[4 주] 상대성 이론 3 – 전자기, 상대론적 운동량 <선수 학습 확인>

(1)

[4 주] 상대성 이론 3 – 전자기, 상대론적 운동량

<선수 학습 확인>

1.

연습 문제 풀이

2. 길이의 수축 3. 쌍둥이 역설

<본 학습 개요 설명>

(2)

1.6 전기와 자기

상대론으로 연결된다

1. 전류의 흐름;

- 전자의 유효 속력은 1mm/s 정도, 그러나 cm당 10²⁰개 정도의 전자가 있다.

2. 전류가 흐르는 두 도선 사이에 작용하는 힘;

- 같은 방향; 서로 당긴다(인력) - 다른 방향; 서로 민다(척력)

3. 상대론으로 설명;

- 전하량은 상대론 적으로 불변; 기준틀에 무관 - 그림 1.12 참조

(3)

(4)

(a) 도체; 전기적으로 중성

(b) 양전하; 속도 v로 오른쪽으로 이동(실제로는 전자만 이동)

음전하; 속도 v로 왼쪽으로 이동, 따라서 간격이 ⎷1-v²/c² 비율만큼 감소

- 그런데 왜 서로 당길까?

(c) 도체 I에서 (-)가 보면; II의 (-)는 일정, (+)는 속도가 2v이고 간격 축소.

따라서 전체가 (+)전하를 띤 효과로 I에 있는 (-)전하를 당긴다.

(d) 같은 방법으로, 도체 II에서도 도체I을 당기게 된다.

즉, 같은 방향으로 전류가 흐르는 두 도체는 서로 당긴다.

4. 다른 여러 가지 자기적 효과도 다음을 기초로 설명이 가능하다

- 쿨롱의 법칙

- 전하량 불변

- 특수 상대론

1.7 상대론적 운동량(Relative Momentum)

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중요한 물리량의 재정의

1. 고전 역학에서는 선형 운동량 P = mv는 보존, 상대론에서는?

- 충돌 시 - 폭발 시

2. 탄성 충돌을 생각;

- 서로 일정한 상대 운동을 하는 S와 S'계에서 관측 - 정지 시 A와 B의 특성은 동일

- 그림 1.13과 같이 S'계가 S계에 대하여 +x 방향으로 속도 v로 운동한다.

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(7)

(1) 충돌 전

- A는 S계에 있고, B는 S'계에 있다.

- 동시에 A는 +y 방향으로 속도 V_A로, B는 -y' 방향으로 속도 V_B'로 던 졌다. 단, VA = VB' 이다.

(2) 충돌 후

- A는 S계에서 볼 때 -y 방향으로, V_A 속도로 튕겨나가고, B는 S'계에서 볼 때 +y‘ 방향으로, VB' 속도로 튕겨나간다.

- 처음에 두 입자의 거리가 Y 였다면 S 계에서 볼 때 충돌은 y = (1/2)Y에서

S' 계에서 볼 때 충돌은 y' = (1/2)Y에서 일어난다.

- S계에서 측정했을 때 A가 원래 자리로 돌아오는 시간 T0는

또 B를 S'에서 측정했을 때에도

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- S계에서 B의 속력 V_B는

여기서 T는 S계에서 측정했을 때 B가 원래 위치로 되돌아가는 시간이 되어야 한다.

- 기준계 S'에서 B가 원래의 자리로 되돌아오는 시간은 T0이므로 앞의

‘상대론적 시간 지연’에 의하면

(두 기준계에 있는 각각의 관측자들은 같은 사건에 걸리는 시간을 서로 다르게 본다.)

이 값을 위 식에 대입하면

또 (1.11)식에서

VA = Y / T0

(3) 운동량 P = mv는 S계에서

P_A = m_AV_A = m_A(y / T₀)

PB = mBVB = mB ⎷1-v²/c²(Y / T0)

(9)

그러므로 mB = mA / ⎷1-v²/c² 이면 운동량은 보존 된다.

