6장
함수
1. 함수의 정의
• 함수(function)
• 한 집합의 원소들과 다른 집합의 원소들 간의 관계를 나타내는 순서쌍 중에서 앞에 있는 집합의 원소가 한번만 순서쌍에 포함되 는 특수한 관계
• 함수의 예
• 이산수학을 수강하는 학생들에게 부여할 성적이 중간고사 30%+기말고사40%+숙제10%+퀴즈10%+출석10%로 결정된 다면 이 원칙에 의해 최종적으로 학생들에게 부여된 학점
• 함수에 대한 수학적 정의
• 두 집합 X, Y에서 함수 f는 집합 X에서 Y로의 관계의 부분집 합으로 집합 X에 있는 모든 원소와 집합 Y에 있는 오직 하나 의 원소만으로 1:1 대응되는 관계로, f : X→Y로 표기함
• 함수 f는 공변역의 원소 중에서 정의역의 원소들에게 배정할 치역을 결정하는 방법으로 사상(mapping)이라고 하며, ‘f는 X에서 Y로의 사상’이라고 말함
함수
1. 함수의 정의
• f : X→Y에서 X를 함수 f의 정의역(domain), Y를 함수 f의 공변역 (codomain), Y중에서 X에 의해 선택된 원소를 함수 f의 치역(range) 이라 말함
• Dom(f)={x｜(x,y)∈f, x∈X, y∈Y}
• Ran(f)={y｜(x,y)∈f, x∈X, y∈Y}
• f : X→Y를 함수라 할 때, f(x)=y라고도 쓸 수 있으며 이 때 y를 함 수 f에 의한 x의 상(image) 또는 함수값이라고 말함
• 두 함수 f와 g가 같은 정의역과 공변역을 갖고, 정의역에 있는 모 든 x에 대해 f(x)=g(x)가 성립하면 f와 g는 ‘같다(equal)’고 말함
김 이 강 조 최
A+
A B+
B C
정의역 공변역
치역
정의역에 있는 모든 원소가 오직 한번씩만 활용되어야 함
공변역에 있는 원소는 두 번 이상 사 용되어도 좋고, 사용 안되어도 좋음
2. 함수 그래프
• 함수 그래프(function graph)
• 두 집합 A, B에 대한 모든 함수 f : A→B를 그래프로 나타낸 것으 로, 그래프 G는 x∈A이고, y=f(x)인 순서쌍 (x,y)의 집합을 나타냄
• G={(x,y)｜x∈A, y∈B, y=f(x)}
• 그래프의 기하학적 표현
• 함수 f에 대한 그래프 G의 원소들을 좌표 평면 위에 점으로 시하는 것을 말하고, 정의역이 실수인 경우, 통상 연속적 표현 으로 나타나게 됨
• 예 : 함수 y=｜x｜(단, x∈실수)인 경우 함수 그래프
1 2
1 2 3
-1 -2
3. 단사·전사·전단사 함수
• 단사 함수(injective function)
• 두 집합 A, B에 대한 함수 f : A→B에서 ai,aj∈A에 대하여
f(ai)=f(aj)이면 ai=aj인 경우를 단사 함수라고 말함. 다르게 표현하 면 ai,aj∈A에 대하여 ai≠aj이면 반드시 f(ai)≠f(aj)인 경우로 생각 해도 됨
• 정의역의 모든 원소에 대해 서로 다른 함수값을 갖기 때문에 1 대 1 함수(one to one function)라고도 말함
• 단사 함수에서의 치역은 공변역의 부분집합에 해당되고, 정의역 과 공변역의 원소의 수가 같으면 공변역과 치역은 일치함
• 손쉬운 단사 함수 판별법
• x값 중 같은 y값이 나오는 것이 있는지 없는지만 판별하면 됨
• 단사 함수의 예
• 대한민국 국민과 주민등록 번호
• y=2x, y=2x 단사 함수
3. 단사·전사·전단사 함수
• 전사 함수(surjective function)
• 두 집합 A, B에 대한 함수 f : A→B에서 B의 모든 원소 b에 대하 여 f(a)=b가 성립되는 a∈A가 적어도 하나 존재할 때 함수 f를 전 사 함수라고 말함. 다르게 표현하면 공변역의 원소 중 정의역의 원 소에 대응하지 않는 원소가 하나도 없는 경우라고 생각해도 됨
• 공변역의 모든 원소에 대해 함수값이 반영되기 때문에 반영 함수 (onto function)라고도 말함
• 전사 함수에서의 치역과 공변역은 항상 일치함
• 손쉬운 전사 함수 판별법
• 공변역의 원소 중 정의역의 원소 x에 대응되지 않는 값이 있 는지 없는지만 판별하면 됨
• 전사 함수의 예
• 대한민국 국민과 주민등록 번호
• A+부터 F까지 빠짐없이 모든 학점이 부여된 경우
• y=x3+2x2 전사 함수
3. 단사·전사·전단사함수
• 전단사 함수(bijective function)
• 함수 f가 단사 함수와 전사 함수의 조건을 모두 충족하면 전단사 함수라고 말함
• 공변역의 모든 원소에 대해 함수값이 반영되고, 정의역과 공변역 의 원소가 1 대 1로 사상되기 때문에 1 대 1 대응 함수(one to one correspondence function)라고도 말함
• 전단사 함수에서의 치역과 공변역은 항상 일치함
• 전단사 함수의 예
• 대한민국 국민과 주민등록 번호 전단사 함수
1 2 3
1 2 3 4
단사함수 5
1 2 3 4
1 2 3
전사함수
1 2 3
1 2 3
전단사함수
4. 여러 가지 함수들
• 합성 함수(composition function)
• 두 함수 f : A→B, g : B→C에 대하여 두 함수 f와 g의 합성 함수는 집합 A에서 집합 C로의 함수, 즉 g◦f : A→C를 의미하며 다음을 만 족함
• g◦f={(a,c)｜a∈A, b∈B, c∈C, f(a)=b, g(b)=c}
• 두 함수 f와 g의 합성 함수 g◦f는 A의 모든 원소 a에 대하여 다음 식이 성립함
• ∀a∈A, (g◦f)(a)=g(f(a)) 합성 함수를 비롯한 여러 가지 함수
a
b=f(a)
cg◦f
f g
c=g(b)=g(f(a))=(g◦f)(a)
4. 여러 가지 함수들
• 합성 함수 예
• 예 1
• 두 함수 f와 g가 각각 f : R→R, f(x)=x+3이고, g : R→R, g(x)=x2-1일 때 합성 함수 f◦g와 g◦f를 구하라.
