Chap. 10 Diffraction 10.1 일반 개념

175

Chap. 10 Diffraction 10.1 ^{일반 개념}

Aperture(slit)

내의 각 점은 들어온 파의 구형

2

차 파속 (

spherical secondary wavelets

)으로 작용한다. 이 본성 때문 에 진행하는 파는 작은 장애물을 만났을 때 그 뒤에 그림자를 만들지 않고 다시 새로운 파를 형성하는 것을 볼 수 있다. 회절 (

diffraction

^{)은 슬릿(}

slit

)을 통과한 빛의 구형

2

차 파속의 간섭 현상이며 많은 소스(

source

) 파를 다루는 것이 간섭과 다르다.

[

Each point on the aperture may be considered as a source of secondary spherical wavelets. The field at any point is calculated as the superposition of all the spherical wavelets.

Interference among the wavelets leads to the diffraction pattern.

^]

10.1.1 Fraunhofer ^와 Fresnel ^{회절의 차이}

Fraunhofer Diffraction(Far-field Diffraction) Aperture

(

slit

)와 광원(

source

) 그리고 관찰점 사이가 먼 (

far-field

) 회절이며, 회절무늬(

pattern

)는 크기만 바뀌고 형태는 변하지 않는다. 빛이

aperture

를 통과 할 때 다음의 수학적 조건을 만족하면 원거리 회절은 근사적인 평면 파 로 취급하여 계산한다.

2 2 2

( r   )  h  r

2 2 1/ 2 2 1/ 2

( ) [1 ( ) ] h

r r h r r

       r

2

1

2

[1 {1 ( ) }

2 2

h h

r r r

     

Far-field

란

 

의 조건을 말하는 것으로 파가 구면파가 아닌 평면파

(plane wave

)라는 뜻 이며 그 조건은 다음을 만족할 때이다.

2

2 r h



^또는

r A



⁽

^A

^:

aperture area

)

이 조건은

aperture-screen

거리에도 똑 같이 적용된다. 이때

aperture

를 통과하는 파들은 평 면파로 근사(

approximation

)하고 관찰점에서 결과는 그곳에 도달한 파의 위상들에 의해 결정 된다. 이러한 조건에서 위상을 결정하는 광로 차는 선형성(

linearity

)을 갖기 때문에 하나의 선 형함수(

linear function

)로 기술하며, 이것은

Fraunhofer

회절을 계산하는 데 사용하는 결정적 인 수학적 도구이다.

176

Fresnel Diffraction (Near-field Diffraction)

: 관찰점과

aperture

사이가 가까운 회절로

aperture

의 상이 관찰 스크린에 투영되며 스크린에 들어오는 파가 평면파가 아닌 구면파로 계 산된다. 일차 파속의 모든 점들은 구형

2

^{차 파속의}

emitter

들로 역할하며, 수학적으로는

Huygens-Fresnel Principle

을 보다 더 구체화하여 분석한다. 여기서는

2

차

emission

의 방향 성을 기술하는 경사도(

obliquity or inclination factor

)가 소개됨으로써

Fraunhofer

^{회절과 구}

별된다.

10.1.2 유한 개의 결맞음( coherent ) 진동자의 회절

슬릿 폭

b

인 창에 일정한 간격

d

로

N

개의 결맞음 진동자(

coherent oscillators

)가 있다고 하고, 입사파

E  E e

_o ^{i k r( t)}에 그 진동자들이 반응하여 만든

2

^{차 파(}

2nd wavelets

^{)가 경로}

1

, ,

2

r r

를 거쳐 한 점

P

에 모인다고 가정하자.

한 점

P

에서 중첩은 다음과 같이 계산된다.

3 1

1 2 ( ) ( ) (

( ) ( ) )

[ ]

o

N t i k rN

i k r t i k r

i k r t i k r t t

E  E e

^

 e

^

 e

^

  e

^

 e

^

3 1 1 1

1 2 1 ( ) ( ) 1

( ) ( ) ( )

[1 ]

o

N N

ik r r ik r r

i k r t ik r r ik r r

E e

^

e

^

e

^

e

^

e

^

     

^(10.1)

인접한 두 파의 광로 차:

  r

_N

 r

_N1

 d sin 

(10.2) 이웃한 두 파의 위상 차:

    k kd sin 

^(10.3)

2 1

sin

r   r d  k r (

₂

 r

₁

)  k d ( sin )   

177

3 1

2 sin

r   r d  k r (

₃

 r

₁

)  k (2 sin ) d   2 

1

( 1) sin

r

N

  r N  d 

k r (

_N

 r

₁

)  k N [(  1) sin ] d   ( N  1) 

이들에 의해 (10.1)은 다음과 같이 정돈된다.

