중 2 2

중 2

3Cx=126!    / Cx=42!

8

sABC에서 ABZ=ACZ이므로 CACB=CB=35!

/ CCAD=CB+CACB=35!+35!=70!

sACD에서 CAZ=CDZ이므로 CD=CCAD=70!

따라서 sBCD에서

CDCE=CB+CD=35!+70!=105!

9

sABD에서 DAZ=DBZ이므로  CABD=CA=Cx

/ CBDC=CA+CABD=Cx+Cx=2Cx sBCD에서 BCZ=BDZ이므로 

CC=CBDC=2Cx sABC에서 ABZ=ACZ이므로  CABC=CC=2Cx

따라서 sABC에서 Cx+2Cx+2Cx=180!이므로 5Cx=180!    / Cx=36!

10

  CB=Cx라 하면

sEBD에서 EBZ=EDZ이므로  CEDB=CB=Cx

/ CAED=CB+CEDB=Cx+Cx=2Cx sAED에서 DEZ=DAZ이므로 

CEAD=CAED=2Cx sABD에서

CADC=CB+CBAD=Cx+2Cx=3Cx sADC에서 ADZ=ACZ이므로 

CACD=CADC=3Cx

따라서 sABC에서 100!+Cx+3Cx=180!이므로  4Cx=80!    / Cx=20!

11

sABC에서 ABZ=ACZ이므로 CDBC= 12CC 이때 sDBC에서  12CC+CC=84!이므로

3

2CC=84!    / CC=56!

따라서 sABC에서 CA=180!-{56!+56!}=68!

12

sABC에서 ABZ=ACZ이므로

CABC=CACB= 12\{180!-40!}=70!

/ CDBC=1

2CABC= 12\70!=35!

이때 CACE=180!-70!=110!이므로 CDCE= 12CACE= 12\110!=55!

따라서 sDBC에서 35!+Cx=55!    / Cx=20!

13

^{⑤ ㈒ ASA}

14

sABC에서 CA=180!-{55!+70!}=55!

즉, CA=CB이므로 sABC는 ACZ=BCZ인 이등변삼각 형이다.

/ ACZ=BCZ=7 cm

3

sABC에서 ABZ=ACZ이므로  Cx= 12\{180!-110!}=35!

4

^ADZ\BCZ이므로 CADB=90!

sABD에서 CABD=180!-{90!+35!}=55!   

/ x=55

sABC에서 BDZ=CDZ이므로

 CDZ= 12  BCZ= 12\8=4{cm}    / y=4 / x+y=55+4=59

CBAC=2CBAD=2\35!=70!

sABC에서 ABZ=ACZ이므로

CB= 12\{180!-70!}=55!    / x=55 

5

sABC에서 ABZ=ACZ이므로 

CABC=CC= 12\{180!-46!}=67!

sBCD에서 BCZ=BDZ이므로 CBDC=CC=67!

/ CDBC=180!-{67!+67!}=46!

/ CABD =CABC-CDBC=67!-46!=21!

6

sABC에서 ABZ=ACZ이므로

CABC=CACB= 12\{180!-52!}=64!

 sDBC에서 CDBC=CDCB= 12\64!=32!

/ Cx=180!-{32!+32!}=116!

7

   CA=Cx라 하면  ^A

B C

D

E

27!

x

x

x+27!

CABE=CA=Cx sABC에서 ABZ=ACZ이므로 CC=CABC=Cx+27!

따라서 sABC에서

Cx+{Cx+27!}+{Cx+27!}=180!

다른 풀이

Ⅳ. 도형의 성질

1 ^{삼각형의 성질}

필수 기출

18~23쪽

15

sABC에서 CA=180!-{30!+90!}=60!

sABD에서 ABZ=ADZ이므로 CABD=CADB= 1

2\{180!-60!}=60!

이때 CDBC=90!-60!=30!이므로  CDBC=CC

따라서 sDBC는 DBZ=DCZ인 이등변삼각형이다. 

/ BDZ=CDZ=5 cm

16

sDBC에서 CDCB=68!-34!=34!

/ CDCB=CB

즉, sDBC는 BDZ=CDZ인 이등변삼각형이다.

sADC에서 CDAC=180!-112!=68!이므로 CDAC=CADC

즉, sADC는 ACZ=CDZ인 이등변삼각형이다.

/ ACZ=CDZ=BDZ=10 cm

17

sABC에서 ABZ=ACZ이므로 CABC=CC= 1

2\{180!-36!}=72!

/ CABD=1

2CABC= 12\72!=36!

즉, CA=CABD이므로 sABD는 ADZ=BDZ인 이등변 삼각형이다.

sABD에서 CBDC=36!+36!=72!

