Cylindrical wavefront zones 에 대한 Cornu spiral

220

/ 2

P u

E  E e

i^ (10.157)

따라서

irradiance

^는

I

_P

 I

_o^이다.

221

한다. 각

strip zone

의 경계들과 관계 있는 점들은

spiral

상에 위치할 수 있다. 왜냐하면 그러 한 위치들에서 상대적인

phase 

^는



에 짝수나 홀수 곱이기 때문이다. 예를 들면 점

Z

_s1

(이것은

cylindrical wavefront zones

^그림의

z

₁과 관련 있는 점)은 정의에 의해

O

_s^{에 대해}

 out of phase

이다. 그러므로

Z

_s1 은

spiral

의

top

에 위치하고 여기서

w  2

그리고

2

/ 2

   w  

^이다.

10.3.6 Fresnel Diffraction by a Slit

z

^{축은 좁고}

y

축으로 대단히 긴

rectangular-aperture

^{인 경우}

u

₂

 

^,

u

₁

 

^이므로

12

( ) u  2 e

^i/ 4

B

식 (10.156):

|

₁₂

( ) | |

² ₁₂

( ) |

²

4

o P

I  I B u B v

에

B

₁₂

( ) u  2 e

^{i/ 4}을 대입하면

irradiance I

_P는 다음과 같다.

2

|

12

( ) | 2

o P

I  I B v

^(10.158)

I

P는

y

에

independent

하므로 단지

z

₁,

z

₂에 의해

   v v

₂

v

₁을 결정하고

phasor B

₁₂

( ) v

를 구한다. 이에 대한 예로

spiral

에 놓여 있는 길이

 v

^{의 한}

string

을 생각하자. 점

O

^{에 대}

한 점

P

에서

aperture

는 등방적(

symmetrical

)으로 그

string

은 다음 그림의

O

_s가 중심이다 [그림에서

B

₁

( 1.0) 

과

B

₂

(1.0)

이 이에 해당].

Square aperture

에서 한 것과 마찬가지로

I

_P를 구하려면 현(

chord

⁾

| B

₁₂

( ) | v

를 단지 자로 재어 이 값을 (10.159)에 대입하면 된다. 한편 관찰 점

P

₁에서

z

₁과 관계된

v

₁은 보다 작은

negative numbers

이고 이와 반대로

z

₂와 관계된

v

₂

는 양으로 증가했다[그림에서

B

₁

( 0.5) 

와

B

₂

(1.5)

가 이에 해당]. 호의 길이(

string

)

 v

는 일 정하지만 이 경우 그

string

^은

spiral

위로 이동하며 그림에서 보는 바와 같이

B

₁₂

( ) v

^{의 현의}

길이는 줄어 든다. 관찰 점이

z

₁이 있는 아래

edge

를 벗어나

geometric shadow

즉

O

₂

 P

₂

또는 그 아래로 움직임에 따라

string

은

B

^ 주위로 감기고 현은 일련의 상대적인

extrema

를 지나간다. 만일

 v

가 대단히 작으면

string

조각은 작고, 이때 현 |B₁₂( ) |w ^는

spiral

^자체의

222

곡률 반경이 작을 때에만 인지할 수 있을 정도로 감소한다. 이것은

B

^ 또는

B

^ 근방, 즉 멀 리 벗어난

geometric shadow

인 곳에서 일어난다. 그러므로

aperture

가 상대적으로 작으면

aperture

^의

edge

^{를 넘어 선(}

beyond edge

) 빛이 있을 것이다. 그때

 v

가 작으면 폭 넓은 중 심의

maximum

이 있을 것이라는 것을 주목하라. 사실, 만일

 v

가

1

보다 훨씬 작다면

r

_o



는

aperture

폭보다 훨씬 크며

Frauhofer

조건이 지배적이다.

w

^{가 크면}

Fresnel integral

^{은 다음}

과 같이 삼각함수의

asymptotic form

⁽

trigonometric representations

)으로 나타낼 수 있다.

Fresnel integrals

의

asymptotic form 1 1

2

( ) ( ) sin( )

2 2

u w

w

 

  

^(10.159)

1 1

2

( ) ( ) cos( )

2 2

w w

w

 

  

(10.160)

이 경우 (10.159)의

Fresnel diffraction

^{은 원거리}

diffraction

인 (10.30)의 형태로 전환이 더 바람직하다.

2 2

0 0

( ) ( sin ) sinc

I  I  I 

  

^[10.30]

r

o는 고정이면서 슬릿이 넓어지면

 v

는 점점 더 커지며 이때 슬릿의 중심을 잇는

r

_o^{상에 놓}

인 점

P

^는

spiral string

이 아래 그림과 같은 구성을 가질 때가 있다. 만일 관찰 점이 수직으 로 위 또는 아래로 움직이면

 v

^는

spiral

아래 또는 위로

slide

한다. 양 경우에 현은 증가하 지만 중심의

diffraction pattern

^{은 상대적인}

minimum

^{이어야만 한다.}

Fringes

^는

Fraunhofer pattern

과 달리 슬릿의 기하학적

image

내에서 나타난다.

