5
5.0 물시계 속에 숨어 있는 수학
5.1 함수와 함숫값
5.2 일차함수의 뜻과 그 그래프
5.3 일차함수의 그래프와 절편
5.4 일차함수의 그래프와 기울기
5.5 일차함수의 그래프의 성질
5.6 일차함수의 식 구하기
5.7 일차함수와 일차방정식
5.8 연립방정식의 해와 일차함수의 그래프
일차함수와
그래프
자동차가 이동한 시간에 따른 이동 거리, 수돗물을 사용한 양에 따른 수도 요금처럼 우리 주변에는 한 양이 변하면 다른 양도 일정 한 규칙에 따라 변하는 것들이 있다.
이와 같이 변화하는 양 사이의 관계를 나타내는 함수라는 용어 는 독일의 수학자 라이프니츠(Leibniz, G. W., 1646~1716)가 처 음 사용하였고, 그 후 점차 수학의 중요한 개념으로 자리 잡았다.
이 단원에서는 함수와 일차함수의 뜻을 이해하고, 일차함수의 그래프와 그 성질, 일차함수와 일차방정식의 관계를 배운다.
[출처: 박교식, 『수학 용어 다시보기』]
다음에서 일차식을 모두 찾으시오.
⑴ 3x ⑵ x
2-1
⑶ {x+2}-x ⑷ x@-x+1
1 다음 식을 그래프로 나타내고, 이 그래프가 제몇
사분면을 지나는지 말하시오.
⑴ y=3x ⑵ y=-2x
3
다음 연립방정식을 푸시오.
⑴ - x+3y=1
x+2y=4 ⑵ - y=3x-1 2x+y=9
4
x와 y 사이의 관계를 식으로 나타내시오.
⑴ x와 y가 정비례하고, x=2일 때 y=4이다.
⑵ x와 y가 정비례하고, x=3일 때 y=-9이다.
2
물시계 속에 숨어 있는 수학
조선 시대 과학자 장영실(蔣英實, 1390?~1450?)이 만든 자격루(自擊漏)는 자동으로 시간 을 알려 주는 우리나라 최초의 물시계입니다. ‘자격’은 시계가 시간에 맞추어 스스로 종이나 징을 두들긴다는 뜻입니다.
다음 그림과 같이 자격루는 크게 두 부분으로 이루어지는데, 왼쪽은 물을 저장해서 아래로 흘려 보내는 그릇인 파수호와 물을 받는 그릇인 수수호로 구성되어 있으며, 오른쪽은 시간을 알리는 북, 종, 징이 설치된 시보장치로 구성되어 있습니다.
대파수호에 물을 부으면 물이 차례로 중파수호, 소파수호를 거치면서 수수호로 흘러내리는 물의 양이 일정하게 조정됩니다. 이때 수수호 안으로 흘러들어 온 물로 인해 잣대가 떠오르 고, 잣대와 연결된 시보장치가 2시간에 한 번씩 시간을 알려 줍니다.
시간에 따라 물의 높이가 일정하게 증가하는 장치와 자동으로 시간을 알려 주는 장치를 하나 로 합친 기술은 오늘날의 공학 기술과 비교해도 손색이 없을 정도로 높이 평가받고 있습니다.
대파수호 중파수호
수수호 소파수호
잣대
시보장치
● 비어 있는 수수호 안으로 물이 흘러들어 간 지 2시간 후에 물의 높이가 10 cm가 되었다. 4시간 후 의 물의 높이를 구해 보자.
태도 및 실천
● 우리 주변에서 한 양이 변함에 따라 다른 양이 변하는 관계를 이용하는 기계나 도구를 찾아보고, 그 쓰임새를 말해 보자.
50
[출처] •남문현, 『장영실과 자격루』 •국립과천과학관 누리사랑방, 2011
전력량이 2 kWh일 때의 충전 요금을 말해 보자.
위의 표에서 전력량이 7`kWh일 때의 충전 요금을 추측해 보자.
활동 1
활동 2
환경을 생각하는 전기 차
수학 환경 최근 환경 오염 문제가 심각해지면서 오염원을 배출하지 않는 전기 차에 대한 관심이 높아지고 있습니다. 다음 표를 보고 전기 차에 충전한 전력량과 충전 요금 사이의 관계를 생각해 봅시다.전력량 (kWh) 1 2 3 4 5 y
충전 요금 (원) 170 340 510 680 850 y
전력량과 충전 요금 사이에는 어떤 관계가 있나요?
생각 열기에서 충전한 전력량을 x kWh, 그에 따른 충전 요금을 y원이라고 하면 x의 값이 1, 2, 3, …으로 변함에 따라 y의 값이 170, 340, 510, …으로 하나씩 정해진다.
이와 같이 두 변수 x, y에 대하여 x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하나씩 정해지는 관계가 있을 때, y를 x의 함수라고 한다.
예 ⑴ 자연수 x보다 2만큼 큰 수를 y라고 할 x 1 2 3 4 5 y y 3 4 5 6 7 y 때, x와 y 사이의 관계를 표로 나타내
면 오른쪽과 같다.
이때 x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하나씩 정해지므로 y는 x의 함수이다.
⑵ 자연수 x보다 작거나 같은 홀수를 y라 x 1 2 3 4 5 y y 1 1 1, 3 1, 3 1, 3, 5 y 고 할 때, x와 y 사이의 관계를 표로 나
타내면 오른쪽과 같다.
이때 x의 값이 3일 때, y의 값은 1, 3이므로 y의 값이 하나씩 정해지지 않는다. 따라서 y는 x의 함수가 아니다.
1
•함수, 함숫값, y=f{x}, f{x}
학│습│요│소
함수와 함숫값
51
•함수의 개념을 이해한다.학│습│목│표
5.1 함수와 함숫값 115
다음에서 y가 x의 함수인 것을 찾고, 함수가 아닌 것은 그 이유를 말하시오.
⑴ 한 변의 길이가 x cm인 정사각형의 둘레의 길이는 y cm이다.
⑵ 50 km를 시속 x km로 달리면 y시간이 걸린다.
⑶ 자연수 x의 약수는 y이다.
2
문제
꼬마전구에 1.5 V짜리 건전지 1개, 2개, 3개, …를 직렬로 연결 하여 건전지의 개수에 따른 전압을 측정하는 실험을 하였다. 건 전지 x개를 직렬로 연결할 때의 전압을 y V라고 할 때, 물음에 답하시오.
⑴ 다음 표를 완성하시오.
x 1 2 3 4 5 y
y y
⑵ y는 x의 함수인가? 그 이유를 말하시오.
1
문제
f{x}=2x 1
f{ }=2\ `=21 1 f{ }=2\ `=42 2 f{ }=2\ `=63 3
2 3 V는 전압의 단위로 ‘볼트’라 고 읽는다.
함수를 기호로 어떻게 표현할 수 있나요?