2 2 1

( 1 )

[1 ( ) ( ) ( )

^N

( )

^N

]

o

i i i i

i k r t

E  E e

^

 e

^

 e

^

  e

^{ }

 e

^{ } (10.4)

※ 초항, 공비, 항의 수가 각각

a r n , ,

일 때 수렴 등비수열의 합:

(1 ) 1 a r

n

S r

 



1 1

( )

1 ( ) 1

[ ] [ ]

1 1

N N

o o

i i

i i

i k r t

e

i t ik r

e

E E e E e e

e e

 

 

 









 

 

^(10.5)

※

/ 2 / 2 / 2

( 1) / 2

/ 2 / 2 / 2

1 ( ) sin( / 2)

[ ][ ]

1 ( ) sin( / 2)

i N i N i N i N

i N

i i i i

e e e e N

e e e e e

   

    





 



 

 

 

[ 1 ( 1) / 2]

sin( / 2)

[ ]

sin( / 2)

o

i k r N

i t

N

E E e

^

e

^





 



 ^(10.6)

중앙 진동자로부터

P

^{점까지의 거리를}

R

이라 하고 (10.3)의

d sin    / k

^{을 사용하면}

1 1 1

1 ( 1) sin ( 1) ( 1) ( )

2 2 2

R N d r N r N k R r

k

 



         

^(10.7)

(10.7)을 (10.6)에 대입: ^{( )}

sin( / 2)

[ ]

sin( / 2)

o

i k R t

N

E E e

^







 (10.8)

Irradiance (Flux-density or Intensity): EE *

2 2

sin( / 2)

2

sin( / 2)

2

[ ] [ ]

sin( / 2) sin( / 2)

o o

N N

E E  I I 

 

  

^(10.9)

결과 해석

(a)

Principal maxima

^{: 분모가}

0

에 접근하면 그 조건을 만족하는 곳에서 회절의

irradiance

^가

강하게 나타난다. 분모가

0

에 접근하는 조건은 다음과 같다. 여기서

m    0, 1, 2,

^.

sin 0

2

 _

:

2

2 m m

      

(10.10)

※

L'Hospital rule

^:

0

sin( ) lim

^x

sin

Nx N



x 

(10.10)은

principal maxima

가 있는 각의 위치이고 이때

principal maxima

^의

irradiance

^는

2

I  N I

o ^(10.11)

여기서

I

_o^{는 진동자(}

oscillator

^{) 하나의}

irradiance

^이다.

(10.3)의 위상 차

  kd sin 

^:

2

sin 2 sin

d m d m

    

 ^{  }

^(10.12)

Zero-order principal maximum: m  0

일 때 가장 강한 회절 강도가 나타나며 그것은 회절의 중앙 축(

  0

)이다. 만일 슬릿(

slit

)의 크기가

d  

이면, (10.12)는

m  0

^로

zero-order

principal maximum

만 존재한다. 왜냐하면

m  0

의 경우

sin   1

이므로 모순이다. 예로서 결정의 원자구조를 조사하는 경우 전자 진동자(

electron oscillator

)들은 원자거리만큼 떨어져

178 있고, 여기에 입사하는

X

-선의 파장(

Cu

_K

:1.5

o

A

)은 원자거리 정도이기 때문에 원자의 회절

peak

^{들은 대부분}

zero-order principal maximum

이며, 이때 회절 강도는 (10.11)이다.

(b)

Minima

: (10.9)의 분자 부분만

0

되는 조건에 있을 때이다.

Minima condition

은

sin 0 2 N 



^:

1

sin ( )

2

N m d m

N

      

^(10.13)

※

( / m N )

이 다른 정수

m '

, 즉

( / m N )  m '

이 된다면 이곳의

principal maxima

는

irradiance

^가

0

^{가 된다.}

진동자수,

N

^{에 의한}

irradiance

⁽

flux density

^{) 분석}

1:

N 

I  I

_o

2 :

N 

sin

²

[ ]

sin( / 2) I I

o



 

^(10.14)

※

sin

²

[sin( )]

²

[2sin cos ]

²

4sin

²

cos

²

2 2 2 2 2 2

     

    

. 따라서 (10.14)는

4 cos

²

o

2 I _ I 

(10.15)

2

N 

^는

Young

의 간섭과 같다. 즉,

Young

의 간섭은 진동자가 두 개인 회절의 특별한 경 우에 해당한다고 말할 수 있다. 진동자 수

N

이 늘어나면 회절 형태는 작은 보조

maxima

^에

의해 분리된 일련의 뚜렷한

principal peak

^{들로 나타난다.}

10.1.3 ^{연속 진동자(} Continues Oscillators ⁾

수학기법 개발:

x

축 방향으로는 단일 진동자들 (

single oscillators

)이 놓여 있는 폭으로 하고,

y

^{축은 길이}

b

에 거의 무한한

N

^{개의 진동자}

가 연속적으로 놓여 있다고 가정한다. 여기서

b

는 입사 파장의 수백 배 이내로 한정한다. 창 이 크면 회절현상은 미약하여 거의 관찰할 수 없다. 단위길이당 진동자 수(밀도)는

N b /

^이다.

