ë ß – >  y Œ ™™ è   ns   8 7

£

x † < Ê\      _  { 9 & ñ K ”   .

Â

Ò $ † ½ Ó Rs  „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó r=1 © ˜ Ð   Œ •“ É r R=0.2 © ü < R=0.5 ©“    â Ä º „  À Ó_  q Ö  ¦ š  H 1 ˜ Ð 

 H ° ú כ`  ¦ ”   . s   H „  t _  # î § > =ƒ     „  l  r– Ð_  „   À

Ó I

p

 „  t _  f ” § > =ƒ     „  l  r– Ð_  „  À Ó I

s

˜ Ð  ß ¼ 



 H  כ `  ¦ _ p ô  Ç . „  À Ó_  q Ö  ¦ š  H Â Ò $ † ½ Ó Rs  „  t  _

 ? / Ò$ † ½ Ó r ˜ Ð   Œ •`  ¦ à º2 Ÿ ¤  8  H ° ú כ`  ¦ t  9, „  t _  Ã

º ns  7 £ x † < Ê\      Œ •“ É r „  t _  à º n\ " f ¢ - a ë ß – >  7

£

x    ns   8 7 £ x † < Ê\      _  { 9 & ñ K t   H  â

†

¾ Ó`  ¦ ˜ Г   .

Fig. 7. The ratio š of the current in the parallel combi- nation of n(n=1,2,· · ·,12) batteries to the current in the series combination of the batteries. The curve lines cor- respond with the ratios šs of the currents through the load resistances R=0.2 ©, R=0.5 ©, R=1 ©, R=2 ©, and R=5 © for the internal resistance r=1 © in turns from the top to the bottom.

VI. + s Ç Â ] Ø

z 

´+ « >& h Ü ¼– Ð S X ‰ “   ) a, „  t _  # î § > =ƒ     „  l  r– Ð\ " f  Ò

\  â ìØ Ô  H „  À Ӎ  H { 9 & ñ    H õ † < Æ& h  > h¥ Æ õ   H  Ø Ô

>

 # î § > =ƒ       H „  t _  à º 7 £ x † < Ê\     „  À Ó ß ¼

>

 & t   H ‰ & ³ © œ\  @ /ô  Ç  { © œ$ í `  ¦ s  : r& h  ] X   H`  ¦ : Ÿ x # Œ

 Ž

7 £ x   H  כ s  ‘ : r ƒ  ½ ¨_  z  ´| 9 & h “   3 l q& h s  9, „  t \  ¦   6

 

x # Œ  H „  À Ó\  ¦ % 3 `  ¦ à º e ”   H ~ ½ ÓZ O `  ¦ ] jr    H  כ s  ‘ : r

ƒ

 ½ ¨_  _ • ¸s % 3  .

„

 t \  ¦ „  § 4 " é ¶ Ü ¼– Ð  6   x   H „  l  r– Ð\ " f „  À Ó_  : £ ¤

$ í

`  ¦ ˜ Ð  & ñ S X ‰ y  s K  l  0 AK " f  H „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó

“ É

r Ó ü t : r, Â Ò $ † ½ Óõ  „  t _  ? / Ò$ † ½ Ó_   © œ@ /& h “   ß ¼l 

\

 ¦ “ ¦ 9K   ô  Ç   H  כ `  ¦ „  ] j– Ð ô  Ç ‘ : r ƒ  ½ ¨  H „  t _  f ” 

§ >

=ƒ    õ  # î § > =ƒ     „  l  r– Ð\ " f „  t _  ? / Ò$ † ½ Óõ   Ò

$ † ½ Ó_   © œ@ /& h “   ß ¼l  s [ þ t _  „  À Ó : £ ¤$ í `  ¦   & ñ ½ + É Ã

º e ” 6 £ §`  ¦ ˜ Ð% i  .

