1. 개요
□ 연구목적
○ 과학고에서 진행되는 과학 수업을 보면 수학교사로서 항상 미안함과 부족함을 느끼곤 하는데 수학에서 이용되는 이론들이 분명 사용되고 있는 데 실제로 학생들이나 과학 교사들에게 질문해보면 수학적 규칙성이나 또는 아이디어들을 잘 사용하지 못한다는 느낌을 받곤 했고 이것은 어쩌면 우리가 수학이라는 과목을 너무 입시위주의 문제풀이 형태로만 배워오고 가르치고 있기 때문은 아닌가 하는 생각을 지울 수 없었다. 또한 STEAM교 육이 활성화 되고 권장되어지는 과학고의 교육 과정 속에서도 수학은 항상 쉬운 수식 몇 개를 사용하는 것이 STEAM교육 속에서의 위치인 수학의 현 주소라는 것이 너무 안타까웠다. 이러한 현실을 볼 때 STEAM교육을 활성화 기 위해서는 입시위주의 수학 교육의 한계를 벗어나 학생들에게 수학을 사용한 여러 가지 현실이나 과학의 문제들을 해결하게 하도록 하고 그러한 주제로서 연구 활동을 수행하게 하는 것이 무엇보다도 중요하다고 생각 하였고 실제로 작년부터 교내 수학 R&E의 연구주제들을 살펴보면 작으나마 생물이나 물리와 결합하여 현실의 문제를 해결하는 연구 활동이 활성화 되고 있는 분위기이다. 또한 부산과학고등학교 학생 수학 동아리인 '수리공'에서도 스포츠와 수학의 관계를 커버스토리로 잡아내고 바닥이 일정한 형태를 가지는 도형이 될 때 안장이 움직이지 않도록 자전거의 바퀴모양을 결정하는 방법에 대한 연구 등 실생활에서 일어나는 문제들과 수학을 결합시킴으로서 수학이 가지고 있는 힘을 느껴 보고 미래 과학자로 서 수학을 사용하여 문제를 해결하려는 경험을 축척하도록 지도하고 있다.
이런 차에 화학을 수학적으로 접근하여 화학에서의 문제를 해결할 수 있는 좋은 주제를 찾게 되었고 이러한 것을 통해 STEAM교육이 지향하는 바를 충족하면서도 수학적으로 깊이가 있는 문제해결에 대한 욕구를 충족하는 것을 목표로 연구하였다.
□ 연구범위
○ 수학적 방법을 중심으로 하는 화학 문제 해결
- 탄소와 수소 산소 분자들에 대한 일반적인 구조에 대하여 그래프 이론을 이용하여 탄소와 수소, 산소 분자들로 구성된 분자식을 구성 하여 보고 이때 나타나는 분자식에 대한 이성질체를 분류하고자 한다.
- 일반적인 분자 결합식에 대한 이성질체의 분류 공식을 발견하 고 분자 모델을 모델세트를 통해서 모델링 한다.
- mathematica 프로그램과 화학 구조물에 대한 모델 교구를 이 용하여 입체적인 분자 및 화학 구조식을 경우의 수에 맞게 구성 분해 그리고 그에 맞는 화학적 분석을 실시한다.
○ STEAM 교육을 위한 수학과 화학 교과 관련 교재 연구 및 개발 - 수학교육과정에 등장하고 있는 공간 기하학이나 순열과 조합 과 같은 이산수학의 내용을 바탕으로 심화된 내용인 그래프와 군 이론에 대한 기본적인 학습을 통해 수학적 결합으로서의 화 합물의 구조를 분석할 수 있는 지식을 습득한다.
- 화학 교사와 코티칭을 통해 기본적인 분자구조와 분자의 결합 식 그리고 분자구조들을 학습한다. 이를 통해 분자들 사이의 결 합원리 및 분자구조에 대한 연결 상태와 대칭성을 기준으로 이 성질체를 구조이성질체와 기하이성질체 그리고 광학이성질체로 분류시킨다.
2. 연구 수행 내용
□ 이론적 배경 및 선행 연구
○ 1823년 Friedrich Wohler에 의해 발견된 시안산은에 대한 이성질체로
부터 같은 분자식을 가지지만 그 성질이 다른 화합물을 찾는 것은 화학 분야에 있어 큰 이슈가 되었고 주어진 분자식에 대한 이성질체의 개수를 찾는 문제가 Cayley에 의해 어느 정도 해결되면서 수학과 화학분야에 있어 서 해결해야 할 중요한 문제가 됨. 이성질체에 대한 수학적 구조에 대한 분석 선행 연구들은 과학고 수준의 결과물에서도 방법적 문제에 대한 내용 은 전무하며 각각의 이론에 대한 연구 결과들을 다양하나 수학과 화학이 결합되어 일관성 있게 진행되고 있는 주제이다.
