The Analysis of Terrain and Topography using Fractal

서 론 1.

1)

연구배경 및 목적 1)

인류 문명의 발달에 따라 많은 양의 정보가 신 속정확하게 처리되어야 하며 공간정보와 속성정 ․ , 보의 종합적체계적인 관리를 위한 지형공간정보 ․ 체계의 필요성이 날로 증대되어가고 있다 그래서 .

* 대구과학대학 측지정보과 전임강사(Full-time Instructor, Department of Geodetic Information, Taegu Science College)

** 영남대학교 대학원 토목공학과 박사과정(Graduate Student, Department of Civil Engineering, Graduate School of Yeungnam University)([email protected])

*** 영남대학교 건설환경공학부 교수(Professor, School of Civil, Urban and Environmental Engineering, Yeungnam University)

프랙탈 기법에 의한 지형의 특성분석

권기욱 지형규 이종달 * ․ ** ․ ***

The Analysis of Terrain and Topography using Fractal

Kwon, Keewook* Jee, Hyungkyu** Lee, Jongdal*** ․ ․ 요약

요약 요약

요약 본 연구에서는 지형이 위치별로 자기 상사성을 가진다는 전제하에 프랙탈 차원을 이용한 지형의 복잡성을 표현 ： 해 보고자 한다 특히 수치지도 분석기법에서 표면적요소를 산정하여 프랙탈 차원을 산정하도록 한다 또한 프랙탈 차 . . 원과 지형 형상요소들과의 관계를 규명하고 프랙탈 차원의 통계적 대표치로서의 기능에 대해 고찰해 보려한다 본 연 , . 구에서는 GIS 기법을 적용하여 지형의 프랙탈 특성을 구하였다 길이를 이용하여 하천이나 해안선의 차원적 프랙탈 특 . 1 성을 구하는 것에서 벗어나 면적의 개념 즉 투영면적과 표면적을 이용하여 지형의 차원적 프랙탈 특성을 구해보았다 , 2 . 그리고 프랙탈 차원과 평균경사도와의 상관관계를 검토해 보았다 연구결과 다음과 같은 결론을 얻게 되었다 . . 1) 프랙 탈 차원을 구하기 위한 척도로서 표면적을 사용한 경우에서도 일반적 프랙탈 차원의 특성과 같이 지형의 복잡성과 비 례관계의 성질을 나타내었다. 2) 본 연구에서 제안한 표면적을 이용한 프랙탈 차원은 영천지역에서는 2.10 2.24 ～ 이고 의성지역은 2.02 2.15 ～ 으로 나타났다 이 값들은 통상 알려진 지형의 프랙탈 차원인 . 2.10 2.20 ～ 의 범위에 든다 . 3) 평균 경사도와 프랙탈 차원의 상관관계는 평균경사도가 25° 이상인 지역에서 결정계수

값이 25° 이하인 지역에 비해 30%

정도 작아진다 그러므로 모든 지형의 거침도를 표현하기위해선 프랙탈차원이 알맞을 것으로 본다 . .

본 연구결과를 통해 투영면적과 표면적을 이용한 프랙탈 차원 산정공식이 유효함을 확인하였다 그러나 본 기법이 충 . 분히 타당성을 인정받기 위해선 연구대상지역의 확대를 통하여 경사도와 표면적 프랙탈 차원과의 상관관계를 더욱 명 , 확히 할 필요가 있다 . 향후 연구에선 지형의 복원에 적용 할 수 있을 것이며 fBm 모델을 이용하여 교통류 해석에도 적용이 가능할 것이다.

주요어 주요어 주요어

주요어 프랙탈 프랙탈차원 브라운운동 지형분석 지형재현 지형보간 ： , , , , , , Hurst 지수 , fBm Abstract

Abstract Abstract

Abstract In this study, GIS method has been used to get fractal characteristics. Using the projected area and ： surface area, 2 dimensional fractal characteristic of terrain was found out. Correlation of fractal dimension and mean slope were also checked over. Results are as below. 1) To get a fractal dimension, the method which is using the surface area is also directly proportional to complexity of the terrain as other fractal dimension. 2) Fractal dimensions using the surface area, that is proposed in this thesis are carried out as below : Uiseong : 2.02 2.15 Yeongcheon : 2.10 2.24 These values are in a range of fractal 2.10 2.20 dimensions which has known. 3)

～ ～ ～

Correlation of mean slope and fractal dimension is diminished about 30% in a region which is more than 25° of mean slope. So, in this region using the fractal dimension method is better than using the mean slope.

From this study, on formula using the projected area and surface area is still good to get a fractal dimension that has been found. But to confirm this method the region of research should be wider and be set up the correlation of mean slope, surface area and fractal dimension. It can be applicable to restoration of terrain and traffic flow analysis in the future research.

Key Words fractal, fractal dimension, erownian motion, analysis of terrain, restoration of terrain, interpolation ：

of terrain, Hurst exponent, fBm

차원 수치지형정보를 이용한 다양한 지형해석 기 3

법이 개발되었으며 이를 이용한 타당성 조사 지 , , 형변화분석 및 지형자료의 유지관리에 이르기까 ․ 지 종합적인 활용 가능성이 높아지고 있다.

지형정보는 시공간적 분석(time-space analysis ․ ) 을 통하여 그 효용성을 극대화하기 위한 정보체계 이다 이를 이루고 있는 정보는 위치정보와 특성정 . 보로 구분할 수 있다 위치정보는 공간적 해석이 . 가능하도록 대상물에 절대적 또는 상대적 위치를 부여하기 위한 것이고 특성정보는 도형정보 영상 , , 정보 속성정보로 구성된다 이러한 방대한 정보를 , . 효율적으로 처리분석할 수 있고 기본지도 및 지 ․ 형속성자료 다양한 응용목적에 따른 주제별 지리 , 정보를 수치형태로 저장관리 ․ , 빠른 입출력처리 ․ 분석 및 결과의 도시기능을 차원 및 차원 그래 2 3 픽 기술을 이용하여 사용자에게 제공할 수 있다.