정비례 관계를 나타내는 식 y=2x에서 x의 값이 1, 2, 3, y으로 변함에 따라 y의 값은 2, 4, 6, y으로 하나씩 정해지므로 y는 x의 함수이다. 또한, 반비례 관계를 나 타내는 식 y=6
x에서 x의 값이 1, 2, 3, y으로 변함에 따라 y의 값은 6, 3, 2, y로 하나씩 정해지므로 y는 x의 함수이다.
식 y=2x, y=6
x과 같이 y가 x의 함수일 때, 일반적으 로 이것을 기호로
y=f{x}
와 같이 나타낸다.
예를 들어 함수 y=2x를 y=f{x}로 나타내면 f{x}=2x이다.
한편, 함수 y=2x를 f{x}=2x로 놓고 x에 1, 2, 3을 대입하면 f{1}=2\1=2, f{2}=2\2=4, f{3}=2\3=6
이다. 이와 같이 함수 y=f{x}에서 x의 값이 정해질 때 그에 따라 정해지는 f{x}의 값을 x에서의 함숫값이라고 한다.
예 함수 f{x}=2x에서 x=1, 2, 3에서의 함숫값은 각각 2, 4, 6이다.
2
함수 y=f{x}에서 f 는 영어 로 함수를 의미하는 function의 첫 글자이다.
두 변수 x와 y가 정비례하거 나 반비례하면 y는 x의 함수 이다.
y=2x y=f{x}
f{x}=2x
함수 y=f{x}가 다음과 같을 때, f{2}, f{-3}의 값을 각각 구하시오.
⑴ y=4x ⑵ y=-6
x ⑶ y=x-1
3
문제
일상생활에서 두 양 사이의 관계가 함수인 경우를 찾아 모둠별로 발표해 보자.
의사소통 생각을 나누는
바닷속에서 수심이 10`m 깊어질수록 1기압씩 높아진대.
그럼 바닷속에서는 수심에
따라 수압이 하나씩 정해지니까 ….
모둠 간 평가
•다른 모둠은 적절한 예 를 들었는가?
•친구들은 우리 모둠의 발표 내용을 잘 경청하였 는가?
5.1 함수와 함숫값 117
이 시간에 배운 내용
스스로 해결하기
다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
⑴ 두 변수 x, y에 대하여 x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하나씩 정해지는 관계가 있을 때, y를 x의
라고 한다.
⑵ 함수 y=f{x}에서 x의 값이 정해질 때 그에 따라 정해지는 f{x}의 값을 x에서의 이라고 한다.
1
함수 y=f{x}가 다음과 같을 때, f{-2}, f{5}의 값을 각 각 구하시오.
⑴ f{x}=-3x ⑵ f{x}=10 x
⑶ f{x}=2x+3 ⑷ f{x}=-x+1
4
다음에서 y가 x의 함수인 것을 찾고, 함수가 아닌 것은 그 이유를 말하시오.
⑴ 반지름의 길이가 x`cm인 원의 둘레의 길이는 y`cm 이다.
⑵ 자연수 x보다 작은 자연수는 y이다.
⑶ x살인 아들보다 30살 많은 어머니의 나이는 y살이다.
3
1 L의 연료로 15 km를 달릴 수 있는 자동차가 있다. x L 의 연료로 달릴 수 있는 거리를 y km라고 할 때, 물음에 답하시오.
⑴ 다음 표를 완성하시오.
x 1 2 3 4 5
y
⑵ y는 x의 함수인가? 그 이유를 말하시오.
2
함수 f{x}=ax+1에 대하여 f{-3}=16일 때, 상수 a의 값을 구하시오.
5 추론
함수 f{x}=5x-3에 대하여 f{-2}+2 f{1}의 값을 구 하고, 그 풀이 과정을 쓰시오.
6 과정을 다지는 문제
함수를 그래프로 나타내기
함수는 두 변수 사이의 대응 관계이므로 좌표평면 위에 그래프로 나타낼 수 있다.
자연수 x의 약수의 개수를 y라고 할 때, x와 y x 1 2 3 4 5 y
y 1 2 2 3 2 y
사이의 관계를 표로 나타내면 오른쪽과 같다.
이때 x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하나씩 정해지므로 y는 x의 함수이다.
또한, 위의 표에서 얻은 x, y의 값의 순서쌍 {1, 1},
O 1 2 3 4 5 1
2 3 4 5
x y
y=f{x}
<그림 1>
{2, 2}, {3, 2}, {4, 3}, {5, 2}를 좌표로 하는 점을 좌표평 면 위에 나타내면 <그림 1>과 같다.
이와 같이 함수 y=f{x}에서 x의 값에 따라 정해지는 y의 값의 순서쌍 {x, y}를 좌표평면 위에 모두 나타낸 것을 그 함수의 그래프라고 한다.
한편, 오른쪽 그림과 같은 물병에 시간당 일정한 양의 물을
<그림 2>
y{cm}
x(초) O
계속 넣으면 물병의 아랫부분의 폭이 넓고 윗부분의 폭이 좁기 때문에 처음에는 물의 높이가 느리게 증가하다가 나중에는 물 의 높이가 빨리 증가한다. 즉, 물을 x초 동안 넣었을 때의 물 의 높이를 y`cm라고 할 때, 두 변수 x와 y 사이의 관계를 그 래프로 나타내면 <그림 2>와 같다. 이때 x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하나씩 정해지므로 y는 x의 함수이고, <그림 2>는 이 함수의 그래프임을 알 수 있다.
확인
책꽂이에 두께가 5 cm인 책을 x권 꽂았을 때, 꽂힌 책의 너비를 y cm라고 하면 y는 x의 함수 이다. 물음에 답하시오.
⑴ 다음 표를 완성해 보자.
O 1 2 3 4 5 5
10 20 15 25
x y
x 1 2 3 4 5
y
⑵ 위의 표를 이용하여 오른쪽 좌표평면 위에 함수의 그래 프를 나타내 보자.
5.1 함수와 함숫값 119
지면으로부터의 깊이가 x km인 지점의 온도를 y !C라고 할 때, 다음 표를 완성해 보자.
x 1 2 3 4 5
y 45 75
y는 x의 함수인지 말하고, y를 x의 식으로 나타내 보자.
활동 1
활동 2
지구 내부의 온도
수학 과학 지구의 내부는 지각, 맨틀, 외핵, 내핵으로 구성되며 내부 로 들어갈수록 압력과 온도가 높아집니다. 일반적으로 지표 부근에서는 지면으로부터의 깊이가 1 km씩 깊어질 때마다 온도가 30 !C씩 높아진다고 합니다. 지면의 온도 가 15 !C일 때, 지면으로부터의 깊이와 온도 사이의 관계를 생각해 봅시다. [출처: 헤이즐 뮤어 (윤서연 역), 『과학(한 장의 지식)』]
지면으로부터의 깊이와 온도 사이의 관계를 식으로 나타낼 수 있나요?
생각 열기에서 x의 값이 1, 2, 3, 4, 5로 변함에 따라 y의 값은 45, 75, 105, 135, 165로 각각 하나씩 정해지므로 y는 x의 함수이다.
