또 한 원 위의 두 점을 이은 선분을 현이라 하고, 양 끝 점이 A, B인 현을 현 AB라고 한다. 특히 원 의 중심을 지나는 현 AC는 그 원의 지름이다.
그리고 한 원 위의 두 점을 지나는 직선을 그 원의 할선이라고 한다.
오른쪽 그림의 원 O에서 호 AB와 두 반지름 OA, OB 로 이루어지는 도형을 부채꼴 AOB라고 한다.
부채꼴 AOB에서 ∠AOB를 호 AB에 대한 중심각 또 는 부채꼴 AOB의 중심각이라 하고, µAB를 ∠AOB에 대한 호라고 한다.
또 원 O에서 호 CD와 현 CD로 이루어지는 도형을 활꼴이라고 한다.
A
B
O C 현 AB
할선 지름
A B
C D
O
활꼴 부채꼴 중심각
오른쪽 그림의 원 O에 다음을 나타내시오.
⑴ 호 AB
⑵ 현 BC
⑶ 부채꼴 AOE
⑷ 호 CD와 현 CD로 이루어진 활꼴
1
A B
C
E D O
민준이와 지수는 같은 도형을 보고 다음과 같이 설명하였다. 민준이와 지수가 말하는 도형 을 그리고 그 도형의 중심각의 크기를 말하시오.
2
이 도형은 활꼴이지.
이 도형은 부채꼴이야.
Ⅴ
부채꼴의 중심각과 호, 넓이 사이에는 어떤 관계가 있을까?
에서 중심각의 크기가 같은 두 부채꼴은 서로 포개어짐을 알 수 있다.
그러므로 한 원에서 중심각의 크기가 같은 두 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 각각 같다. 또 부채꼴 AOC의 중심각의 크기가 부채꼴 AOB의 중심각의 크기의 2배이 므로 부채꼴 AOC의 호의 길이와 넓이는 부채꼴 AOB의 호의 길이와 넓이의 2배 가 됨을 알 수 있다.
일반적으로 한 원에서 부채꼴은 중심각의 크기가 2배, 3배, 4배, …가 되면 호의 길이와 넓이도 각각 2배, 3배, 4배, …가 된다.
즉, 한 원에서 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 각각 중심 각의 크기에 정비례한다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
부채꼴의 중심각의 크기와 호의 길이, 중심각의 크기와 넓이 사이의 관계
❶ 한 원에서 중심각의 크기가 같은 두 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 각각 같다.
❷ 한 원에서 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 각각 중심각의 크기에 정비례한다.
O
다음 그림에서 x의 값을 구하시오.
⑴
60ù 120ù
5`cm
x`cm O
⑵
150ù 25ù
36`cmÛ x`cmÛO
3
다음 그림은 원 모양의 색종이를 반으로 세 번 접은 후에 펼친 것이다.
O
B A
C
O O
O O
⑴ ∠AOC는 ∠AOB의 몇 배인지 말하여 보자.
⑵ µAC의 길이는 µAB의 길이의 몇 배인지 말하여 보자.
⑶ 부채꼴 AOC의 넓이는 부채꼴 AOB의 넓이의 몇 배인지 말하여 보자.
한편 오른쪽 그림과 같이 원 O에서 두 부채꼴 AOB, COD의 중심각 ∠AOB와 ∠COD의 크기가 같으면 두 부채꼴은 서로 완전히 포개어지므로 그에 대한 현 AB와 현 CD의 길이는 같다.
또 길이가 같은 두 현에 대한 중심각의 크기는 같다.
오른쪽 그림은 컴퓨터 프로그램을 이용하 여 두 원 A, B를 그리고 두 원의 반지름의 길이와 둘레의 길이를 측정한 결과를 나타낸 것이다.
두 원 A, B에서 (둘레의 길이)
(지름의 길이)를 소수 다섯째 자리까지 각각 구해 보고 두 값을 비교하여 보자.
부채꼴의 호의 길이와 넓이는 어떻게 구할까?
오른쪽 그림에서 ∠AOB=∠BOC=∠COA이다. 다음 물 음에 답하시오.
⑴ ABÓ=6 cm일 때, BCÓ, CAÓ의 길이를 구하시오.
⑵ △ABC는 어떤 삼각형인지 말하시오.
4
A O
B
C D
A
B C
O
B 1.9
2.74 A
A의 둘레=11.93805 B의 둘레=17.21593
A 굌 a = 2
한 원에서 호의 길이와 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 정비례 한다. 그러나 한 원에서 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하 지 않는다. 그 까닭을 오른쪽 그림을 이용하여 설명하시오.
5
O
Ⅴ
반지름의 길이가 3 cm인 원의 둘레의 길이 l과 넓이 S는 l=2p_ = (cm)
S=p_ = (cmÛ`) 이다.