○ 수학적으로 그리고 수학에 관심이 있는 화학자들에게서 연구가 활발 하게 진행되고 있는 영역이며 국내 논문 검색결과 관심 있게 진행되고 있는 연구 결과를 찾아보기 힘들어 선행연구의 진행 여부에 대한 확실한 범위를 찾을 수 없었다.
□ 연구주제의 선정
○ 먼저 화학에 관심이 많은 학생들을 선정하였고 학생들에게 수학과 화학이 가장 잘 결합 할 수 있는 것에 대한 질문을 하였을 때 가장 많은 학생들이 선택한 주제였다. 수학내적인 부분에 있어서도 과학과 결합 할 수 있는 주제들은 대부분이 미적분학과 관련된 것임에 반해 이 주제는 군이라는 다소 어려워 보일 것 같은 주제이지만 군의 이론을 완벽하게 알지 못하더라도 대칭성이라는 수학적 아이디어에 집중하여 문제를 해결 할 수 있으므로 수학적 모델링의 좋은 예시가 될 수 있다. 또한 이 문제에 대하여 화학교사에게 자문을 구했을 때 유기화학을 무기화학보다 어려워 하는데 이는 유기화학에서 분자식들이 가지는 종류가 많고 이에 대한 분류 에 어려움을 가지고 있어서 이를 해결하는데 분류가 중요한 기준이 되는데 이 주제가 그러한 문제들에 대한 해결책이 될 수 있을지도 모른다 라는 조언도 들을 수 있었다.
위상수학의 한 분야인 매듭론의 주된 목표는 매듭을 교차점의 개수를 가지고 분류 시켜 나가는데 있다. 아직 교차점의 개수가 15이상인 매 듭의 분류에 대해서 완벽하게 연구가 이루어져 있지 않으나 이러한
분류를 해 나가는 과정에서 여러 가지 아이디어가 제시되었고 많은 분야에 적용 될 수 있는 아이디어들이 발현 되어 수학의 힘을 잘 사 용 하고 있다. 매듭론의 입장과 같이 우리의 목적은 이성질체의 개수 에 대한 일반해를 구하는 것이 목적이 아니며 이성질체의 개수를 찾 아보고 분류해나가는 과정에서 습득하는 수학적 경험이 중요한 목적 이며 이를 수행하는 과정에서 얻을 수 있는 실험적 경험과 이론적 노 하우가 함축된 화학 연구의 좋은 예시가 됨을 확신한다.
□ 연구 방법
○ 주제에 대한 관련 이론들이 고등학교 교육과정을 벗어나지만 내용을 재구성하여 단순화 그리고 적당한 예제들과 연습문제들을 통해 군이론과 컴퓨터 프로그램에 대한 이해와 숙련에 집중 하였다.
○ 주제의 특징 상 수학적 방법이 위주가 되어 이론에 대한 습득이 필수 적이므로 관련 STEAM 교육 교재를 제작하여 연구에 자기주도성과 적극성 을 도모하는 방법으로 실시하였다.
○ 연구주제에 대하여 이론적인 부분을 학생들에게 학습하게 하고 구체 적인 분자모델에 대한 기하학적 모델들을 수학교구들과 분자모델 세트를 이용하여 제작하고 컴퓨터 프로그램을 통해 결과에 대한 해석과 분석을 실시하였다.
□ 연구 활동 및 과정
○ 분자구조가 가지는 대칭성은 기하학적 대칭성과 밀접하며 기하학적 대칭성을 대수적 구조로 분석하여 여러 가지 화학에서 분자가 가지는 대칭 성으로 인해 발생하는 이성질체의 구조를 분석 분류하고 경우의 수를 계산 하였다.
