Ⅳ 좌표평면과 그래프 좌표평면과 그래프

(1)

망망대해를 항해하는 배의 위치를 위도와 경도로 나타내면 편리하다.

Ⅳ ^{좌표평면과 그래프} ^{좌표평면과 그래프} ¹ ³

^{순서쌍과 좌표}^정비례

² ⁴

^그래프^반비례

109138중등수학류희찬교과서1-04(4).indd 109 2017-04-26 오후 3:20:32

(2)

1

어떤 텔레비전 화면의 가로의 길이와 세로의 길이의 비 가 16`:`9라고 한다. 가로의 길이가 80`cm일 때, 세로 의 길이를 구하시오.

비와 비례식 초 5~6

3

다음을 문자를 사용한 식으로 나타내시오.

⑴ 한 장에 300원 하는 우표 x장의 값

⑵ 밑변의 길이가 x`cm이고 높이가 4`cm인 삼각형의 넓이

문자를 사용한 식 중 1

4

x=-2일 때, 다음 식의 값을 구하시오.

⑴ 3x-2 ⑵ -x+5` ⑶ ;[@;

식의 값 중 1

2

다음 물음에 답하시오.

⑴ 수직선 위의 두 점 A, B에 대응하는 수를 말하시오.

⑵ -2, ;4%; 를 수직선 위에 나타내시오.

정수와 유리수 중 1

-3 -2 -1 0 3

A B

1 2

80 cm

되짚어 보기

▶` 비율이 같은 두 비를 등호를

사용하여 나타낸 식을 비례 식이라고 한다.

▶` 문자에 수를 대입하여 계산

한 결과를 그 식의 값이라고 한다.

이전에 배운 내용의 이해도를 표시해 보세요.

0 50 100

110

Ⅳ. 좌표평면과 그래프

(3)

남태평양에 위치한 투발루는 인구 만 명 정도의 섬나라로 작은 섬들로 이루어져 있다. 그러나 지구 온난화에 의한 해수면 상승으로 투발루의 섬 중 여러 개가 이미 바닷속에 잠길 정도로 국토의 안위를 위협 받는 실정이다.

기후 변화로 인한 해안선의 변화는 투발루뿐만 아니라 지구 곳곳에서 발생하고 있으며, 여러 섬 나라들이 지도에서 사라질 위기에 처해 있다. 전 세계 기상학자들은 지구 평균 해수면 높이의 추 이를 그래프로 나타내어 미래 해수면 높이를 예 측함으로써 그 피해를 줄이고자 노력하고 있다.

150 100 50

-50 -100 -150 0

1870 1890 1910 1930 1950 1970 1990 2010 (mm)

(년)

사라지고 있는 섬나라, 투발루

단원을 시작하며

이 단원에서는 해수면의 높이 변화와 같은 다양한 상황을 표, 식, 그래프 등으 로 나타내고, 이를 해석하는 방법을 알아본다.

지구 평균 해수면 높이의 추이

(동아일보, 2012년 8월 13일; 한국학중앙연구원, 2016년) (Sustainability Science, 2008년)

단원을 시작하며

111

(4)

탐구 학습

점의 위치는 어떻게 나타내나요?

열기 동서로 뻗은 도로변에 다음과 같이 병원, 도서관, 학교, 편의점, 집이 차례로 있다.

다지기 점 A, B, O, C, D에 대응하는 수는 각각 -3, -1, 0, 1.5, 3.5이므로 이 점들의 위치를 수직선 위에 나타내면 다음과 같다.

키우기 평면 위의 점의 위치는 어떻게 나타낼까?

개념 확인

수직선 위의 한 점에 대응하는 수를 그 점의 좌표라 하고, 수 a가 점 P의 좌표 일 때, 이것을 기호로 P(a)와 같이 나타낸다. 탐구 학습의 수직선에서 점 A, B, O, C, D의 좌표는 각각 -3, -1, 0, 1.5, 3.5이고 이것을 기호로 나타내면 A(-3), B(-1), O(0), C(1.5), D(3.5)이다.

수직선과 좌표

순서쌍과 좌표

순서쌍과 좌표를 이해한다.

영화관에서 좌석 번호는 D3, D4와 같이 알파벳과 숫자로 나타낸다.

우리 자리가 저기구나.

서쪽 동쪽

도서관 집

병원 학교

2 km 1 km 1.5 km 2 km 편의점

병원, 도서관, 학교, 편의점, 집을 각각 점 A, B, O, C, D라 하고, 학교와 도서관의 위치를 각각 수직선의 0, -1에 대응시킬 때, 이 점들의 위치를 수직선 위에 나타내 보자.

-4 -3 -2 -1 0 4

B O

1 1.5 2 3 3.5

112

109138중등수학류희찬교과서1-04(4).indd 112 2017-07-13 오전 11:08:51

(5)

다음 수직선 위의 세 점 A, B, C의 좌표를 말하고, 이것을 각각 기호로 나타내시오.

문제

1

-5 -4 -3 -2 -1 0 4 5

A B C

1 2 3

지도상의 위치는 경도와 위도를 사용하여 나타낼 수 있다. 예를 들어 동경 128ù, 북위 37ù에 있는 충주의 위치를 (동경, 북위)를 사용하여 (128, 37)과 같이 나타 낼 수 있다.

이처럼 두 수의 순서를 정하여 짝 지어 나타낸 것을 순서쌍이라고 한다.

이제 평면 위의 점의 위치를 순서쌍을 사용하여 나타내는 방법을 알아보자.

