수 리 영 역

2016학년도 경찰대학 제1차 시험

수 리 영 역

성명 수험번호 3

1

 P ≤≤ 













※ 총 4쪽 25문항입니다. 각 문항의 답을 하나만 고르시오.

[1~20] 각 문항의 답을 하나만 고르시오.

1.

¹⁾ 행렬 



^{  } 



에 대하여 ^^ ⋯ ^의

 성분이  일 때, 자연수 의 값은?

[3점][2016년 경찰대]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

2.

²⁾ 유리수    에 대하여 두 등식  ^ ^  ^ 

 ^ ^   ^이 성립한다고 하자.

 

^ 

 

^ 를  와  에 관한 관계식으로 나타낸 것이라 할 때, 행렬  를 구하면?

[3점][2016년 경찰대]

①

 

^{ }  ②

 

^{ }  ③

 

^{ } 

④

 

^{ }  ⑤

 

^{ } 

3.

^{3 )} 어느 도시에서 운전면허증을 소지한 사람이 지난 년 간 교통법규를 위반한 건수는 평 균 건, 표준편차 건인 정규 분포를 따른다고 한다. 이 도

시에서 운전면허증을 소지한 사람 중에서 임의추출한 명이 지난 년 간 교통법규를 위반한 건수의 평균이 건 이상이 고 건 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구 한 것은?

[3점][2016년 경찰대]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

4.

^{4 )} 에 대한 이차방정식   의 두 근  가     를 만족한다고 하자. 이차방정식     의 두 근을  라 할 때, ^ ^의 최솟값은?

[3점][2016년 경찰대]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

수 리 영 역

2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

5.

⁵⁾ 는 ^     의 한 허근이고,     

이라 할 때,

^^^ ⋯ ^{}의 값은?

[4점][2016년 경찰대]

①   ②  ③ 

④ _



 ⑤    

6.

⁶⁾ 방정식 ^ ^{log} ^의 해의 곱을  이라 할 때,  의 마 지막 두 자리를 구하면?

[4점][2016년 경찰대]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

7.

^{7 )} 어떤 프로파일러가 사람을 면담한 후 범인 여부를 판단할 확 률이 다음과 같다.

⦁범행을 저지른 사람을 범인으로 판단한 확률은 

이다.

⦁범행을 저지르지 않은 사람을 범인으로 판단할 확 률은 이다.

이 프로파일러가 범행을 저지른 사람 명과 범행을 저지르지 않은 사람 명으로 이루어진 집단에서 임의로 한 명을 선택하 여 면담하였을 때, 이 사람을 범인으로 판단할 확률은?

[4점][2016년 경찰대]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

8.

^{8 )} 확률변수  가 이항분포 B 를 따르고 E^  

E   일 때, _ P 

P 

의 값은?

[4점][2016년 경찰대]

① _



 ② _



 ③ _





④ _



 ⑤ _





수 리 영 역

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3

9.

⁹⁾ 두 수열 _^ _^이

_{  } 

 _   _  _ _{  } 

      ⋯

을 만족시킬 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[4점][2016년 경찰대]

ㄱ.  ≥ 이면 _ 이다.

ㄴ. lim

→∞

_  

ㄷ. _{  }



^{∞  }_^

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

10.

¹⁰⁾ 함수 는 모든 실수 에 대하여     를 만족시 키고           ≤   이다.  이상인 자연수 에 대 하여   log_의 그래프와   의 그래프가 만나는 점의 개 수를 _이라 할 때, _{  }



^{ 의 값은?}

[4점][2016년 경찰대]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

11.

¹¹⁾ 모든 실수 에 대하여     인 다항함수 가

    lim

→  ^ 

   

 을 만족시킬 때,

lim

→    

^ 

의 값은?

[4점][2016년 경찰대]

①   ②   ③ 

④  ⑤ 

12.

¹²⁾ 삼차함수     ^   ^   가 극값을 갖 지 않을 때, 좌표평면에서 점  가 존재하는 영역을  라 하 고,          이라 하자. ∩≠ 이기 위한

의 최댓값과 최솟값의 합은?(단,   은 실수이다.) [4점][2016년 경찰대]

① _



 ② _



 ③ _





④ _



 ⑤ _





13.

¹³⁾ 자연수 에 대하여 두 조건 ^





 

_{ } ^



  

 

_{ 을 만족시} 키는 실수  중에서 가장 큰 자연수를 _이라 할 때,



  



_의 값은? (단,  는 보다 크지 않은 최대 정수이다.)