- Cayley의 Alkane에 대한 발견에서 아이디어를 찾아 그 개념을 전체
적이 이성질체로 확장시켜 새로운 구조를 찾아내고 그 구조에 대한 분류를 실시하였다.- 이성질체에는 구조이성질체와 입체 이성질체로 나뉘는데 이것은
수학적 입장에서 주어진 대상에 대한 위상 수학적 분류 및 공간기하학 적 분류로 나뉘어 분류 할 수 있었다.- 입체 이성질체의 경우 광학이성질체와 부분입체이성질체로 분류
할 수 있는데 이것은 입체도형의 대칭성과 연계하여 반사대칭이냐 회전대칭이냐에 따른 분류로 구별할 수 있음을 확인하였다.○ 연구에 있어서의 어려움과 극복
- 구체적인 계산을 위해서 컴퓨터 프로그램이 필수였는데 프로그램을
익히고 사용하는데 시간이 많이 걸려 결과를 확인하는데 어려움이 있었다.- 학생들의 과학고에서의 학교생활이 STEAM활동을 원활하게 할 수
있는 상황이 아니어서 (여러 가지 행사 참여와 조기 졸업으로 인한 내신관리 등등) 일요일과 공휴일에 별도의 시간을 가지고 활동을 실시 하다보니 피로도가 쉽게 쌓여 학생들의 성실한 활동을 독려해야만 하는 상황도 빈번하게 발생하였다.- 국내에 관련 있는 주제를 전공하는 전문가를 찾기가 쉽지 않아 참고문헌과 관련 웹사이트들에서 관련 내용들을 이해해 연구하고 적용하여 확인하는 활동들을 할 수 밖에 없었다.
- 자문 교수를 섭외하였지만 계획서에서 고려하였던 위상적 이성질체 에 대한 내용까지 연구주제로 잡기에는 너무 무리가 있어서 위상적 이성질체에 대한 주제는 제외하여 자문 교수를 활용 할 수 가 없었다.
- 하지만 학생들의 뛰어난 역량과 화학에 대한 관심과 수학적 재능으 로서 이러한 부분들을 극복하여 연구에 대한 결과물들을 제출할 수 있었다.
○ 다음의 표와 같이 활동하였고 그에 대한 지출 경비에 대한 표를 제출 하고자 한다.
주요 활동 시기 활동 내용 분자구조에 대한 여러 가지 이성질체에 대한 종류들
과 성질 특징들에 대한 이론들을 학습하였다. 5월
이성질체에 대한 정의와 기 하학적 분류와의 관계를 발 견함.
구조 이성질체 중에서도 Alkane구조의 이성질체에 대한 케일리의 방법을 중심으로-구조이성질체의 개수 를 계산하는데 필요한 그래프이론을 학습 하였다.
6월
Alkane 구조와 그래프와의 관계를 이해하고 생성 알고 리듬에 대한 이해를 함. 여러 가지 이성질체의 구조에 대한 개수를 확인할 수
있는 최근의 방법에 대한 이론적 바탕이 되는 군 이 론을 바탕으로 한 Polya의 계산방법을 이해하기 위해 군 이론에 대한 학습을 실시하였다.
7월- 8월
군이론의 강력한 counting방 법인 polya의 counting method에 관한 다양한 예제 와 연습문제들을 풀어봄.
이성질체에 대한 여러 가지 구조들을 분자구조모델 세트를 이용하여 구체적으로 모델링하였다. 9월
분자구조모델세트를 활용하 여 여러 가지 분자구조들이 가지는 기하학적 성질들을 분석하여 이해함.
광학이성질체에 대한 구조 모델링을 통해 광학이성질
체의 구조를 분석하였다. 10월
정다면체 모델을 통하여 광 학이성질체를 확인할 수 있 는 반사대칭면을 계산함. 부분 입체 이성질체에 대한 polya의 세기 정리 적용
및 구조 모델링 분석하였다. 11월 mathematica 프로그램을 사 용하여 계산의 정확성과 일 반성에 대한 문제를 해결함.
세목 지출내역 금액
5월 6월 7월 8월 9월 10월 11월
연구장비
·재료비
․geofix
․분자모델 세트 361,000
․조노돔
426,800 787,800
연구 활동비
․워크숍 참석비 120,000
120,000
연구과제 추진비
․사무용품
175,000 175,000
연구수당
․책임 및 공동연구
원수당 300,000
․책임 및 공동연구
원수당 300,000
․책임 및 공동연구
원수당 300,000
․책임 및 공동연구
원수당 300,000
․책임 및 공동연구
원수당 300,000
․책임 및 공동연구
원수당 300,000
․책임 및 공동연구
원수당 300,000
2,100,000
․합 계 3,182,800
3. 연구 결과 및 시사점
□ 연구 결과
○ 여러 가지 분자들의 결합구조에 대한 수학적 분류를 실행하고자 한다.
