6-11 상승모멘트(선택)

(1) 단면의 관성상승모멘트

비대칭단면의 굽힘을 알기 위해 단면에 관한 관성상승모멘트(product of inertia moment)를 설명한다. 그림에서 임의 직교축 y, z에 관해 다음 식을 단면의 z, y축에 관한 관성상승모멘트라 한다.

(6-53)

그림 6-24 상승모멘트

특히 두 축의 하나가 대칭축일 때는 I_xy는 0이 된다. 그림 (b)에서 y축이 대칭축이라면 y축의 우측면적에 대해서는 좌측면적은

가 되므로 합은 0이 됨을 알 수 있다.

6-11 상승모멘트(선택)

평행축의 정리

임의 도형의 도심을 지나는 z, y축에 관한 I_yz를 알 때 이 z, y축에 각각 평행한 Z, Y축의 상승모멘트는 밑의 그림에서 식 (6-54)을 유도할 수 있다.

그림 6-12

(6-54)

단, 는 각각 z, y축이 도심축이 되므로 0이 된다.

(2) 단면의 주축

그림 6-25 좌표변환

z, y축에 관해서

를 알고, 변환된 z´, y´축에 관한 I_y´, I_z´, I_z´y´를 계산해 보자. 단면 A 내의 미소면적 dA의 좌표 (y, z)와 (y´, z´) 사이의 관계는 식 (6-55)와 같다.

(6-55)

따라서 I_y´, I_z´ 및 I_z´y´은 식 (6-56)로 정리된다.

(6-56)

즉 I_y, I_z, I_zy의 값을 알면 I_y´, I_z´, I_z´y´를 구할 수 있다. 식 (6-56)의 I_y´, I_z´을 합하면 다음식이 된다.

(a)

I_p는 극관성모멘트이다. 이 I_y´, I_z´의 최대, 최소값은 식 (b)에 의해 식 (6-57)일 때 생긴다.

(b)

(6-57)

이 2θ_n의 값은 I_y´, I_z´의 최대, 최소로 되며 이 θ_n의 값을 식 (6-56)에 대입하면 다음 식(6-58)을 얻는다.

(6-58)

이 I₁, I₂를 주관성모멘트(principal moment of inertia)라 하고 I₁은 최대값, I₂는 최소값이며 이것의 축(1, 2축)을 관성주축(principal axis of inertia) 이라 한다. 이 주축은 식 (6-57)에서 그 방향을 알 수 있으며, 또한 식 (6- 56)의 제3식을 0으로 놓아도 식 (6-59)처럼 얻어진다.

(6-59)

임의 직교축 z, y축을 θ만큼 방향을 전환시킨 z´, y´축의 상승모멘트가 0 이 될 때(I_z´y´=0)이 z´, y´축에 관한 I_z´, I_y´는 최대, 최소가 되어(즉, I₁, I₂) 주관성모멘트가 되며, 이러한 z´, y´축을 주축이라고 한다(1축과 2축).

그림 6-26 모어의 관성원

(6-60)

[예제 6-19] 사각형의 단면(폭 b × 높이 h)의 한 모서리에 관한 상승모멘트 를 구하라.

풀이 식 (6-49)에서 구한다. 즉,

I_zy는 도심축 xy에 관한 것이므로 0이다(그림 (a)).

별법 (그림 (b))

[예제 6-23] L형단면(125 × 100 × 25)의 도심주축과 그 위치를 구하라.

풀이

A면적의 B면적의

A면적의 A면적의 B면적의 B면적의

주축의 경사각은 식 (6-52)에서 구한다.

주관성모멘트는 식 (6-51)에서 (또는 식 (6-53)에서) 구한다.

모어의 관성원을 이용하여 같은 결과를 얻을 수 있음을 그림 (b)에서 알 수 있다.

5장에서 대칭단면을 갖는 보가 하중면 내에서 굽힘을 받을 때 보에 작용하는 굽힘응력 σ_x과 전단응력 τ는 다음과 같이 정의되었다.

