14.9 곡면의 접평면과 법선
, , = 0 • (, , )
방정식 , , = 0 는 곡면 를 나타낸다
곡면 위의 한 점
,
,
을 지나는 임의의 곡선을: = , , () 라 하자.
, , = 0
, , = 0 • (, , )
′()
(, , )
연쇄법칙
+
+
= 0
∙
,
,
= ∙
= 0곡선 는 , , 를 지나는 곡면 위의 임의의 곡선 이므로 각각의 접선벡터는 점 에서의 접평면 을 이룬다.
(, , ) 는 에서 곡면 의 법선벡터
점
,
,
에서의 법선벡터 : (
,
,
)점 에서 곡면 에 접하는 접평면의 방정식
,
,
−
+
,
,
−
+
,
,
−
= 0점 에서 곡면 의 법선의 방정식
−
(
,
,
) = −
(
,
,
) = −
(
,
,
)법선
접평면
(, , ) : , , = 0
법선벡터= (
,
,
) −
(
,
,
) = −
(
,
,
) = −
(
,
,
)
,
,
−
+
,
,
−
+
,
,
−
= 0
Example
타원면 , , = 9
+ 4
+
− 29 = 0 위의 점 (1,2, −2) 에서의 접평면과 법선의 방정식을 구하여라. , , =
,
,
= 18, 8, 2 1,2, −2 = 18,16, −4
접평면의 방정식 18 − 1 + 16 − 2 − 4 + 2 = 0 9 + 8 − 2 = 0
법선의 방정식
− 1
18 = − 2
16 = + 2
−4
Example
원 포물면 =
+
위의 점 (1, −2,5)에서의 접평면과 법선의 방정식 을 구하여라. , , =
+
− z = 0 , , =
,
,
= 2, 2, −1 1, −2,5 = 2, −4, −1
접평면의 방정식
법선의 방정식
2 − 1 − 4 + 2 − − 5 = 0
− 1
2 = + 2
−4 = − 5
−1
= , =
+
, =
,
= (2, 2) 1, −2 = (2, −4)
접평면의 방정식 : − 5 = 2 − 1 − 4( + 2) 법선의 방정식:
=
=
Example
쌍엽쌍곡면
−
−
= 1 위의 점
,
,
에서의 접평면의 방정식을 구하여라.점 , , 가 곡면 위 의 점이므로
−
−
= 1
, , =
−
−
− 1 = 0
, , = 2
,2
,2
, , = 2
,2
,2
접평면의 방정식:
− +
y − +
− = 0
2
+2
+2
=2
−2
−2
= 2
+
+
=1
14.10 테일러(Taylor) 의 급수
= ()의 Maclaurin 급수전개
= 0 +
0 +
!
+
()()
!
+ ⋯ +
!
⋯
= 1 + +
+
!
+ ⋯ +
!
+ ⋯ , −∞ < < ∞ 11 − = 1 + +
+
+ ⋯ +
+ ⋯ , −1 < < 1 11 + = 1 − +
−
+ ⋯ + (−1)
+ ⋯ , −1 < < 1 ln 1 + = −
2 +
3 −
4 + ⋯ sin = −
!
+
!
− ⋯ + −1
!
+ ⋯, −∞ < < ∞z= (, ) 의 Maclaurin 급수전개
= 0 + 0 +
! +()()
! + ⋯ +
! ⋯
, = 0,0 + 0,0 + 0,0 + 1
2! (0,0) + 2 0,0 + (0,0) + ⋯
= ∑
!
+
Example
(0,0) 근방에서 , = sin 의 2차 근사다항식을 구하여라.Example
(0,0) 근방에서 , = ln 1 + 2 + 의 2차 근사다항식을 구하여라. = 에서 = () 의 Taylor의 급수전개
= +
( − ) +
!
( − )
+
()()
!
( − )
+ ⋯ +
!
( − )
⋯ (, ) 에서 = (, ) 의 Taylor의 급수전개 , = , +
(, ) − +
(, )( − ) + 12!