즉, CC=CBDC이므로 sBCD는 BCZ=BDZ인 이등변삼 각형이다.

/ ADZ=BDZ=BCZ=6 cm

18

sABC에서 CB=CC이므로  ^A

B C

2 cm

P

D E

ACZ=ABZ=12 cm

오른쪽 그림과 같이 APZ를 그으면 sABC=sABP+sAPC 이므로

 42=1

2\12\PDZ+ 12\12\PEZ 42=6{PDZ+PEZ}   

/ PDZ+PEZ=7{cm}

19

^ADZ|BCZ이므로 CACB=CDAC=65! (엇각) CBAC=CDAC=65! (접은 각)

/ CBAC=CBCA=65!

따라서 sABC는 BAZ=BCZ인 이등변삼각형이므로 CABC=180!-{65!+65!}=50!

20

^{⑴   AC}Z|BDZ이므로 

A

B D

C 10 cm 7 cm

 

CACB=CCBD (엇각)    

CABC=CCBD (접은 각)   

/ CABC=CACB   

따라서 sABC는 ABZ=ACZ인 이등변삼각형이므로    ACZ=ABZ=10 cm

⑵ sABC= 12\ACZ\7= 12\10\7=35{cm@} 

21

  ㄷ에서 나머지 한 각의 크기는 180!-{65!+90!}=25!

따라서 두 직각삼각형 ㄷ과 ㅁ은 빗변의 길이와 한 예각의  크기가 각각 같으므로 RHA 합동이다.

23

  ① RHS 합동    ② SAS 합동  

③ RHA 합동 또는 ASA 합동  ④ ASA 합동 따라서 합동이 되기 위한 조건이 아닌 것은 ⑤이다.

24

sAMC와 sBMD에서 

CACM=CBDM=90!, AMZ=BMZ,  CAMC=CBMD (맞꼭지각)이므로 sAMC+sBMD ( RHA 합동) 이때 ACZ=BDZ=7 cm이므로 x=7

CBMD=CAMC=90!-55!=35!이므로 y=35 / x+y=35+7=42

25

sDBA와 sEAC에서

CBDA=CAEC=90!, ABZ=CAZ, CDBA=90!-CBAD=CEAC이므로 sDBA+sEAC ( RHA 합동)

따라서 AEZ=BDZ=10 cm이므로

CEZ=ADZ=DEZ-AEZ=14-10=4{cm} 

26

sADB와 sBEC에서

CADB=CBEC=90!, ABZ=BCZ, CDAB=90!-CABD=CEBC이므로 sADB+sBEC ( RHA 합동)

따라서 DBZ=ECZ=4 cm, BEZ=ADZ=6 cm이므로 DEZ=DBZ+BEZ=4+6=10{cm}

이때 사다리꼴 ADEC의 넓이는 1

2\{4+6}\10=50{cm@}이고,

 sADB=sBEC= 12\4\6=12{cm@}이므로

sABC   

=(사다리꼴 ADEC의 넓이)-(sADB+sBEC)   

=50-{12+12}=26{cm@}

27

sABD와 sCAE에서 

CBDA=CAEC=90!, ABZ=CAZ,  CABD=90!-CBAD=CCAE이므로 sABD+sCAE ( RHA 합동)

따라서 AEZ=BDZ=20 cm, ADZ=CEZ=8 cm이므로 DEZ =AEZ-ADZ=20-8=12{cm}

28

sABD와 sAED에서

CABD=CAED=90!, ADZ는 공통, ABZ=AEZ이므로 sABD+sAED ( RHS 합동)

따라서 DBZ=DEZ=5`cm이므로 x=5 이때 CBAD=CEAD이므로

CEAD= 12CBAC= 12\{90!-50!)=20!

/ y=20   

/ x+y=5+20=25

29

sDBM과 sECM에서

CMDB=CMEC=90!, BMZ=CMZ, DMZ=EMZ이므로  sDBM+sECM ( RHS 합동)

이때 CB=CC이므로 CB=1

2\{180!-58!}=61!

따라서 sDBM에서 CBMD=90!-61!=29!`

사각형 ADME에서

CDME=360!-{90!+58!+90!}=122!

이때 sDBM+sECM ( RHS 합동)이므로 CBMD=CCME= 12\{180!-122!}=29!