오른쪽 그림과 같이 두 수직선이 점 O에서 수직 으로 만날 때, 가로의 수직선을 x축, 세로의 수직선을 y축이라 하고, 이 두 축을 통틀어 좌표축이라고 한다.

또, 두 좌표축이 만나는 점 O를 원점이라고 한다.

이처럼 좌표축이 정해져 있는 평면을 좌표평면이라 고 한다.

좌표평면 위의 한 점 P에서 x축, y축에 각각 수선 을 그어 이 수선과 x축, y축이 만나는 점에 대응하 는 수를 각각 a, b라고 할 때, 순서쌍 (a,`b)를 점 P 의 좌표라 하고, 이것을 기호로`

P(a, b) 와 같이 나타낸다.

이때 a를 점 P의 x좌표, b를 점 P의 y좌표라고 한다.

순서쌍과 좌표평면

y좌표 x좌표 y

x b

O a

P(a, b) 순서쌍은 두 수의 순서를

생각한 것이므로 (128, 37), (37, 128) 은 서로 다르다.

좌표평면에서 원점 O의 좌 표는 (0, 0)이다.

y

x 4

2

-2 O 2 4

-4

-4 -2

y축 x축

원점

개념 확인 _{반드시 x좌표를}

y좌표 앞에 써야 해.

1. 순서쌍과 좌표

113

(6)

개념 확인

다음 점은 제몇 사분면 위의 점인지 말하시오.

⑴ A(2, 1) ⑵ B(-3, 2)

⑶ C(4, -3) ⑷ D(-1, -4) 문제

3

오른쪽 좌표평면을 보고, 물음에 답하시오.

⑴ 세 점 A, B, C의 좌표를 각각 기호로 나타내시 오.

⑵ 세 점 P(0, 3), Q(1, -2), R(-4, 4)를 좌표평 면 위에 각각 나타내시오.

문제

2

^y

x 4

2

-2 O 2

A

B

C

4 -4

-4 -2

우리 생활 주변에서 좌표처럼 위치를 나타내는 예를 모둠별로 찾아보고, 수직선이나 좌표 평면 위에 나타내는 방법을 이야기하여 보자.

의사소통

사분면

좌표축 위의 점은 어느 사 분면에도 속하지 않는다.

오른쪽 그림과 같이 좌표평면은 좌표축에 의하여 네 부분으로 나누어진다. 이때 네 부분을 각각

제 1 사분면, 제 2 사분면, 제 3 사분면, 제 4 사분면 이라고 한다. 각 사분면 위에 있는 점의 x좌표와 y좌표 의 부호는 다음과 같다.

y

x 제2사분면 제1사분면

제3사분면 제4사분면 O

제 1 사분면 제 2 사분면 제 3 사분면 제 4 사분면

x좌표의 부호 + - - +

y좌표의 부호 + + - -

y

O

x

(-, +) (+, +) (-, -) (+, -)

114

(7)

3

다음 점의 좌표를 구하시오.

⑴ x좌표가 2이고, y좌표가 -1인 점

⑵ x축 위에 있고, x좌표가 -2인 점

⑶ y축 위에 있고, y좌표가 3인 점

5

점 P(a, b)가 제 3 사분면 위의 점일 때, 다음 점은 제몇 사분면 위의 점인지 말하시오.

⑴ A(a, -b) ⑵ B(b, a)

⑶ C(-a, -b) ⑷ D(ab, a+b)

4

좌표평면 위의 네 점 A(2, -3), B(5, -4), C(5, 1), D(2, 1)을 꼭짓점으로 하는 사각형 ABCD의 넓이를 구하시오.

6

^{발전 문제}

좌표평면 위의 두 점

P{a-1,` ;2!;a+3}, Q(b-3, b+2)는 각각 x축, y축 위의 점이다. 이때 a+b의 값을 구하시오.

1

세 점 P(4), Q{-;3!;}, R{;2%;}를 다음 수직선 위에 나 타내시오.

-2 -1 0 1 2 3 4 5

2

다음 점을 오른쪽 좌표평면 위에 나타내시오.

⑴ A(4, 1)

⑵ B(2, -2)

⑶ C(-1,`-3)

⑷ D(-3, 4)

y

x 4

2

-2 O 2 4 -4

-4 -2

정답 및 풀이 293쪽

스스로 확인하기

이 단원의 이해도를 표시해 보세요.

0 50 100 1. 순서쌍과 좌표

115

(8)

탐구 학습

다양한 상황을 그래프로 어떻게 나타내나요?

열기 원기둥 모양의 빈 물통에 수면의 높이가 매분 2`cm씩 올라가도 록 물을 넣는다고 한다. 물을 넣기 시작한 지 1분, 2분, 3분, 4분, 5분 후의 수면의 높이가 어떻게 변하는지 알아보자.

다지기 물을 넣기 시작한 지 x분 후의 수면의 높이를 y cm라고 할 때, 1분, 2분, 3분, 4분, 5분 후 의 수면의 높이는 다음 표와 같다.

키우기 x, y 사이의 관계를 시각적으로 어떻게 나타낼 수 있을까?

탐구 학습의 표에서 x의 값이 1, 2, 3, 4, 5로 변함에 따라 y의 값이 2, 4, 6, 8, 10으로 정해진다. 이때 x, y와 같이 변하는 여러 가지 값을 나타내는 문자를 변수라고 한다.