다음 그림은

( w

₁

 w

₂

) / 2

에 대해 그려진 두 개의

| B

₁₂

( ) | w

²

curve

를 보여 준다. 여기서

1 2

( w  w ) / 2

^{는 호의 길이(}

string

^{의 길이)인}

 w

의 중심을 나타내며

w

는

u

또는

v

를 대표한 다. 관심이 되는

 w

의 영역은 주로

1

^에서

10

까지 걸친 영역이며 먼저 특별한

 w

^{를 선택하}

223

고 그때

 w

가 Cornu spiral을 따라 slide할 때에 Cornu spiral을 벗어나는 적합한

| B

₁₂

( ) | w

값을 읽음으로써 curve들이 계산된다.

y

가 긴 슬릿에 대해서는

2

|

12

( ) | 2

o P

I  I B v

^[10.159]

이므로

 z

^은

 v

와 일치하는 슬릿의 폭이기 때문에 그림에서 각

curve

는 한 주어진 슬릿에 대한 비례하는

irradiance distribution

을 나타낸다. 예를 들면

  v 2.5

인 좌측 그림에서

1 2

( v  v ) / 2

^대

| B

₁₂

( ) | v

²를 읽을 수 있다. 가로좌표

( v

₁

 v

₂

) / 2

는 즉 슬릿의 중심으로부터 관 찰점의 displacement인

( z

₁

 z

₂

) / 2

와 관계가 있다. 그림 (b)에서

  w 3.5

^는

  v 3.5

^{를 갖}

는 슬릿이 기하학적 image내에 나타나는 fringes를 갖는 것을 의미한다. 그 curve들은 물론



o^,

r

_o^{, 그리고}



의 한 set에 그들을 항상 국한할 필요가 없을

 z

^또는

 y

^{의 값에 의해}

그려질 수 있다.

슬릿이 훨씬 더 넓어지면

 v

^는

10

에 접근하고 종국에는

10

을 넘어선다. 이때 기하학적 image 내에 나타나는 fringe 수는 증가하고 그 image를 넘어서는 pattern은 더 이상 인지하기 가 어렵다.

10.3.7 The Semi-infinite Opaque Screen

위의

rectangular aperture

^에서



^{의 상층부 반(}

z  0

인 부분)을 제거하면

semi-infinite planar opaque screen

이며, 수식적으로는 단순히

z

₂

 y

₁

 y

₂

 

로 놓으면 된다. 관찰 점은 스크린의

edge

^{에 근접하도록}

geometry

를 제한한다.

2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1

{[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] }{[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] } 4

o P

I  I  u   u   u   u  v   v   v   v

[10.145]

2

|

12

( ) | 2

o P

I  I B v

^[10.159]

이때

v

₂

 u

₂

 

이기 때문에 위의 (10.145)나 (10.159)는 다음으로 쓰여질 수 있다.

224

2 2

1 1

1 1

{[ ( )] [ ( )] }

2 2 2

o P

I  I   v    v

^(10.161)

점

P

가 edge의 직각 연장선 상에 있을 때,

v

₁

 0

^,

 (0)   (0)  0

^{, 그리고}

I

_P

 I

_o

/ 4

^{. 왜}

냐하면

wavefront

^{의 반이}

obstruc

^{t되었기 때문에}

disturbance

^의

amplitude

^{는 반이므로}

irradiance

는

I

_o

/ 4

가 된다. 이것은 아래 그림들의 점 (3)에서 일어나는 현상이다.

관찰 점이 기하학적 그림자 영역인 점 (2) 또는 더 아래 점 (1)등등으로 이동하면 그에 따라

chords

가 일률적으로 감소한다. 그 영역 내에서는

irradiance

^의

oscillation

은 존재하지 않고 단순히 급격히 떨어진다. 스크린의 모서리는 점 (3) 이상의 점에서 아래에 있다. 달리 말하면 점 (4)와 (5)에 대해서

v

₁

 0

⁽

z

₁

 0

^{)이다. 약}

v

₁

  1.2

^{에서 현(}

chord

^)은

maximum

^{에 도달}

하여

irradiance

^가

maximum

^{이다. 그러므로}

I

_P는 점차적으로 크기가 줄어들면서

I

_o^주위에서

225

oscillate

한다.

Diffraction pattern은 limiting case로서 넓은 slit(

  v 10

)의 모서리(edge) 근방에서 나타날 것 이다. 기하광학에 의해 제안된 irradiance distribution은



^가

0

으로 갈 때만 얻어진다. 사실



가 감소함에 따라 그 fringes는 edge에 좀더 가깝게 움직이고 어느 정도 선이 분명해 지게 된다.

위의 pattern을 보려면 면도날을 세우고 눈을 가까이 대면 일련의 fringe가 나타나는 것을 관 찰할 수 있다.

10.3.8 Diffraction by a Narrow Obstacle

Single slit

의 구조를 반대로 한 것으로

opaque wire

를 생각할 수 있다. 이 경우

wire

^{의 중심}

에서 그어진 선에 놓인 한 점

P

에 공헌하는 부분은 두 분리된 영역, 즉

y

₁부터



와

y

₂부 터



인 영역이 있을 것이다.

Cornu spiral

위에서 이들은

u

₁부터

B

^까지와

u

₂부터

B

^까지 의 호의 길이와 일치한다. 관찰 평면 위의 점

P

^에서

disturbance

^의

amplitude

는 아래 그림에 나타낸 것처럼 두 개의

phasors B u

^ ₁과

B u

^ ₂의 합

vector

의 크기이다.

Opaque disk

를 가진 것처럼 이것은

illumination

이 중심축을 따라서

symmetry

이다.

P

가 중심축 위에 있을 때에

1 2

B u

^

 B u

^ 이며 그들의 합은 결코

0

일 수 없다는 것을

spiral

로부터 볼 수 있다.

226

Arc

길이

 u

는

spiral

의

obscured region

을 표현하고 이것은

wire

의 직경이 증가하면 같이 증가한다. 두꺼운

wire

^에서

u

₁^과

u

₂^{는 각각}

B

^{ 와}

B

^{에 접근하여}

phaso

r의 길이는 감소하 고 그

shadow’s axis

^위의

irradiance

는 급격히 떨어진다.

문서에서 Chap. 10 Diffraction 10.1 일반 개념 (페이지 46-52)