:

£

¤ y , „  t _  # î § > =ƒ     „  l  r– Ð\ " f % 3 `  ¦ à º e ”   H  H

„

 À Ó, Õ ªo “ ¦ s  Qô  Ç „  À Ó ƒ    ÷ &  H „  t _  à º_  7 £ x 

\

     8 ß ¼>  & t   H ‰ & ³ © œ“ É r Â Ò $ † ½ Ós  „  t _  ? / Ò

$

† ½ Ә Ð   Œ •`  ¦  â Ä º „  t _  # î § > =ƒ    \ " f
 è ß – . ¢ ¸ ô

 Ç f ” § > = r– Ð\ " f Â Ò $ † ½ Ós  „  t _  ? / Ò$ † ½ Ә Ð   Œ •`  ¦

 â

Ä º „  t _  à º_  7 £ x † < Ê\ • ¸ „  À Ó & t t  · ú §  H  .

„

 t _  f ” § > =ƒ    õ  # î § > =ƒ    \  › ' aº   ) a ë  H ] j[ þ t“ É r Ó ü t o 

“

§¹ ¢ ¤ \ " f „  t _  ? / Ò$ † ½ Ә Ð   H $ † ½ Ó_  % ò % i ë ß –`  ¦ “ ¦



9 “ ¦ $ † ½ Ó_   Œ •“ É r % ò % i `  ¦  _  ç ß –õ K “ : r X < Õ ª " é ¶ “  s  e ”

l • ¸  . Õ ª Q
 z  ´] j  l  › ' aº   z  ´+ « >\ " f „  t _  ? /

Â

Ò$ † ½ Ә Ð   Œ •“ É r Â Ò \  ¦  6   x   H  â Ä º ´ ú § . s   H „   t

_  f ” § > =ƒ    õ  # î § > =ƒ    \  @ /ô  Ç õ † < Æ& h  > h¥ Æ _  S X ‰  © œ

`

 ¦ כ ¹½ ¨ “ ¦ e ”  .

Y

c p w Š à U Ø ”  ô

[1] S. I. Hong and J. Y. Choi, Sae Mulli 48, 213 (2004).

[2] S. I. Hong, J. Y. Choi and B. O. Kim, Sae Mulli 48, 223 (2004).

[3] P. H. Hinrichsen, Phys. Educ. 36, 327 (2001).

[4] E. J. Choi, S. I. Hong and K. Y. Lee, Sae Mulli 53, 263 (2006).

[5] J. B. Kim, School Science Journal 3, 85 (2009).

[6] Ministry of Education and Human Resource De- velopment, Elementary School Science Textbook 4- 1 (Daehan Printing & Publishing Co. Ltd., Seoul, 2001), pp. 27-38.

[7] S. M. Lee et al., Middle School Science Textbook 2 (Kumsung Printing & Publishing Co. Ltd., Seoul, 2002), pp. 236-251.

[8] J. S. Chang et al., High School Physics a (Jihaksa Co. Ltd., Seoul, 2003), pp. 152-191.

[9] K. P. Chai et al., High School Physics a (Kumsung Printing & Publishing Co. Ltd., Seoul, 2003), pp.

168-205.

[10] B. S. Kim and S. I. Hong, Sae Mulli 50, 296 (2005).

[11] Ministry of Education and Human Resource Devel- opment, Elementary Science Textbook 6-1 (Daehan Printing & Publishing Co. Ltd., Seoul, 2001), pp.

75-88.

[12] T. Cooney et al., Scott Foresman Science 6 (Pear- son Education, Inc., Glenview, 2006), p. 386.

[13] L. H. Daniel et al., Science 4 (Macmillan/McGraw- Hill, New York, 2005), p. F92.

[14] W. Badders et al., Science 6 (Houghton Mifflin Company, Boston, 2007), p. F80.

[15] B. S. Park et al., High School Physics a (Miraeand Culture Group, Seoul, 2003), pp. 181-198.

[16] S. M. Lee et al., Middle School Science Textbook 3 (Kumsung Printing & Publishing Co. Ltd., Seoul, 2003), pp. 212-229.

[17] K. M. Lee et al., Middle School Science Textbook 3 (Jihaksa Co. Ltd., Seoul, 2003), pp. 180-209.

[18] Rocket Batteries, www. rocket.co.kr [19] Bexel Batteries, www. bexel.co.kr

[20] H. H. Cho and K. H. Choi, Introduction to Science

Education (Kyoyookkwahaksa, Seoul, 2001), pp. 37-

62.