위의 표에서 x의 값을 x좌표, y의 값을 y좌표로 하는 순 서쌍 (x, y)는

(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10) 이고, 이 순서쌍을 좌표로 하는 점들을 좌표평면 위에 나 타내면 오른쪽 그림과 같다.

x 1 2 3 4 5

y 2 4 6 8 10

따라서 물을 넣기 시작한 지 1분, 2분, 3분, 4분, 5분 후의 수면의 높이는 각각 `cm, `cm,

`cm, `cm, `cm로 시간이 흐를수록 수면의 높이가 일정하게 높아지고 있다.

y

x 2

4 6 8 10

O 2 4

그래프

다양한 상황을 그래프로 나타내고, 주어진 그래프를 해석할 수 있다.

거짓말 탐지기는 검사를 받는 사람의 신체 기능의 변화를 그래프로 보여 준다.

그래프

나 거짓말 안 했어!

116

(9)

이처럼 서로 관계가 있는 두 변수 x, y의 순서쌍 (x, y)를 좌표로 하는 점을 좌 표평면 위에 모두 나타낸 것을 그래프라고 한다. 이때 그래프는 점, 직선, 곡선 등 으로 나타날 수 있다.

예제

1

x의 값에 따른 y의 값을 구하여 표를 완성하면 다음과 같다.

위의 표를 순서쌍 (x,`y)로 나타내면 (1, 24), (2, 18), (3, 12), (4, 6), (5, 0) 이고, 두 변수 x, y 사이의 관계를 그래프로 나 타내면 오른쪽 그림과 같다.

풀이 세계에서 가장 높은 산은

에베레스트산으로 높이가 8848 m이다.

x 1 2 3 4 5

y 24 18 12 6 0

x 1 2 3 4 5

y 24

y

x 6

12 18 24 30

O 2 4 6

x 3 4 5 6 7 8

y 1

승빈이가 3세일 때 동생이 1세이었다. 승빈이의 나이가 x세일 때, 동생의 나이를 y세라고 하자. 다음 표를 완성하고, 두 변수 x, y 사이의 관계를 그래프로 나타내시오.

문제

1

O 2

2 4 6 8

4 6y

x

| 그래프 그리기



풀이 참조 산에서 높이가 1`km씩 높아질 때마다 기온은 6`¾

씩 내려간다고 한다. 산에서 지면으로부터의 높이가 x`km인 지점의 기온을 y`¾라고 할 때, 다음 표를 완성하고, 두 변수 x, y 사이의 관계를 그래프로 나타 내시오. (단, 지면의 기온은 30`¾이다.)

2. 그래프

117

(10)

오른쪽 그림은 등굣길에 민호가 준비물을 집에 놓고 와서 집으로 되돌아갔다가 다시 학 교로 가는 상황을 그래프로 나타낸 것이다. 민 호가 집에서 출발한 지 x분 후 집으로부터 떨 어진 거리를 y km라고 할 때, 두 변수 x, y 사 이의 관계를 나타낸 그래프에서 알 수 있는 사 실을 정리하면 다음과 같다.

이처럼 일상 언어, 표 등 다양한 상황을 그래프로 나타내면 두 변수 사이의 변 화 관계, 즉 증가와 감소, 주기적 변화 등을 쉽게 알아볼 수 있다.

주어진 그래프를 통해 무엇을 알 수 있나요?

오른쪽 그림은 지면에서 수직 방향으로 쏘아 올린 공의 x초 후 지면으로부터의 높이를 y`m라고 할 때, 두 변수 x, y 사 이의 관계를 그래프로 나타낸 것이다. 물음에 답하시오.

⑴ 수직 방향으로 쏘아 올린 공이 다시 지면으로 떨어 지는 데 걸리는 시간은 몇 초인지 구하시오.

⑵ x의 값이 변화할 때, y의 값의 변화를 설명하시오.

예제

2 | 그래프 해석하기

6

4

2

2 4

y

O x

그래프의 해석

⑴ 수직 방향으로 쏘아 올린 지 4초 후에 다시 공이 지면으로 떨어진다.

⑵ 수직 방향으로 쏘아 올린 지 2초 후까지 공의 높이는 지면으로부터 5`m 높이까지 높아지다가 수직 방향으로 쏘아 올린 지 2초 후부터 4초 후까 지 공의 높이는 지면으로부터 5`m 높이에서 지면까지 낮아진다.

⑴ 4초 후 ⑵ 풀이 참조 풀이

O 5 9 11 17

0.3 1 y

x

•처음 5분 동안 집에서 0.3`km 떨어진 지점까지 갔다.

•집으로 되돌아가는 데 걸린 시간은 4분이다.

•집에서 머문 시간은 2분이다.

•다시 집에서 출발하여 6분 만에 1`km 떨어진 학교까지 갔다.

118

(11)

오른쪽 그림은 새벽에 윤서네 집 냉장고의 냉장실의 온도를 측정하기 시작한 지 x분 후의 온도를 y`¾라고 할 때, 두 변수 x, y 사이의 관계를 그래프로 나타낸 것이다. 물 음에 답하시오.

⑴ 냉장실의 온도가 가장 높을 때는 몇 ¾인지 구하시오.

⑵ 온도를 측정하기 시작한 지 몇 분 후에 처음으로 냉장실의 온도가 1`¾가 되는지 구하시오.

⑶ 냉장실의 온도가 내려가다가 다시 올라가기를 몇 분 간격으로 반복하고 있 는지 구하시오.

예제

3 | 그래프 해석하기

O 2 4 6

30 60 90 120 150 x y

⑴ 그래프에서 y의 값이 가장 클 때가 온도가 가장 높을 때이므로 냉장실의 온도가 가장 높을 때의 온도는 6`¾이다.

⑵ 그래프에서 온도가 처음으로 1`¾가 될 때의 점의 좌표는 (15, 1)이므로 냉장실의 온도를 측정하기 시작한 지 15분 후이다.

