함수

대학수학 한경대학교 제 공학관 안 상 욱 2015-1. (1)[AO1,BO2]. . 1 321.

010-4644-4197. sangyook@yonsei.ac.kr Live Your Life as You Dream

개요 먼저 두 집합 사이에서 함수를 정의하고 이로부터 우리는 그래프를 얻는다: . 평면상에서의 그 래프를 곡선 공간상에서의 그래프를 곡면이라이고 한다 함수 위에 극한 개념을 도입하여 연

, .

속 함수를 정의하고 연속 함수에 의해서 생성된 곡선위에 점에서 미분을 정의하는데 이는

곡선위에 그 점에 접하는 직선의 기울기를 의미한다 함수가 어떤 점에서 미분가능하면 그 점

.

에서 반드시 연속이다 따라서 연속함수는 미분이 정의되는 토양이 된다 미분은 변화율인데

. .

예를 들면 거리의 변화율이 속도이고 속도의 변화율이 가속도이다 이 미분은 뉴톤과 라이프

, .

니츠로부터 유래되었다 이 미분을 이용하여 우리는 근사값을 구하고 오차를 구하고 또한 함

. , ,

수의 그래프를 평면위에 효과적으로 그릴 수 있다 그리고 이 외 물리 생물 확률 여러 분야

. , , ,

에 이용된다 .

또한 극한의 개념을 이용하여 함수의 그래프 위에 적분 부정적분 정적분 을 정의하는데 특

( , )

히 양 함수에 의해 주어진 곡선의 정적분은 곡선에 의해 생성된 영역의 넓이를 의미한다 또한

.

이외에도 물리 분야에서 질량중심 모멘트 관성모멘트를 구하는데 이용되고 확률통계 분야 등

, , ,

에서 이용된다 적분에는 단적분 중적분 삼중적분 등이 있다 중요한 점은 미분과 적분

. , , .

은 밀접한 관계를 가지는 데 우리는 이를 미분적분학의 기본 정리라 부른다

.

이러한 이유들로 우리는 여러 함수들의 미분 적분 기술을 배워야 한다 함수들 중에서 주로 일

, .

변수 이변수 함수를 다루고 아울러 무한의 개념 예를 들면 급수 그리고 방향과 크기를 가진

, , ( )

벡터를 도입하여 선적분을 정의하여 일을 계산하고 면적분을 정의하여 유량을 계산한다 이들

, .

선적분 면적분은 앞에서 언급한 정적분과 밀접한 관계를 가지는 데 우리는 이를 그린정리 스

, ,

토크스 정리 발산 정리라 부른다

, .

함수

1. 함수의 정의 집합 : ! 에서 집합 " 로 가는 함수 # 는 ! 의 각 원소 $ 를 집합 " 의 오직 한 원소 % 에 대응시키는 규칙이다.

이 경우에

% 를 #&$' 로 표현하고, #&$' 를 $ 에서의 # 의 함수값이라 부르고, ! 를 함수 # 의 정의역 집합

" 를 공역, # 의 함수값들의 모임 (#&$')$ ∈!* 를 함수 # 의 치역이라 부르 고

, +&#' , (&$- #&$'') $ ∈!* 를 함수 # 의 그래프라 또는 곡선( ) 고 부르고, $ 를 함수 # 의 독립변수

% 를 함수 # 의 종속변수라 부른다.

문제 다음 함수의 정의역과 치역을 구하고 그래프를 구하시오: , .

(1) % , .$ / 0 (2) % ,1²_{0 3 $}⁴

수직선 테스트: $%3평면에 있는 곡선이 $ 의 함수일 필요충분조건은 이 곡선과 $축의 수직선이 오직 한번만 만나거나 만나지않는 것이다

.

예 원

( ) $⁴ / %⁴ , 0 은 함수의 그래프가 아니다.

주목 함수는 일 대 일 함수이거나 다 대 일 함수로 분류된다

( ) .

수평선 테스트: $%3평면에 있는 곡선이 $ 의 일 대 일 함수일 필요충분조건은 $축의 수평선이 오 직 한번만 만나거나 만나지않는 것이다

.

