8주차 문제제기(문제 만들기) )

8주차

문제제기(문제 만들기)

살펴볼 내용

 문제 제기(문제 만들기)

 문제해결 전략 몇 가지

 폴리아(G. Polya)

 “자신이 고안한 문제를 풀어볼 기회를 가지지 못한 학생들의 수학적인 사고 경험은 불완전하다.”

어떤 문제를 풀고 나면, 반성 단계에서 미지인 것과 자료, 조건의 역할을 바꾸거나 일반화, 특수화, 유추 등을 통해 또는 응용 상황을 고려하여 발전적으로 새 로운 문제를 제기하여 해결해 보도록 요구

(문제 제기 )

문제 이해  계획 작성  계획의 실행  반성

( 

 학교수학에서의 문제해결 (현황)

 “무엇무엇을 구하여라” 또는 “무엇무엇을 증명하여 라”

 답의 존재성(유일성), 명제의 진위 여부 결정  풀 이(증명)만 요구

답의 존재성과 유일성이 전제된 주어진 문제의 답을 구하는 과정에 치중한 반면, 답의 존재성이나 새로운 문제의 제기와 관련된 추측의 과정은 상대적으로 소 홀하게 다루어져 옴.

 학교수학에서의 문제해결 (보완할 부분)

 답의 존재성이나 명제의 진위 여부에 대한 물음과 추 측 활동 (이 문제의 답이 존재하는가?)

 다양하고 새로운 관점에서의 문제제기 활동(이 문제 로부터 다른 문제를 제기할 수 있는가?)

 답의 존재성 관련 질문 습관 형성

 문제 제시 형태의 변형(예 : 답을 구하는 문제의 경 우 “~을 구하여라”에서 “~의 답이 존재하는가? 존 재하면 답을 구하고, 존재하지 않는다면 그 이유를 설명하여라”로 변형)

 추측을 통한 문제 제기 활동

 탐구 활동을 구체적인 형태로 설계하여 학생들에게 안내할 수 있는 교사의 보다 전문적이고 적극적인 노 력 필요

 문제제기 활동의 설계를 위한 소재와 내용, 방법

 교과서 다시 보기 (소재와 내용)

- 학생들에게 친숙

- 양질의 수학 내용의 집합체

 “What if ~ ” 혹은 “What if not ~ ” 전략 (방법)

- 주어진 문제의 각 요소들(주어진 자료, 구하고자 하 는 것, 조건 등 )과 그 속에 내재된 수학적 아이디어 를 분석한 후

- “ ” 혹은 “ ” 등의 질문 및 질문에 답하는 과정을 통해 새로운 문제 제기

① .

② .

③ .

④ .

 예1) ‘답을 구하는 문제’로부터

 예2) ‘증명 문제’로부터

 예3) ‘삼각형의 결정조건’으로부터

 삼각형 결정조건

: 3개의 Side(변)과 3개의 Angle(각)의 조합으로서 SSS, SSA(SAS), SAA(ASA)

 만약 “변”이 아니고 “ ”이라면 : Segment(선 분)과 Angle(각)의 조합으로서의 새로운 삼각형의 결정조건 SSS, SSA, SAA 탐구

 만약 “삼각형”이 아니고 “ ”이라면 : 사각 형 결정조건 탐구

 예4) ‘피타고라스 정리’로부터

 이 학생의 추측은 참인가? 거짓인가?

 피타고라수 수에 관한 어떤 학생의 추측

 문제제기 활동의 의의

 ,

 기회를 제공한다.

 또한 문제제기는 이 될 수도 있다.

즉, 문제해결 계획을 세울 때 문제의 조건이나 자료 등을 변형하여 보다 특수하거나 간단한 형태의 보조 문제를 만들어 해결해 봄으로써 원래의 문제를 해결 하는 단서를 찾을 수 있으며, 이는 문제해결의 중요 한 전략 중 하나이다.

 를 진작시킬 수 있고,

 을 감소시키며,

 를 함양시켜,

 학생들로 하여금 가 되도록 유도하는 효과가 있다.

 를 길러 주고,

 창의적 능력이나 특별한 수학적 능력 발현에 도움을 준다.

 을 제공한다.

이론

상황

해석

+

+

문제해결 전략 몇 가지

 예상과 확인

 문제의 답을 미리 예상해 보고 그 답이 문제의 조건 에 맞는지 확인해 보는 과정을 반복하여 문제를 해 결해 나아가는 전략

① 문제에서 구하고자 하는 답을 예상한다.