⑶ 처음 냉장실의 온도 6`¾에서 15분 동안 온도가 내려가다가 다시 15분 동안 올라가기를 반복하고 있으므로 냉장실의 온도는 30분 간격으로 내 려가다가 다시 올라가기를 반복하고 있다.



⑴ 6`¾ ⑵ 15분 후 ⑶ 30분 풀이

오른쪽 그림은 어떤 경비행기가 이륙하기 위해 활주로를 달 리기 시작한 지 x분 후의 고도를 y`km라고 할 때, 두 변수 x, y 사이의 관계를 그래프로 나타낸 것이다. 물음에 답하시오.

⑴ 경비행기가 활주로를 달린 시간은 몇 분인지 구하 시오.

⑵ 경비행기는 활주로를 달리기 시작한 지 몇 분 후에 고도가 2`km가 되는지 모두 구하시오.

⑶ x의 값이 변화할 때, y의 값의 변화를 설명하시오.

문제

2

₂

1.6

1.2

0.8

0.4

2 4 6 8 10 12 14 O

y

x

2. 그래프

119

(12)

다음 그림은 어떤 자동차가 출발한 지 x분 후의 속력을 시속 y`km라고 할 때, 두 변수 x, y 사이의 관계를 그래프로 나타낸 것이다. 이 자동차가 달린 상황을 모둠별로 설명하여 보자.

정보 처리

다음 그림은 세정이가 반지름의 길이가 20`m인 원 모양의 대관람차에 탑승한 지 x분 후 지면으로부터 세정이가 탄 관람차의 높이를 y`m라고 할 때, 두 변수 x, y 사이의 관계를 그래프로 나타낸 것이다. 물음에 답하시오. (단, 탑승한 관람차는 3바퀴를 돌고 멈춘다.)

O 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 10

20 30 40 y

x

⑴ 세정이가 탄 관람차가 지면으로부터 가장 높은 곳에 있을 때의 높이를 구하시 오.

⑵ 세정이가 탄 관람차의 지면으로부터의 높이가 35`m일 때는 탑승하고 몇 분 후 인지 모두 구하시오.

⑶ 세정이가 탄 관람차가 2바퀴를 돌아 처음 위치에 돌아오는 것은 탑승하고 몇 분 후인지 구하시오.

문제

3

O 10 20 30 40 50 60 70 80 20

40 60 80 y

x

120

(13)

1

다음 표는 시각이 x시일 때, 기온을 y`¾라고 하여 어느 지역의 하루 동안의 기온을 나타낸 것이다. 두 변수 x,`y 사이의 관계를 그래프로 나타내시오.

3

다음 그림은 지원이가 자전거를 x분 동안 탔을 때, 소모 되는 열량을 y`kcal라 하고 두 변수 x, y 사이의 관계를 그래프로 나타낸 것이다. 자전거를 30분 동안 탔을 때 소 모되는 열량을 구하시오.

x 3 6 9 12 15 18 21 24

y -2 -3 -1 3 5 2 0 -1

O 2

-2

-4 4 y

3 6 9 12 15 18 21 24 x

스스로 확인하기

2

한 변의 길이가 x`cm인 마름모의 둘레의 길이를 y`cm 라고 하자. x의 값이 1, 2, 3, 4, 5일 때, y의 값을 구하고 두 변수 x,`y 사이의 관계를 그래프로 나타내시오.

O 4 8 12 16 20y

1 2 3 4 5 x O

100 80 60 40 20

10 15

5 20 25 30 35 40 x y

4

^창의^•^융합

다음 그림은 이산화 탄소의 농도가 일정한 실내에서 온 도가 x`¾일 때, 어떤 식물이 만들어 내는 산소량을 y`mL라 하고 두 변수 x, y 사이의 관계를 그래프로 나 타낸 것이다. 온도와 식물이 만들어 내는 산소량 사이의 관계를 설명하시오.

O y

20 x 200 400 600

40 60

0 50 100 2. 그래프

121

(14)

다음 순서쌍을 좌표로 하는 점을 좌표평면 위에 나타내고, 차례로 점을 연결하여 그림을 완성하여 보자.

숨어 있는 그림을 찾아라!

(-5, 2) (-11, 3) (-13, 4) (-9, 6) (-3, 7) (1, 10) (0, 7) (10, 3) (13, 8) (12, 3) (13, 0) (10, 1) (2, -1) (2, -3) (0, -1) (-6, 0) (-9, 1) (-5, 2) (0, 1) (2, 2) (3, 1) (10, 1)

놀이

& 수학

122

(15)

나도 웃어야지.

탐구 학습

정비례는 무엇인가요?

열기 은희는 1개에 500원인 사탕을 구입하려고 한 다. 구입하는 사탕의 수가 2개, 3개, 4개, …로 변함에 따라 전체 가격은 어떻게 변하는지 말 하여 보자.

다지기 구입하는 사탕의 수에 따른 전체 가격은 다음 표와 같다.

키우기 사탕의 수와 전체 가격은 어떤 관계가 있을까?

일반적으로 변하는 두 양 x, y에서 x의 값이 2배, 3배, 4배, …로 변함에 따라 y의 값도 2배, 3배, 4배, …로 변하는 관계가 있으면 x와 y는 정비례한다고 한다.

탐구 학습에서 구입하는 사탕의 수를 x개, 전체 가격을 y원이라고 하면 x와 y 사이의 관계를 다음 표와 같이 나타낼 수 있다.

x 1 2 3 4 …

y 500_1 500_2 500_3 500_4 …

2배 3배 4배

2배 3배

4배

사탕의 수 (개) 1 2 3 4 y

전체 가격(원) 500 1000 y

즉, 구입하는 사탕의 수가 2개, 3개, 4개, …로 변함에 따라 전체 가격은 1000원, 1500원, 2000원, …으로 변한다는 것을 알 수 있다.