b

^{를 미소거리}

dy

로 균일하게 분할(

segment

⁾

하였다고 생각하면 분할 길이

dy

^{내의 진동자}

수는

( N b dy / )

^{이다. 여기서}

dy

^{는 대단히 작}

기 때문에 그 속에 있는 진동자들은 모두 같은 위상을 갖는다고 가정한다. 이때

dy

^{내의 진동}

자들에 의한 점

P

에서의 전기장은 다음 수식으로 주어진다.

( )

( )

o i t k r

N

dE e dy

r b



 _



(10.16)

여기서



_o는 한 진동자의 진폭이다. 단위길이당 소스세기(

source strength

) 즉 진폭을



_L로

179

정의하고 (10.16)을 이것으로 다시 쓰면 전기장은 다음 수식으로 주어진다.

1 lim ( )

L o

N

N

 b 



 ^(10.17)

1

( )

( )

M L

j

j j

i t k r

N

E e y

r b







 





^(10.18)

연속적인 선 소스(

line source

)에 대해 구간

M  

^{일 때}

 y

_j는 무한소

dy

로 정의되며 (10.18)은 다음으로 표현된다.

( )

L

i t k r

dE e dy

r



 ^



^(10.19)

창

b

의 전 구간에서 오는 파가 점

P

에 모이는 전기장은 구간의 적분형태를 갖는다.

^{/ 2}

/ 2

( )

b L b

i t k r

E e dy

r







 

 ^(10.20)

여기서

r  r y ( )

이다. (10.19)나 (10.20)은 앞으로 연속적

emitters

⁽

wave sources

^{)에 대한 회}

절을 계산하는 수학적 도구(

mathematical tool

)로 사용된다.

R

은 슬릿의 중앙에서 점

P

^까지

의 거리이고, 그 거리에 따라

Fraunhofer

^와

Fresnel

회절을 구분한다.

Fraunhofer

^회절은

b R

^이며

r y ( )

^는

R

로부터 크게 벗어나지 않으므로,

dy

내의 진동자에서 오는 파들은 모두 결맞음(

coherent

)한다고 가정한다. 점

P

에 도달하는 파의 진폭은

r y ( )

의 변화보다 위상 변화 에 훨씬 더 민감하므로 분모는

r  R

의 근사 값을 적용하고, 지수의

kr

은 위상을 나타내기 때문에

r

을 변수로 그대로 사용한다. 이와 달리

Fresnel

^회절은

b R

이 아니기 때문에 분 모는

r R

의 근사값을 사용할 수 없으며 분모의

r

도 변수로 사용된다.

10.2 Fraunhofer Diffraction 10.2.1 ^단일슬릿

(

Single Slit

)

폭이

dy

^{인 띠(}

strip

)에 결맞음 선 진동자(

coherent line source

^)들이

y

축으로 놓여 있고 슬릿 폭

b

^{는 수백}



^{이내이다.}

Aperture

^의

x

^{축 길이 은 수}

cm

^로

x  

^{이기 때문에}

x

^방향

180

은 회절이 거의 없다. 그림에서



는

XY

평면

P

에서

aperture

중심으로 측정된 각이다.

거리와 각들을 좀더 구체적으로 보기 위하여

dy

띠는 단일 진동자들이 놓여 있는 경우로 생각 하자(아래 그림 참조). 여기서

b

^{는 수백}



^{이내 일 때}

b R

^그리고

r ' R

^{의 근사}

(

approximation

)가 가능하다. 이러한 조건에서

y

축에 있는

dy

내의 진동자들로부터

P

점에 도달하는 거리

r y ( )

^는

b

^{의 중앙(}

y  0

^{)에서 오는}

r '

과 거의 같다. 즉,

r ' r R

^이다.

이러한 경우 (10.19)는 다음과 같이 변형시키는 것이 가능하다.

( )

L i t k r

dE e dy

R



 _



(10.21)

회절은 위상(

phase

)에 민감하므로 지수의

r

은

R

로 바꾸지 않았다.