원의 크기에 상관없이 지름의 길이에 대한 원의 둘레의 길이의 비율, 즉 원주율 은 항상 일정하다.
초등학교에서는 원주율을 3.14로 사용하였으나 정확한 값은 3.1415926535897932384626433832795…
와 같이 한없이 계속되는 소수임이 알려져 있다.
이 원주율을 기호로
p
와 같이 나타내고, ‘파이’라고 읽는다.원의 둘레의 길이와 원의 넓이는 각각
(원의 둘레의 길이)=(원주율)×(지름의 길이)
(원의 넓이)=(원주율)×(반지름의 길이)×(반지름의 길이) 이므로 반지름의 길이가 r인 원의 둘레의 길이 l과 넓이 S
는 원주율 p를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
l=2pr, S=prÛ`
(원주율)
=(원의 둘레의 길이) (지름의 길이)
r l S O
오른쪽 그림은 조선 시대에 만들어진 반자동 거리 측정 기구인 ‘기리고거’이다. 기리고거는 수레의 반지름의 길이가 약 33 cm인 바퀴가 90번 회전 하면 나무 인형이 종을 한 번 울리도록 고안한 수 레이다. 종이 한 번 울릴 때까지 수레가 이동한 거
6
반지름의 길이가 r이고 중심각의 크기가 xù인 부채꼴 에서 호의 길이를 l, 넓이를 S라 하면 한 원에서 부채꼴 의 호의 길이와 넓이는 각각 중심각의 크기에 정비례하 므로
2pr : l=360 : x에서 l=2pr_ x 360
prÛ` : S=360 : x에서 S=prÛ`_ x 360 이다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
부채꼴의 호의 길이와 넓이
반지름의 길이가 r, 중심각의 크기가 xù인 부채꼴의 호의 길이를 l, 넓이를 S라 하면
l=2pr_ x 360 , S=prÛ`_ x 360
xù r
S l O
다음 그림 ㄱ, ㄴ에서 주황색 선으로 표시된 호 또는 선분으로 이루어진 두 가지 경로 중에서 어떤 경로의 길이가 더 짧은지 말하시오. (단, 원 O의 반지름의 길이는 2.5 km이고, p는 3.14로 계산한다.)
ㄱ.
A
B A
B O
O
ㄴ.
O O A
B A
B 30ù 30ù 30ù
30ù
8
다음 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하시오.
⑴
40ù 6`cm
⑵
240ù 4`cm
7
그림은 인공위성에서 촬영한 미국 플로리다주 에 있는 로톤다 웨스트 지역의 사진이다.
Ⅴ
다음 부채꼴의 넓이를 구하시오.
⑴
10`cm
4p`cm ⑵
5`cm 3p`cm
9
부채꼴의 넓이 S는 원의 반지름의 길이 r와 호의 길이 l을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
부채꼴의 중심각의 크기를 xù라 하면 l=2pr_ x 360 이므로
S=prÛ`_ x 360 =1
2 _r_{2pr_ x 360 }=1
2 rl 이다.
따라서 부채꼴의 넓이 S는 다음과 같이 구할 수 있다.
S= 1 2 rl
O xù
l
r S r
r
;2!;l l
(부채꼴의 넓이)=;2!;rl
다음 문제를 풀어 보자. 또 아래의 문제에서 나는 정오각형을 다른 정다각형으로 바꾸고, 친구는 그 도형의 한 변의 길이를 정하여 새로운 문제를 만들어 풀어 보자.
오른쪽 그림은 한 변의 길이가 ‘4 cm’인 ‘정오각형’의 한 꼭짓점 C를 중심으로 하고 정오각형의 한 변의 길이 를 반지름으로 하는 부채꼴을 그린 것이다. 이 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하시오.
A
B E
D C
4`cm
확인 하기
1 나는 학습한 용어의 뜻을 안다.
예 아니요
2 나는 부채꼴의 넓이를 구할 수 있다.
예 아니요
오른쪽 부채꼴 그림에서 AOÓ=20 cm, COÓ=8 cm,
∠AOB=150ù일 때, 붉은색 부분 의 넓이를 구하시오.
2
다음 안에 알맞은 것을 쓰시오.
⑴ 한 원 위의 두 점에 의하여 원은 두 부분으로 나누어지는데 이 두 부분을 각각 라고 한다.
⑵ 한 원 위의 두 점을 이은 선분을 이라 하고, 한 원 위의 두 점 을 지나는 직선을 그 원의 이라고 한다.
⑶ 원 O에서 호 AB와 두 반지름 OA, OB로 이루어지는 도형을 AOB라 하고, 호 CD와 현 CD로 이루어지는 도형을 이라고 한다.