정비례

정비례 관계를 이해하고, 그 관계를 표, 식, 그래프로 나타낼 수 있다.

사람이 1분 정도 웃으면 약 4 kcal의 열량을 소모하는 것으로 알려져 있다.

정비례

(이상훈, “유머로 시작하라”)

3. 정비례

123

(16)

여기서 x와 y는 정비례하고, x와 y 사이의 관계식은 y=500x이다.

일반적으로 x와 y가 정비례하면 x와 y 사이의 관계식은 y=ax(단, a+0)로 나 타내어진다.

은솔이는 아침마다 친구들과 공원에서 달리기를 한다. 은솔이가 분속 180 m로 x분 동안 달린 거리를 y m라고 할 때, 물음에 답하시오.

⑴ 표를 완성하시오.

문제

1

다음에서 x와 y 사이의 관계식을 구하시오.

⑴ 한 사람당 3000원씩 x명이 모은 불우 이웃 돕기 성금 y원

⑵ 한 변의 길이가 x`cm인 정오각형의 둘레의 길이 y`cm 문제

2

예제

1 | x와 y 사이의 관계식 구하기

⑴ 표를 완성하면 다음과 같다.

풀이

x 1 2 3 4 y

y y

x 1 2 3 4 y

y 6 12 18 24 y

x 1 2 3 4 y

y y

⑵ x와 y 사이의 관계식을 구하시오.

⑵ 드론은 1초에 6`m씩 움직이므로 x초 동안 6x`m 움직인다.

따라서 x와 y 사이의 관계식은 y=6x이다.

충근이가 공원에서 조종하는 드론은 초속 6 m로 움직이고 있다. x초 동안 드론이 움 직인 거리가 y m일 때, 물음에 답하시오.



⑴ 풀이 참조 ⑵ y=6x

124

(17)

탐구 학습

y=ax(단, a+0)의 그래프는 어떻게 그리나요?

열기 y=2x일 때, 다음 표를 완성하고, 표에서 x의 값을 x좌표, y의 값을 y좌표로 하는 순서쌍 (x, y)를 좌표로 하는 점을 좌표평면 위에 나타내 보자.

다지기 표를 완성하면 다음과 같다.

키우기 x의 값이 수 전체이면 어떤 그래프가 그려질까?

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y -6 -4 -2 0

y=2x에서 x의 값의 간격을 점점 작게 하여 얻어지는 순서쌍들을 좌표로 하는 점을 좌표평면 위에 나타내면 〈그림 1〉과 같이 직선에 가까운 형태가 된다. 이를 x의 값이 수 전체일 때까지 계속하면 〈그림 2〉와 같이 원점 O를 지나는 직선 이 된다.

이 직선을 y=2x의 그래프라고 한다.

y

O 2 x 2

-2

-4 4

-2

y

O 2 x 2

-2

-4 4

-2

〈그림 1〉〈그림 2〉

y=ax의 그래프 그리기⑴

y=ax(단, a+0)에서 x의 값이 정해져 있지 않을 때 에는 x의 값이 수 전체일 때로 생각한다.

이때 표에서 얻어지는 순서쌍 (x, y)를 좌표로 하는 점을 좌표 평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

y

O 2 x 2

-2

-4 4

-2

3. 정비례

125

(18)

y=-2x의 그래프를 그리시오.

예제

2 | y=ax의 그래프 그리기

y=-2x일 때, x와 y 사이의 관계를 표로 나타내면 다음과 같다.

풀이

일반적으로 y=ax(단, a+0)의 그래프는 항상 원점을 지나는 직선이라는 것을 알 수 있다. 따라서 y=ax(단, a+0)의 그래프는 원점 O와 이 그래프가 지나는 또 다른 한 점을 찾아 직선으로 이으면 쉽게 그릴 수 있다.

y=ax의 그래프 그리기⑵

개념 확인

원점과 점 (4, 3)을 이으면 되겠네.

x … -2 … -1 … 0 … 1 … 2 …

y … 4 … 2 … 0 … -2 … -4 …

다음 식의 그래프를 오른쪽 좌표평면 위에 그리시오.

⑴ y=4x ⑵ y=-;2!;x

문제

3

^y

x 4

2

-2 O 2 4

-4

-4 -2



풀이 참조 위의 표에서 얻어지는 순서쌍

(-2, 4), (-1, 2), (0, 0), (1, -2), (2, -4) 를 좌표로 하는 점을 좌표평면 위에 나타내면 오 른쪽 그림의 점들이 된다. 따라서 x의 값이 수 전 체일 때, y=-2x의 그래프는 이 점들을 모두 지나는 직선이다.

y

O 2 x 2

-2

-4 4

-2

x=4일 때 y=;4#;_4=3이잖아.

컴퓨터 프로그램을 이용하 면 y=-2x의 그래프를 다음과 같이 그릴 수 있다.

126

(19)

⑴ y=;2!;x ⑵ y=-;3@;x

문제

4

^y

x 4

2

-2 O 2 4

-4

-4 -2

다음은 성준이가 아래 그래프를 보고 잘못 말한 것이다. 성준이의 말이 틀린 이유를 설명하여 보자.

오류 찾기

y=ax의 그래프가 다음과 같을 때, a의 값을 구하시오.