Cosine rule

을 적용하고,

'

r  R

,

y R

이므로 급수로 전개하여

r

을 구하면

2 2 2 o

2 cos(90 ) r  R  y  Ry  

2 2

1/ 2

2 2

2 sin 1 2 sin

[1 ( )] 1 ( )

2

r y y y y

R R R R R

 

      

1 sin

r y

R R

 

 r   R y sin 

(10.22)

이를 (10.21)에 대입하여 적분하면

[ ( sin )]

L i t k R y

dE e dy

R

 



_{ }



(10.23)

/ 2 / 2

( ) ^b ( sin )

L

b

i t kR i k y

E e e dy

R

 











^(10.24)

※ ^{/ 2}_{/ 2}

( )

( sin )

[ ]

sin

L b

b i t kR

i k y

E e e

R i k

 





^



 ^{( )}

[

^{( / 2) sin ( / 2) sin}

]

sin

L

i t kR

i k b i k b

e e e

R i k

  





 

 

( )

[2 sin( sin )]

sin 2

L

i t kR

e kb

R i k i













sin[( / 2) sin ]

^{( )}

( / 2) sin

L

b kb

i t kR

E e

R kb

 







 ^(10.25)

( kb / 2)sin 

를



로 놓고 다시 표현:

sin 2

  kb 

(10.26)

181

( )

( sin )

L

b

i t kR

E e

R

 







 ^(10.27)

Irradiance (intensity)

^:

I ( )   EE

^



1

²

sin

²

( ) ( ) ( )

2

L

b

I R

 

 ^ 

^(10.28)

※ (10.28)에

1/ 2

가 있는 이유:

Im[ e

^{i(t kR )}

]  sin(  t  kR )

^.

EE

^{를 하면}

sin (

²

 t  kR )

^가

나타나고 이것의 평균은

 sin (

²

 t  kR )  1/ 2

이다.

  0

^이면

(sin   / )  1

^{. 이 때}

I (   0)  I

₀^.

I

0^는

irradiance

가 가장 큰 것으로

principal maximum

^{이며 중앙(}

  0

^{)에 있다.}

Principal maximum intensity

^: ₀

1

²

( )

2

L

b

I R

 

^(10.29)

2 2

0 0

( ) ( sin ) sinc

I  I  I 

  

(10.30)

( )

I 

는

y

축에 대해 대칭(

symmetry

)인 함수이다. 그리고 이 표현은 그 축을 포함하는 어떤 평면에서 측정된



에 대해서도 부합하며 결과는 위에 소개된 그림과 같이 나타난다.

(10.26)의



^{를 다시 쓰면}

sin 2 sin sin

2 2

kb  b  b

   

 

  

^(10.31)

b 

이면 (10.30)은



^가

0

을 조금만 벗어나도

irradiance

는 급격히 감소한다. 이와 반대로

b 

^이면



는 작은 값이므로

sin  

^{, 따라서}

I ( )  I

₀로 원자의 회절에 귀결되며 결 정의 구조를 연구하는

X  ray

회절은 바로 이 조건을 이용한다.

( )

I 

^의

Extrema

(

minima or maxima

): (10.30)의

I ( ) 

^를



^{로 미분하여}

0

인 곳이다.

0 3

2sin ( cos sin ) dI 0

d I

   

 

  

^(10.32)

(a)

Minima

^:

Irradiance

^가

0

인 조건은 분자가

0

^{이어야 하므로}

sin   0    m  ( m    1, 2, )

(10.33) (b)

Subsidiary maxima

: (a)와 마찬가지로 (10.32)는 다음도 성립한다.

 cos   sin   0  tan   

(10.34)

182

(10.34)는 초월함수 방정식(

transcendental equation

)이며, 식을 만족하는 값은

f

₁

( )   tan 

와

f

₂

( )   

의 그래프가 교차되는 곳으로

subsidiary maxima

^{에 해당한다.}

이때



^{계산 값:}

   1.4303 ,   2.4590 ,   3.4707 , 

Subsidiary maxima

는 대략

  m 

사이의 중앙, 즉 다음 값의 근처에 있다.

1.5 , 2.5 ,

     

Single slit

^{의 종합}

Electric field

^:

sin

^{( )}

( )

L

b

i t kR

E e

R

 





^



Irradiance

^: ₀

sin

²

( ) ( )

I  I 

 

Minima

^:

I ( )   0 when sin     0  m 

⁽

m    1, 2,

^).

Principal maximum

^:

sin

 1

  when   0

^,

then I ( )   I

₀

which is principal maximum

^.

Subsidiary maxima

^{: 대충}

minima

사이의 중앙에 있다.

아래 그림은 단일슬릿의

fringe patterns

를 보여준다.

※

Cosine rule

2 2 2

2 cos a  b   c bc B

2 2 2

2 cos b  c  a  ca B

2 2 2

2 cos c  a  b  ab A

※

Sine rule

sin sin sin

a b c

A  B  C

183

10.2.2 ^다중슬릿

⁽

Multiple Slit

⁾

x

축의 창 길이는 커서

x

축 회절은 없으며

y

축 방향의 슬릿 폭

b

^(수백

micron

^{이내)는 대}

단히 작아

y

축으로만 회절이 있는 다중슬릿을 분석한다. 여기서 슬릿과 슬릿 사이의 간격은

a

^이며

a  b

^{이다. 그림의}

N

^{개의 슬릿 중}

j

번째 슬릿에서 점

P

^{에 온}

E

_j는 적분구간을 제 외하고 (10.24)와 동일하다.

