제 9 장 불확실성과 소비자 선택

제 9 장

불확실성과 소비자 선택

 불확실성(uncertainty): 소비자가 받을 재화나 서비스의 내용이 사 전에 확정되지 않고 확률적으로만 지정되는 경우

 불확실성은 특히 투자에서 많이 보게 된다.

 주식을 살 경우, 일 년 뒤에 그 주식의 가치가 얼마가 될지는 불확실하다.

 채권을 사더라도 채권 발행 기업이 파산할 가능성이 있는 이상, 그 수익은 역시 불확실하다.

 이런 불확실성에 대한 소비자 혹은 투자자들의 성향은 어떤가?

 그리고 그들은 불확실성 하에서 어떻게 의사결정을 하는가?

1.2 불확실성의 표현: 복권

 n개의 경품 가운데 하나를 주는 복권

 : i 번째(i 번째 상황에서의) 경품 (각 상황은 상호 배타적)

 : 경품을 다 모아놓은 집합(경품집합)

 : 각 경품 에 당첨될 확률

 : 는 모든 경품의 당첨 확률들을 나타내는 확률분포



 예: Z={자동차, 9박 10일 유럽여행, 10만원 상품권, 꽝}

 L = (1/2, 0, 1/2, 0)

 L' = (1, 0, 0, 0) (확정적인 상품)

 복권(lottery), 도박(gamble), 확률변수(random variable)라고도 부 른다.

z

ⁱ

} , , ,

{ z1 z2 z

Z =  n

p

_i

z

ⁱ

, } ,

{ p₁, p₂ p

L =  n

, 1 , )

2, 1, 1 (

0 ≤ p_i ≤ i =  n p1 + p2+ p_n =

1.3 불확실성하에서의 선호와 기대효용 이론

 기대효용이론(expected utility theory)

 불확실성하에서도 선호가 적절한 조건을 충족하면, 확실성하에서 와 비슷하게 효용함수로 표시될 수 있다.

 폰 노이만(von Neumann)과 모르겐스턴(Oskar Morgenstern):

Theory of Games and Economic Behavior

(1944)

 소비자의 약선호가 완전성과 이행성 및 추가적으로 독립성

(independence)과 연속성(continuity)의 조건을 충족해야 한다.

1.3 불확실성하에서의 선호와 기대효용 이론

 폰 노이만-모르겐스턴의 기대효용이론(expected utility theory)

 경품집합 Z 에서 실수로 가는 효용함수 이 존재한다.

 복권 이 주어졌을 때 위에서 주어진 효용함수를 이용해

서 을 계산하고, 이를 로 표시한다.

 을 복권 의 기대효용(expected utility)이라고 부른다.

 두 복권 와 에 대한 선호가 와 의 기대효용인 과 의 크기에 의해서 결정된다:

 일 필요충분조건이 이다.

우리는 기대효용을 이용하여 표현할 수 있는 선호체계만을 논의 대상으로 하기 로 한다.

R U : Z → z

ⁱ

, } ,

{ p

₁

, p

₂

p L = 

n

} , , ,

{ p₁ p₂ p

L=  n

( L ) U

p

E

U z z p

p U

U ( z

₁

) ×

₁

+ (

₂

) ×

₂

+  (

n

) ×

n

( L ) U E

} , , ,

' {q1 q2 q

L =  n

L L '

' L

L ≥ E U ( L ) ≥ E U ( L ' ⁾ u

) , , ,

( p

₁

p

₂

p L = ⋅⋅⋅

n

( L )

EU EU ( L ' )

2. 위험에 대한 태도

2. 위험에 대한 태도



기대효용이론에서 경품은 무엇이든지 상관없지만, 경제 학의 여러 분야에서 경품이 돈(money) 또는 소득

(income)으로 주어지는 경우가 많다.



소득에 대한 효용함수를 로 표기한다.



의 형태에 따라서 소비자들의 위험에 대한 태도 를 말할 수 있다.