이때 지면의 온도가 15 !C이고 지면으로부터의 깊이가 x km 깊어질 때 온도가 30x !C 높아지므로 x와 y 사이의 관계를 식으로 나타내면
y=30x+15
와 같이 y는 x에 관한 일차식으로 나타내어진다.
일반적으로 함수 y=f{x}에서 y=ax+b {a, b는 상수, a=0}
와 같이 f{x}가 x에 관한 일차식으로 나타내어질 때, 이 함수를 x에 관한 일차함수 라고 한다.
1
일차함수의 뜻과 그 그래프
52
•일차함수의 의미를 이해한다.•일차함수의 그래프를 그릴 수 있다.
학│습│목│표
•일차함수, 평행이동 학│습│요│소
지각 맨틀 외핵 내핵
예 ⑴ 함수 y=-2x+1, y=2
3x-5, y=x는 일차함수이다.
⑵ 함수 y=x@+1, y=1
x은 x@+1, 1
x이 일차식이 아니므로 일차함수가 아니다.
다음 중에서 y가 x에 관한 일차함수인 것을 모두 찾으시오.
⑴ y=-2x-3 ⑵ y=-4
x
⑶ y=x
2+1 ⑷ y=x{x+1}
1
문제
다음에서 y를 x의 식으로 나타내고 일차함수인 것을 모두 찾으시오.
⑴ 시속 x`km로 2시간 동안 달린 거리는 y`km이다.
⑵ 한 변의 길이가 x`cm인 정사각형의 넓이는 y`cm@이다.
⑶ x원짜리 볼펜 3자루와 1500원짜리 공책 한 권의 값은 y원이다.
⑷ 밑변의 길이가 x`cm, 높이가 y`cm인 삼각형의 넓이는 6`cm@이다.
2
문제
일차함수 y=ax+b에서 x의 값의 범위가 수 전체이면 그래프는 어떤 모양인가요?
일차함수 y=2x+3에서 x의 값이 정수일 때, x의 값에 따라 정해지는 y의 값을 각 각 구하여 표로 나타내면 다음과 같다.
x y -2 -1 0 1 2 y
y y -1 1 3 5 7 y
이때 순서쌍 {x, y}를 좌표로 하는 점은 y, {-2, -1}, {-1, 1}, {0, 3}, {1, 5}, {2, 7}, y이고, 이를 좌표평면 위에 나타내면 <그림 1>과 같다. 또, x의 값 사이의 간격을 점점 작게 하여 x의 값의 범위를 수 전체로 하면 그 그래프는 <그림 2>와 같 은 직선이 된다. 이 직선을 x의 값의 범위가 수 전체일 때, 일차함수 y=2x+3의 그 래프라고 한다.
y
O x
-2 2 4
-4
2 4 6
<그림 1>
y
O 2 4x -4
2 4 6
-2
<그림 2>
2
5.2 일차함수의 뜻과 그 그래프 121
다음 일차함수의 그래프를 그리시오.
⑴ y=x-3 ⑵ y=-2x+1
y
O x
-2 2 4
-4
-4 -2 2 4
y
O x
-2 2 4
-4
-4 -2 2 4
3
문제
두 일차함수 y=2x와 y=2x+3의 그래프 사이에는 어떤 관계가 있나요?
두 일차함수 y=2x와 y=2x+3에서 x의 값이 정수일 때, x의 값에 따라 정해지는 y의 값을 각각 구하여 표로 나타내면 다음과 같다.
x y -3 -2 -1 0 1 2 3 y
y=2x y -6 -4 -2 0 2 4 6 y
y=2x+3 y -3 +3 -1 +3 1 +3 3 +3 5 +3 7 +3 9 +3 y 위의 표에서 x의 각 값에 대하여 일차함수 y=2x+3의 함숫값은 일차함수 y=2x 의 함숫값보다 항상 3만큼 크다는 것을 알 수 있다.
따라서 두 일차함수의 그래프를 그려 보면 오른쪽 그
O 2 -2
-2 -4 -4
2 4
4 x y
y=2x+3
y=2x 3 3 3
3
림과 같이 일차함수 y=2x+3의 그래프는 일차함수 y=2x의 그래프를 y축의 방향으로 3만큼 평행하게 이 동한 것과 같음을 알 수 있다.
이와 같이 한 도형을 일정한 방향으로 일정한 거리만 큼 옮기는 것을 평행이동이라고 한다.
3
식 y=ax{a=0}의 그래 프는 다음 그림과 같이 원점을 지나는 직선이다.
⑴ a>0일 때
O y=ax
x y
⑵ a<0일 때
O x
y
y=ax 배웠어요!
중1
일반적으로 x의 값의 범위를 수 전체로 할 때, 일차함수 y=ax+b의 그래프는 직선 이 된다.
| 참고 | 일차함수 y=ax+b에서 x의 값의 범위가 특별히 주어지지 않았을 때에는 x의 값의 범위를 수 전체로 생 각한다.
일차함수 y=2x의 그래프를 이용하여 일차함수 y=2x-2의 그래프를 그리시오.
풀이│ 일차함수 y=2x-2의 그래프는 일차함수 y=2x
O 2 -2
-2 -4 -4
2 4
4 x y
y=2x-2 y=2x
2
2 2
2
의 그래프를 y축의 방향으로 -2만큼 평행이동 한 것이다.
따라서 일차함수 y=2x-2의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
풀이 참조 예제1
아래 그림은 두 일차함수 y=-x와 y=3x의 그래프를 각각 그린 것이다. 이 그래프를 이용하여 다음 일차함수의 그래프를 각각 그리시오.
⑴ y=-x+3 ⑵ y=3x-1
y
O x
-2 2 4
-4
-4 -2 2 4 y=-x
y
-2 2 4 x
-4
-4 -2 2
4 y=3x
O
4
문제
일반적으로 두 일차함수 y=ax와 y=ax+b의 그래프 사이에는 다음과 같은 관계 가 있다.
일차함수 y=ax+b의 그래프는 일차함수 y=ax y y=ax+b y=ax
O b
x 의 그래프를 y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 직
선이다.
일차함수 y=ax+b의 그래프
5.2 일차함수의 뜻과 그 그래프 123
다음 일차함수의 그래프는 일차함수 y=2
3 x의 그래프를 y축의 방향으로 얼마만큼 평행 이동한 것인지 구하시오.
⑴ y=2
3 x+1 ⑵ y=2
3 x-4
5
문제
일차함수 y=3x-1의 그래프를 이용하여 일차함수 y=3x+4의 그래프를 그리는 방법 을 이야기해 보자.
의사소통 생각을 나누는
일차함수 y=3x+4의 그래프는 일차함수 y=3x의
그래프를 y축의 방향으로 4만큼 평행이동한 것이야.
그렇다면 ….
일차함수 y=3x-1의 그래프는 일차함수 y=3x의
그래프를 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한
것이야.