수 리 영 역

4

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14.

¹⁴⁾ 명의 순경이 세 구역을 순찰하려고 한다. 각 구역에는 적 어도 한 명이 순찰하고, 각 구역의 순찰 인원은 명 이하가 되 도록 인원수를 정하는 경우의 수는? (단, 한 명의 순경은 하나 의 구역만 순찰하고, 순경은 서로 구분하지 않는다.)

[4점][2016년 경찰대]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

15.

¹⁵⁾ 함수 는 임의의 실수  에 대하여 다음을 만족시킨다.

          이때, lim

→∞



  





^^

 



^{  }



 

^{의 값은?}

[4점][2016년 경찰대]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

16.

¹⁶⁾ 다음과 같이 흰 바둑돌 개와 검은 바둑돌 개를 왼쪽부터 교대로 반복하여 나열하였다.

○●●○●●○●●○●●○●●⋯⋯

이 바둑돌을 왼쪽부터 차례로 개, 개, 개, ⋯를 꺼내어 각각 제행, 제행, 제행, ⋯에 순서대로 놓으면 아래 그림과 같다.

제행 제행 제행 제행 제행

⋮

○

●●

○●●

○●●○

●●○●●

⋮

제행에 놓인 검은 바둑돌의 개수를 _이라 할 때,



  



_의 값 은?

[4점][2016년 경찰대]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

17.

^{17) 눈의 수가} 부터 까지인 주사위를 던져서 눈의 수가  또 는 이 나올 때까지 반복한다. 한 번 던지고 중지하면 원을 받고, 두 번 던지고 중지하면 원을 받는다. 이와 같이 계속 하여 번 던지고 중지하면 × 원을 받을 때, 받는 돈의 기 댓값은?

[5점][2016년 경찰대]

① 원 ② 원 ③ 원

④ 원 ⑤ 원

수 리 영 역

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5

18.

¹⁸⁾ 두 수  가     를 만족시킬 때, 한 꼭짓점이  이 고, 다른 두 꼭짓점이 각각 축과 직선   에 놓여 있는 삼 각형의 둘레의 길이의 최솟값은?

[5점][2016년 경찰대]

① _

^

 ^^ ^ ② _

^

 ^^ ^ ③ _

^

 ^^ ^

④ _

^

 ^^ ^ ⑤ _

^

 ^^ ^

19.

¹⁹⁾ ∆ABC에서 ^AB  BC    AC   이고

∠B   ∠C  일 때, cos 의 값은?

[5점][2016년 경찰대]

① _



 ② _



 ③ _





④ _



 ⑤ _





20.

²⁰⁾ 무한히 확장된 바둑판 모양 격자에서 실행되는 게임을 생각 한다. 이전 세대에서 다음 세대로 넘어갈 때 어떤 정사각형이 살아있을 것인가를 결정하는 규칙은 다음과 같다.

⦁ 살아있는 정사각형은 자신을 감싸는 여덟 개의 정 사각형 중에서 정확히 두 개 또는 세 개가 살아있다 면 다음 세대에서 살아남고, 그렇지 않으면 죽는다.

⦁ 죽어있는 정사각형은 자신을 감싸는 여덟 개의 정 사각형 중에서 정확히 세 개가 살아있다면 다음 세대 에서 살아남고, 그렇지 않으면 죽은 채로 있다.

그림과 같은 초기 세대의 상태에 대하여, 보기에서 미래 세대의 상태를 설명한 것 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 검게 칠해진 정사각형이 살아있는 정사각형이다.)

[5점][2016년 경찰대]

㈎ ㈏ ㈐

ㄱ. ㈎의 초기 세대(세대)에서 다음 세대(세대)로 넘 어간 후 살아남은 정사각형의 개수는 개이다.

ㄴ. ㈏는 몇 세대 후 모든 정사각형이 죽는다.

ㄷ. ㈐는 살아남은 정사각형의 위치와 형태가 몇 세대 이후부터는 변하지 않고 고정된다.

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수 리 영 역

6

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[21~25] 각 문항의 답을 답안지에 기재하시오.

21.

²¹⁾ 등차수열 ^^{에 대하여 } _ _ _ 일 때, _{  }



^{ }

의 값을 구하여라.

[3점][2016년 경찰대]

22.

²²⁾ 실수 에 대하여 함수   ^         ≤  ≤ 의 최

댓값을 라 하자.



_^  

일 때,   의 값을 구하여 라. (단,  는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2016년 경찰대]

23.