( w ) U

( w )

U

2.1 위험에 대한 태도와 기대효용함수의 형태

 세 가지 복권 L과 L', L"

 [그림 9-2]

 세 가지 복권은 공통점 & 차이점

 공통: 이들 복권이 제공하는 ‘금액’의 기대값, 즉 기대금액이 모두 500만원으로 같다

 차이: 첫 번째 복권(L)의 위험이 가장 크고, 두 번째 복권의 위험은 중간(L’)이 며, 세 번째 복권(L”)은 위험이 전혀 없다.

2.1 위험에 대한 태도와 기대효용함수의 형태



소비자들의 위험에 대한 성향에 따라서 이 세 가지 중에 서 어느 것을 가장 선호가 다르다.



일관성 있게 위험을 추구하는 사람은 L을 가장 선호 (위험 애호 적, risk loving)



일관성 있게 위험을 기피하는 사람은 L"을 가장 선호 (위험 기 피적, risk averse)



적당한 위험을 좋아하는 사람은 L'을 택할 것



위험에 대해서는 아무런 성향이 없는 사람은 L이나 L'이나 L"이 모두 같다고 여길 것(위험 중립적, risk neutral)

2.1 위험에 대한 태도와 기대효용함수의 형태

 L과 L'의 두 복권 ( 이고 ) [그림 9-3]

 효용함수가 U(w) 인 경우

 L 복권의 기대효용:

 L' 복권의 (기대)효용:

 위험에 대한 태도 I(정의)

 < 이면: 위험이 없는 L' 복권을 더 선호(위험 기피적(risk averse))

 > 이면: 비록 위험이 있어도 L를 더 선호(위험 애호적(risk loving))

 = 이면: 위험 중립적(risk neutral)

b

a ≠ 0 < t < 1

) ( ) 1 ( ) ( )

(L tu a t U b

EU = + −

)) ( ( )

) 1 (

(ta t b u E L

U + − =

) (L

EU u(E(L))

) (L

EU u(E(L)) )

(L

EU

u ( E ( L ))

2.1 위험에 대한 태도와 기대효용함 수의 형태

 위험에 대한 태도 I(정의)

 < : 위험이 없는 L' 복권을 선호 (위험 기피적(risk-averse))

 > : 비록 위험이 있어도 L를 선호 (위험 애호적(risk-loving))

 = : 기대값에만 관심이 있음 (위험 중립적(risk-neutral)

) (L

EU ^U(E(L))

)) ( (E L U

)) ( (E L U

) (L EU

) (L EU

2.1 위험에 대한 태도와 기대효용함수의 형태

 효용함수의 형태와 위험에 대한 태도 I

 가 0부터 1까지 변할 때 (편의상 라고 가정: )

 : 부터 까지 변한다.

 구간에서 의 그래프 그 자체.

 와 를 잇는 선분을 로 나누는 점의 높이

 따라서 와 의 비교는 구간에서 의 그래프 와 와 를 잇는 직선의 높이를 비교하는 것과 동 일

t

a > b U ( a) >U (b )

b t a

t + ( 1 − ) ^{b a}

[

b a

]

L E

U ( ( ) ): ,

( w) U )

) ( , :( )

( L b U b

U

E (a,U (a))

t : ( 1 − t )

( L) U

E U ( E ( L))

[

b , a

]

( w ) U

) ) ( ,

( b U b ⁽ a ^, U ⁽ a ^{) )}

그림 9-4 위험에 대한 태도에 따른 효용함수의 형태

O

) (w U

w

) (a U

(a) 위험 기피적

) (b U

b a

O

) (w U

w

) (a U

) (b U

b a

(b) 위험 애호적

그림 9-4 위험에 대한 태도에 따른 효용함수의 형태

그림 9-4 위험에 대한 태도에 따른 효용함수의 형태

O

) (w U

w

) (a U

) (b U

b a

(c) 위험 중립적

2.1 위험에 대한 태도와 기대효용함수의 형태



위험에 대한 태도 Ⅱ



위험 기피적 선호: 이 강오목함수.



위험 애호적 선호: 이 강볼록함수.



위험 중립적 선호: 이 직선.