이 시간에 배운 내용
스스로 해결하기
다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
⑴ 함수 y=f{x}에서
y=ax+b {a, b는 상수, a=0}
와 같이 f{x}가 x에 관한 일차식으로 나타내어질 때, 이 함수를 x에 관한 라고 한다.
⑵ 한 도형을 일정한 방향으로 일정한 거리만큼 옮기 는 것을 이라고 한다.
1
주어진 함수의 그래프를 이용하여 다음 일차함수의 그래 프를 그리시오.
⑴ y=1
2 x-2 ⑵ y=-2x+3
y
-2 2 4x
-4
-4 -2 2
4 y=2!x
O
y
-2 2 4x
-4
-4 -2 2 4
y=-2x O
4
일차함수 y=3x의 그래프를 y축의 방향으로 -5만큼 평 행이동한 그래프가 점 {-1, k}를 지날 때, k의 값을 구하 고, 그 풀이 과정을 쓰시오.
6 과정을 다지는 문제
다음 중에서 y가 x에 관한 일차함수인 것을 모두 찾으 시오.
⑴ y=-2x ⑵ y=3x+1
⑶ y=1
x+3 ⑷ y=x{2x+1}
2
다음 일차함수의 그래프를 그리시오.
⑴ y=x+2 ⑵ y=-3x+1
`
y
2 4x -4 -2
-2 4
O 2
-4
y
2 4x -4 -2
-2 4
O 2
-4
3
다음 일차함수의 그래프를 y축의 방향으로 [ ] 안의 수만 큼 평행이동한 그래프가 나타내는 일차함수의 식을 구하 시오.
⑴ y=4x [-3] ⑵ y=-2 3 x [2]
5
5.2 일차함수의 뜻과 그 그래프 125
컴퓨터 프로그램을 이용하여 일차함수의 그래프 그리기
그래프를 나타낼 수 있는 컴퓨터 프로그램을 이용하여 일차함수 y=ax의 그래프 와 일차함수 y=ax+b의 그래프 사이의 관계를 알아보자.
두 일차함수 y=2x와 y=2x+1의 그래프 사이의 관계 알아보기
➊ 함수창에 y=2x를 입력하여 <그림 1>과 같이 일차함수 y=2x의 그래프를 그린다.
➋ 함수창에 y=2x+1을 추가로 입력하여 <그림 2>와 같이 일차함수 y=2x+1의 그래프를 그린다.
➌ 일차함수 y=2x의 그래프를 위아래로 움직여서 일차함수 y=2x+1의 그래프와 일치하는지 확인한다.
<그림 1> <그림 2>
이 과정에서 일차함수 y=2x의 그래프를 평행이동하여 일차함수 y=2x+1의 그 래프를 그릴 수 있음을 확인할 수 있다.
활동
두 일차함수 y=-1
3 x와 y=-1
3 x-2의 그래프를 컴퓨터 프로그램을 이용하 여 각각 그린 후 두 그래프 사이의 관계를 말해 보자.
이지그래프
(http://www.ebsmath.
co.kr/easyGraph)에서 일차함수의 그래프를 탐 색할 수 있다.
위의 그래프에서 기온이 0 !C인 지점의 높이를 구해 보자.
위의 그래프에서 지면의 기온을 구해 보자.
활동 1
활동 2
높은 산의 만년설
수학 과학 높은 산의 만년설은 여름에도 녹지 않습니다. 이는 지면에서 10 km까지는 높이가 1 km씩 높아질 때마다 기온이 약 6 !C씩 내려가기 때문입니다. 오른쪽 그림은 어떤 지역의 지면으로부터 x km 높이에 있는 지점의 기온을 y !C라고 할 때, 함수 y=f{x}의 그래프입니다. 기온이 0 !C인 지점의 높이와 지면의 기온을 생각해 봅시다. [출처: 하경자・김경익, 대기과학 에센스 ]
일차함수의 그래프와 절편
53
• x절편, y절편의 뜻을 안다.• x절편, y절편을 이용하여 일차함수의 그래프를 그릴 수 있다.
학│습│목│표
•x절편, y절편 학│습│요│소
기온이 0 !C인 지점의 높이와 지면의 기온을 어떻게 알 수 있나요?
생각 열기에서 기온이 0 !C인 지점의 높이를 구하려면 위의 그래프에서 y=0일 때 의 x의 값, 즉 x축과 만나는 점의 x좌표를 구하면 된다. 또한, 지면의 높이는 0 km 이므로 지면의 기온을 구하려면 위의 그래프에서 x=0일 때의 y의 값, 즉 y축과 만 나는 점의 y좌표를 구하면 된다.
일반적으로 일차함수 y=ax+b의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표를 이 그래프 의 x절편, y축과 만나는 점의 y좌표를 이 그래프의 y절편이라고 한다.
1
O x
y y절편
x절편
O x{km}
y{!C}
-20 -10 10 20 30
10 5 y=f{x}
5.3 일차함수의 그래프와 절편 127
일차함수 ⑴, ⑵의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 각 그래프의 x절편과 y절편을 각각 구하시오.
1
문제 y
-2 2 4x
-4
-2 4
O 2
-4
⑴ ⑵
다음 일차함수의 그래프의 x절편과 y절편을 각각 구하시오.
⑴ y=2x-6 ⑵ y=-4x+12
⑶ y=1
2 x-3 ⑷ y=-2
3 x+6
2
문제
일차함수 y=-3x+6의 그래프의 x절편과 y절편을 각각 구하시오.
풀이│ y=-3x+6에 y=0을 대입하면 0=-3x+6, 3x=6, x=2 따라서 x절편은 2이다.
y=-3x+6에 x=0을 대입하면 y=-3\0+6, y=6 따라서 y절편은 6이다.
x절편: 2, y절편: 6 예제1
x절편과 y절편을 이용하여 일차함수의 그래프를 그릴 수 있나요?
원점을 지나지 않는 일차함수의 그래프의 x절편과 y절편을 구하면 이 그래프가 x축과 y축에서 만나는 두 점을 알 수 있다. 일차함수의 그래프는 직선이므로 이 두 점을 이용하면 일차함수의 그래프를 그릴 수 있다.
2
x축 위의 점의 y좌표는 항상 0이다. 또, y축 위의 점의 x 좌표는 항상 0이다.
이제 일차함수 y=ax+b의 그래프의 x절편과 y절편을 구하는 방법을 알아보자.
일차함수 y=ax+b의 그래프가 x축과 만나는 점의 y좌표는 0이므로 x절편은 일 차함수 y=ax+b에 y=0을 대입하여 구할 수 있다.
마찬가지로 이 그래프가 y축과 만나는 점의 x좌표는 0이므로 y절편은 일차함수 y=ax+b에 x=0을 대입하여 구할 수 있다.
y=ax+b
y절편
x절편과 y절편을 이용하여 일차함수 y=x+2의 그래프를 그리시오.
풀이│ y=x+2에서 y=0일 때 x=-2이므로 x절편은 y
2 4x -4
4
O
-4 -2
-2
y=x+2 2
-2이다.