최근 컴퓨터의 발달과 함께 지형분석에 있어서 등과 같은 차원 분석이 가능한 프로그 GIS, CAD 3

램의 응용이 증가하고 있다 지형분석에 있어 과거 . 차원의 인 분석에서 탈피하여 차원 분석을

2 面的 3

통한 시각적인 분석방법이 대두되고 있으며 이를 , 활용하여 건설 방재 환경 등의 다방면에서 그 활 , , 용성이 중요시 되고 있다.

지형분석을 하기 위해서는 기초적으로 측량이 필 수조건이다 그러나 사람이 접근하기 힘든 지형인 . , 경우 항공측량이나 위성사진등에 의존함으로서 실 제 지형과는 상이한 결과를 도출하는 경우도 있다.

이러한 방대한 량의 지형자료를 분석하는데 있 어서 정확성과 소요시간에 따른 분석방법과 축척 설정의 기준이 정립되어 있지 않다 지형의 형상요 . 소중 대표적인 값으로 평균경사도가 현재까지 많 이 사용되고 있으나 이러한 평균경사도에 의한 지 , 형의 복잡성을 표시하기에는 충분하지 못하다.

본 연구에서는 지형이 위치별로 자기상사성을 가진다는 전제하에 프랙탈 차원을 이용한 지형의 복잡성을 표현해 보고자 한다 특히 수치지도 분석 . 기법에서 표면적요소를 산정하여 프랙탈 차원을 산정하도록 한다 또한 프랙탈 차원과 지형 형상요 . 소들과의 관계를 규명하고 프랙탈 차원의 통계적 , 대표치로서의 기능에 대해 고찰해 보려한다.

내용 및 방법 2)

본 연구에서는 지형분석을 위한 프랙탈 특성을 파악하고자 한다 프랙탈 차원이 다르다는 의미는 . 지형의 복잡성이 다르다는 의미로서 비교대상지역 이 필요하고 대상지역들의 , 1/5,000 수치지도를 이 용하여 데이터베이스를 구축하도록 하였다 분석에 . 사용될 소프트웨어는 ArcGIS 를 이용하며 수치지 , 도를 1m×1m, 5m×5m, 10m×10m, 50m×50m 의 격 자간격을 가지는 DEM 자료로 변환한다 이를 이 . 용하여 서로 다른 두 대상간의 비교뿐만 아니라 같은 대상일 경우라도 격자의 간격을 다르게 하였 을 때의 분석결과를 확인해 보도록 한다 이는 기 . 존의 하천차수나 해안선의 프랙탈 특성 연구에서 이루어진 단위 길이를 짧게 했을 경우 프랙탈 차 원이 높게 나타난 결과가 면적의 개념을 적용하였 을 때에도 같은 결과가 나타나는지를 알아보기 위 함이다.

기존연구의 고찰 3)

년대 중반에 에 의하여 창안된 프 1970 Mandelbrot

랙탈 기하학의 한 분야인 Random Fractal 을 응용 한 중간점 분할 알고리즘 이나 Diamond/Square 알

｢ ｣ ｢

고리즘 등을 이용하여 자연현상의 모델링에 대단 ｣ 히 성공적인 결과를 얻게 되었다. Random Fractal 의 특성을 응용한 이러한 알고리즘들은 가상 지형 의 모델링에 이용되어 다양한 형태의 현실감 있는 지형을 생성하는데 매우 유용하게 사용되지만 이 , 것의 특성중 하나인 무작위성으로 인하여 생성되 , 는 지형의 최종적인 형태를 예측하기는 매우 어려 운 일이다.

따라서 사용자가 원하는 형태의 지형을 모델링 하고자 할 경우 최종 결과를 화면상에 출력시켜 보기 전에는 지형의 형태를 예측하기 어려운 단점 이 있다 이러한 단점을 극복하기 위하여 . Koh 등 은 지형 데이터 생성을 위한 가우스 분포 함수에 제한을 두어 사전에 정의된 외곽면이나 피라미드 구조를 벗어나지 않는 지형 모델링 알고리즘을 제 안하였으나 복잡한 형태의 지형 모델링을 위해서 는 너무 많은 수의 제어점을 필요로 하기 때문에 단순 지형의 모델링이 아닌 경우 형태 제어에 어 려운 점이 있다.

또한 Musgrave 등이 제안한 잡음 합성법을 이

용한 침식 모델링이나 Kelly 등이 제안한 배수 모 델링 방법등은 기존의 지형에 대한 침식 또는 계 곡의 생성과정과 같은 자연 현상에 대한 모의실험 의 성격을 가지므로 초기 지형 데이터의 생성을 위한 형태 제어를 위한 방법으로는 부적합하다 곡 . 면을 이용하는 기존의 지형모델링 알고리즘들은 지형의 형태 제어는 가능하지만 현실감이 결여되 고 프랙탈을 이용한 알고리즘들은 현실감은 뛰어 , 나지만 형태 제어에는 어려운 점이 있었다 이재협 .( , 1995)

과

Polidori, L Chorowicz, J, Guillande, R(1991) 는 “Description of terrain as a fractal surface, and application to digital elevation model quality 에서 을 이용하여 수치고도모델 assessment” fBm

의 프랙탈 차원을 평가하는 방법을 제시하 (DEM)

였고 축척과 방향에 따른 프랙탈 차원을 이용하여

의 질을 평가하였다 와

DEM . Kenichi Arakawa Eric 는

Krotkov(1993) “Fractal surface reconstruction 에서 자연적인 지형을 for modeling nature terrain”

모델링하기 위해 프랙탈 기하학에 바탕을 둔 표면 재구성 방법을 개발하여 추출한 일정 데이터로부터 원상태의 거칢도를 가진 자연적 표면을 재구성하였 다 . James E. Dudgeon 과 Ramesh Gopalakrishnan

은

(1996) “Fractal-based modeling of 3D terrain 에서 랜덤 중간점 변위법을 이용한

surfaces” fBm

식을 소개하고 Hurst 지수를 구하는 방법을 소개하였 고 M. Rahnemoonfar 와 M.R. Delavar, L. Hashemi

는 에서

(2003) “Fractal and surface modeling”

을 생성하는데 있어서 최적의 샘플링기법으 DTM

로 fBm 을 이용하였다 .