• f◦g(x)=f(g(x))=f(x2-1)+3=x2-1+3=x2+2
• g◦f(x)=g(f(x))=g(x+3)=(x+3)2-1=x2+6x+8
• 예 2
• A={1, 2, 3, 4}, B={a, b, c, d, e}, C={7, 8, 9}이고, f : A→B, g : B→C일 때 합성 함수 h : A→C를 구하라.
1 2 3 4
7 8 9
f g
a b c d e
집합 A 집합 B 집합 C
1 2 3 4
7 8 9 g◦f
집합 A 집합 C
4. 여러 가지 함수들
• 결합법칙(associative law)
• 세 함수 f, g, h를 각각 f : A→B, g : B→C, h : C→D라 할 때, 이 세 함수의 합성 함수는 다음과 같은 결합법칙이 성립함
• h◦(g◦f)=(h◦g)◦f
• 항등 함수(identity function)
• 집합 A에 대한 함수 f가 f : A→A, f(a)=a일 때 함수 f를 항등 함 수라고 하고, IA로 표기함
• ∀a∈A, IA(a)=a
• 항등 함수의 원소 x는 항상 자신에게 대응되기 때문에 전사 함 수이자 단사 함수, 즉 전단사 함수임
• 역 함수(inverse function)
• 함수 f가 f : A→B로 전단사 함수일 때, f-1 : B→A를 f의 역함수 라 하고 다음과 같이 정의함
• ∀a∈A, ∀b∈B f(a)=b⇒ f-1(b)=a
• 역 함수의 예
• 집합 A={1, 2, 3}, B={a, b, c}이고, A에서 B로의 함수 f={(1,a), (2,c), (3,b)}의 역함수는 f-1={(a,1), (c,2), (b,3)}
4. 여러 가지 함수들
• 상수 함수(constant function)
• 함수 f : A→B에서 집합 A의 모든 원소가 집합 B의 오직 한 원소 와 대응할 때 함수 f를 상수 함수라고 말함
• ∀a∈A, ∃b∈B, f(a)=b
• 즉, 정의역의 모든 원소가 공변역의 단 한 원소로 사상되는 경우를 말함
• 특성 함수(characteristic function)
• 전체집합 U의 부분집합 A의 특성함수 fA : U→{0, 1}는 다음과 같이 정의됨
• fA(x)= ⌈ 0, x∉A ⌊ 1, x∈A
• 올림 함수(ceiling function)
• x∈R에 대한 올림 함수는 x보다 크거나 같은 정수값 중 가장 작 은 정수값을 말하고, ⌈x⌉로 표기함. 예를 들어, ⌈3.5⌉=4
• 내림 함수(floor function)
• x∈R에 대한 내림 함수는 x보다 작거나 같은 정수값 중 가장 큰 정수값을 말하고, ⌊x⌋ 로 표기함. 예를 들어, ⌊3.5⌋=3
5. 컴퓨터 언어에서의 함수의 역할
• 서브 프로그램(sub program)
• 하나의 큰 프로그램을 구성하는 독립된 기능의 작은 프로그램으 로 통상 함수(function)라고 말함
• 예를 들어, 1부터 n까지의 합을 구하는 프로그램에서 n을 입력 받는 서브 프로그램, n까지 합하는 서브 프로그램, 결과 를 출력하는 서브 프로그램 등으로 기능을 분리할 수 있음
• 서브 프로그램 간의 대화는 매개변수(parameter)를 주고 받음으 로써 가능함
• 특정 기능을 수행하는 함수는 누군가에 의해 불리어져야 수행을 시작할 수 있는데, 이 때 부르는 프로그램을 호출 프로그램
(calling program)이라 하고, 호출하는 행위를 함수 호출(function call), 결과 값을 돌려주는 행위를 리턴(return)이라고 말함
• 함수의 두 가지 경우
• 사용자 지정 함수(user defined function)
• 내장 함수(library function 또는 built in function) 함수의 역할