또한, x=0일 때 y=2이므로 y절편은 2이다.
따라서 일차함수 y=x+2의 그래프는 오른쪽 그 림과 같이 두 점 {-2, 0}, {0, 2}를 지나는 직 선이다.
풀이 참조 예제2
x절편과 y절편을 이용하여 다음 일차함수의 그래프를 그리시오.
⑴ y=x+3 ⑵ y=-1
4 x+1
y
2 4 x -4
4
O
-4 -2
-2 2
y
2 4 x -4
4
O
-4 -2
-2 2
3
문제
x절편과 y절편을 이용하면 일차함수 y=ax+b의 그래프를 항상 그릴 수 있는지 이야기 해 보자.
의사소통 생각을 나누는
x절편과 y절편이 모두 0이라면 ….
일차함수 y=ax+b의 그래프는 직선이야.
5.3 일차함수의 그래프와 절편 129
이 시간에 배운 내용
스스로 해결하기
다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
일차함수의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표를 이 그래프의 , y축과 만나는 점의 y좌표를 이 그래프의 이라고 한다.
1
다음 그림과 같은 일차함수의 그래프의 x절편과 y절편을 각각 구하시오.
⑴ ⑵
y
2 4x -4
4
O
-4 -2
2
-2
y
2 4x -4 -2
-2 4
O 2
-4
2
다음 일차함수의 그래프의 x절편과 y절편을 각각 구하시오.
⑴ y=x-3 ⑵ y=-2x+4
⑶ y=1
2 x+2 ⑷ y=3x-1 2
3
일차함수 y=-x+b의 그래프에서 x절편이 3일 때, y절 편을 구하시오. (단, b는 상수)
5 추론
일차함수 y=2x-1의 그래프의 y절편과 일차함수 y=x+a의 그래프의 x절편이 서로 같을 때, 상수 a의 값 을 구하고, 그 풀이 과정을 쓰시오.
6 과정을 다지는 문제
다음 일차함수의 그래프의 x절편과 y절편을 각각 구하 고, 이를 이용하여 그 그래 프를 그리시오.
⑴ y=-x+2
⑵ y=1 3 x-1
4
y
2 4x -4 -2
-2 4
O 2
-4
원재와 시연이가 각각 측정한 수평 거리와 수직 거리를 이용해서 경사로의 기울어진 정도를 각각 구해 보자.
활동 1에서 구한 경사로의 기울어진 정도를 서로 비교해 보자.
활동 1
활동 2
일차함수의 그래프와 기울기
54
• 기울기의 뜻을 안다.• 기울기와 y절편을 이용하여 일차함수의 그래프를 그릴 수 있다.
학│습│목│표
경사로의 기울어진 정도
우리나라의 건축법에서는 장애인이 스스로 휠체어를 타고 다닐 수 있는 경사로의 기울 어진 정도를 1
12 이하로 규정하고 있습니다.
다음 그림은 원재와 시연이가 어느 장애인 복지 시설에 설치된 경사로의 수평 거리와 수직 거리를 각각 측정하여 나타낸 것입니 다. 경사로의 기울어진 정도를 (수직 거리)
(수평 거리) 로 구할 때, 이 장애인 복지 시설에 설치된 경사로의 기울어진 정도를 생각해 봅시다.
•기울기 학│습│요│소
경사로의 기울어진 정도는 어떻게 알 수 있나요?
생각 열기에서 원재와 시연이가 측정한 거리를 이용하여 경사로의 기울어진 정도 를 각각 구하면 10
120= 1 12, 20
240= 1
12이다. 따라서 두 학생이 구한 경사로의 기울어 진 정도는 서로 같음을 알 수 있다.
원재와 시연이가 경사로의 기울어진 정도를 측정하는 것과 같은 방법으로 일차함 수 y=ax+b의 그래프의 기울어진 정도를 나타내는 방법에 대하여 알아보자.
1
수평 거리 수직 거리
<시연>
<원재>
120`cm
10`cm 20`cm
240`cm
10`cm 20`cm 120`cm
240`cm
5.4 일차함수의 그래프와 기울기 131
일차함수 y=2x-1에서 x의 값이 정수일 때, x의 값에 따라 정해지는 y의 값을 구 하여 표로 나타내면 다음과 같다.
x y -3 -2 -1 0 1 2 3 y
y=2x-1 y -7 -5 -3 -1 1 3 5 y
2
4 2
4 1
2
1
2
위의 표에서 x의 값이 1만큼 증가하면 y의 값은 2만 y
2 x 4
O 2
-2
-2
y=2x-1
4
2
1 2
큼 증가하고, x의 값이 2만큼 증가하면 y의 값은 4만큼 증가한다. 따라서 x의 값의 증가량에 대한 y의 값의 증 가량의 비율을 구하면
(y의 값의 증가량) (x의 값의 증가량)=2
1=4 2=2 이다.
이와 같이 일차함수 y=2x-1에서 x의 값의 증가량에 대한 y의 값의 증가량의 비 율은 항상 일정하게 2이고, 이 일정한 비율 2는 x의 계수와 같다.
일반적으로 일차함수 y=ax+b에서 x의 값의 증가량에 대한 y의 값의 증가량의 비율은 항상 일정하며, 그 비율은 x의 계수 a 와 같다. 이 증가량의 비율 a를 일차함수 y=ax+b의 그래프의 기울기라고 한다.
위의 내용을 정리하면 다음과 같다.
일차함수 y=ax+b의 그래프에서 (기울기)=(y의 값의 증가량)
(x의 값의 증가량)=a 일차함수의 그래프의 기울기
다음 일차함수의 그래프의 기울기를 구하시오.
⑴ y=-x+2 ⑵ y=3x-5
⑶ y=1
2 x-3 ⑷ y=-2
3 x+1
1
문제 1-{-1}
1-0 =2 1=2 5-1
3-1=4 2=2
y=ax+b
기울기
일차함수 ⑴, ⑵의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 각 그래프의 기울기를 구하시오.
2
문제
O 2
-4 -4
4
4 x y ⑴
⑵
-2 2
-2
기울기와 y절편을 이용하여 일차함수의 그래프를 그릴 수 있나요?
일차함수 y=ax+b의 그래프에서 y절편은 b이므로
O x y
y절편
x의 값의 증가량 y의 값의 증가량
y=ax+b
b
이 그래프는 점 {0, b}를 지나고, 기울기가 a임을 이 용하면 x의 값의 증가량에 대한 y의 값의 증가량을 구할 수 있으므로 또 다른 한 점을 알 수 있다.
이 점과 점 {0, b}를 직선으로 연결하여 일차함수 y=ax+b의 그래프를 그릴 수 있다.
2
기울기와 y절편을 이용하여 일차함수 y=-4x+1의 그래프를 그리시오.
풀이│ 일차함수 y=-4x+1의 그래프는 y절편이 1이므로 점 {0, 1}을 지난다.