국내에서는 장승호 (1991) 가 프랙탈기법을 이용한 등고선 구성에 관한 연구에서 프랙탈의 랜덤 중간 점 변위방식을 새로운 점의 정보를 구하는 과정에 사용하여 더욱 적은 데이터로 원하는 정확도를 유 , 지하는 등고선을 구성하는 프랙탈기법을 제시하였 고 노용덕 (1995) 은 프랙탈 기법에 의한 울릉도 형 상화 사례연구에서 고정된 중간점을 허용하는 프 랙탈 기법을 이용하여 울릉도의 특성을 유지하면 서 3 차원 데이타를 생성하였으며 김경식 공영세 ․ 는 한국지형에서의 랜덤 프랙탈과 멀티프랙 (1996)

탈구조의 연구에서 한국의 산악지형에서 랜덤 프

랙탈과 멀티 프랙탈구조의 거동을 수치해석적으 로 분석하였다 또한 김수선 . (1997) 은 등고선 데이 터로부터 3 차원 지형복원에서 지형복원에 있어 적은 양의 데이터로 좀 더 사실적으로 표현 할 수 있도록 연구 즉 좀 더 사실적이면서도 시각적 , 으로 만족스러운 실제의 지형에 가까운 차원 영 3 상을 구성하는 알고리즘 연구에 프랙탈기법을 적 용하였다.

프랙탈 차원 2.

프랙탈 도형의 특징은 프랙탈 차원을 갖는다는 것이다 도형의 형상요소에는 길이 면적 부피 등 . , , 이 있다 이러한 여러 가지 형상의 크기를 측도라 . 고 한다 . 1 차원 도형의 측도는 길이 이며 , 2 차원 도형의 측도는 넓이 이다 이처럼 도형은 그 차원 . 에 따라 측도가 달라진다 차원이 다른 도형을 확 . 대할 때 그 크기 즉 측도가 달라진다 , .

예를 들어 일정한 길이의 1 차원 도형인 선분을 배로 확대하면 그 길이는 배가 된다 그러나 차

3 3 . 2

원 도형인 정사각형을 배로 확대하면 넓이는 배 3 9 가 되고 , 3 차원 정육면체의 경우에는 부피가 27 배 로 늘어난다.

즉 긴 선분을 작게 나누는 경우와 큰 입방체를 , 작은 입방체로 나누는 경우에서 모두 서로 상사성 을 가지게 되며 이러한 상사성을 (self-similarity) ,

가지는 도형은 식 (1) 과 같은 멱수법칙 (power law) 을 따르게 된다.

N = ( ¹ _r )

^{즉, log N = D log} ( ¹ _r )

→ D = log N

log (1/r) ⑴

N : 조각의 개수 , D : 프랙탈 차원 r : 축소율 식 (1) 에서 구한 차원은 상사성차원이 되며 , Man-

가 영국의 해안선에 대해 컴파스길이로 측 delbrot

정한 차원을 컴파스차원이라 하며 식 (2) 와 같이 된 다 또한 식 . (1) 과 식 (2) 의 관계는 식 (3) 과 같다 .

L = ( ¹ _r )

^{= N × r → d = log} _log ^{r - log N} _r ^⑵

dlo g

(

)

(

)

^{→ ∴ D = 1 + d ⑶}

코흐라인을 3 배 확대하여도 코흐라인의 측도는 배가 되지 않는다 왜냐하면 코흐곡선의 길이는

3 .

무한대이기 때문이다 따라서 배로 확대해도 여전 . 3 히 길이는 무한대이기 때문에 무한대를 배하여도 3 여전히 무한대인 것이다 따라서 코흐라인의 경우 . 에는 길이는 의미가 없다 그래서 코흐라인은 확대 . 하기 전의 코흐라인의 일부가 확대된 코흐라인 속 에 몇 개나 들어 있는지를 보고 그것으로 측도를 삼을 수 있다 . < 그림 3> 을 보면 배로 확대된 코 3 흐라인에는 원래의 코흐라인이 개가 들어 있음을 4 알 수 있다.

그림 3. 코흐라인의 단계별 축소확대비 ․ 따라서 D = log N / log r = log4/log3 = 1.26

코흐라인은 1 차원도형도 아니고 2 차원도형도 아닌 1.26 차원을 가진다 이러한 비정수차원을 .

는 프랙탈 차원이라고 이름 지었다

Mandelbrot .

지형의 형상요소 3.

지형형상 분석법 1)

지형은 일정지역의 표면의 상태에 관한 것이다.

따라서 지형은 언덕이나 계곡 평원 등을 포함하며 , 일반적으로 지형은 일정 지역내에 존재하는 지점 들의 표고라고도 정의된다 이러한 지표면의 표고 . 는 GIS 에서 DEM(digital elevation model) 으로 표 현될 수 있으며 DEM 은 대상지역에 분포된 수많은

샘플지역의 표고를 나타내는 수치값으로 구성된다.

이러한 샘플점들의 위치는 등간격으로 이루어지며 근본적으로 래스터 형식을 갖추게 된다.