1
도로를 직선의 형태로만 만들 수는 없다. 도로를 곡선 구간 없이 ‘∧’ 모양으로 설계할 경우, 운전자가 무리하 게 운전대를 꺾게 되어 위험할 수 있기 때문이다. 따라서 도로는 원의 일부인 곡선 모양으로 설계한다.
도로의 곡선 구간이 원의 일부일 때, 다음 물음에 답하시오.
❶ 중심각의 크기가 30ù이고 반지름의 길이가 각각 40 m, 60 m일 때, 두 도로의 곡선 구간의 길이를 각각 구하시오.
❷ 중심각의 크기가 일정하고 반지름의 길이가 변할 때 도로의 모양이 어떻게 변하는지 말하시오.
곡선 구간의 길이
반지름의 길이
나의 평가
150ù O
A B
C8`cm 20`cm
정답 및 해설 302쪽
도 로 수
와학
Ⅴ
와이퍼에 관심이 많은 민준이는 버스에 사용된 와이퍼가 다양한 것을 보고 그 이유가 궁금했다.
민준이는 그 이유가 와이퍼가 닦은 유리창의 넓이와 관련이 있을 것이라고 생각하여 와이퍼가 닦은 유리창 부분의 넓이를 알아보기로 하였다. (단, 단위는 cm이며 p는 3.14로 계산한다.)
4
위의 1, 2 , 3 중에서 와이퍼가 닦은 부분의 넓이가 가장1
왼쪽 그림과 같이 와이퍼가 닦은 부분의 넓이를 구하시오.2
왼쪽 그림과 같이 와이퍼가 닦은 부분의 넓이를 구하시오.3
왼쪽 그림과 같이 와이퍼가 닦은 부분의 넓이를 구하시오.와이퍼 속의 수학
60ù45ù 90
60
180
60ù45ù 90
60 60
30 30
180
45ù60ù
90 90
90
90
60 60
90
90
3060ù 3060ù 90
60 60
기본 익히기
다음 그림에서 ∠x의 크기를 구하시오.
⑴
x
45ù 80ù
⑵
x 120ù 100ù
140ù 130ù
삼각형의 외각의 성질 과 다각형의 내각의 크 기의 합 198쪽 199쪽
03
⑴ 삼각형의 내각과 외각
⑶ 호, 현, 중심각
⑵ n각형의 내각의 크기의 합과 외각의 크기의 합
⑷ 부채꼴의 호의 길이와 넓이 기초 다지기
다음 안에 알맞은 것을 쓰시오.
01
다각형의 대각선의 개 수 196쪽
한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수가 5인 다각형의 대각선의 개수를 구 하시오.
02
정다각형의 한 내각의 크기 200쪽
한 변의 길이가 같은 정오각형과 정육각형을 변끼리 이어 붙였을 때, ∠x의 크기를 구하시오.
04
x∠ +∠ +∠ =
∠ = (엇각), ∠ = (동위각) + + ∠ =180°
A
B C D
E
r =2p× ×
=p×
S
= × ×
° S
360
× 360 2
1
정답 및 풀이 303쪽
n각형의 내각의 크기의 합은 180°× 야.
n각형의 외각의 크기의 합은 야.
Ⅴ
부채꼴의 중심각과 호 의 길이, 넓이 사이의 관계 206쪽
다음 그림에서 x의 값을 구하시오.
⑴
xù O 6p`cm 2p`cm
⑵
O 120ù 15p`cmÛ 30ù
x`cmÛ
05
정삼각형의 한 외각의 크기를 구한다.
다음 그림과 같이 한 변의 길이가 2인 정삼각형 모양에 한 변의 연장선 방향으로 길 이가 6인 실이 팽팽하게 연결되어 있다. 시계 반대 방향으로 실을 팽팽하게 당겨 한 바퀴 돌렸을 때 실이 삼각형에 감긴다. 이때 실이 지나간 부분의 넓이를 구하고 그 과정을 서술하시오.
2 6
실
07
실력 기르기
바퀴가 움직인 거리는 원의 둘레의 길이와 부채꼴의 호의 길이를 구하는 방법을 이용하 여 구한다.
구불구불한 경로의 길이는 오른쪽 그림과 같이 바퀴가 달린 거리 측정 도구를 이용하여 측정할 수 있다. 반지름 의 길이가 10 cm인 원 모양의 바퀴를 A에서 B까지 곡 선을 따라 이동하였더니 네 바퀴 반 회전하였다. A에서 B까지의 곡선의 길이를 구하시오.
06
A
B
정답 및 풀이 303쪽
구분 점검 항목
그렇지 않다 보통이다 그렇다학습 내용
다각형의 성질을 이해한다.
부채꼴의 중심각과 호의 관계를 이해하고, 이를 이용하여 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구할 수 있다.