근사값

R R

_j를 사용하여 계산하면

/ 2 / 2

( ) ( sin )

L j

j a b j a b

i t kR i k y

E e e dy

R

 



^









^(10.35)

/ 2 / 2

( )

[

sin

] sin

L j

j a b j a b i t kR

e

ik y

E e

R ik

 





^





( )

( / 2)sin ( / 2)sin

[ ]

sin

L

i t kR

ik ja b ik ja b

e e e

R ik

  





  

 

( )

( / 2) sin ( / 2) sin ( sin )

[ ]

sin

L

i t kR

i k b i k b i j k a

e e e e

R ik

   





 

 

이것은 앞에서

single slit

의 (10.24)~(10.27)과 같은 방법에 의해 다음과 같이 구해진다.

( ) sin

sin ( )

L j

i t kR ik a j

E b e e

R

 

 





 ^(10.36)

( ka / 2)sin 

^를



라 놓고 모든 슬릿에서 점

P

에 모이는 전기장(

electric field

^{)을 계산하면}

2 sin

  ka 

(10.37)

1 1

0 0

( ) 2

sin [ ( ) ]

N N

L j

j j

i t kR i j

E E b e e

R

 

 



 

 

  





^(10.38)

등비수열의 합:

1

2 3 1

0

2 2 2 2 2

( ) [1 ( ) ( ) ( ) ( ) ]

N

N

j

i j i i i i

e

^

e

^

e

^

e

^

e

^

 



     



2

( 1)

2

1 ( ) sin

( )

1 ( ) sin

i N i N i N i N

i N

i i i i

e e e e N

e e e e e

   

    





 



 

  

 

^(10.39)

184

(10.39)를 (10.38)에 대입하면

E

^와

irradiance

는 다음과 같다.

Electric field

:

sin sin

^{[ ( 1) ]}

( )( )

sin

L

b N

i t kR N

E e

R

 

  

 

  



^(10.40)

Irradiance

: ₀

sin

²

sin

²

( ) ( ) ( )

sin

I  I  N 

 



^(10.41)

여기서

I

₀는 (10.29)인

single slit

의

  0

^에서

principal maximum irradiance

이다.

2 0

1 ( ) 2

L

b

I R

 

  0

^에서

irradiance

^{는 점}

P

에 도달하는 파가 모두 같은 위상(

in-phase

)의 보강간섭만 일어 나는 경우이다. 이때

(sin   / ) 1 

^,

(sin N  / sin )   N

이므로 (10.41)에서

N

^{개에 의한}

total irradiance

는

2

( 0)

0

I    N I

(10.42)

폭

b  0

이면 (10.9)의 선형 진동자의

irradiance

가 된다. 즉

sin

2

( ) ( )

o

sin I  I N 

 

슬릿의 수에 따른 (10.41)의

irradiance

분석 (a)

N  1

⁽

single slit

⁾

위의 단일슬릿에서 계산한 것과 동일하다.

(b)

N  2 (double slit)

Irradiance

^: ₀

sin

^{2 2}

( ) 4 ( ) cos

I  I  

 

^(10.43)

  0

^이면

    0

^,

I (   0)  4 I

₀

Double slit

의 전체적인 현상은 간섭항(

interference term

^)인

cos

²



^{가 회절항(}

diffraction term

^)인

(sin   / )

^{2에 의해 조정(}

modulation

)된 것으로 간주할 수 있다.

b

가 아주 좁다면



로 인한 회절형태는 넓은 중심영역에 걸쳐 있고

Young

^의

fringe

들이 그 속에 나타난다.

회절항

(sin   / )

^{2의 해석}

(a)

Irradiance

^가

0

^{인 위치(}

missing order

^위치):

sin   /  0

^{, 즉 분자}

sin   0

^{일 때}

( ) 0

I  

이므로 회절로 인해 보강간섭이 사라지는 위치는



에 의해 다음과 같다.

2 sin

kb m

    



s i n m b

  

:

2 3

sin , , ,

b b b

  

    

(10.44)

※

m  0

는

  0

가 된다. 이때

sin   /  1

이 되어

m  0

는

irradiance

가 가장 강한 중앙 위치에 해당하는

principal maximum

이므로

irradiance

가

0

인

missing order

가 될 수 없다.

(b)

Young

의 간섭위치:

(sin   / ) 1 

이면서

cos

²

  1

일 때 이므로 이에 의한 보강간섭 위치는



에 의해 다음과 같이 결정된다.

