QM7.1
제7장 변분원리(The Variational Principle) 7.1 이론(Theory)
* 변분원리 ⇒ 바닥상태 에너지
의 상한값슈뢰딩어 방정식이 정확히 풀리지 않는 경우, 변분원리를 써서 바닥상태 에너 지의 상한값은 구할 수 있다.
(때로는 그 상한값이 바닥상태 에너지에 아주 가깝거나, 바닥상태 에너지 자체 인 경우도 있다.)
* 정리
명제;
≦ ∣
∣ ≡
[식 7.1]여기서,
는 바닥상태 에너지, 는 임의의 상태,
는 해밀토니안.증명; 1.
는 에르미트 연산자 ⇒ 임의의 파동함수는
의 고유함수의 선형결 합으로 표현 가능.
, with
2. 규격화 조건 적용; ∣
∣
∣
∣∣ 3. 해밀토니안의 기대치;
∣
∣
∣
∣
∣∣
4. 바닥상태 에너지는 고유치 중 최소;
≦
∣∣
≧
∣∣
∣∣
×
증명 끝.
예제 7.1 해밀토니안이
로 주어지는 1차원 조화진동자의 바닥상태에너지(바닥상태 에너지의 상한값)를 변분원리를 이용하여 알아본다.
※ 이미 정확한 풀이를 알고 있고,
. 이 문제를 통하여 변분원리 에 익숙해지는 것이 목적.풀이; 1. 파동함수;
1) 정규분포함수를 시행함수(trial function)로 선택;
[식 7.2]여기서 는 상수.
2)
는 규격화 조건으로 결정;
∞∞
∞∞ ∣
∣
∞∞ ∣
∣
(∵ 교재 속표지 적분공식 이용)
⇒
(∵양의 실수값으로 선택) [식 7.3]
2. 해밀토니안의 기대치;
1)
(해밀토니안은 운동에너지와 위치에너지의 합)⇒
[식 7.4]2) 운동에너지의 기대치;
∞∞
∞∞
∣
∣
∞∞
∣
∣
∞∞
∣
∣
∞∞
∣
∣
∞∞
∞∞
∣
∣
×
(속표지 공식)
∣
∣
×
∣
∣
∣
∣
∣
∣
×
[식 7.5]
3) 퍼텐셜 에너지의 기대치;
∞∞
∞∞
∣
∣
∞∞ ∣
∣
∣
∣
4) 종합(해밀토니안의 기대치)
[식 7.6]
3.
를 최소화;1) 에 대하여 미분하여 0으로 놓음;
⇒
2) 값을
에 대입
min
※ 정확한 값을 얻게 되었음. (∵ 1차원 조화진동자의 바닥상태 고유함수가 정 규분포.)
우연? 행운? 미리 알고 있었음.
예제 7.2 해밀토니안이
로 주어지는 델타함수 퍼텐셜문제를 살펴본다. 변분원리를 이용하여 바닥상태 에너지에 대하여 알아보라.
※ 이 문제도 정확한 답을 알고 있음. [식 2.129]
풀이; 1. 시행 함수(trial function)로 정규분포함수 선택;
, with
2. 1) 운동에너지의 기대치; 이미 계산
2) 퍼텐셜 에너지의 기대치;
∞∞
∞∞
∣
∣
∞∞ ∣
∣ ×
3) 해밀토니안의 기대치;
[식 7.8]
3. 최소화;
1) 에 대하여 미분;
⇒
2)
에 대입;
min
[식 7.9]
4. 바닥상태 에너지와의 비교
<
min
* 미분 불가능의 시행함수 1. 불연속 함수; 다소 까다로움.
2. 연속이나 미분불가능인 경우; 별 문제 없이 잘 됨. (예제 7.3에 설명.)
예제 7.3 일차원 무한히 깊은 퍼텐셜문제의 바닥상태 에너지를 변분원리를 이 용하여 알아보자. 우물의 구간은 이다.
풀이; 1. 시행 함수 선택;
1) 삼각형 모양(그림 7.1 참조); 에서 미분 불가능.
i f ≦ ≦
i f ≦ ≦ otherwise
[식 7.10]
2) 규격화 조건으로
결정; ∣
∣
∣
∣
∣
∣
⇒
[식 7.11]
2. 의 도함수 ; (그림 7.2)
i f ≦ ≦
i f ≦ ≦ otherwise
3. 의 2계도함수 ; 계단형 함수의 도함수는 델타 함수.
[식 7.12] 에서
만큼 상승 에서
만큼 하강 에서
만큼 상승※ 1 만큼 상승이 델타 함수에 해당.
4. 해밀토니안의 기대치
(∵는 실함수)
[식 7.13]
5. 정확한 값과의 비교;
<
(∵ 12 >π
)* 변분원리의 사용법
1. 바닥상태의 에너지를 알아보려는 경우, 많은 변수를 갖는 시행함수를 구성.
2.
계산3.
가 가능한 한 작은 값을 갖도록 변수 조절.* 유의사항
1. 원론적으로는 정답에 얼마나 가까운지 알 수 없다.(알 수 있는 수도 있다.) 2. 바닥상태 에너지를 구하는 데에만 쓸 수 있다. (예외도 있음. 연습문제 7.4 참조)
과제
연습문제 7.3, 7.4.