지형의 표현방식은 표고를 나타내는 것 이외에 도 대상지역의 데이터를 연구하는데 사용될 수 있 다 즉 일정지역 내 연속적인 변이를 갖는 일정 . , 특성이나 속성은 표면으로서 나타낼 수 있다 예를 . 들어 지질에 있어서 토양의 화학적 성분의 분포나 공항주변의 소음의 정도 한 도시 내에서 주민들의 , 소득의 분포 호수의 오염도 정도 등 공간상에서 , 연속적으로 나타낼 수 있는 성질들에 대하여 TIN 이나 을 사용하 (Triangular Irregular Network) DEM

여 지형을 표현하듯이 효율적으로 나타낼 수 있다.

지형분석기능은 일정 지리적 위치에서의 표고나 위치의 계산이나 특정 지점을 바탕으로 주변지역 의 경사도의 계산과 같은 특성을 나타내는 수치의 계산에 사용될 수 있다 대개의 지형분석 기능은 . 국지적인 지형을 특성화하는데 있어서 주변의 지 형을 고려한다 지형을 고려하는데 있어서 가장 보 . 편화된 변수는 경사 (slope) 와 경사 방향 (aspect) 이 며 이것들은 주변의 표고값은 이용하여 계산된다.

일정 지점에서의 경사와 경사 방향의 계산은 주변 의 점들이 갖는 표고값에 적합하도록 평면을 생성 하는 것과 같다.

보간법

(1) (interpolation)

보간법은 주변의 이미 알고 있는 값들을 이용하 여 미지의 값을 예측하는 과정이다 벡터방식에서 . 는 TIN 과 같은 기법에 의하여 보간이 이루어질 수 도 있다 보간은 알려진 점들을 이용하여 만들어진 . 선형식 (linear function) 에 의하여 만들어질 수도 있 고 다항식의 회귀분석이나 퓨리에급수 스플라인 , ,

등에 의하여 계산 될 수도 있다

kriging .

보간의 정확도는 알려진 점들의 정확도 수 분 , , 포상태 등에 좌우되며 사용된 수학적 모형 또는 기능이나 방정식 역시 중요한 요인이 된다 보간법 . 에서 예측되는 형상은 사용되는 수학적 모형에 의 하여 매우 정확하게 예측된다는 가정을 하고 있으 며 이러한 모형에 의하여 미지의 값들이 계산된다.

따라서 합리적인 값의 예측을 위해서는 적절한 모

형의 사용이 매우 중요하다.

(2) TIN

불규칙하게 분포된 위치에서 표고를 추출하여 이들 위치를 삼각형의 형태로 연결하여 전체 지형 을 표현하는 방식이다 이러한 . TIN 방식은 세 개 의 위치를 가지고 하나의 삼각형을 이루며 각각의 삼각형내에서 경사의 크기 및 방향이 결정되었다.

경사의 크기와 방향 등을 결정하기 위하여 많은 수학적 알고리즘이 고안되었다 실제적으로 . TIN 의 구조가 세 변의 길이가 같은 정삼각형의 형태에 근접할수록 보다 정확한 지표면의 형태를 나타내 는 것으로 확인되었다 이러한 . TIN 방식은 격자방 식과 비교하여 비교적 적은 지점에서 추출된 표고 데이터를 사용하여 개략적이나마 전반적인 지형의 형태를 나타낼 수 있다는 이점이 있다.

의 또 다른 특징은 벡터구조로서 지형데이 TIN

터의 표현을 위한 위상을 갖추었다는 점이다. TIN 에 있어서 삼각형을 구성하는 각각의 선은 xy 좌표 와 z 값 표고 을 갖는다 ( ) . TIN 모형을 사용하여 경사 의 크기와 경사의 방향 등 주요 변수값을 각각의 선분에 대하여 계산할 수 있으며 계산된 변수값이 , 속성값의 형태로 저장될 수 있다 이러한 속성값은 . 데이터베이스에서 공간 질의를 통하여 필요시 쉽 게 추출될 수 있다.

형상요소 2)

면적 (1)

면적에는 투영면적 (2D area) 과 표면적 (3D area) 가 있다 투영면적이라 함은 분석지역의 표고 . ( z ) 는 고려하지 않고 단순히 x 좌표와 y 좌표만으로 측정 된다 표면적은 분석지역의 표고 . ( z ) 를 고려하여 구 해진다 항상 표면적은 투영면적보다 같거나 큰 값 . 을 가지게 된다 식 . (4) 은 표고값을 가지는 삼각형 의 표면적을 구하는 공식이다.

Area

= (( (( y

- y

)*( z

- z

) - ( y

- y

)*

( z

- z

))

+ (( z

- z

)*( x

- x

) - ( z

- z

)*

( x

- x

))

+ (( x

- x

)*( y

- y

) - ( x

- x

)*

( y

- y

))

)

/

)/2 ⑷

사각형 셀의 표면적은 식 (4) 를 이용한 개의 삼 2

각형 표면적의 합으로 계산가능하다.

경사도 (2)

경사도에 의해서 토지의 활용도를 평가 할 수 있다 일반적으로 경사도 . 10% 정도까지는 평탄 또 는 완경사면으로서 이용 가능하다 . 15% 정도까지 는 다소의 개발은 가능하지만 30% 가 넘으면 개발 은 불가능하다 경사도 분석에서는 경사도의 급간 . 구분이 중요한데 토지이용을 위한 계획에서는 일 , 반적으로 0 3%, 3 8%, 8 15%, 15 25%, 25% ∼ ∼ ∼ ∼ 이상으로 구분하고 있으나 엄격한 규정이 있는 것 은 아니며 계획지역의 지형 및 계획내용에 따라서 달라진다 일반적으로 . 15% 를 기준으로 하여 전후 각각 단계의 전체 단계로 구분하는 경우가 많다 2 4 .

a b c

d e f

g h i

그림 4. 격자구조와 주변 셀 8

경사도와 사면의 경사방향에 대한 계산은 격자 구조의 자료에서는 해당 셀을 중심으로 8 주변 셀 의 값에 의해 결정된다 우선 . < 그림 4> 에서 중심 셀 의 e x 방향 및 y 방향의 표고 변화값을 식 (5) 와 같이 계산 한다.