^{23) 두 자연수}  에 대하여 부등식



^log





^{ log}

≤ 을 만족시키는 순서쌍  의 개수를 구하여라.

[4점][2016년 경찰대]

24.

²⁴⁾ 다항함수   ^^ ^ ^ 에 대하여

 ′   이고 의 최솟값이 일 때, ^ ^의 값을 구하여 라.

[4점][2016년 경찰대]

25.

²⁵⁾ 삼각형 ABC에서 ^AB의 등분점과 꼭짓점 C를 잇고, AC^의

등분점과 꼭짓점 B를 잇는다. 이때, 만들어지는 삼각형 (∆ABC도 포함)의 개수를 _이라 하자. 예를 들어   인 다 음 그림에서 _ 이다. _의 값을 구하여라.

[5점][2016년 경찰대]

수 리 영 역

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7

[2016학년도 경찰대 해설지]

1) ①

^을 거듭제곱이나 점화관계를 이용하여 구하면,

^



^{  } 



^이므로

^^ ⋯ ^의   의 성분은

  





   

  

 이므로

  이다.

2) ③

 ^ ^  ^   ^ ^   ^이므로

 ^  ^        ^이며, 이 때,      가 유리수이므로

          이다.

이를 행렬방정식으로 만들면,

 

^

 

^{ } 

 

^ ^이다.

3) ②

모집단의 분포가   ^이고, 표본평균의 분포가 ^이므로

 ≤  ≤    ≤≤   이다.

4) ②

      라 하자.

그러면   ^   이며

      ^      ^       이므로

    의 두 근  에 대하여

^ ^   ^     ^  따라서 최솟값은 이다.

(사실 가 실수조건이 있어야 한다. 하지만 보통의 경우는 실수계수 방정식을 말하므로 실수조건이 있다고 생각해야한다.)

5) ①

는 ^     의 한 허근이므로 ^     이고, 양변을 로 나누면   

 이고 

 , ^ 이므로

    ^    ^  이므로

^ 



  이 의 배수가 아닐 때^{ 이 의 배수 이고}

^은 의 배수가 아니므로 는 음의 아닌 정수

^^^ ⋯ ^{}   ^ 



⋅  

⋅      

8) ①

E       이므로   이다.

또 E^  이므로   이다.

따라서       이므로

      

   

이다.

P 

P 

 

_



^





^



^





^

_



^





^





^

 



9) ④ ㄱ. _{  } 

 _   _ , _  



_^{  이면   ≤ }   

_^{    이다}

그런데, _{  }^{  이므로} _{  }  이다.

그러므로  ≥ 인 모든 에서 _  이다.  ㄴ. 이상의 에 대하여 _ 이므로

_{  } 

 _    

_ 이다.

이 때, lim

→∞

_ 라 하자. 그러면   

  이므로

  

 (이 방법은 수렴할 경우만 가능하지만, 발산할 경우 ㄴ 은 거짓이기 때문에 상관없다.)

ㄷ. 이상의 에 대하여 _ 이므로

_{  } 

 _    

_ 이고, 이 점화식을 정리하면

_{  } 

 

_ 

이고

_ _{  } 

이라 하면, _ _ 

 

이다.

따라서 _ 





^{ }





^{  이며,}

  



∞

_ 

  







 

이다.

10) ⑤

이 홀수 일 때

수 리 영 역

8

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

lim

→  ^ 

   

lim

→       

   

  

 ′ 



 ′   이다.

lim

→    

^ 

lim

→     

   

 ⋅ ′   

12) ③

삼차함수     ^   ^   가 극값을 갖지 않으므로

 ′    ^     에서

 ≤ 이고  ≠ 이다.

따라서 식을 정리하면,

 ^   ^≤ ^이며, 직선       이 의 값과 관계없이

    을 지난다.

이 때, 이 직선의 기울기가 이므로 두 도형이 교점을 가질 조건은 원의 중심과 직선사이의 거리가 반지름이하이면 된다.

따라서 ^^ 

   

≤  이 식을 정리 하면,

 ≤  ≤ 

이다.

13) ⑤







 

_{ }^



 

 

_{ 이므로}

 ≤       ≤     이다.

_   _   _   ⋯이므로

_



^   ^{  } ≠ ^이다.

  





__{  }



^     

14) ②

각 구역을 순찰하는 순경의 인원수를     라 하면,

        ≤      ≤ 인 정수해의 가짓수를 구하면 된다.

이는 ′  ′  ′    ≤ ′  ′  ′ ≤ 이므로

_ ⋅______  이다.