, ( − )
+2
, − − +
(, )( − )
+ ⋯Example
(2,1) 에서 , = ln(1 + + 2) 에관한 Taylor 급수전개를 구하라. , = 1
1 + + 2 , = 2 1 + + 2
(2,1) = 1 5
(, ) = − 2
(1 + + 2)
(, ) = − 4
(1 + + 2)
(, ) = − 1
(1 + + 2)
2,1 = 5 (2,1) = 2
5
2,1 = − 1
25 2,1 = − 2 25
2,1 = − 4 25
, = 2,1 + (2,1) − 2 + (2,1)( − 1) +1
2! 2,1 ( − 2)+2 2,1 − 2 − 1 + (2,1)( − 1)
ln(1 + + 2) = 5 +1
5 − 2 +2
5( − 1) + 1
2! − 1
25( − 2)− 4
25 − 2 − 1 − 4
25( − 1)
14.11 극값
= ()
극대
극대
극소
극소
()
()
()
()
() ≤ ()
() ≤ ()
= 0
= 0
= 0
= 0
< 0
< 0
> 0
> 01변수함수 = ()의 극값판정
1. 임계점 구하기:
= 0 을 만족하는 를 구한다.2.
= 0 일 때,
> 0 이면 = 에서 극소값 () 를 갖는다.
< 0 이면 = 에서 극대값 () 를 갖는다.임계점(Critrical point) 란 미분계수가 0 이거나 미분불가능 점을 말한다.
2변수함수 = (, )의 임계점
평면 위의 점 (, ) 근처의 점 (, )에 대하여
(, ) ≥ (, )
이면 = (, ) 는 (, )에서 극소값을 갖는다.
평면 위의 점 (, ) 근처의 점 (, )에 대하여
(, ) ≤ (, )
이면 = (, ) 는 (, )에서 극대값을 갖는다.
극대
극소
극대 극대
극소
극소
(, ) 가 (, )에서 극대값 또는 극소값을 가지면
, = , = 0
(, )에서
, =
, = 0 이거나 미분이 가능하지 않을 때 임계점(Critical point) 라 한다.극대
Example
, =
+ 4 −
− 8 − 6 의 임계점을 구하여라. , = 2 + 4 − 8 = 0
, = 4 − 2 − 6 = 0 = 2
= 1
Example
, =
−
의 임계점을 구하고 극대 또는 극소를 판정하여라. , = 2 = 0
, = −2 = 0 = 0
= 0
, 0 =
> 0 0, = −
< 0(0,0) 에서 극대도 아니고 극소도 아니다.
평면 위의 점 (, ) 근처의 점 (, )에 대하여
, > (, ) 이고 , < (, )
를 만족하면 (, )에서 안장점(saddle point)를 갖는다고 한다.
= (, ) 의 극값 판정법-이차도함수 판정법 1. 임계점 구하기 : 1차 도함수
연립방정식
, = 0
, = 0 의 해 (, ) = , + , = 0
2. Hessian 구하기
= , + 2 , + (, )
= (, ) (, )
(, ) (, )
(, ) =
(, )
(, )
(, )
(, )=
(, )
(, ) −
(, )2차 도함수 판정법
1. (, ) > 0 이고
, > 0 (, ) 에서 극소값 (, )를 갖는다.2. (, ) > 0 이고
, < 0 (, ) 에서 극대값 (, )를 갖는다.3. (, ) < 0 (, ) 에서 안장점을 갖는다.
4. (, ) = 0 이면 다른 방법으로
1. (, ) > 0 이고
, > 0
,
, −
, > 0 이므로
, > 0 ⇔
, > 0 2. (, ) > 0 이고
, < 0
, < 0 ⇔
, < 03. (, ) < 0
, < 0 ⇔
, > 0(, ) = (, ) (, )
(, ) (, )
=(, )(, ) − (, )
Example
, = ( + − 3) 의 극값을 구하여라.Example
, =
+
+ 3
− 3
− 8 의 극값을 구하여라.Example
, =
의 극값을 구하여라.Example
미적분을 써서 평면 2 + 3 + 6 = 21 까지의 최단거리를 구하여라.Example
영역 = , | + ≤ 1 의 한 점 (, ) 에서의 온도가 , = 16 + 24 + 40
로 주어졌을 때, 그 영역에서 가장 높은 온도와 가장 낮은 온도를 구하여라.
1. 극대, 극소를 구한다.-도함수 판정법
2. 주어진 영역의 경계에서 최대, 최소를 구한다.
+
= 1 = 16
+ 24 + 40
= 16
+ 24 + 40(1 −
)= −24