L과 L"의 비교의 예

( w ) U

( w ) U

( w ) U

L :

0.5

0.5

900만원

100만원

L ‘: 1

500만원

그림 9-5 강볼록함수와 강오목함수

O ^{100 500 900} w

) 100 ( U

) 900 ( U

) 100 2 (

) 1 900 2 (

1 _× U _{+ ×} U

강볼록함수

강오목함수

)

(w

U

2.1 위험에 대한 태도와 기대효용함수의 형태



위험에 대한 태도 Ⅲ



: 위험 기피적 선호



: 위험 애호적 선호



: 위험 중립적 선호



효용함수 의 도함수 은 다름 아닌 한계효용 이다.



위험에 대한 태도 Ⅳ



위험 기피적 선호 : 한계효용체감.



위험 애호적 선호 : 한계효용체증.



위험 중립적 선호 : 한계효용불변.

) 0 '' ( w <

U

) 0 '' ( w >

U

) 0 '' ( w = U

) ' w ( ) U

( w

U

2.2 기대효용이론에서 효용함수의 서수 성

 불확실성하에서 소비자의 선호를 대표하는 기대효용에도 효용함수의 서수 성과 같은 결과가 성립할까?

 불확실성하에서 소비자의 선호가 효용함수 의 기대효용으로 대표 된다면, 이나 의 기대효용으로도 마찬가지로 대표될 수 있 을까?

 위험 기피적인 소비자가 동시에 위험 중립적이고, 위험 애호적이 될 수는 없다.

 확실성하에서와 같은 효용함수의 서수성은 성립하지 않는다. 그렇다면 불 확실성 하에서는 효용함수의 서수성이 전혀 적용되지 않는 것일까?

U = w

w

U = U = w

²

2.2 기대효용이론에서 효용함수의 서수 성

기대효용이론에서 효용함수의 서수성:

 기대효용이론에서의 효용함수는 형태의 변환에 한하여 서수적이다.

 확률변수의 기대값에 대해서 이 성립 한다.

 이면, 가 성립한다.

 이므로, 이 경우 가 성립할 필요충분조건이 이다.

 즉 대신에 을 써도 여전히 같은 선호관계를 대표한다.

그러나 의 효용함수 대신에 을 쓰게 되면 선호가 바뀐 다.

0) (

) ( )

(w =aU w +b a >

v

0) (

) ( )

( w = aU w + b a >

v

b w

U E a L

U

E

v

( ) =

^u

( ) +

> 0 a

b X

E a b

X a

E ( + ) = ( ) +

' ) ( )

( L E U L

E U^u ≥ ^u

' ) ( )

( L E U L

U

E

v

≥

v

( w) U

) 100 5U ( w + ( w)

U

( w ) U

2.3 확실성 등가와 위험 프리미엄



두 개의 복권.



확실성등가(certainty equivalent): 주어진 복권과 동일 한 기대효용을 주는 금액으로 를 충족하는 x 의 크기이다 ( 로 표시 ).



위험프리미엄(risk premium): 복권의 기대금액에서 확실 성등가를 뺀 크기( 로 표시)

) (L ce

) ( )

(L U X EU =

) (L rp

L :

0.5

0.5

900만원

100만원

L ‘: 1

X

2.3 확실성 등가와 위험 프리미엄



0 )

( )

( )

( L = E L − ce L >

rp

0 )

( )

( )

( L = E L − ce L =

rp

O ^{100 500 900} w

) 100 ( U

) 900 ( U

) 100 2 (

) 1 900 2 (

1 _× U _{+ ×} U

) (w U

(a) 위험 기피자의 확실성 등가

: E ( L ) > ce ( L )

) (L ce

그림9-7 위험에 대한 태도에 따른 확실성 등가

3. 조건부 상품(contingent

commodity)

3.1 조건부 상품의 개념

 조건부 상품: 상황에 따라서 조건부로 다른 내용의 재화나 용역을 제공하는 상품.

 조건부 상품은 결과(경품)가 제공되는 확률을 명시하기 보다는 그 상황(또는 조건)을 명시.

 조건부 상품은 대부분 그 상품의 물리적 특성이 아니라, 상품을 제공하는 측과 제공받는 측의 계약에 의해서 만들어진다.

 이런 이유로 조건부 상품을 조건부 청구권(contingent claim)라고 부르기 도 한다.