185

2 sin

ka m

    



s i n m a

  

^:

2 3

sin , , ,

a a a

  

    

^(10.45)

(예)

a  3 b

^인

double slit

의

irradiance

(

intensity

)

distribution

및

missing orders

.

Double slit irradiance

^: ₀

sin

^{2 2}

( ) 4 ( ) cos

I  I  

 

⁽¹⁾

2 sin

  ka  and sin 2

  kb 

⁽²⁾

3

a  b

⁽³⁾

보강간섭 위치:

cos

²

   1   m 

^{, 즉}

2 sin sin

2 3

a m m

m a b

     

 ^{   }

⁽⁴⁾

이 때의



^값:

sin ( ² )( )( )

2 2 3 3

kb b m m

b

  

  

    

⁽⁵⁾

Order m

에 따른

irradiance

의 크기 계산 (a)

m  0

: (4)와 (5)에서

    0

^이므로

sin

 1

 

^,

cos   1

, 따라서 (1)의

irradiance

^는

( 0) 4

0

(0) / (0) 1

I    I  I  I I 

(b)

m   1

^:

3

   

^, ₁

sin( / 3)

^{2 2}

27

₂

( ) (0)[ ] (1) (0) (0.6846) (0)

( / 3) 4

I  I  I I

 

  

(c)

m   2

^:

2 3

   

^, ₂

sin(2 / 3)

^{2 2}

27

₂

1

₁

( ) (0)[ ] (1) (0)

(2 / 3) 16 4

I  I  I I

 

  

(d)

m   3

^:

   

^, ₃

sin( )

^{2 2}

( ) (0)[ ] (1) 0

I  I 

  

186

※

a  3 b

인

double slit

에서는

m  3 m m '( '    1, 2, )

인 곳에서

missing order

(

irradiance

가

0

인 지점)가 된다. 즉

m   3

^,

 6

^,

 9,

^이

missing orders

^이다.

위치에 따른

irradiance distribution

은 위의 그림과 같다.

(c)

N  3

다중슬릿

Multiple slit의 irradiance

(10.41)식: ₀

sin

²

sin

²

( ) ( ) ( )

sin

I  I  N 

 



(a)

Principal maxima

^:

0

lim sin sin

N N











^{일 때, 즉}

sin   0

^{일 때}

2 sin

ka m

    

( 2 )( sin ) sin

2

^m

a m a m

    

 ^{  }

^(10.46)

(b)

Minima

(

zero intensity

):

sin

²

( ) 0

sin N 

 ^

^{일 때, 즉}

^{sin N}   ⁰

^{일 때}

N   m 

:

m

N

  

(단

m  0

) (10.47)

이것은



^간격의

principal maxima

^사이에

N  1

^개의

minima

가 존재하는 것을 의미한다. 물 론

minima

들 사이에 보조(

subsidiary

⁾

maxima

^{들이 존재한다.}

Principal maxima

^사이에는

1

N  zeros

^,

N  2 secondary(subsidiary) maxima

^{가 있다.}

미분으로 해석

2 2

sin sin

( ) (0)( ) ( )

sin

I  I  N 

 



 ( ^sin )

²

sin I K N 

 

^(10.48)

여기서

sin

²

(0)( )

K I 

 

^,

sin

2

  ka 

Absolute maximum

^{: 2 2}

0

sin( )

lim[ ]

m

sin

I K N KN













^(10.49)

다음의 미분조건을 만족할 때 위의 수식은

extrema

⁽

maxima

^와

minima

^{)를 갖는다.}

187

2

sin( ) cos( ) sin sin( ) cos

2 [ ] 0

sin sin

dI N N N N

d K

    

  

  

Minima

위치:

sin( N  )  0  N   m  ( m  0)

^(10.50)

Maxima

위치:

N cos( N  )sin   sin( N  ) cos   0

tan tan( )

N   N 

^(10.51)

1

( ) tan

f   N 

^와

f

₂

( )   tan( N  )

의 두 함수를 만족하는 곳이

maxima

^이다.

10.2.3 Rectangular Aperture

아래 그림은

z

축을 따라 진행하는

monochromatic plane wave

가

aperture

면

ab

를 투과하여 점

P

에 회절무늬를 만드는 것을 보여주는 그림으로 점

P

가 있는 투영면은

aperture

면과 평 행하다. 이때

aperture

^{의 미소면적}

ds  dx dy

는 아주 작게 생각하면

ds

^{에서 나온}

2

^{차 파들}

은

coherent

하고 초기 위상 차가 없다고 가정해도 무방하다.