(5-20)

(5-27)

본 절에서는 대칭단면이 아닌 두께가 얇은 단면이 축하중을 받을 때의 경우를 생각한다.

그림 6-27

6-12 임의 형상의 전단 중심(선택)

그림과 같은 ㄷ형 채널단면을 갖는 보가 도심축내에 하중 P를 받을 때, x인 위치에서의 단면에 걸리는 하중상태는 그림 (b)와 같다. 이 때 단면에 발생하는 수직응력은 식 (5-20)으로 계산될 수 있으나 전단응력은 수직단면 이 대칭이 아니기 때문에 구할 수 없다.

ㄷ형 채널단면보에 하중 P가 작용할 때 비틀림을 수반하지 않는 굽힘상태, 즉 단순굽힘(simple bending)상태가 되도록 하기 위해 P를 다른 위치에 작용시켜야 한다. 이 위치를 전단중심(shear center)이라 하고, 이 전단중심 에 하중 P가 작용하면 보는 비틀림없는 굽힘만을 받게 되고 전단응력도 식 (5-27)로서 계산할 수 있다.

(6-25)

그림 6-28 전단중심

그림 6-28과 같은 임의 단면을 생각해 보자. 얇은 두께의 단면에 생기는 τ는 두께 사이에서 균일하고 두께의 중심선 방향을 향한다고 가정한다.

보의 dx부분을 생각하여 이의 양단면에 외력 P에 의해 M_x와 M_x+dM_x의 굽힘모멘트가 생겼다면 양단면의 같은 위치 y위에 있는 굽힘응력 σ_x와 σ´_x 는 식 (6-61)로 된다.

단면 상단에서 s만큼 떨어진 A부분의 FBD에서 평형방정식을 적용하면 식 (6-62)을 얻는다.

(6-62)

여기서 식 (b)를 얻게 된다.

(a)

(b)

(6-63)

(c)

도심에서 전단중심까지의 거리

또한, τ_st에 해당하는 값은 식 (d)로 되고 전단류(shear flow)라 하며

<그림 6-28(b)>에 그 흐름을 나타내고 있다.

(d)

[예제 6-24] 그림 6-19와 같은 얇은 두께의 H형단면의 전단중심을 구하라.

(z축에 대칭)

풀이 단순굽힘이 되는 조건하에서 힘 F가 작용하면 플랜지 1이나 2는 같은 곡률반지름으로 휘게 된다. 한편, F는 웨브(web)부분에서의 전단력 부담은 적으므로 플랜지(flange) 1과 2에서 부담한다고 생각된다. 양 플랜지에서 부담하는 전단력을 F₁, F₂, 굽힘모멘트도 각각 M₁, M₂라고 할 때 식 (1)이 성립된다.

그림 19 (1)

또 단순굽힘에서 식 (2), (3), (4)가 성립된다.

윗 식에서 식 (5)가 성립된다.

전단중심 Cs는 플랜지의 관성모멘트에 반비례되는 점, 즉 내분하는 점의 위치이다.

(2)

(3)

(4)

(5)

[예제 6-25] 그림 20과 같은 ㄷ형단면의 전단중심을 구하라.

풀이 (1) 플랜지의 전단응력 τ_f는 식 (a)로 된다. 단, τ_f는 s의 1차식이므로 직선적으로 변화한다.

그림 20 (a)

(2) 웨브의 전단응력 τ_w는 식(b)로 된다.

(b)

중립축으로부터 거리 y만큼 떨어진 위치의 단면 dd에서 구한다.

t_f = t_w 이면

두께가 아주 얇다고 생각하면 t³_f은 무시할 수 있으므로 아래식으로 된다.

웨브에 작용하는 전단력을 F_v라 하면 아래식으로 된다.

외부에서 적용되는 이 단면의 전단력 F는 단면내에 생긴 전단력의 총합 과 같아야 한다. 즉, F=F_v. 또 외력으로 인한 F·r₀도 이로 인한 응력들에 관한 모멘트의 총합과 같아야 하므로(z는 도심에서 웨브 중심부 F_v까지 의 거리)

이 r₀가 도심에서 전단중심까지의 거리이다.