(Δz/Δx)e

= { [z_c+ ( 2 ×z_f) +z_i] - [z_a+ ( 2 ×z_d) +z_g]/(nc×cs) }

(Δz/Δy)e

= { [z_a+ ( 2 ×z_b) +z_c] - [z_g+ ( 2 ×z_h) +z_i]/(nc×cs) }

⑸

여기서, nc ; 셀의 수 = 8 , cs ; 셀의 크기

위 식은 해당셀을 중심으로 한 주경사 축의 셀

에 가중치를 배로 부여한 중량 평균을 의미한다 2 .

표고변화값을 이용한 해당셀의 경사도는 식 (6) 과

같이 계산되며 경사도를 표현하는 단위는 , 度 (degree )

가 된다.

slope = tan

[ ( Δz/Δx )

+ ( Δz/Δy)

]

⑹ 표면의 경사도 분석을 하기위해선 사면방향(aspect) 이 어느 방향으로 기울어져 있는지를 알아야 한다.

종횡방향의 표고변화값을 식 ․ (5) 와 같이 사용하여 계산한 사면방향의 계산식은 식 (7) 과 같다 .

aspect = tan

(Δz/Δy)/(Δz/Δx) ⑺

프랙탈기법에 의한 지형분석 4.

분석대상 지역 및 자료 1)

본 연구에서는 상대 비교를 위해 분석지역을 2 군데 지정하였다 첫 번째 분석대상지역은 경북 의 .

성군 의성읍의 포항영주간 국도 호선이 지나가 ․ 28 는 구간으로 하였고 두 번째 분석대상지역은 경북 , 영천시 화북면의 보현산 천문대 주변지역으로 정 하였다 영천지역은 상대적으로 의성지역보다 지형 . 이 복잡하고 표고차가 많이 나는 곳으로 선택하였 다 연구에 필요한 데이터는 . 1/5,000 수치지도 장을 6 이용하여 등고선 등의 요소들을 AutoCAD 을 이용 하여 세부적으로 추출하고 이를 다시 , ArcGIS 를 이용하여 자료를 편집수정하여 속성자료를 입력 ․

하였다 대상지역에 대한 . 1/5,000 수치지도는 그림 <

와 그림 과 같다 5> < 6> .

분석대상지역의 통계적 특성은 표 < 1> 과 같다 .

프랙탈 지형분석 2)

지형분석의 순서는 우선 기본자료가 되는 수치 지도에서 등고선자료들만 추출해 낸다 이를 커버 . 리지변환 후 불규칙삼각망을 구성한다 구성된 불 . 규칙삼각망을 이용하여 격자표고도를 생성시킨다.

그림 5. 등고선자료 영천 ( )

그림 6. 등고선자료 의성 ( )

영천 의성

대상지역의 격자크기 5430×5430

최대표고 1125m 425m

최소표고 265m 70m

평균표고 657.44m 146.07m 표고의 표준편차 SD

(Standard Deviation) 153.62m 46.59m 표고의 평균절대편차 MAD

(Mean Absolute Deviation) 123.91m 33.70m 능선의 평균표고 MP

(Mean height of Peaks) 791.76m 189.00m 계곡의 평균표고 MV

(Mean height of Valleys) 542.44m 118.33m 평균경사도의 표준편차 PS

(standard deviation of profile Slope) 9.7058˚ 12.4602˚

평균경사도 MS

(Mean Slope of the profile ) 27.5035˚ 14.4968˚

표 1. 분석지역의 통계적특성

다음으로 격자표고도를 이용하여 경사도분석을 실 시한다 여기서 생성된 격자표고도를 이용하여 분 . 석지역의 표면적을 구하여 프랙탈 차원을 구하고 경사도분석을 통하여 각각 표면적과 프랙탈 차원 과의 관계와 표면적과 평균경사도와의 관계를 비 교 분석한다.

불규칙삼각망 (1) (TIN)

수치지도에서 추출한 등고선 (Contour) 자료를 커 버리지 변환 후 불규칙 삼각망화 하였다 불규칙삼 .

각망을 구성하는 이유는 등고자료가 부족한 부분 이나 손실된 부분을 주변에 있는 등고값들을 이용 하여 보간한다 대상지역인 영천지역과 의성지역에 . 대해서 불규칙삼각망을 생성시켜본 결과 표고차도 크고 등고자료의 양도 많았던 영천지역의 경우가 더욱 세밀한 불규칙삼각망이 구성되어 의성지역에 비해 더 입체화가 되었다.

격자표고도 (2) (GRID)

영천과 의성 두 지역의 불규칙삼각망자료를 이

그림 7. 불규칙삼각망 영천 ( )

그림 8. 불규칙삼각망 의성 ( )

그림 9. 격자표고도 영천 ( -1m)

그림 10. 격자표고도 의성 ( -1m)

용하여 각각 1m×1m, 5m×5m, 10m×10m, 30m×

의 간격으로 총 개의 격자표고도를 만들었다

30m 8 .

두 지역의 격자표고도를 비교해보면 같은 1m×1m 격자 간격으로 생성된 격자표고도를 보면 영천지 역이 더 등고값이 많고 표고가 더 높다는 것을 알 수 있다 격자표고도를 이용하여 분석지역의 표면 . 적을 구할 수 있다 같은 투영면적의 두 지역에서 . 는 표고차가 많았던 영천지역이 더 큰 표면적을 보이고 같은 지역에서는 격자간격이 좁을수록 표 면적이 크게 나타난다.