② 예상의 결과가 문제의 조건에 맞는지 확인한다.

③ 조건에 맞지 않으면 새로운 예상을 한다.

④ 옮은 답이 나올 때까지 이 과정을 계속한다.

표 만들기

 문제에 주어진 자료나 문제상황을 표로 나타내 면 문제를 쉽게 이해할 수 있다.

그림 그리기

 글이나 말로 표현(혹은 설명)하는 것보다 그림을 이 용하면 문제상황을 보다 명확하게 이해하도록 도울 뿐만 아니라 더 많은 정보와 힌트를 줄 수도 있다.

식 세우기

 수학 문제를 풀기 위해서 가장 보편적으로 사용 되는 전략으로, 주어진 문제상황에 적합한 방정 식이나 부등식을 일단 옳게 세우면 그 다음 단 계들은 거의 기계적으로 진행되어 답을 구할 수 있다. 이러한 의미에서 식 세우기는 거의 모든 수학문제의 해결에 유용한 문제해결 전략이다.

지하철 김포공항역에 가면 무빙워크가 있다. 무빙워크 를 타고 무빙워크 진행 방향으로 걸으면 평지에서 걷는 것보다 시간이 적게 걸리고, 무빙워크를 타고 무빙워크 진행 방향과 반대 방향으로 걸으면 평지에서 걷는 것보 다 시간이 오래 걸린다. A지점에서 B지점까지 무빙워 크를 타고 갔다 오는데 걸리는 시간과 무빙워크를 타지 않고 갔다 오는데 걸리는 시간을 비교해 보자.

규칙성 찾기

 문제에 주어진 조건이나 관계를 분석하여 어떤 규칙성을 찾아내고 이 규칙성을 확대,적용하여 문제를 해결하는 전략

<숙제> 1, 1로 시작하는 다음 수열의 12번째 항은?

1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, . . . n개의 직선으로 평면을 분할할 때, 분할된 영역의 최대 개수는?

특수화하기

 문제에서 구하려는 대상에 포함되는 특수한 대상 을 선택한 후, 이 대상에 대한 고찰을 통해 문제를 해결하는 전략

두 사람이 직사각형 모양의 테이블을 사이에 두고 동 전 놓기 게임을 하고 있습니다. 동전의 크기는 모두 같으 며, 한 번씩 번갈아 가면서 동전을 놓을 수 있습니다. 그 러나 놓여진 동전이 조금이라도 직사각형 모양의 테이블 을 벗어나서는 안됩니다.

어떤 사람의 차례가 돌아왔을 때, 더 이상 동전을 놓을 수 있는 자리가 없게 되면 그 사람은 지게 됩니다. 이 게 임에서 이기려면 어떻게 하면 될까요?

그 밖에

 거꾸로 풀기

 단순화하기

 간접증명법

 귀납(적 추론)

 유추(하기) 등……..

‘귀납’과 ‘유추’의 역할과 한계점

 귀납(적 추론)

 관찰, 실험, 측정, 구체적 조작 등을 통하여 몇 가지 사례에 대해 어떤 명제가 참임을 보인 다음에, 이 사 례들이 속한 전체 범주의 대상들에 대해 그 명제가 참임을 주장 하는 것

n개의 직선으로 평면을 분할할 때, 분할된 영역의 최대 개수는?

n=0 : 1=2⁰ (개) n=1 : 2=2¹ (개) n=2 : 4=2² (개)

………

n=k : 2^k (개) ?

 유추

 A라는 대상과 B라는 대상이 서로 유사할 때, A에서 성립하는 성질과 유사한 성질이 대상 B에서 성립할 것이라고 주장하는 것

평면에서 삼각형의 넓이

= 밑변의 길이 * 높이 * 1/2 이므로

공간에서 (삼)각뿔의 부피

= 밑면의 넓이 * 높이 * 1/3 (?)

평면에서 사다리꼴 넓이

= (아랫변의 길이 + 윗변의 길이) * 높이 * 1/2 이므로

공간에서 각뿔대의 부피

= (아랫면의 넓이 + 윗면의 넓이) * 높이 * 1/3 (?)

‘귀납’과 ‘유추’는 모두 수학적 추측 생성(발견)에 중요한 도구이자 개연성이 높은 추론방식이지만, 그 추측이 참임을 절대적으로 보장하지 못한다. 따 라서 연역적 추론 즉, 증명을 통해 참임을 확인하여 야 한다.