3.1 조건부 상품의 개념

조건부 상품을 이용한 위험 제거 예 (보험)

 근로자가 실직했을 때 매달 원래의 임금만큼 지급하는 상품(실업보험)

조건부 상품으로 오히려 위험을 키우는 예 (도박)

 카지노의 슬롯머신에 1억을 베팅하는 경우

보험 vs 도박

 공통점

 발생확률이 아주 낮은 사건에 대하여 거액의 금액을 약속한다.

 이런 권리를 갖기 위해서 상대적으로 소정의 금액을 사전에 지급한다.

 차이: 구매자의 원래 상황에 관련

 보험: 원래 위험에 처한 소비자에게 위험을 줄이는 방향으로 작용.

 도박: 원래는 전혀 위험이 없는 소비자에게 위험을 안겨 주는 작용.

4. 조건부 상품을 이용한 분석

4.1 조건부 상품과 소비묶음

예: 시가 6억원의 건물을 소유한 건물주.

 이 건물은 내년 한 해 동안 화재가 발생할 확률: 25%

 이 경우 건물의 가치는 2억으로 감소.

 따라서 이 건물주의 재산은 75%의 확률로 6억이고 25%의 확률로 2억.

 이 건물주의 재산 상황을 조건부 상품을 이용하여 표현

 : 건물 화재시에 1원을 제공하는 상품.

 : 건물 화재가 없을 경우 1원을 제공하는 상품.

 건물주의 재산 상황 = 상품 2억 단위 + 상품 6억 단위.

W

^f

W

^f

W

ⁿ

W

ⁿ

4.1 조건부 상품과 소비묶음

위험의 크기

 무위험선(certainty line)

 그래프에서 45도선상의 점들은 와 의 수량이 같다.

 무위험선으로부터 멀리 떨어져서 가로축이나 세로축에 가까이 있 는 점일수록 상황에 따라서 재산에 큰 차이가 난다.

 와 의 수량에 차이가 많이 나는 점일수록 상황에 따라 재산 의 크기에 차이가 많이 나고, 그만큼 큰 위험을 안고 있다.

조건부 상품 소비묶음의 기대금액

 ( , )점이 대표하는 재산 상황의 기대금액(Expected Value, EV)

 EV = 0.25 x + 0.75 x .

W

^f

W

^f

W

^f

W

^f

W

ⁿ

W ⁿ

W

ⁿ

W

ⁿ

4.1 조건부 상품과 소비묶음

등기대금액선

 기대금액이 같은 조건부 상품의 소비묶음들을 모두 연결하여 얻은 선.

 기대금액이 특정 수준 K로 일정한 있는 소비묶음은 다음의 식을 만 족시켜야.

0.25 + 0.75 = K ---(1)

 기울기는 -0.25/0.75 = -1/3

 이 비율은 각 조건부 상품의 기대금액의 비율

 기대금액(k)이 커질수록 등기대금액선은 원점으로부터 멀리 이동

W

ⁿ

W

^f

4.2 기대효용과 무차별 곡선

 소비묶음 의 기대효용은 .

 그래프 상으로는 이 선호를 무차별 곡선을 이용하여 표현

 기대효용의 수준이 로 일정한 무차별 곡선의 식은 다음과 같다.

 ---(2)

 무차별 곡선의 기울기

 두 재화 와 은 재화(goods)

 따라서 두 재화 사이의 무차별 곡선은 그 기울기가 마이너스

 원점에서 멀어질수록 더 높은 만족도를 나타냄.

) 75 (

. ) 0 25 (

.

0 U w U w

EU = f + n

W

^f

, ) ( w

f

w

n

W

ⁿ

EU

w EU w U

U ( f ) + 0.75 ( n ) = 25

. 0

4.2 기대효용과 무차별 곡선

위험에 대한 태도와 무차별 곡선의 형태

 조건부 상품의 소비묶음 의 기대효용을 라고 하면

 ---(3)

 상품의 한계효용:

 상품의 한계효용: .

 한계대체율

 ----(4)

, )

( w

f

w

n

U ( w

f

, w

n

)

) 75 (

. ) 0 25 (

. ) 0

( w , w U w U w

U f n = f + n

W

^f

W

ⁿ

) '(

25 .