경사도분석 (3)

개의 격자표고도를 이용하여 경사도 분석을 실 8

시하였다 경사도 분석결과 표고차가 큰 영천지역 . 이 의성지역보다 평균경사도가 크게 나왔으며 같 은 지역일 경우는 격자간격이 작을수록 평균경사 도값이 높게 나왔다 하지만 등고선이 촘촘한 영천 . 지역은 격자크기 1m×1m 에서 평균경사도가 27.5035°

였고 30m×30m 에서는 27.4182° 로 그 차이가 미미했 지만 등고선 간격이 촘촘하지않은 의성지역의 경우

그림 11. 경사도분석 영천 ( -1m)

그림 12. 경사도분석 의성 ( -1m)

는 격자크기 1m×1m 에서는 평균경사도가 14.4968°

이였고 30m×30m 에서는 8.8535 로 격자크기가 커질 수록 평균경사도 값이 현격하게 차이가 났다.

프랙탈 차원 (4)

분석지역의 투영면적과 표면적을 이용하여 프랙 탈 차원을 산정한다 투영면적과 표면적은 . ArcGIS 를 이용하여 구하였다 각 분석지역의 투영면적과 . 표면적은 표 < 2> 와 같다 .

단위 영 천 의 성

Hmax m 1,125 425

Hmin m 265 70

H

Δ m 860 355

투영 면적 (2D area)

격 자 간 격

1m×1m

㎡

29,488,731 29,478,415 5m×5m 29,430,450 29,429,375 10m×10m 29,376,100 29,375,000 30m×30m 29,159,100 29,137,300 표면적

(3D area)

격 자 간 격

1m×1m

㎡

35,043,157 31,402,888 5m×5m 33,851,387 31,217,074 10m×10m 33,731,990 31,099,971 30m×30m 33,252,397 30,636,606 표 2. 격자 간격별 투영면적과 표면적

기존의 2 차원의 프랙탈차원을 구하는 공식들은

식 (1),(2) 와 같다 식 . (1) 및 식 (2) 는 척도가 정형화

된 형태의 차원으로서 복잡한 지형 (landscape) 에는

부적절하다 . < 그림 13> 은 식 (1) 과 식 (2) 에 의한 영

천과 의성지역의 log-log 그래프로서 복잡한 지형

에서는 적합하지 않음을 보여준다.

그림 13. 영천과 의성의 log-log 그래프 그래서 ArcGIS 를 이용하여 표면적으로 프랙탈 차원을 간단하게 구할 수 있는 공식을 만들어 보 았다.

프랙탈차원 D = 2 + (A

- A

)

A

⑻

A

= 분석지역의 표면적 (3D 면적 ) A

= 분석지역의 투영면적 (2D 면적 )

식 (8) 에 의해서 각 격자별로 영천지역과 의성지 역의 2 차원의 프랙탈 차원을 구하면 < 표 3> 와 같다.

영 천 의 성

프 랙 탈 차 원 D

격 자 간 격

1m×1m 2.189 2.065 5m×5m 2.148 2.059 10m×10m 2.144 2.055 30m×30m 2.128 2.039 표 3. 격자 간격별 두지역의 프랙탈 차원 비교

표 에서 보듯이 같은 지역일 경우에는 격자

< 3>

간격이 조밀할수록 프랙탈 차원이 높게 나오는 것 을 알 수 있다 이는 선분의 개념인 하천의 차수나 . 해안선의 차수에서 나타났던 프랙탈의 성질이 면 적의 개념으로 바뀌어도 그 성질을 계속 유지하는 것을 알 수 있다 그리고 다른 두 지역간의 프랙탈 . 차원은 등고선이 더욱 복잡하였던 영천지역이 의 성지역보다 높게 나타나는 것을 알 수 있다.

프랙탈기법에 의한 지형 재현 (5)

는 명확한 지수로부터 생 Brownian walks Hurst

성된다 만약 . Hurst 지수가 0.5<H<1.0 이면 랜덤 walk 는 장기기억과정이 된다 이와 같은 . Data set 은 운동으로 언급된다 으로 Fractional Brownian (fBm 축약 ). Spectral Synthesis 를 포함하는 Fractional

운동은 많은 방법에 의해 생성된다

Brownian .

에 의한 지형복원이나 시뮬레이션에 의한 프 fBm

랙탈 기법에 의해서 지형복원이 가능하다 그중 . fBm 이 지형모델링에 가장 많이 사용되고 있다. fBm 은 자기유사와 등방성을 가진다. fBm(Fractional 모델은 연속적이며 지표기복과 Brownian Motion) ,

같은 무질서한 표면을 묘사하는데 적합한 구별할 수 없는 표면모델이다 .(Mandelbrot, 1982) 만약 이 표면모델을 f

(x,y ) 라 한다면 수평거리와 이 거 , 리에 대한 기대치의 표고 편차간에는 다음과 같은 관계를 가진다.

E[│z(x+ Δx,y +Δy)- z( x,y)│ ] =δ 2

π Δx²+ Δy^2H

⑼ 여기서 와 δ H 는 주어진 경관에 대한 일정한 매 개변수이다 . δ 는 국소적인 경사에 관련된 종축 인 자이다 . H 는 표면 복잡도를 나타내는 척도이다 이 . 파라미터는 과 사이의 값이 주어진다 이것의 물 0 1 . 리학적인 의미는 어떤 방향에서 프로파일과 동일 한 수평적인 거리에 따라 고려되어지는 두 개의 연속변위에 의해 Vicsek(1989) 가 전개하였다 만약 .

이면 두 개의 표고 편차는 역기호이다

H 1/2 ＜ , . H=1/ 2

이면 두 개의 표고편차는 독립적이다 , . H 1/2 ＞ 이면

두 개의 표고편차는 같은 기호일 것이다 . H 는 표

면의 프랙탈 차원과 관련이 있다 Falconer(1990) 는

아래의 식을 제안하였다.

그림 14. 프랙탈 브라운 운동과 Hurst 지수

D = 3 - H ⑽

여기서 , D 는 차원 , H 는 허스트 지수이다 .