수학적 분류 기준에 따라 주어진 조건에 맞는 이성질체의 개수를 계산하여 보고 나타나는 여러 가지 이성질체를 분류하는 방법에 의미를 부여하여 연구를 하고자 한다. 먼저 문제에 해결에 필요한 수학적 사실들을 학습하고 화학적 사실에 적용하여 문제를 해결하도록 한다.
○ 연구과정에서 생기는 연구 결과물들을 정리하여 교재화 한다.
수학교육과정에 등장하고 있는 공간 기하학이나 순열과 조합과 같은 이산 수학 그리고 조금 나아가 군 이론에 대한 기본적인 학습을 통해 수학으로서 화학구조를 분석할 수 있는 지식을 습득하고 기본적인 분자구조와 분자의 결합식 그리고 결정구조들을 학습하고 결합원리와 분자구조에 대한 수학 적 분석에 대한 이론을 과학고 학생들의 수준에 맞도록 교재화 한다.
군 이론(group theory)의 학습 이를 통한 분자구조와 고체의 결정 이 론에 대한 적용을 통하여 학생들이 화학에 수학적 이론을 적용하여 탐구 실험 할 수 있도록 교재화 한다.
○ mathematica 프로그램과 화학 구조물에 대한 모델 교구를 이용하여 입체적인 분자 및 화학 구조식을 경우의 수에 맞게 구성 분해 그리고 그에 맞는 화학적 분석을 실시하여 그에 대한 결과로서 주어진 분자식의 이성질 체의 개수를 구해낸다.
○ 여러 가지 형태의 이성질체의 분류가 기하학의 발전단계와 일치함을 이해하고 기하학에서의 대칭성을 이용하여 수학적 방법을 통해 이성질체 의 구조와 개수 구하는 문제를 해결하였다. 이를 구체적으로 보이기 위해 모델링을 하였으며 컴퓨터를 이용해 시각화 하였다.
○ Alkane의 이성질체의 분류 방법과 개수에 대한 알고리듬을 이해하고 이것을 컴퓨터 프로그램으로 확인하였다.
- Alkane의 탄소개수에 따른 이성질체의 개수를 구하는 알고리듬
Alkane의 구조는
개의 점을 가지는 한 점에서의 차수가 4를 넘지 않는 트리의 구조를 가지면 이러한 트리는 다음과 같은 조건을 만족한다.점의 개수
일 때 주어진 트리는 많아야
개의 점을 가지는 인접 부분 트리들로 만들어진다.점의 개수
일 때 주어진 트리는 많아야
개의 점을 가지는 2개이상의 인접 부분 트리들로 만들어진다.점의 개수
일 때 주어진 트리는 많아야
개의 점을 가지는 2개의 인접 부분 트리들로 만들어진다.- 직접 그려서 계산한 이성질체의 개수
- 이 알고리듬을 mathematica를 사용하여 탄소의 개수가 20까지인 알케 인의 구조이성질체의 개수를 계산 하였다.
Akane 화합물의 구조 이성질체의 개수 탄소
원자 개수
1 1 5 9 9 286 13 12486 17 634847 2 1 6 20 10 719 14 32973 18 1721159 3 2 7 48 11 1842 15 87811 19 4688676 4 4 8 115 12 4776 16 235382 20 12826228
○ 광학 이성질체의 분류 방법과 개수
연관 화학식 분자 구조 광학이성질체의 개수
정사면체 1
연관 화학식 분자 구조 광학이성질체의 개수
정육면체 2
연관 화학식 분자 구조 광학이성질체의 개수
정팔면체 2
연관 화학식 분자 구조 광학이성질체의 개수
정십이면체 1
연관 화학식 분자 구조 광학이성질체의 개수
정이십면체 1
○ 폴야의 세기 정리를 이용하여 정다면체의 각각에 대한 부분 입체이성 질체의 개수를 세어 표로 정리하였다.
<mathematica를 사용하여 CycleIndex를 계산하는 방법>
이를 이용하여 다음과 같은 CycloAlkane 구조에 대한 부분입체 이성질체의 개수를 찾을 수 있는 일반적인 다항식을 계산하였다.
연관 화학식 분자 구조 부분 입체 이성질체의 개수에 대한 polya 다항식
정사면체
연관 화학식 분자 구조 부분 입체 이성질체의 개수에 대한 polya 다항식
정육면체
연관 화학식 분자 구조 부분 입체 이성질체의 개수에 대한 polya 다항식
정팔면체
연관 화학식 분자
구조 입체 이성질체의 개수에 대한 polya 판별식
정삼각형
연관 화학식 분자 구조 부분 입체 이성질체의 개수에 대한 polya 다항식
정십이면체
원자구조모델세트로는 정십이면체를 제작할 수 없어 조노돔을 이용하였다.