예 윗 반원

( ) $⁴ / %⁴ , 0 (% ≥6 은 수직선 테스트에의해서 함수이지만 수평선 테스트에의해서 ) 일 대 일 함수는 아니다

.

증가함수와 감소함수 2.

구간

7 에 있는 모든 $₀- $₄ 에 대하여 $₀8 $₄ 이면 #

&

'

&

'

에서 증가함수라고 부른다

.

구간

7 에 있는 모든 $₀- $₄ 에 대하여 $₀8 $₄ 이면 #

&

'

&

'

.

대칭 3.

함수

# 가 정의역에 있는 모든 $ 에 대하여 #&3 $' , #&$' 이면 # 를 우함수라하고 이 우함 , 수의 그래프는

% 축 대칭이다.

함수

# 가 정의역에 있는 모든 $ 에 대하여 #&3 $' ,3 #&$' 이면 # 를 기함수라하고 이 기 , 함수의 그래프는 원점 대칭이다

.

예

( ) #&$' , $⁴ / 0 은 우함수이고, #&$' ,$^. 은 기함수이다.

미분적분학에서 다루는 함수의 종류 4.

다항함수

(1) :

#&$' ,:_;$^; / :_;30$^{;3 0} / ⋯ / :₀$ / :₆ &:_;≠6'

이러한 다항함수를

; 차 다항함수라고 부른다.

유리함수

(2) :

>&$' , 2?&$'

@&$'

여기서 @&$'- ?&$' 는 다항함수들이다.

삼각함수

(3) : #&$' ,ABC$- #&$' , CD;$- #&$' , E:;$- #&$' , CFA$- #&$' , ACA$- #&$' , ABE$

CD;⁴ / ABC⁴$ , 0

지수함수

(4) :

#&$' , :^$&: 9 6 또는 6 8 : 80'

지수함수의 성질: ( ) ㄱ :^$:^%, :^$/% ( ) ㄴ

&

'

0

( ) ㄹ :⁶, 0 &단- : ≠± ∞- 6'

로그함수

(5) :

#&$' , IBJ_:$ &: 96 또는 6 8 : 80'

정의

: F ,

lim

$→∞&0 / 2$

0'^$≈4PQ0

IBJ_F$ , I;$ 자연로그( )

:^R, A ⇔ R , IBJ:A

로그함수의 성질: ( ) ㄱ IBJ_:$ /IBJ_:% , IBJ_:$% ( ) ㄴ IBJ_:$ 3 IBJ_:% , IBJ_:2%

$ ( ) ㄷ IBJ_:$^T, T IBJ_:$

( ) ㄹ IBJ_:0 , 6 ( ) ㅁ :^IBJ:$,$

쌍곡선함수

(6) :

#&$' , ABCU$- #&$' , CD;U$- #&$' , E:;U$- #&$' , CFAU$- #&$' ,ACAU$- #&$' , ABEU$

정의: ABCU$ , 24 F^$ / F^3$

- CD;U$ , 24 F^$3 F^{3 $}

ABCU⁴$ 3 CD;U⁴$ , 0

역함수 (7) :

# V ! → " 가 일 대 일 함수이면 # 의 치역에서 # 의 정의역으로가는 역함수

#³⁰ V #&!' → ! 가 존재하고, #³⁰&#&$'' ,$ 이다.

주위

( ) #³⁰&$' ≠ 2#&$' 0

역삼각함수

(8) :

#&$' , ABC³⁰$- #&$' , CD;³⁰$- #&$' , E:;³⁰$- #&$' , CFA³⁰$- #&$' , ACA³⁰$- #&$' , ABE³⁰$

역쌍곡선함수

(9) :

#&$' , ABCU³⁰$- #&$' , CD;U³⁰$- #&$' , E:;U³⁰$- #&$' , CFAU³⁰$- #&$' , ACAU³⁰$- #&$' , ABEU³⁰$

일 대 일 함수

5. #&$' 의 역함수 구하는 법:

(1) % , #&$' 라 놓는다

(2) $ 를 % 의 함수로 표현한다 (3) $ 와 % 를 서로 바꾼다 (4) % ,#^{3 0}&$'

문제 함수 : # 의 정의역을 구하고, #³⁰ 를 구하고, #³⁰ 의 정의역을 구하시오.