문제

5

y

x 2

4

-2

-4 O 2 4

-2

-4

y

x 4

2

-2 O 2 4

-4

-4 -2

⑴ ⑵

y

-2 O 2 4x

-4 -2 4 2

-4

직선이니까 y=ax(단, a+0)의

그래프야.

3. 정비례

127

(20)

2

⑴ 고양이 x마리의 총 다리의 수 y개

⑵ 1분에 16장을 인쇄할 수 있는 프린터로 x분 동 안 인쇄할 수 있는 종이의 수 y장

4

다음 식의 그래프는 제몇 사분면을 지나는지 말하시오.

⑴ y=;2%;x ⑵ y=-;4#;x

6

^{발전 문제}

오른쪽 그림에서 y=ax의 그래 프가 삼각형 AOB의 넓이를 이 등분할 때, a의 값을 구하시오.

O A

B 8

10 x

y y=ax

5

오른쪽 그림과 같이 y=ax의 그래프가 두 점 (-3, 4)와 (b, -1)을 지날 때, a+b의 값 을 구하시오.

y=ax y

b x O

4

-3 -1

스스로 확인하기

1

x와 y가 정비례할 때, 다음 표를 완성하시오.

x 2 4 8 10

y 5 20

3

^창의^•^융합

휘발유 1`L로 20`km를 달릴 수 있는 자동차가 있다. 이 자동차가 x`L의 휘발유로 달릴 수 있는 거리를 y`km라 고 할 때, 물음에 답하시오.

O 1 2 3 4 5 20

40 60 80y

x

x 0 … 1 … 2 … 3 …

y … … … …

⑵ x와 y 사이의 관계식을 구하시오.

⑶ ⑵에서 구한 관계식을 그래프로 나타내시오.

0 50 100

128

(21)

탐구 학습

반비례는 무엇인가요?

열기 영수는 무게가 600`g인 케이크를 같은 크기로 나누려고 한다.

케이크 조각의 수가 2개, 3개, 4개, …로 변함에 따라 1조각의 무 게는 어떻게 변하는지 말하여 보자.

다지기 나눈 케이크 조각의 수에 따른 1조각의 무게는 다음 표와 같다.

키우기 케이크 조각의 수와 1조각의 무게는 어떤 관계가 있을까?

일반적으로 변하는 두 양 x,``y에서 x의 값이 2배, 3배, 4배, …로 변함에 따라 y의 값이 ;2!;배, ;3!;배, ;4!;배, …로 변하는 관계가 있으면 x와 y는 반비례한다고 한다.

탐구 학습에서 나눈 케이크 조각의 수를 x개, 1조각의 무게를 y g이라고 하면 x와 y 사이의 관계를 다음 표와 같이 나타낼 수 있다.

반비례

반비례 관계를 이해하고, 그 관계를 표, 식, 그래프로 나타낼 수 있다.

헬륨 풍선이 높은 곳에 올라가면 대기압이 낮아지면서 풍선 안의 기체의 부피가 커진다.

x 1 2 3 4 …

y 600 600_;2!; 600_;3!; 600_;4!; …

2배 3배 4배

;2!;배

;3!;배

;4!;배

조각의 수 (개) 1 2 3 4 y

1조각의 무게(g) 600 300 y

즉, 케이크 조각의 수가 2개, 3개, 4개, …로 변함에 따라 1조각의 무게는 300`g, 200`g, 150`g, …으로 변한다는 것을 알 수 있다.

이 정도 높이에서 터지진 않겠지?

반비례

(정완상, “보일이 들려주는 기체 이야기”)

4. 반비례

129

(22)

⑴ 주스 15`L를 x명이 똑같이 나누어 마셨을 때, 한 사람이 마신 주스의 양 y`L

⑵ 넓이가 18`cmÛ`인 삼각형의 밑변의 길이가 x`cm일 때, 높이 y`cm 문제

2

여기서 x와 y는 반비례하고, x와 y 사이의 관계식은 y= 600x 이다.

일반적으로 x와 y가 반비례하면 x와 y 사이의 관계식은 y=;[A;(단, a+0)로 나 타내어진다.

대현이는 새로 구입한 300쪽의 책을 하루에 x쪽씩 읽어 y일 동안 모두 읽으려고 할 때, 물음에 답하시오.

문제

1

진경이는 젤리 120개를 구입하여 하루에 x개씩 y일 동안 모두 먹으려고 할 때, 물음 에 답하시오.

예제

1 | x와 y 사이의 관계식 구하기

⑴ 표를 완성하면 다음과 같다.

풀이



⑴ 풀이 참조 ⑵ y=;:![@:);

x 1 2 3 4 y

y y

x 1 2 3 4 y

y 120 60 40 30 y

x 1 2 3 4 y

y y

⑵ 젤리 120개를 하루에 x개씩 y일 동안 모두 먹으려고 하므로 xy=120 이다.

따라서 x와 y 사이의 관계식은 y=;:![@:);이다.

130

(23)

y= ;[A;(단, a+0)의 그래프는 어떻게 그리나요?

탐구 학습

열기 y=;[^;일 때, 다음 표를 완성하고, 표에서 x의 값을 x좌표, y의 값을 y좌표로 하는 순서쌍 (x, y)를 좌표로 하는 점을 좌표평면 위에 나타내 보자.

다지기 표를 완성하면 다음과 같다.

x -6 -3 -2 -1 1 2 3 6

y

y=;[^;에서 x의 값의 간격을 점점 작게 하여 얻어지는 순서쌍들을 좌표로 하는 점을 좌표평면 위에 나타내면 〈그림 1〉과 같이 한 쌍의 곡선에 가까운 형태가 된 다. 이를 x의 값이 0을 제외한 수 전체일 때까지 계속하면 〈그림 2〉와 같이 좌표 축에 가까워지면서 한없이 뻗어 나가는 한 쌍의 매끄러운 곡선이 된다.