연관 화학식 분자 구조 부분 입체 이성질체의 개수에 대한 polya 다항식
정이십면체
원자구조모델세트로는 정이십면체를 제작할 수 없어 조노돔을 이용하였다.
- CycloAlkane의 입체이성질체 개수를 구하는 문제를 확장하여 일반적인 CycloAlkane의 입체이성질체 개수를 구하였다.
연관 화학식 분자
구조 입체 이성질체의 개수에 대한 polya 판별식
정사각형
연관 화학식 분자
구조 입체 이성질체의 개수에 대한 polya 판별식
정오각형
연관 화학식 분자
구조 입체 이성질체의 개수에 대한 polya 판별식
정육각형
- (cyclopropane)의 최대 입체 이성질체의 개수를 다음과 같이 계산하 였다.
모두 60가지의 입체 이성질체가 존재함을 알 수 있다.
○ 위와 같은 계산 결과를 정리하여 해당하는 경우의 수로 분류하여 cycloalkane의 입체이성질체의 개수를 분류 정리하였다.
□ 시사점
○ 정확한 형태의 이성질체의 개수 구하는 문제에 대한 알고리듬을 이해 하고 적용하여 여러 형태의 이성질체의 개수를 정확하게 계산하는 방법을 찾아 내었다. 이를 통하여 아직 발견되지 않은 화합물에 대한 구조적 존재 성을 찾을 수 있으며 또한 화합물이 가지는 대칭에 대한 분석을 통해 화학 적 성질에 대한 수학적 분석을 가능하게 하였다. 이를 통해 다양한 분자구 조에 대한 이성질체를 구할 수 있는 계산적 토대를 제시하여 더욱 복잡한 형태의 구조에 대한 분석이 가능하게 하였다.
○ 군이론과 이성질체에 대한 학습에 대한 교재를 만들고 구상할 수 있었다. 계산의 이론적 바탕이 전제적으로는 대학원수준이나 아이디어에
집중하면 고등학교에서 사용할 수 있는 결과물들이며 컴퓨터 프로그램을 사용하여 계산에 대한 어려움을 극복하는 내용을 담을 수 있었으며 새로운 모델에 대한 구체적인 구조 모형을 제작하여 화학 연구에 방향성을 제시할 수 있었다.
○ 개수를 구하는 알고리듬을 계산하기 위해 주어진 분자식에 대한 구조 를 완벽하게 이해하고 대칭성을 구별하는 작업이 필요하며 이러한 과정에 서 수학적 방법과 화학에 대한 여러 가지 지식들이 고려되어 지며 문제 해결력을 효과적으로 성장시킬 수 있다.
4. 홍보 및 사후 활용
□ 화학과 수학과의 융합도가 굉장히 높은 영역으로서 과학고 교재로서 다룰 수 있는 주제가 됨. 대부분 수학에서의 과학과의 융합적인 주제를 다루게 되면 해석학적 계산 위주의 물리적 상황과 융합되는 경우가 많은데 실제 계산 뿐만 아니라 구조에 대한 수학적 분석이나 구체적인 경우의 수를 구하는 문제에 있어서도 좋은 문제를 제공하여 다양한 영역으로의 융합을 고려할 수 있는 계기를 마련 할 수 있다.
○ 수학교육 학회집과 화학교육 학회집에 논문게재가 가능하며 구조 이성질체에 대한 일반적인 방법이 아직 존재하지 않는 것에 알칸과 여러 가지 분자구조들을 분류할 수 있는 방법으로서 사용 될 수 있음.
○ 수학교육에 있어 응용분야로서의 적용이 용이하다.
○ 수학에서 프로젝트 수업을 하기 위한 교재로서 적절하게 사용할 수 있다.
○ 여러 분야에 걸쳐 지금도 연구가 활발하게 진행되고 있는 영역으로서 앞으로 관련된 여러 주제에 대하여 연구를 진행 할 수 있다.
5. 참고문헌
□ 1. Mordern algebra with appications, william J. gilbert , John Wiley
& Sons Inc. 2002
2. Abstrace algebra, Tomas W. Hungerford, Saunder college Pub. 1990
3. 이산수학, 황석근,이재돈,김익표, 블랙박스, 2001
4. 옥스토비의 일반화학, 화학교재연구회, 사이플러스, 2007
5. 그림으로 보는 분자세계와 대칭성 , 에드가 하일브로너, 한국경제신 문사