(1) #&$' ,1²W 3 F^4$

(2) #&$' ,I; &4 / I;$'

함수의 극한과 연속

정의 1. :

lim

$→:

#&$' ,X ⇔ 점 : 에 충분히 가까운 $ 를 잡으면 (: 는 아님) X 에 원하는 만 ( 큼 얼마든지 가까운

) #&$' 의 값을 얻을 수 있다

이 경우

$ 가 : 의 접근할 때 #&$' 의 극한은 X 이라고 말한다.

분석: $ 축위에 놓여있는 점 - : 에 $ 축을 따라 접근하는 경로는 점 - : 에 좌에서 접근하는 경로와 점

: 에 우에서 접근하는 경로 오직 두 개뿐이다 점 . : 에 좌에서 접근하는 경우를 좌극한이 라 하고 점

, : 에서 접근하는 경우를 우극한이라 하고 좌극한은 ,

lim

$→:³

#&$' 로 표현하고 우극 , 한은

lim

$→:^/

#&$' 로 표현한다.

그러므로

lim

$→:

#&$' ,X ⇔

lim

$→:³

#&$' ,X 그리고

lim

$→:^/

#&$' ,X

극한 규칙

2. : X- Y- :- A 는 실수들이고,

lim

$→:

#&$' ,X 그리고

lim

$→:

J&$' ,Y 이라고 하자.

합의 규칙 (1)

lim

$→:

&#&$' / J&$'' ,

lim

$→:

#&$' /

lim

$→:

J&$' ,X / Y

차의 규칙 (2)

lim

$→:

&#&$' 3 J&$'' ,

lim

$→:#&$' 3

lim

$→:

J&$' ,X 3 Y

상수배의 규칙 (3)

lim

$→:&A #&$'' ,A

lim

$→:#&$' , AX

곱의 규칙 (4)

lim

$→:&#&$' J&$'' ,

& ^lim

'& ^lim

'

몫의 법칙 (5)

lim

$→:2J&$'

#&$'

, 2

lim

$→:

J&$'

lim

$→:

#&$' , 2Y

X &단- Y≠6'

문제 다음 극한값을 구하시오: .

(1)

lim

$→ 3 0

1².$⁴ 3 0

(2)

lim

$→62$

1²_$⁴ _{/ 0Z 3 [}

(3)

lim

$→[2$ 3 0

#&$' 3 .

, 0 일 때

lim

$→[

#&$'

정리:

lim

$→62$

CD;$ , 0 임을 증명하시오.

문제 다음 극한값을 구하시오: .

(1)

lim

$→62$

ABC $ 3 0

(2)

lim

$→62CD;460W$

CD;460[$

정리: $ 가 : 의 근방에서 (: 는 제외) #&$' ≤ J&$' 이고 $ 가 : 의 접근할 때 # 와 J 의 극한 값이 모두 존재하면

lim

$→:

#&$' ≤

lim

$→:

J&$'

조임정리: $ 가 : 의 근방에서 (: 는 제외) #&$' ≤J&$'≤ U&$' 이고

lim

$→:

#&$' ,X ,

lim

$→:

U&$' 이면

lim

$→:J&$' ,X

문제 다음 극한값을 구하시오: .

(1)

lim

$→6$⁴ABC2$ 0

(2)

lim

$→02$ 3 0 )$ 3 0)

정의 수평점근선:

lim

#&$' ,X 또는

lim

$→ 3 ∞

#&$' ,X 이면 직선 % ,X 은 곡선 % , #&$' 의 수평점근선이다.

문제 다음 곡선의 수평점근선을 구하시오: .

(1) % , . / 2$ CD; $

(2) %, 2 W$⁴ / 4 4$⁴ / ]$ 3 .

(3) % , 2Q$ / . .$⁴ 3 4

정의 수직점근선:

lim

$→:³

#&$' , ± ∞ 또는

lim

$→:^/

#&$' , ±∞ 이면 직선 $ , : 는 곡선 % , #&$' 의 수직점근선이다.

문제 다음 곡선의 수직점근선 수평점근선을 구하시오: , .