(4) V_A 와 V_B' 가 두 계의 상대속도 v에 비해 느리면 VA = 0 때, mA = m(정지질량)

V_B' = 0 때, m_B = m(v) 그러므로 m(v) = m / ⎷1-v²/c²

(5) 선운동량을

p = mv / ⎷1-v²/c² ... [상대론적 운동량]

으로 정의하면 특수상대론에서도 선운동량이 보존된다.

위 식을 고쳐 쓰면 p = mv

여기서  = 1 / ⎷1-v²/c² , m은 고유질량이다.

(6) 속력이 느리면(v << c), 고전적인 운동량 p = mv

로 환원 된다.

* [상대론적 질량]; Book 참조

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(7) 물체의 운동량; 그림 1.14 설명

(11)

(8) 상대론적 제2법칙

F = dp/dt = (d/dt) (mv)

* [예제 1.5]; book 참조

(12)

<참고 자료>

·

상대론적 질량(relativistic mass) 증가: 물체의 속력이 광속에 가까울 때 만 뚜렷.

( 물체의 속력이 광속의 1/10일 때 질량증가는 0.5%, 광속의 9/10일 때에 는 100%를 넘음)

·

전자, 양성자, 중간자 등과 같은 소립자들만이, 상대론적 효과가 측정 가 능할 만큼 충분한 속력을 가짐

( 빠른 전자에 대한

e / m

값은 느린 전자에 대한

e / m

^{값보다 작았다).}

· _v

^가

_c

에 접근하면, 식(1.15)에서

1- v

²

/ c

²^은 ⁰에 접근하며, 질량은 무한대에 접근

· _v ₌ _c

^이면

_m _{= ∞}

^이므로,

_v

^는

_c

와 결코 같을 수 없다는 결론을 얻음

상대론적 운동량

p = m v = m

₀

v

1 - v

²

/ c

² (1.16)

·

특수상대론에서도 운동량 보존이 성립.

상대론적

F = d

dt ⁽ m v ) = d

dt ⁽ m

₀

v

1 - v

²

/ c

²

⁾

(1.19)

제2법칙

· _m

이 식(1.15)로 주어진다 해도 다음 식과는 다름.

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F = ma = m dv dt

·

^왜냐하면

dt d ⁽ m v ) = m dv dt ⁺ v dm dt

이고, 물체의 속력이 시간에 따라 변하면

dm / dt

^이

⁰

이 되지 않기 때문

·

물체에 작용하는 합력(resultant force)은 항상 운동량의 시간적 변화율과 같음.

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[읽기자료]

한국, 다 잡은 노벨상감 놓쳤다… 연구진 "작년까진 우리 가 앞섰는데 뒤통수 맞았다"

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[출처; 조선일보, 입력 : 2012.03.13 03:04 | 수정 : 2012.03.13 07:18]

중국, 한국의 5배인 연구원 240명·600억원 투자… 1주일 먼저 연구결과 발표 中, 몇달만에 대역전 - 작년 중순 미국과 손잡고 인재·財力으로 휘몰아치기 땅을 친 한국 연구진 - 주민·환경단체 설득하느라 시설 완공 1년 늦어져 "작년 말까진 우리가 앞섰는데 뒤통수를 세게 맞았다“

우주 생성의 비밀을 알려줄 소립자 연구에서 크게 앞서가던 한국 연구진이 중국에 단 1주일 사이로 막판 추월당했다. 중국이 엄청난 예산을 투입하고, 국제 연구진과 손잡 은 결과 노벨상 후보감으로 꼽히던 최초 연구 성과를 먼저 발표한 것이다.

중국 다야완(大亞灣) 원자력발전소 중성미자 연구단은 지난 8일 베이징(北京) 고에너 지물리학연구소에서 "전자중성미자가 뮤온중성미자로 변환하는 비율을 처음으로 밝혀 냈다"고 공개했다. 연구단은 다음 날(9일) 미국 물리학회 '피지컬 리뷰 레터스 (Physical Review Letters)'지에 연구논문을 제출했다.