또, 이 그래프는 기울기가 -4이므로 점 {0, 1}
O 2 -4 -4
4
-4 -2
4 x y
-2 1 y=-4x+1
2
에서 x축의 방향으로 1만큼 증가하고, y축의 방 향으로 4만큼 감소한 점 {1, -3}을 지난다.
따라서 일차함수 y=-4x+1의 그래프는 오른 쪽 그림과 같이 두 점 {0, 1}과 {1, -3}을 지나 는 직선이다.
풀이 참조 예제1
‘-4만큼 증가한다’와 ‘4만큼 감소한다’는 같은 의미이다.
5.4 일차함수의 그래프와 기울기 133
두 점을 어떻게 잡을까?
다음 그림과 같은 일차함수의 그래프의 기울기를 구해 보고, 자신의 풀이 방법을 친구와 이야기해 보자.
의사소통 생각을 나누는
동료 평가
•친구는 그래프의 기울기 를 올바르게 구하였는가?
•친구가 말한 풀이 방법 이 적절한가?
O 2
-4 -4
2 4
4 x y
-2 -2
기울기와 y절편을 이용하여 다음 일차함수의 그래프를 그리시오.
⑴ y=1
2x-1 ⑵ y=-3x+2
y
O x
-2 2 4
-4
-4 -2 2 4
y
O x
-2 2 4
-4
-4 -2 2 4
3
문제
이 시간에 배운 내용
스스로 해결하기
다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
일차함수 y=ax+b에서 x의 값의 증가량에 대한 y 의 값의 증가량의 비율은 항상 일정하며, 그 비율은 x의 계수 a와 같다.
이 증가량의 비율 a를 일차함수 y=ax+b의 그래프 의 라고 한다.
1
오른쪽 그림과 같은 일차함 수 의 그 래 프 와 일 차 함 수 y=ax+3의 그래프의 기울 기가 서로 같을 때, 상수 a 의 값을 구하시오.
5 추론
y
4x -4
-2 4
O
-4 -2
2 2 다음 일차함수의 그래프의 기울기를 구하시오.
⑴ y=x+5 ⑵ y=-4x-1
⑶ y=-1
3 x+1 ⑷ y=6x+1 3
2
다음 그림과 같은 일차함수의 그래프의 기울기를 구하 시오.
⑴ ⑵
y
2 4x -4
-2 4
O 2
-4 -2
y
2 4x -4
-2 4
O
-4 -2
2
3
일차함수 y=ax+3의 그래프에서 x의 값이 3만큼 증가 할 때, y의 값이 2만큼 감소한다. 이 함수의 그래프가 점 {b, 1}을 지날 때, ab의 값을 구하고, 그 풀이 과정을 쓰시 오. (단, a는 상수)
6 과정을 다지는 문제
기울기와 y절편을 이용하여 일차함수 y=-3x+1의 그 래프를 그리시오.
4
y
2 4x -4 -2
-2 4
O 2
-4
5.4 일차함수의 그래프와 기울기 135
기울기가 양수인 그래프를 찾아보고, 그 그래프의 공통점을 말해 보자.
기울기가 음수인 그래프를 찾아보고, 그 그래프의 공통점을 말해 보자.
활동 1
활동 2
일차함수에서 기울기의 부호
재민이는 컴퓨터 프로그램을 이용하여 다음 그림과 같이 일차함수의 그래프를 그렸습니다. 이때 기울기의 부호가 같은 일차함수의 그래프의 공통점을 생각해 봅시다.
기울기의 부호에 따라 일차함수의 그래프는 어떤 특징을 갖고 있나요?
생각 열기에서 일차함수 y=2x+1의 그래프의 기울
O 2
-4 -4
2 4
4 x y
-2
y=x-2
y=2x+1 -2 증가 증가
증가 증가
기는 2이므로 x의 값이 1만큼 증가하면 y의 값은 2만큼 증가한다. 또한, 일차함수 y=x-2의 그래프의 기울기 는 1이므로 x의 값이 1만큼 증가하면 y의 값은 1만큼 증가한다.
따라서 기울기가 양수인 두 일차함수의 그래프는 오 른쪽 위로 향하는 직선이다.
1
일차함수의 그래프의 성질
55
•일차함수의 그래프의 성질을 이해한다.학│습│목│표
이지그래프 또는 알지오매스(AlgeoMath) (http://algeomath.kr)에 서 일차함수의 그래프의 성 질을 탐색할 수 있다.
한편, 일차함수 y=-x+3의 그래프의 기울기는 -1
O 2
-4 -4
2 4
4 x y
y=-x+3 y=-2x-4 -2
증가
감소 감소
증가 -2
이므로 x의 값이 1만큼 증가하면 y의 값은 1만큼 감소 한다. 또한, 일차함수 y=-2x-4의 그래프의 기울기 는 -2이므로 x의 값이 1만큼 증가하면 y의 값은 2만 큼 감소한다.
따라서 기울기가 음수인 두 일차함수의 그래프는 오 른쪽 아래로 향하는 직선이다.
일반적으로 일차함수 y=ax+b의 그래프는 다음과 같은 성질을 가진다.
일차함수 y=ax+b의 그래프는 1. a>0이면
오른쪽 위로 향하는 직선이다.
O x
y
b 증가 증가
2. a<0이면
오른쪽 아래로 향하는 직선이다.
x y
O b
감소 증가 일차함수 y=ax+b의 그래프
기울기가 같은 두 일차함수의 그래프 사이에는 어떤 관계가 있나요?
세 일차함수 y=2x+3, y=2x, y=2x-3의 그래프
2
-4 -4
4
4 x y
-2 2
O
y=2x-3 y=2x+3
y=2x
-2
의 기울기는 모두 2로 같다. 이때 오른쪽 그림과 같이 두 일차함수 y=2x+3과 y=2x-3의 그래프는 일차함 수 y=2x의 그래프를 y축의 방향으로 각각 3, -3만큼 평행이동한 것이므로 서로 평행하다.
일반적으로 기울기가 같은 두 일차함수의 그래프는 y절편이 다르면 서로 평행하고, 같으면 일치한다.
2
다음 일차함수에서 그 그래프가 x의 값이 증가할 때, y의 값은 감소하는 직선을 모두 찾 으시오.
⑴ y=4x-1` ⑵ y=-2x+6
⑶ y=2
3 x-7 ⑷ y=-3
2 x+5
1
문제
한 직선과 그 직선을 평행이 동하여 얻은 직선은 서로 평 행하다.
5.5 일차함수의 그래프의 성질 137
일반적으로 두 일차함수의 그래프 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.
1. 기울기가 같은 두 일차함수의 그래프는 서로 평행하거나 일치한다.
2. 서로 평행한 두 일차함수의 그래프의 기울기는 서로 같다.
일차함수의 그래프의 기울기와 평행
예 두 일차함수 y=-2
3x-2와 y=-2
3x+4의 그래프는 기울기가 -2
3로 같고 y절편이 각 각 -2와 4로 다르므로 두 그래프는 서로 평행하다.