15) ⑤

따라서

lim

→∞_{  }



^



^^

 



^{  }



 

^{ }

^





^  







^   

 

16) ③

행 까지 놓인 바둑돌의 총 개수는 

 ⋅

 개 이고 이는 의 배수이다. 바둑돌의 놓는 규칙에 의하여 놓인 바둑돌의 총 개수가 의 배수가 될 때 마다 검은 바둑돌은 개씩 놓인다.

따라서 행까지 놓인 검은 바둑돌의 개수는 

⋅  이다.

17) ⑤

중지할 때 까지 던진 주사위 횟수를 확률변수 라 하면,

    ⋯

 





⋅





⋅

^ ⋯

즉 확률질량함수  



^





^





^{  이며,}

_{  }







  

∞





^





^{  }이고 멱급수 계산을 이용하여 값을

구하면, _{  }



_{  }



^∞



^





^{   이다.}

18) ①

다음 그림과 같이 삼각형의 둘레의 길이의 최솟값은 점  를   과

  에 대칭시켜 얻은 두 점의 이은 파란 선분의 길이와 같다.

따라서   에 대칭시킨 점  를 구하면,

  

  

    

  

이며,

  와  사이의 거리를 구하면,

 ^^ ^이다.

수 리 영 역

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

9

            이 성립하며 이를 풀면   이다.

그러므로 삼각형 에 대하여 코사인 제이법칙을 사용하면, cos  

이다.

⋅사인법칙과 삼각함수의 덧셈정리를 사용하여 푸는것도 가능하다.

사인법칙에 의하여 sin

  sin

  

 sin

   이며,

sin

  sin

  

을 정리하면 cos  

  

인 것을 알 수 있고,

sin

  sin

  

을 정리하면 cos^  

  

인 것을 알 수 있다.

이 때 두식을 연립하면

  이고 따라서 cos   이다.

20) ③ (가)

0세대 1세대

그러므로 ㄱ은 참 (나)

0세대 1세대

2세대 3세대

그러므로 ㄴ은 참 (다)

0세대 1세대

2세대 3세대

4세대

0세대와 같은 모양 하지만 위치가 다름 그 후 반복 ㄷ은 거짓

21) 

_이 등차수열이므로

_ _ _ _ 을 변형하면,

     ⇒     이고

  





_ 

  

 ⋅  

22) 

절댓값을 풀면

 



^      

^     ≥ 

의 최댓값=  











      

^   ≤  ≤ 

     

따라서









 







^ 









   



그러므로     

수 리 영 역

10

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

따라서 개다.

log_

  ⇒     일 때,



^log





^{ log}

≤  ⇒    ≤ 이며,

  일 때,  ≤   개

  일 때,  ≤    개 즉 개다.

총 개 24) 

 ′      이므로   이며,

  ^ 

 ^이므로  ^이 1-1대응 함수이며 증가함수

 ′  ^ ^   ⋅^이며, 이때 ^≥ 이므로

^ ^   의 부호를 살펴보자.

^ ^       ^   이므로

^     의 한 근을 라 하면,

  는   일 때, 최솟값을 갖는다.

따라서           ^ ^   

  ∵^     

즉   이다.

그러므로 ^ ^ 

25) 

삼각형이 세 직선으로 이루어져 있다는 것을 생각해서 경우를 나누어 보자.

다음과 같이 세 직선을 교차 시킨 뒤 그 내부에 위치한 삼각형은 오직 한 개이므로 그 경우의 수를 세자.

를 한 직선, 꼭짓점 에서 대변에 이은 한 직선, 꼭짓점 에서 대변에 이은 한 직선으로 이루어진 삼각형의 경우

꼭짓점 에서 대변에 이은 한 직선이 개 꼭짓점 에서 대변에 이은 한 직선이 개이므로

^개의 삼각형이 존재한다.

 꼭짓점 에서 대변에 이은 두 직선, 꼭짓점 에서 대변에 이은 한 직선으로 이루어진 삼각형의 경우(이 경우 는 제외해야 겹치지 않는다) 꼭짓점 에서 대변에 이은 두 직선이 __{ }



 

개 꼭짓점 에서 대변에 이은 한 직선이 개이므로



^ ^

개의 삼각형이 존재한다.

 꼭짓점 에서 대변에 이은 한 직선, 꼭짓점 에서 대변에 이은 두 직선으로 이루어진 삼각형의 경우(이 경우 는 제외해야 겹치지 않는다)