이 한 쌍의 매끄러운 곡선을 y=;[^;의 그래프라고 한다.

O 2 4

-4 -2 4 2

-2 -4

O 2 4

-4 -2 4 2

-2 -4

y y

x x

〈그림 1〉〈그림 2〉

y=;[A;(단, a+0)에서 x의 값이 정해져 있지 않을 때 에는 x의 값이 0을 제외한 수 전체일 때로 생각한다.

x -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 y -1 -2 -3 -6

키우기 x의 값이 0을 제외한 수 전체이면 어떤 그래프가 그려질까?

이때 표에서 얻어지는 순서쌍 (x, y)를 좌표로 하 는 점을 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

O 2 4

-4 -2 4

2

-2 -4

y

x

y=;[A;의 그래프 그리기

4. 반비례

131

(24)

⑴ y=;[$; ⑵ y=-;[$;

문제

3

^y

x 4

2

-2 O 2 4

-4

-4 -2

y=-;[^;의 그래프를 그리시오.

예제

2 | y=

;[A;의 그래프 그리기

y=-;[^;일 때, x와 y 사이의 관계를 표로 나타내면 다음과 같다.

풀이



풀이 참조

다음은 두 학생이 정비례와 반비례 관계가 성립하는 예를 말한 것이다. 정비례와 반비례 관계 가 성립하는 실생활 예를 찾아보고, 그 예가 적절한지 친구들과 이야기하여 보자.

의사소통 x … -6 … -3 … -2 … -1 … 1 … 2 … 3 … 6 … y … 1 … 2 … 3 … 6 … -6 … -3 … -2 … -1 …

성호 세진

위의 표에서 얻어지는 순서쌍

(-6, 1), (-3, 2), (-2, 3), (-1, 6), (1, -6), (2, -3), (3, -2), (6, -1) 을 좌표로 하는 점을 좌표평면 위에 나타내 면 오른쪽 그림의 점들이 된다. 따라서 x의 값이 0을 제외한 수 전체일 때, y=-;[^;의 그래프는 이 점들을 모두 지나는 한 쌍의 곡선이다.

O 2 4 6 y

x 2

4 6

-2 -4 -6 -2 -4 -6

달에서의 몸무게는 지구에서 측정한 몸무 게의 ;6!;이 되므로 지구에서 x`kg인 물체 가 달에서 y`kg이라고 하면 x와 y 사이에 는 정비례 관계가 성립해.

우리 집에서 80 km 떨어진 할머니 댁까지 자동차를 타고 시속 x km로 갈 때 y시간 이 걸린다고 하면 x와 y 사이에는 반비례 관계가 성립해.

컴퓨터 프로그램을 이용하 면 y=-;[^;의 그래프를 다음과 같이 그릴 수 있다.

132

(25)

1

x와 y가 반비례할 때, 다음 표를 완성하시오.

2

⑴ 넓이가 60 cmÛ`인 평행사변형의 밑변의 길이가 x`cm일 때, 높이 y`cm

⑵ 휴대 전화로 문자를 1분당 x자 입력할 때, 300자 를 입력하는 데 걸리는 시간 y분

4

다음 식의 그래프는 제몇 사분면을 지나는지 말하시오.

⑴ y=:Á[¼: ⑵ y=-;[*;

6

^{발전 문제}

오른쪽 그림과 같이 y=;[A;

의 그래프가 점 {2, :Á2°:}를 지날 때, 그래프 위의 점 중 에서 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점의 개수를 구하시 오.

O y

y=

x 152

( )

2,

ax

5

오른쪽 그림과 같이 y=-:Á[ª:의 그래프가 두 점 (a, 4)와 (2, b)를 지날 때, ab의 값을 구하시오.

y

y=

a x b O 2

4

- 12x 정답 및 풀이 295쪽

스스로 확인하기

x 1 5 10

y 30 15

3

^창의^•^융합

일정한 온도에서 기체의 부피 y mL와 압력 x기압 사이 에는 반비례 관계가 성립한다. 어떤 기체의 부피가 4 mL 일 때, 이 기체의 압력이 2기압이라고 한다. 물음에 답하 시오.

x … 1 … 2 … 4 … 8 …

y … … … … …

O 2 4 6 8

x y

2 4 6 8

⑶ ⑵에서 구한 관계식을 그래프로 나타내시오.

0 50 100 4. 반비례

133

(26)

정비례, 반비례 관계는 문장, 표, 식, 그래프로 다양하게 나타낼 수 있다.

다음 예시와 같이 정비례 또는 반비례 관계를 나타내는 식을 만들고 문장, 표, 그래프로 표현하여 보자.

예시

정비례, 반비례 관계를 여러 가지로 표현하기

문제 만들기

x 0 y 1 y 2 y 3 y

y 0 y 100 y 200 y 300 y

표

문장

준서가 학교에서 실시한 걷기 대회에 서 분속 100 m로 걸었을 때, x분 동안 걸은 거리를 y m라고 하자.

O 300 200 100

y

1 2 3 x

y=100x 그래프 식

표

문장

그래프 식

134

(27)

01

다음 중에서 좌표평면 위의 각 점의 좌표를 나타낸 것으로 옳지 않은 것은?

① A(5, 4)

② B(-1, 3)

③ C(0, -5)

④ D(-2, -2)

⑤ E(2, -3)

03

점 P(-a, b)가 제 2 사분면 위의 점일 때, 점 Q{-b, ;aB;}는 제몇 사분면 위의 점인지 말하 시오.