다음 일차함수에서 그 그래프가 서로 평행한 것끼리 짝 지으시오.
⑴ y=2x+3 ⑵ y=-1
3 x-7
⑶ y=-1
3 x+3 ⑷ y=2x-7
2
문제
두 일차함수 y=ax-2와 y=-x+b의 그래프가 서로 평행하기 위한 상수 a, b의 조건 에 대하여 친구와 이야기해 보자.
의사소통 생각을 나누는
동료 평가
•친구는 문제의 조건에 맞는 답을 구하였는가?
•친구는 나의 의견을 잘 경청하였는가?
b는 어떤 값을 가져도 상관없을까?
두 일차함수의 그래프가 서로 평행하려면 a는 어떤 조건을 만족시켜야 하지?
이 시간에 배운 내용
스스로 해결하기
다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
⑴ 기울기가 같은 두 일차함수의 그래프는 서로 하거나 한다.
⑵ 서로 평행한 두 일차함수의 그래프의 기울기는 서 로 .
1
a>0, b<0일 때, 일차함수 y=ax+b의 그래프가 지나 지 않는 사분면을 구하시오.
5 추론
다음 일차함수에서 그 그래프가 x의 값이 증가할 때, y의 값도 증가하는 직선인 것을 모두 찾으시오.
⑴ y=-3x-2 ⑵ y=x+5
⑶ y=-1 2 x+3
2 ⑷ y=3 4 x-1
2
다음 일차함수에서 그 그래프가 서로 평행한 것끼리 짝 지으시오.
⑴ y=1
3 x+2 ⑵ y=-2x-1 2
⑶ y=1 3 x-1
2 ⑷ y=-2x+2
4
오른쪽 그림은 일차함수 y=ax+b의 그래프이다. a, b의 부호를 각각 구하시오.
3
두 일차함수 y=a
3 x-1과 y=2x+3의 그래프가 서로 평행할 때, 상수 a의 값을 구하고, 그 풀이 과정을 쓰시오.
6 과정을 다지는 문제
x y
O
뼈의 길이로 키를 알 수 있다!
고고학자들이 몇 개의 공룡 뼈로 공룡의 크기 를 추측할 수 있는 것처럼 사람의 유골로도 사 람이 살아있었을 당시의 키를 계산할 수 있다.
이때 일차함수가 사용되는데 대퇴골{F}, 경골 {T}, 상박골{H}, 요골{R}의 길이로 키{h}를 구하는 공식은 오른쪽과 같다.
상박골 요골
대퇴골
경골
남자 여자
h=2.2F+69.1 h=2.4T+81.7 h=3H+73.6 h=3.7R+80.4
h=2.3F+61.4 h=2.5T+72.6 h=3.1H+65 h=3.9R+73.5
(단위: cm)
[출처] •박순영, 분묘에서 발굴된 사람뼈로 추정한 조선 시대 성인 남성의 키에 대한 연구
• 이제훈・한승호・이우영・김이석・정인혁, 한국인 정강뼈의 부분계측을 통한 최대길이 추정
5.5 일차함수의 그래프의 성질 139
위의 그래프의 y절편과 기울기를 각각 말해 보자.
활동 1의 결과를 이용하여 이 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구할 수 있는지 말 해 보자.
활동 1
활동 2
일차함수의 식 구하기
56
•주어진 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구할 수 있다.•일차함수를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.
학│습│목│표
그래프를 보고 일차함수의 식 구하기
다음을 보고, 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구할 수 있는 방법을 생각해 봅시다.
일차함수의 그래프의 기울기와 y절편을 이용하여 그 일차함수의 식을 구할 수 있나요?
생각 열기에서 주어진 일차함수의 그래프는 x의 값이
1
-2 4
2
4 6 O
-2 2 x -2 y
1만큼 증가하면 y의 값은 2만큼 감소하므로 기울기는 -2이고, y축과 점 {0, 4}에서 만나므로 y절편은 4이다.
따라서 일차함수의 식 y=ax+b에서 a=-2, b=4 이므로 이 그래프가 나타내는 일차함수의 식은
y=-2x+4이다.
이와 같이 일차함수의 그래프의 기울기와 y절편을 이용하여 이 일차함수의 식을 구할 수 있다.
1
-2 6
2 4 y
-2O 2 x 4
-2 6
2 4 y
-2O 2 x 4
-2 6
2 4 y
-2O 2 x 4
y의 값은 4에서 0까지
감소하지.
그래프가 y축과 만날 때
의 y의 값은 얼마지?
x의 값이 0에서 2까지 증가하면 y의 값은 어떻게
되지?
y의 값은 4야.
예 일차함수의 그래프의 기울기가 -1
2이고 y절편이 1일 때, 이 일차함수의 식은 y=-1
2 x+1이다.
기울기가 5
2이고 y절편이 -4인 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구하시오.
1
문제
다음 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구하시오.
⑴ 기울기가 -3이고, 점 {3, -1}을 지나는 직선
⑵ 일차함수 y=3
2 x+1의 그래프에 평행하고, 점 {2, 2}를 지나는 직선
3
문제
오른쪽 그림의 ⑴, ⑵를 그래프로 하는 일차함수의 식을 각각 구하시오.
2
문제 4
4 x y
-2
-2 O 2
2
-4
⑴
⑵
기울기가 -2이고, 점 {2, 3}을 지나는 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구하시오.
풀이│ 기울기가 -2이므로 구하는 일차함수의 식은 y=-2x+b …… ①
로 나타낼 수 있다. 이 그래프가 점 {2, 3}을 지나므로 x=2, y=3을 ①에 대입 하면
3=-2\2+b, b=7
따라서 구하는 일차함수의 식은 y=-2x+7이다.
y=-2x+7 예제1
일차함수의 그래프의 조건을 알 때, 그 일차함수의 식을 구할 수 있나요?
일차함수의 그래프의 기울기와 그래프가 지나는 한 점의 좌표를 알면 그 그래프가 나타내는 일차함수의 식을 구할 수 있다.
2
5.6 일차함수의 식 구하기 141
일차함수의 그래프가 지나는 서로 다른 두 점의 좌표를 알면 그 그래프가 나타내는 일차함수의 식을 구할 수 있다.
두 점 {1, 1}, {2, 3}을 지나는 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구하시오.
풀이│ 두 점 {1, 1}, {2, 3}을 지나는 직선의 기울기는 (기울기)=(y의 값의 증가량)
(x의 값의 증가량)=3-1 2-1=2
1=2 이므로 구하는 일차함수의 식은
y=2x+b …… ①
로 나타낼 수 있다. 이 그래프가 점 {1, 1}을 지나므로 x=1, y=1을 ①에 대입 하면
1=2\1+b, b=-1
따라서 구하는 일차함수의 식은 y=2x-1이다.
y=2x-1 예제2
다음 두 점을 지나는 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구하시오.