(1) % , 2$ / 4

$ / W

(2) %, 2

$⁴ 3 [ 460W

정의: ( )경 사점근선

lim

$→∞&#&$' 3 &^$ / R'' ,6 또는

lim

$→ 3 ∞&#&$' 3 &^$ / R'' , 6 &^≠6' 이면 직선 % , ^$ / R 는 곡선 % , #&$' 의 경 사점근선이다( ) .

문제 다음 곡선의 경 사점근선을 구하시오: ( ) .

(1) % , 24$ 3 [

$⁴ 3 4

(2) %, 24$ / [

$⁴ / 0

연속함수

정의:

lim

$→:

#&$' ,#&:' 이면 함수 # 는 점 실수( ) : 에서 연속이라고 말한다.

분석:

lim

$→:

#&$' , #&:' ⇔ &0' #&:' 가정의된다

&4'

lim

$→:³

#&$' , #&:' &.'

lim

$→:^/

#&$' , #&:'

연속함수의 성질

두 함수 #- J 는 점 : 에서 연속이고, A 는 실수라고 하자 이 때. ,

(1) # ± J 는 점 : 에서 연속이다

(2) A# 는 점 : 에서 연속이다

(3) #J 는 점 : 에서 연속이다

(4) 2J

# 는 점 : 에서 연속이다

정리 함수 : # 는 : 에서 연속이고 함수 , J 는 #&:' 에서 연속이면 합성함수 J∘# 는 : 에서 연 속이다

.

정의 함수 : # 가 집합 ` 안의 모든 점에서 연속이면 함수 # 는 집합 ` 위에서 연속이라고 말한 다

.

예 다항함수 유리함수 삼각함수 지수함수 로그함수 등등은 각각의 정의역위에서 연속이다

( ) , , , , .

정리 함수 : J 가 점 R 에서 연속이고,

lim

$→:

#&$' , R 이면

lim

$→:

J&#&$'' ,J&R' , J

& ^lim

#&$'

'

문제 다음 극한값을 구하시오: .

(1)

lim

$→0

CD;³⁰

&

0 3 $

'

lim

$→6

&

'

A B C

직선은 곡선위의 점 A 와 B 에서 곡선을 통과한다고 말한다 그러나 곡선과 접한다고 말하지 않는 다 그러나 곡선위의 점 C 에서는 직선이 곡선과 접한다고 말한다 이 경우 이러한 직선을 곡선위의 점 C 에서의 접선이라고 부른다. 우리는 직선은 기울기를 가지고 있다는 사실을 알고 있다 곡선. 위의 점 C 에서의 접선의 기울기를 점 : 에서 곡선을 정의하는 함수 # 의 미분계수라고 부른다.

지금 접선의 기울기를 구해보자.

곡선위의 점 에서의 접선 P

% 축

곡선위의 점 를 통과하는 직선 P

Q 곡선

P % , #&$'

#&:' #&: / U'

: : / U $ 축

곡선위의 점 P, Q를 통과하는 지선의 기울기는 다음처럼 정의된다

기울기 , 2$의 변화량

%의 변화량

, 2&: / U' 3 :

#&: / U' 3 #&:'

, 2U

#&: / U' 3 #&:'

᐀

그러므로 곡선위의 점 P 에서의 접선의 기울기는 극한값이 존재한다면 다음처럼 정의할 수 있다.

lim

U→62U

#&: / U' 3 #&:'

극한값이 존재하려면 좌극한 값과 우극한 값이 존재하면서 같아야하므로 곡선위의 점 P 근방에서 곡선의 모양은 뾰족하지 않고 부드러워야만 한다.

앞 페이지의 극한값이 존재하면 이 극한값을 다음처럼 표현한다.

#^′&:' ,

lim

U→62U

#&: / U' 3 #&:' ,

lim

$→:2$ 3 :

#&$' 3 #&:'

&여기서 : / U, $'

이를 점 : 에서 함수 # 의 미분계수라고 부른다.

정의 만일

1. : #^′&:' 가 존재하면 함수 # 는 점 : 에서 미분가능하다고 말한다.