가 작아질수록 는 커지고 표면은 더 불규칙

H D

해진다 반대로 . H 가 커질수록 D 는 작아지고 표면 은 더 부드러워 진다 (Goodchild,1980). fBm 모델은 간단한 방법으로 DEM 의 프랙탈 차원 산정을 가능 하게 한다.

그림 그림 은 에 의한 지형

< 15>, < 16> fBm 3D 모델링을 한 결과이다 식 . (10) 에 의해 H( 표면복잡 도 를 각각 ) 0.3, 0.9 로 다르게 하여 비교해 보았다 . 값이 커질수록 표면이 매끈하게 표현 되는 것을 H

알 수 있다.

그림 15. 3D-fbm (H=0.3, D=2.7)

그림 16. 3D-fbm (H=0.9, D=2.1)

분석결과의 고찰 5.

지형 분석방법 비교 1)

지금까지의 지형분석에는 경사도가 가장 대표적 인 값으로 사용되어 왔다 그래서 프랙탈 차원의 정 . 확성과 효용성의 파악하기 위해 경사도 분석과 표 면적과의 관계와 프랙탈 차원과의 관계를 비교한다.

그림 17. 기본 등고데이타 25 등분 - 영천

더욱 정도 있는 분석을 위해 영천지역과 의성지

역의 원자료 (5430m × 5430m) 를 5×5 의 소지역으로

나누어 1086m×1086m 크기의 25 개자료로 등분해서

각각의 격자표고도 (GRID) 들의 프랙탈차원와 표면

적 평균경사도와 표면적의 관계를 회귀분석을 통 ,

해 결정계수값을 비교한다.

회 귀 분 석 (영 천 )

R² = 6 3 .9 9 %

2 .0 6 2 .0 8 2 .1 0 2 .1 2 2 .1 4 2 .1 6 2 .1 8 2 .2 0 2 .2 2 2 .2 4

2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 3 0 3 1 3 2 3 3

평 균 경 사 도 (degree)

프랙탈차원

그림 18. 평균경사도와 프랙탈차원과의 관계 - 영천 (25 등분 격자간격 , 1m×1m)

회 귀분 석 (의 성 )

R² = 93.02%

2.00 2.02 2.04 2.06 2.08 2.10 2.12 2.14 2.16

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 평균 경사도(degree)

프랙탁차원

그림 19. 평균경사도와 프랙탈차원과의 관계 - 의성 (25 등분 격자간격 , 1m×1m) 분할한 등고자료들을 coverage 로 변환한 다음 불규칙삼각망 (TIN) 을 구성하고 격자표고도 (GRID) 변환을 한다. 그리고 난후 25 개의 격자표고도 (GRID) 로부터 각각의 표면적 평균경사도 프랙탈 차원 , , 등을 구한다.

그리고 난 후 같은 지역별로 프랙탈 차원과 평 균경사도와의 관계를 회귀분석을 하였다.

도엽명 표면적 ( ) ㎡ 프랙탈차원 평균경사도

① 1400288.4700 2.1876 28.9680

② 1401388.8100 2.1865 26.8142

③ 1367654.9000 2.1608 27.8131

④ 1379157.4500 2.1695 28.4116

⑤ 1393533.7100 2.1830 30.5352

⑥ 1387568.0000 2.1764 26.3519

⑦ 1460877.8700 2.2387 28.5123

⑧ 1301472.9900 2.1038 23.0241

⑨ 1343768.8200 2.1412 26.5610 ꊉꊒ 1356099.7000 2.1512 27.8764 ꊉꊓ 1402740.4300 2.1907 30.0168 ꊉꊔ 1362725.1600 2.1555 27.1792 ꊉꊕ 1323170.8200 2.1231 24.5381 ꊉꊖ 1318783.4200 2.1194 24.5712 ꊉꊗ 1342245.5800 2.1392 27.2541 ꊉꊘ 1429070.5700 2.2128 31.6705 ꊉꊙ 1380721.5300 2.1698 28.8852 ꊉꊚ 1323596.8500 2.1220 23.6748 ꊉꊛ 1336851.3800 2.1337 26.7102 ꊊꊒ 1333706.5900 2.1312 26.2255 ꊊꊓ 1354803.0000 2.1490 26.9560 ꊊꊔ 1369187.6200 2.1614 28.9238 ꊊꊕ 1414169.4800 2.2008 29.9091 ꊊꊖ 1368910.6800 2.1618 29.2527 ꊊꊗ 1346445.9400 2.1418 26.5345 표 4. 프랙탈차수와 평균경사도 - 영천 25 등분

도엽명 표면적( ) ㎡ 프랙탈차원 평균경사도

① 1202899.5348 2.0199 6.3242

② 1218935.0500 2.0335 11.6277

③ 1269542.3100 2.0764 15.3785

④ 1238400.5100 2.0500 12.8423

⑤ 1312824.9400 2.1131 21.3656

⑥ 1202275.0700 2.0194 6.9248

⑦ 1242994.1600 2.0539 14.3712

⑧ 1261241.1300 2.0694 18.0019

⑨ 1219904.6800 2.0343 8.5966

ꊉꊒ 1351043.3000 2.1455 26.6972

ꊉꊓ 1218654.4300 2.0333 11.5004

ꊉꊔ 1235184.5000 2.0473 11.8292

ꊉꊕ 1278375.5800 2.0839 19.5559

ꊉꊖ 1207916.6100 2.0242 6.8737

ꊉꊗ 1251542.4300 2.0612 11.5215

ꊉꊘ 1232933.2700 2.0454 13.0061

ꊉꊙ 1266436.2000 2.0738 15.4931

ꊉꊚ 1281638.8600 2.0867 19.8052

ꊉꊛ 1273221.1900 2.0796 15.9227

ꊊꊒ 1336111.0500 2.1329 24.6453

ꊊꊓ 1222132.4300 2.0362 12.3344

ꊊꊔ 1223137.0200 2.0371 13.0610

ꊊꊕ 1257801.4600 2.0665 14.6455

ꊊꊖ 1292438.2200 2.0958 20.0147

ꊊꊗ 1317462.2300 2.1171 23.7262

표 5. 프랙탈차원와 평균경사도 - 의성 25 등분

프랙탈 차원과 평균경사도와의 관계에서 영천의 경우 결정계수 R

값이 63.99% 가 나왔다 의성의 . 경우는 결정계수 R

값이 93.02% 로 영천보다 결 정계수값이 더 크게 나왔다 영천지역과 의성지역 . 의 평균경사도를 비교해보면 영천지역은 평균경사 도가 25.00° 이상이며 의성지역은 25.00° 이하이다 .