개념 콕콕개념콕콕

2

-2 -2 -4 -4

4

O 2 4

y

x B A

C

D E

2 그래프

두 변수 x, y의 순서쌍 (x, y)를 좌표로 하는 점을 좌표 평면 위에 모두 나타낸 것

3 정비례

1개에 300원인 초콜릿 x개의 가격 y원

x 1 2 3 4 …

y 300 300_2 300_3 300_4 … ⇨ y=300x

4 반비례

곰 인형 48개를 한 상자에 x개씩 담을 때, 필요한 상자 의 수 y개

x 1 2 3 4 …

y 48 48×;2!; 48×;3!; 48×;4!; … ⇨ y =:¢[¥:

02

다음 보기 중에서 옳은 것을 모두 찾으시오.

ㄱ. y축 위의 점은 y좌표가 0이다.

ㄴ. 점 (-1, 2)는 제 2 사분면 위의 점이다.

ㄷ. 점 (-5, -3)은 제 4 사분면 위의 점이다.

ㄹ. 좌표축 위의 점은 어느 사분면에도 속하 지 않는다.

보기

스스로 마무리하기

1 좌표와 사분면

스스로 마무리하기

135

(28)

㉠

㉡

㉢

y

O x y

O x

04

다음은 밑면의 반지름의 길이가 서로 다른 원기둥 모양의 빈 물통 3개에 매초 일정한 양의 물을 똑같 이 넣을 때, x초 후의 물의 높이를 y`cm라 하고 두 변수 x, y 사이의 관계를 그래프로 나타낸 것이다.

각 물통에 해당하는 그래프를 찾아 짝 지으시오.

05

햇빛에 의해 생기는 물체의 그림자의 길이는 물체 의 길이에 정비례한다고 한다. 길이가 1.4`m인 막 대를 지면과 수직으로 세웠을 때 그림자의 길이가 1.6`m가 되었다. 같은 시각, 같은 위치에 길이가 x`m인 막대를 지면과 수직으로 세웠을 때 그림자 의 길이를 y`m라고 하자. 이때 x와 y 사이의 관계 식을 구하시오.

06

다음 식의 그래프 중에서 점 (-2, 4)를 지나는 것은?

① y=-4x ② y=-2x ③ y=;2!;x

④ y=-;[@; ⑤ y=;[$;

08

^y=;[A;의 그래프가 두 점 (2, -4), (b, 2)를 지날 때, a+b의 값은?

① -18 ② -12 ③ -6

④ 6 ⑤ 12

07

어떤 제품은 직원 24명이 15일 동안 일해야 완성 할 수 있다고 한다. 이 제품을 직원 x명이 완성하 는 데 y일이 걸린다고 할 때, x와 y 사이의 관계식 은? (단, 직원 한 명이 하루에 하는 일의 양은 모두 같다.)

① y=:Á[°: ② y=:ª[¢: ③ y=;:![@:);

④ y=;:#[^:); ⑤ y=;:$[*:);

㉠

㉡

㉢

①

②

③

136

(29)

09

좌표평면 위의 세 점 A(1, 4), B(-3, -2), C(4, -2)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 넓 이를 구하시오.

11

오른쪽 그림과 같은 정사각형 ABCD가 있다. y=ax의 그래 프가 정사각형 ABCD의 넓이를 이

등분할 때, a의 값을 구하시오.

y=ax

O B

A D

C 4

1 y

x

10

오른쪽 그림과 같이 두 점 B, D가 y=;[A;의 그 래프 위에 있다. 직사각 형 ABCD의 넓이가 72일 때, a의 값을 구하

시오. (단, 직사각형 ABCD의 모든 변은 각각 좌 표축과 평행하다.)

O 6

-6

A D

B C y

x y= ax

12

오른쪽 그림과 같이 y=;3@;x, y=;[A;의 그 래프는 점 A에서 만 난다. 점 A의 x좌표 가 3일 때, a의 값을 구하시오.

y

O x A 3 y= ax

y= x2 3

서술형

이 단원을 배우고 나서 새롭게 알게 된 점이나 부족한 점을 적어 보세요.

학습 내용 점검 나의 학습 일기

학습 태도 점검

흥미도 집중도 참여도 협동심

1. 순서쌍과 좌표 ▶01, 02, 03, 09번 2. 그래프 ▶04번

3. 정비례 ▶05, 06, 11번 4. 반비례 ▶07, 08, 10, 12번

사고력 높이기

137

(30)

함께하는

프로젝트 다양한 상황을 그래프로 나타내기

다음은 하윤이가 놀이동산에서 보트를 타고 경험한 것을 적은 글이다. 하윤이는 자신의 글을 설명 하기 위하여 보트가 출발한 지 x분 후의 속력을 초속 y`m라고 할 때, 두 변수 x, y 사이의 관계를 그 래프로 나타내었다.

2

위와 같이 우리 주변에서 경험한 것을 글로 적고, 그래프로 나타내 보자.

1

탐구 과제 승빈이의 글을 하윤이와 같이 그래프로 나타내 보자.

하윤

보트가 처음에는 속력이 천천히 증가하여 일정한 속력으로 가더니 급류를 타면서 속력이 점점 빨라졌다.

y

x O

y

x O

승빈

롤러코스터가 처음에는 속력이 천천히 증가하여 일정한 속력으로 올라가다가 어느 지점부터 속 력이 점점 줄어들었다. 꼭대기에서 잠깐 멈추는가 싶더니 갑자기 떨어지면서 속력이 점점 빨라 졌다.

Ⅳ 좌표평면과 그래프 좌표평면과 그래프