우주 만물을 이루는 기본입자인 중성미자는 다른 물질과 반응을 거의 하지 않아 '유 령입자'로 불린다. 과학자들은 3가지 중성미자(전자중성미자·뮤온중성미자·타우중성미 자)가 먼 거리를 이동하면서 다른 형태로 바뀌는 것을 밝혀내 우주 생성 과정을 추적 해 왔다.

지금까지 뮤온중성미자-타우중성미자 변환 비율이 100%, 타우중성미자-전자중성미자 80%로 밝혀졌다. 중국 연구진은 마지막 남은 전자중성미자-뮤온중성미자의 변환 비 율이 6%임을 최초로 밝혔다. 중성미자 연구는 지금까지 노벨상을 세 차례나 받을 정 도로 물리학의 핵심 연구분야다. 학계에서는 중성미자 변환 비율이 밝혀질 때마다 '노 벨상 후보 1순위'라는 말이 나돌았다.

김수봉 서울대 교수(물리천문학부)는 12일 "우리 연구진도 같은 내용의 논문을 이번 주 같은 저널에 제출할 계획"이라며 "지난해 연말까지도 세계에서 우리가 제일 앞서 있었는데 뒤통수를 세게 맞았다"고 말했다.

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중성미자 검출기 - 중국 다야완 원전 인근의 근거리 중성미자 검출기 건설 모습(사진 위)과 검출기 내부 벽면에 부착된 광센서들(아래). 최종 완성된 2대 의 검출기에는 각각 100)의 물과 특수 검출용액이 들어갔다. 중성미자가 검출 용액 내부 입자와 아주 드물게 부딪힐 때 빛이 나오는 것을 광센서가 포착한 다. /미 로렌스 버클리 국립연구소 제공

◇50명 vs 240명, 116억원 vs 600억원

우리나라와 프랑스, 중국은 원자로 가까운 곳과 먼 곳에 중성미자 검출기를 두 고 변환 비율을 추적해왔다. 김 교수팀은 지난해 5월 전남 영광원전에 중성미 자 검출시설을 완공해 8월부터 검출에 들어갔다. 시작은 프랑스와 중국보다 3~4년 늦었지만, 원자로 출력이 최고인 데다 자연조건도 좋아 연구 진전 속도 가 가장 빨랐다.

중국은 지난해 7월에야 검출시설을 완공했다. 우리는 116억원을 들여 검출기 2대를 설치했지만 중국은 600억원을 들여 6대를 설치했다. 우리는 10개 대학

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50여명이 연구에 참여했지만, 중국은 미국과 손을 잡고 양국 38개 기관의 240 여명으로 대규모 연구진을 꾸렸다. 중국은 지난해 12월 24일부터 검출에 들어 가 불과 55일 만에 세계적인 발견을 마무리했다.

◇엔고 파동에 부품 조달 늦어져

국내 전문가들은 "정부가 기초과학에 거액을 투자한 점은 인정하지만, 우리나 라가 앞서 갈 때 지원을 더 했더라면 상황이 바뀔 수 있었을 것"이라고 아쉬워 했다. 연구진은 건설허가를 받고, 지역주민과 환경단체를 설득하느라 예정보다 1년 늦게 검출시설을 완공한 것으로 확인됐다. 도중에 엔화 가치가 상승해 핵 심부품(일본산 광센서)을 사지 못해 일정이 느려지기도 했다.

☞ 중성미자(中性微子·neutrino): 12개 기본입자 중 전기를 띠지 않는 3종류.

매초 손톱만한 면적에 1000억개가 아무 반응을 하지 않고 지구를 통과한다.

☞ 반(反)물질(antimatter): 물질과 질량은 같고 전기적 성질만 정반대이다. 우 주 탄생 직후 물질과 반물질이 같은 양으로 존재했지만, 지금은 왜 물질만 남 아 있는지가 미스터리다.

[4 주] 상대성 이론 3 – 전자기, 상대론적 운동량 <선수 학습 확인>