이 결과로 볼 때 평균경사도가 25.00° 이상인 지 역에서는 평균경사도와 프랙탈 차원 간의 결정계 수가 25.00° 이하인 지역에 비해 30% 가량 낮다 그 . 러므로 평균경사도가 25.00° 이상인 지역의 지형특 성을 나타낼 때는 경사도보다 프랙탈 차원을 이용 하여 표현하는 것이 좋다고 판단된다.

지수 비교 2) Hurst

본 논문에서 제시한 표면적을 이용한 차원산정 공식 식 (8) 의 적합성을 판정을 위해 Hurst 지수를 이용한 차원산정공식 식 (10) 과의 상관관계를 비교 가 필요하다.

이를 위해 그림 < 17> 의 영천 No.7 지역을 Hurst 지수를 이용하여 프랙탈 차원을 산정해보았다 . ( 표 에서 보듯이 지역은 식 에 의한 방법으로

4) No.7 (8)

프랙탈 차원이 2.2387 로 나와 있다 이는 곧 이지 . 역의 Hurst 지수는 0.7613 이라는 것이다 .

지형도에서 Hurst 지수를 산출하기위해 수치지형 도 (1/5,000) 에서 일정간격의 그리드 상에서 Z( 높이 ) 값을 취득한다 여기서는 . 2Km×2Km size 에서 200M 간격의 그리드에서 값 취득하였다 Z .

취득한 값을 이용하여 Z R/S 분석법으로 Hurst 지 수를 계산하였다 이 방법은 . Hurst 가 제시한 방법 으로서 허스트 지수를 구하는 대표적인 방법이다.

- S

=



^X

^{t=1,2, ,n. ⋯}

- S*

= S

-(t/n) S

, t=0,1,2, ,n. ⋯ - R

=maxS*

- minS*

,, for 0 ≤ ≤ t n.

- R*

= R

/D

H = log(R*

)/log(n/2) ⑾

여기에서

( D

은 X

의 표본 표준편차, S

는 조

정 부분합 계열, R

은 이상적인 조건하에서 저수 지 용량을 측정하기 위하여 조정 범위, R

조정 범위의 무차원 양은 재조정 범위 , H 는 허스트지수 ) 식 (11) 에 의한 H 값의 결과는 0.7618 이다 이는 . 표면적을 이용한 프랙탈차원 산정공식에서 계산된 값인 과 거의 같은 값을 나타내고 있다 따

H 0.7613 .

라서 본 논문에서 제시한 투영면적과 표면적을 이 , 용한 허스트 지수 H 를 구하는 방법은 타당성을 가 진다고 판단된다 계산된 결과는 표 . < 6> 에 나타나 있다.

Z 값 625, 575, 575, 507, 450 … 데이터 수 121

S

66890.00

S*

72.1901, 94.3802 … 평균 552.8099

표준편차 100.1267 R

2280.6364 R*

22.7775

H 0.7618

표 6. Z 값을 이용한 Hurst 지수 계산 그리드간격 (Size 2Km× 2Km, 200m)

결 론 6.

본 연구에서는 GIS 기법을 적용하여 지형의 프랙 탈 특성을 구하였다 길이를 이용하여 하천이나 해 . 안선의 1 차원적 프랙탈 특성을 구하는 것에서 벗 어나 면적의 개념 즉 투영면적과 표면적을 이용하 , 여 지형의 차원적 프랙탈 특성을 구해보았다 그 2 . 리고 프랙탈 차원과 평균경사도와의 상관관계를 검토해 보았다 연구결과 다음과 같은 결론을 얻게 . 되었다.

프랙탈 차원을 구하기 위한 척도로서 표면적 1.

을 사용한 경우에서도 일반적 프랙탈 차원의 특성 과 같이 지형의 복잡성과 비례관계의 성질을 나타 내었다.

본 연구에서 제안한 표면적을 이용한 프랙탈 2.

차원은 영천지역에서는 2.10 2.24 ～ 이고 의성지역은 으로 나타났다 이 값들은 통상 알려지 2.02 2.15 ～ .

지형의 프랙탈 차원인 2.10 2.20 ～ 의 범위에 든다 .

평균경사도와 프랙탈 차원의 상관관계는 평균 3.

경사도가 25° 이상인 지역에서 결정계수 R

값이 이하인 지역에 비해 정도 작아진다 그러

25° 30% .

므로 모든 지형의 거침도를 표현하기위해선 프랙 탈차원이 알맞을 것으로 본다.

표면적을 이용한 지수 산정법은 기존의

4. Hurst

가 제시한 분석을 통한 지수 산정법 Hurst R/S Hurst

과 거의 동일한 결과를 나타내었다.

본 연구결과를 통해 투영면적과 표면적을 이용 한 프랙탈 차원 산정공식이 유효함을 확인하였다.

그러나 본 기법이 충분히 타당성을 인정받기 위해 선 연구대상지역의 확대를 통하여 경사도와 표면 적 프랙탈 차원과의 상관관계를 더욱 명확히 할 , 필요가 있다 향후 연구에선 . fBm 모델을 이용하여 지형복원에도 적용이 가능할 것이다.

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접수 채택

( ： 2005. 9. 14, ： 2005. 11. 24)

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