정리 함수

2. : # 가 점 : 에서 미분가능하면 함수 # 는 점 : 에서 연속이다.

증명 함수 : # 는 점 : 에서 연속이다 ⇔

lim

$→:#&$' , #&:'

⇔

lim

$→:

a#&$' 3 #&:' b , 6

지금

lim

$→:

a#&$' 3 #&:'b ,

lim

$→:

c

d

e

$ 3 :

#&$' 3 #&:'

&$ 3 :'f g

h

,

& ^lim

#&$' 3 #&:'

' & ^lim

&$ 3 :'

'

, #^′&:' &6' (가정)

, 6 (가정에의해서 # ^′&:' 는 실수)

그러므로 함수

# 는 점 : 에서 연속이다. (증명 끝)

문제 곡선위의 주어진 점에서 접선의 기울기를 구하시오: .

(1) #&$' , 2$

0- $ , 2. 0

(2) #&$' , 2$ / 0

$ 3 0- $ , 6

(3) #&$' , 0 3 $⁴- $ , 0

주목 곡선 : % ,#&$' 위의 점 P&:- #&:'' 에서의 접선의 방정식은 다음처럼 주어진다.

% 3 #&:' , #^′&:'&$ 3 :' ⇔ % ,#&:' / #^′&:'&$ 3 :'

문제 곡선위의 주어진 점에서 곡선의 접선의 방정식을 구하시오: .

(1) % , 2$

0- &0- 0'

(2) %, 0 3 $⁴- &4- 3 .'

(3) % , 2$ / 0

$ 3 0- &6- 3 0'

함수로서의 도함수

점 : 에서 함수 # 의 미분계수를 생각해보자.

#^′&:' ,

lim

U→62U

#&: / U' 3 #&:'

여기서 생각을 바꾸어 상수 : 를 변수 $ 로 바꾸면 함수 # 로부터 새로운 함수

#^′&$' ,

lim

U→62U

#&$ / U' 3 #&$'

를 얻는다 이 새로운 함수 . #^′&$' 를 함수 #&$' 의 도함수(Derivative)라고 부른다.

문제 다음 함수의 도함수를 구하고 도함수의 정의역을 구하시오: .

(1) #&$' ,1²$

(2) #&$' , 24 / $ 0 3 $

곡선 % , #&$' 로부터 생성되는 도함수의 여러 표기법

#^′&$' , %^′, 2i$

i% , 2i$

i #&$'

문제 함수 : #&$' , ) $) 는 어디에서 미분가능하고 어디에서 미분가능하지 않은 지 그 점들을 구하 , 시오

.

고계도함수

# 가 미분가능함수일 때 도함수 #^′ 은 역시 함수이고, 그러므로 #^′ 도 자신의 도함수

&

'

을 가질 가능성이 있다. #′′ 을 # 의 계도함수라고 하고 라이프니츠 표기법을 쓰면 2 % ,#&$' 의 2 계도함수는 다음처럼 표기된다.

2i$

i

&

i%

'

함수 # 의 계도함수 이상을 2 # 의 고계도함수라고 부른다.

문제 다음 함수의 계도함수를 구하시오: 2 .

#&$' , $^./ $

함수 % , #&$' 의 ;계도함수는 다음처럼 표기된다.

%^&;', #^&;'&$' , 2 i$^; i^;%

매우 중요함 함수

[ ] # 에 대한 계도함수 1 #′ 과 계도함수 2 #′′ 의 기하학적 의미

1. 어떤 구간 7 에서 #′&$' 9 6 이면 구간 7 에서 함수 #&$' 는 증가함수이고, 어떤 구간

7 에서 #′&$' 8 6 이면 구간 7 에서 함수 #&$' 는 감소함수이다.

문제: %

3 0 0 $

3 0

#′ 의 그래프

#&6' , 6 일 때 # 의 가능한 그래프의 개형을 그리시오.

위로 오목한 그래프의 개형

아래로 오목한 그래프의 개형

어떤 구간

2. 7 에서 #′′&$' 9 6 이면 # 의 그래프는 7 에서 위로 오목이고, 어떤 구간

7 에서 #′′&$' 8 6 이면 # 의 그래프는 7 에서 아래로 오목이다.