⑴ {1, 2}, {3, -2} ⑵ {0, 1}, {-2, 7}
⑶ {-1, 7}, {4, 2} ⑷ {2, 0}, {0, -6}
4
문제
일차함수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있나요?
일차함수를 활용하여 문제를 해결할 때에는 주어진 문제 상황에서 무엇을 두 변수 x, y로 정할지 결정하고, 두 변수 x와 y 사이의 관계를 일차함수의 식으로 나타내어 푼다.
주어진 문제를 다음 순서 ➊, ➋, ➌, ➍에 따라 해결해 보자.
3
기온이 0 !C일 때, 공기 중에서 소리의 속력은 초속 331 m이고, 기온이 1 !C 오를 때 마다 소리의 속력은 초속 0.6 m씩 증가한다고 한다. 기온이 20 !C일 때, 소리의 속력 은 초속 몇 m인지 구하시오.
➍ 확인하기 ➍ 구한 값이 문제의 뜻에 맞는지 확인한다.
기온이 20 !C 올라가면 소리의 속력은 초속 0.6\20=12 {m} 증가한다. 따라서 기온이 20 !C 일 때, 소리의 속력은 초속 331+12=343 {m}
이므로 ➌에서 구한 값이 문제의 뜻에 맞는다.
➊ 문제의 뜻에 맞는 수량 관계를 조사하여 두 변수 x, y를 정한다.
기온이 변함에 따라 소리의 속력이 하나씩 정해 지므로 기온이 x !C일 때의 소리의 속력을 초속 y m라고 하자.
➊ 두 변수 x, y 정하기
➋ 일차함수의 식 구하기 ➋ 두 변수 x와 y 사이의 관계를 일차함수의 식으로 나타낸다.
기온이 0 !C일 때 소리의 속력이 초속 331 m이 고, 기온이 1 !C 오를 때마다 소리의 속력이 초 속 0.6 m씩 증가하므로 기온이 x !C 오를 때 소 리의 속력은 초속 0.6x m 증가한다.
따라서 x와 y 사이의 관계를 식으로 나타내면 y=0.6x+331
이다.
➌ 구하려는 값 찾기 ➌ 일차함수의 식이나 그래프를 이 용하여 구하려는 값을 찾는다.
➋의 식에 x=20을 대입하면 y=0.6\20+331=343
따라서 기온이 20 !C일 때, 소리의 속력은 초속 343 m이다.
길이가 10 cm인 용수철은 추의 무게가 5 g 늘어날 때마다 길이가 2 cm씩 늘어난다고 한다. 이 용수철에 무게가 9 g인 추를 달았을 때, 용수철의 길이를 구하시오.
5
문제
5.6 일차함수의 식 구하기 143
이 시간에 배운 내용
스스로 해결하기
다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
기울기가 a, y절편이 b인 직선을 그래프로 하는 일 차함수의 식은 이다.
1
x절편이 -1이고, y절편이 2인 직선을 그래프로 하는 일 차함수의 식을 구하시오.
3
x절편이 -2이고 점 {2, 1}을 지나는 직선을 그래프로 하 는 일차함수의 식을 구하시오.
4
다음 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구하시오.
⑴ 기울기가 2이고, y절편이 -5인 직선
⑵ 점 {1, -4}를 지나고, 기울기가 3인 직선
⑶ 두 점 {-1, 3}, {1, -5}를 지나는 직선
2
100원짜리 동전 한 개의 무게는 5.42`g이고, 무게가 200 g 인 저금통에 100원짜리 동전만 모으려고 한다. 100원짜리 동전을 x개 넣었을 때의 저금통의 무게를 y g이라고 할 때, 물음에 답하시오.
⑴ x와 y 사이의 관계를 식으로 나타내시오.
⑵ 저금통의 무게가 1826 g이 되는 것은 100원짜리 동 전을 몇 개 모았을 때인지 구하시오.
5
오른쪽 그림과 같은 직사 각형 ABCD에서 점 P는 점 B를 출발하여 점 C까 지 BCZ를 따라 1초에
3 cm씩 움직인다. 점 P가 점 B를 출발한 지 x초 후의 사 다리꼴 APCD의 넓이를 y cm@라고 할 때, 사다리꼴 APCD의 넓이가 84 cm@가 되는 것은 점 P가 점 B를 출 발한 지 몇 초 후인지 구하고, 그 풀이 과정을 쓰시오.
6 과정을 다지는 문제
A
B C
18`cm D 8`cm
P
수학자의 명언 완성하기
● 다음 문항의 안에 들어갈 수 또는 말과 짝 지어진 글자를 문항 번호에 맞게 써넣 어 수학자의 명언을 완성해 보자.
●갈릴레이{Galilei, Galileo, 1564~1642}
1 2 이라는 커다란 3 은
그곳에 씌어 있는 4 5 를 아는 사람만이 읽을 수 있다.
그 언어는 6 7 이다.
[출처: 케이스 데블린 (전대호 역), 『수학의 언어』]
갈릴레이
문항 답 글자
1 y가 x의 일차식으로 나타내어지는 함수를 라고 한다.
일차함수 자
방정식 만
2 일차함수 f{x}=2x-1에서 f{3}= 이다. 4 물
5 연
3 일차함수 y=3x+1의 그래프는 일차함수 y=3x의 그래프 를 y축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.
-1 산
1 책
4 일차함수 y=2x-12의 그래프의 x절편은 이다. -6 규
6 언
5 일차함수 y=2x+1의 그래프의 기울기는 이다. 2 어
-2 칙
6 기울기가 같은 두 일차함수의 그래프는 서로 하거 나 일치한다.
수직 과
평행 수
7 기울기가 -2이고 점 {1, 1}을 지나는 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식은 y=-2x+ 이다.
-3 식
3 학
문항 답 글자
5.6 일차함수의 식 구하기 145
위의 표를 완성해 보자.
위의 표에서 x, y의 값의 순서쌍 {x, y}를 좌표로 하
2 -4
4 6
4 x y
-2 -2
2
O 는 점을 오른쪽 좌표평면 위에 나타내 보자.
활동 1
활동 2
x+y-4=0의 해를 좌표평면 위에 나타내기
일차방정식의 해를 좌표평면 위에 나타낼 수 있나요?
생각 열기에서 x, y의 값이 정수일 때, 미지수가 2개인 일차방정식 x+y-4=0의 해를 구하여 순서쌍으로 나타내면
y, {-2, 6}, {-1, 5}, {0, 4}, {1, 3}, {2, 2}, y 이다.
1
일차함수와 일차방정식
57
•일차함수와 미지수가 2개인 일차방정식의 관계를 이해한다.학│습│목│표
•직선의 방정식 학│습│요│소
좌표평면 위에 나타내면 ….
예나는 미지수가 2개인 일차방정식 x+y-4=0의 해 {x, y}를 좌표로 하는 점을 좌표평면 위에 나타내기 위해 다음과 같은 표를 만들었습니다. 이때 좌표평면 위에 나타나는 점들을 생각해 봅시다.
x -2 -1 0 1 2
y