A를 단위면적당 소스진폭(

amplitude

)이라 하면

( )

A i t k r

dE e ds

r



 _



^(10.52)

연속 진동자(

oscillators

)에 대한 수학적 기법에서 논한 바와 같이 분모의

r

^은

R

^{로 놓아도}

amplitude

에는 별 영향이 없다(

r  dx or dy

^{). 그러나}

exponential

^{에 있는}

r

^{은 작은 변화에}

서 조차 큰 위상의 변화를 가져와 점

P

^의

irradiance

에 영향을 준다. 따라서 이곳의

r

^은

R

로 변경할 수 없으며, 이

r

^을

x y ,

좌표로 바꾸어 점

P

에서의 전기장을 계산한다.

Aperture

면과

P

가 있는 투영면은 평행하므로 미소면적

ds

^{부터 점}

P

^{까지 거리는}

2 2 2 1/ 2

{( ) ( ) }

r  X  x  Y  y  Z  [( X

²

 Y

²

 Z

²

) 2(  xX  yY ) (  x

²

 y

²

)]

^{1/ 2}

2 2 2 2

R  X  Y  Z

이므로

2 2 2 2 1/ 2

[(1 2( ) / ( ) / ]

r  R  xX  yY R  x  y R

[(1 ( ) /

2

] ( ) /

R xX yY R R xX yY R

     

188

Aperture

면

ab

에 의한 점

P

에서의 전기장은

( )

( )/

A

A

i t k R

ik x X yY R

E e e ds

R



 ^ _

 

^(10.53)

/ 2 / 2

/ 2 / 2

( )

/

a / b

A

a b

i t k R

i k yY R i k x X R

E e e dx e dy

R





 





 

^(10.54)

(10.54)는

r

의 작은 변화에 대한 위상변화를 고려하는 수식이다.

지수들을 다음과 같이 놓고 적분하면

2 ' kaX

R  

^:

kxX 2 ' R a x

 

^(10.55)

2 ' kbY

R  

:

kyY 2 ' R b y

 

(10.56)

/ 2 / 2

/ 2 / 2

/ 2 / 2

(2 '/ ) (2 '/ )

/

[ ]

2 '

a a

a a

a a

i a x i a x

ik x X R

a

e dx e dx e

i

 













 

' '

sin '

( )

2 ' '

i i

a a

e e

i

 





^



  

/ 2 / 2

/ 2

/ 2 / 2 / 2

/ (2 '/ ) (2 '/ )

[ ]

2 '

b b

b

b b b

ik yY R i b y

b

i b y

e dy e dy e

i

 



^









 

' '

sin '

( )

2 ' '

i i

b b

e e

i

 





^



  

이들을 (10.54)에 대입:

( )

sin ' sin '

( )( )

' '

A

i t kR

A e

E R





 

 



 (10.57)

여기서

A  ab

로

aperture

면적.

X  0, Y  0

, 즉

P

_o에서의

irradiance

를

I (0)

라 하면

1

2

(0) ( )

2 A

A

I R

 

^(10.58)

2 2

sin ' sin '

( , ) (0)( ) ( )

' '

I X Y I  

 



(10.59)

Minima

의 위치

(a)

X

^축의

minima

^조건:

sin '

' 0 1

'

 

   

^이면서,

sin '

0 '

' m

  

 ^{  }

' 2 2

2

kaX m aX Rm

R

   

    

:

R

X m a

 

(10.60)

(b)

Y

^축의

minima

^조건:

' 0 ^{sin '} 1 '

 

   

^이면서,

sin '

0 '

' m

  

 ^{  }

' 2 2

2

kbY m bY Rm

R

   

    

:

R

Y m b

 

(10.61)

여기서

m     1, 2, 3,

.

각 축의

subsidiary maxima

는 이들

minima

사이에 존재한다.

이 조건들에서

I X Y ( , )  I (0, 0)  I (0)

는

maximum irradiance

이다.

다음 그림은

a   b 10 

인 정사각형(

square

)

aperture

와

a  10 

,

b  5 

(또는 역)인 직사각 형(

rectangular

)

aperture

의

nodal line grid

및 실제

image

이다.

189

10.2.4 Circular Aperture

Circular aperture

^의

Fraunhofer

회절은 실질적인 광학장비의 연구에 대단히 중요하다. 이 분 야의 회절을 논하려면 수학적으로

Bessel function

을 알아야 한다. 따라서

Bessel function

^을

먼저 공부한 후

circular aperture

^의

Fraunhofer

회절을 논하도록 하자.

Bessel function

^에서

논하는 수식은 번호 앞에

B

를 붙여 본문의 번호와 구분한다.

※ The Bessel Functions

Bessel function

^{은 원통좌표(}

cylindrical coordinates

^)에서

Laplace equation

^{의 해(}

solution

^)로

발견되기 때문에

cylindrical equation

^또는

cylindrical harmonics

로 알려져 있다.