0 U w

w U

f f

∂ =

∂

) '(

75 .

0 U w

w U

n n

∂ =

∂

) ' (

75 . 0

) ' (

25 . ) 0 ,

( U w

w U

w w MRS

n f

f n =

4.2 기대효용과 무차별 곡선



(4)식을 이용하면 다음과 같은 중요한 사항을 확인할 수 있다.



1) 무차별곡선이 무위험선과 만나는 점의 기울기는 등 기대금액선의 기울기와 같다



무위험선에서는 이므로, 이다.

w

f

= w

n

U ' ( w

f

) = U ' ⁽ w

n

⁾

4.2 기대효용과 무차별곡선

2) 위험에 대한 태도와 한계대체율 위험 기피자

 한계효용이 체감.

 가 증가하고 이 감소하면, 는 감소하고, 분모에 있는 은 증가.

 → 한계대체율이 체감

 → 위험 기피자의 무차별곡선은 원점에 대해서 볼록.

위험 애호자

 한계효용은 체증.

 가 증가하고 이 감소할 때 한계대체율은 체증한다.

 → 위험 기피자의 무차별곡선은 원점에 대해서 오목.

위험 중립적인 경우

 한계효용이 일정.

 와 모두 일정 → 따라서 한계대체율도 일정.

 → 위험 중립적인 경우, 무차별곡선은 직선

w

^f

w

ⁿ

) ' w( U f

) ' w( U n

w

^f

w

ⁿ

)

'(

w U ⁿ

) ' w( U ^f

그림 9-9 위험에 대한 태도와 무차별곡선의 형태

w

f

w

n

O

(a) 위험 기피적 소비자

무위험선

: w

ⁿ

= w

^f

3

− 1

=

기울기

5. 기대효용이론의 응용

5.1 보험시장

건물주의 예:



만약 건물주와 와 를 교환 거래할 누군가가 있다, 다른 점으로 옮겨갈 수 있다.



실제로 보험을 통해서 실제로 이런 교환이 가능하다.



보험금(coverage): 사고시 보험회사가 가입자에게 지급



보험료(premium): 사고 여부와 관계없이 가입자가 보험회사에 지급



보험료율: 보험료/보험금

6 ) 2 , ( ) ,

( w

f

w

n

=

w

^f

w

ⁿ

5.1 보험시장

 보험료가 p, 보험금이 C인 보험을 (p, C)로 표시.

 건물주가 (p, C)인 보험을 들었다면 건물주의 재산 상황은 아래와 같이 변함.

 화재가 발생시: 보험금(C)을 타게 되므로 재산의 크기 2억 + (C-p)가 된다.

 화재가 발생하지 않을 경우: 건물주의 재산의 크기는 6억-p가 된다.

 건물주의 상황은 E=(2, 6)에서 (2+(C-p), 6-p)로 바뀌게 됨.

5.1 보험시장

공정한 보험료율

 공정한 보험료율: 보험가입자와 보험회사 재산의 기대금액을 변경 시키지 않는 보험료율

 거래 당사자 재산의 기대금액을 바꾸지 않는 교환비율은 각 조건부 상품의 기대금액에 따라 교환하는 것.

 두 기대금액이 같아지려면,

 p = 0.25C (즉 p/C = 0.25)

 공정한 보험료율은 화재의 확률과 같다.

보험의 선택

그림 9-12 보험료율이 공정할 때 건물주의 선택

w

f

w

n

O

무위험선

: w

ⁿ

= w

^f

ce 5 6

2 ce5

3

− 1

=

보험선:기울기

완전보험

그림 9-13 보험료율이 불리할 때 건물주의 선택

w

f

w

n

O

무위험선

: w

ⁿ

= w

^f

*

w

n

6

2 w

^*_f

3 1 1 < −

− −

= a

보험선:기울기

a

불완전보험

그림 9-14 보험료율이 유리할 때 건물주의 선택

w

f

w

n

O

무위험선

: w

ⁿ

= w

^f

*

w

n

6

2 w

^*_f

3 1 1 > −

− −

= a

보험선:기울기

a

초과보험