Bessel’s differential equation

:

2

2 2 2

2

( ) 0

d y dy

x x x n y

dx

dx    

여기서

n

는

Bessel function

의

order

로 임의의 실수(

arbitrary real number

) 또는 복소수 (

complex number

)이다. 가장 일반적인 경우는

n

가 정수(

integer

)이거나 반정수(

half integer

) 로 나타난다.

Bessel functions of first kind

:

J

_n

( ) x

n

( )

J x

는

n

가 음수가 아닌 정수(

non-negative integer

)에 대해 원점(

x  0

)에서 유한한 (

finite

)

Bessel

미분방정식의 해(

solution

)이다. 그리고 음수인 비 정수(

negative non-integer

) 에 대해서는

x

가

0

에 접근할 때에 발산하는 것에 대한 해이다.

정수(

integer

)나 비 정수(

non-integer

) 해의 형태

2 0

( 1) 1

( ) ( )

! ( 1) 2

m

m n n

m

J x x

m m n

 



 

  



190

Bessel function

의

graph

는

1/ x

로 비례하여

decay

하는

sine

이나

cosine

함수이다.

(A) Bessel’s Integrals

^:

Bessel function

은 다양한 형태의

integral

로 표현될 수 있다.

0

( ) 1 cos( sin )

J u

n ^

u  n   d

   

^(B.1)

2 0

( )

cos

( ) cos( )

2

n

n

i

iu

J u

^

n  e

^

d 



 

  

^(B.2)

2 0

( )

cos

( ) sin( ) 0

2

n

n

i

iu

J u

^

n  e

^

d 



 

   

^(B.3)

2 0

1

sin

( ) cos( ) for even

n

2

J u

^

n  e

iu ^

d  n



 





^(B.4)

( ) 0

J u

n

 for n  odd

.

2 0

1

sin

( ) sin( ) for n odd

n

2

J u

^

n  e

iu ^

d 



 





^(B.5)

( ) 0

J u

n

 for n  even

.

2 2

0 0

( cos )

( )

cos

( )

( ) 2 2

n n

n

i n u

in iu

i i

J u

^

e

^

e

^

d 

^

e

^{ }

d 

 

 

 

 

   

^(B.6)

2 2

0 0

( sin )

( 1)

sin

( 1)

( ) 2 2

n

n n

i n u

in iu

J u

^

e

^

e

^

d 

^

e

^{ }

d 

 

 

 

   

^(B.7)

(B.6)에

n  0

와

n  1

을 적용하면

J u

_o

( )

와

J u

₁

( )

를 얻을 수 있다.

0

n 

^{: 2}

0

1

cos

( ) 2

o

J u

^

e

iu ^

d 

  

^(B.8)

1 n 

:

1 1

2 0

( cos )

( )

( ) 2

i u

J u i

^

e

^{ }

d 



 

  

^(B.9)

(B) Bessel’s Recurrence Relations

Bessel function

은 다음의 관계를 가지며, 이것은 위의

integrals

로 증명할 수 있다. 여기서

n

는

dummy index

이기 때문에 임의의 정수 값을 넣어 수식을 만들 수 있다.

[

ⁿ _n

( )]

ⁿ _n 1

( ) d u J u u J u

du 

^ (B.10)

(B.10)을 미분하고

u

ⁿ으로 양변을 나누면 다양한 형태의

relations

를 얻을 수 있다.

1

1

( )

'

( ) ( )

n n n

n n n

nu

^

J u  u J u  u J

_

u

(B.11)

1

'

( ) ( ) ( )

n n n

J u J u n J u



u

 

(B.12)

1

'

( ) ( ) ( )

n n n

J u n J u J u

u

^

 

(B.13)

1 1

'

1

( ) [ ( ) ( )]

n

2

n n

J u  J

_

u  J

_

u

(B.14)

1 1

( ) ( ) 2 ( )

n n n

J u J u n J u







 u

(B.15)

191

(C) Bessel function

의 값

First kind Bessel function J u

_n

( )

^는

u

에 따라 다음의 그림과 같이 감소한다.

u

^{에 대한}

n

( )

J u

의 값은 수표화 되어 있다.

The Diffraction of the Circular Aperture



평면에 반경이

a

인

aperture

의 원점에서 거리



의 미소면적

ds

에 있는

source

와 그로 인 한

r

^떨어진

 '

평면의 원점에서 거리

q

^{인 점}

P

에서의 회절을 생각하자.

Rectangular aperture

수식(10.53)을 다시 쓰면

( )

( )/

A

A

i t k R

i k x X yY R

E e e ds

R



 ^ 

 

^[10.53]

이 수식에 나타난 직각좌표의

x X y Y , , ,

를 원좌표(

circular coordinates

)로 변환하자.

cos

x   

,

y   sin  ds     d d cos

X  q 

,

Y  q sin 

x X  y Y   ( c o s q  c o s   s i n   s i n   ) q c o s (    )