30

sADE와 sACE에서

CADE=CACE=90!, AEZ는 공통,  ADZ=ACZ이므로

sADE+sACE ( RHS 합동) / DEZ=CEZ

이때 ADZ=ACZ=5 cm이므로 BDZ=ABZ-ADZ=13-5=8{cm}

/ (sDBE의 둘레의 길이) =BDZ+BEZ+DEZ   

=8+BEZ+CEZ   

=8+BCZ   

=8+12=20{cm}

31

sAOP와 sBOP에서 

CPAO=CPBO=90!, OPZ는 공통, CAOP=CBOP이므로

sAOP+sBOP ( RHA 합동)`(⑤) / PAZ=PBZ`(②), CAPO=CBPO`(③) 따라서 옳지 않은 것은 ①, ④이다.

32

sCOP와 sDOP에서

CPCO=CPDO=90!, OPZ는 공통, CCOP=CDOP이므로

sCOP+sDOP ( RHA 합동) 따라서 CCOP=CDOP=23!이므로

sCOP에서 CCPO=90!-23!=67!    / x=67 PDZ=PCZ=8 cm이므로 y=8

/ x-y=67-8=59

33

   오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ABZ에 

D C

A

E

B 6 cm

20 cm

  내린 수선의 발을 E라 하면

sAED와 sACD에서 CAED=CACD=90!,  ADZ는 공통, 

CEAD=CCAD이므로    sAED+sACD ( RHA`합동)    따라서 EDZ=CDZ=6 cm이므로

 sABD = 12\ABZ\EDZ   

=1

2 \20\6=60{cm@}

다른 풀이

1

sABD와 sACD에서   

ABZ=ACZ, ADZ는 공통,    

CBAD=CCAD이므로   

sABD+sACD ( SAS 합동) (②)    / CB=CC (①), BDZ=CDZ (③)

CADB=CADC이고, CADB+CADC=180!

이므로 CADB=CADC=90!   

/ ADZ\BCZ (⑤)

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

2

   CACB=180!-118!=62!   

sABC에서 ABZ=ACZ이므로 CB=CACB=62!   

/ Cx=180!-{62!+62!}=56!

3

sABC에서 ABZ=ACZ이므로 CB=CC=63!

이때 ADZ\BCZ이므로 CADB=90!

sABD에서 CBAD=180!-{90!+63!}=27!

/ x=27

sABC에서 BDZ=CDZ이므로

BCZ=2 BDZ=2\7=14{cm}    / y=14 / x-y=27-14=13

4

  CA=Cx라 하면  ^A

B C

D E

18!

x

x x+18!

CACE=CA=Cx sABC에서 ABZ=ACZ이므로 CB=CACB=Cx+18!

따라서 sABC에서

Cx+{Cx+18!}+{Cx+18!}=180!

3Cx=144!    / Cx=48!

5

sABC에서 ABZ=ACZ이므로  CACB=CB=Cx

/ CDAC=CB+CACB=Cx+Cx=2Cx sACD에서 CAZ=CDZ이므로

CADC=CDAC=2Cx

따라서 sBCD에서 Cx+2Cx=120!이므로 3Cx=120!    / Cx=40!

6

sABC에서 ABZ=ACZ이므로 

CABC=CACB= 12\{180!-48!}=66!

/ CDBC=1

2CABC= 12\66!=33!

24~25쪽

Best

쌍둥이

이때 CEBD=CCBD이므로 CB=2CCBD=2\17!=34!

sABC에서 CA=90!-34!=56!    / y=56 / y-x=56-3=53

13

   오른쪽 그림과 같이 점 D에서 BCZ

B

A

E D

C 9 cm 4 cm

15 cm

에 내린 수선의 발을 E라 하면 sABD와 sEBD에서 CBAD=CBED=90!,

BDZ는 공통, CABD=CEBD이므로 sABD+sEBD ( RHA 합동) 따라서 DEZ=DAZ=4 cm이므로

 sBCD= 12\BCZ\DEZ= 12\15\4=30{cm@}

이때 CACE=180!-66!=114!이므로 CDCE= 1

2CACE= 1

2\114!=57!

따라서 sDBC에서 33!+Cx=57!    / Cx=24!

7

sABC에서 CB+53!=106!    / CB=53!

즉, CA=CB이므로 sABC는 ACZ=BCZ인 이등변삼각 형이다.

따라서 BCZ=ACZ=5 cm이므로 x=5

8

sABC에서 BAZ=BCZ이므로 CBCA=CA=72!

/ CBCD=CDCA=1

2CBAC= 12\72!=36!

sABC에서 CB=180!-{72!+72!}=36!

즉, CB=CBCD이므로 sDBC는 DBZ=DCZ인 이등변삼 각형이다.

/ CDZ=BDZ=8 cm

sADC에서 CADC=180!-{36!+72!}=72!

즉, CA=CADC이므로 sADC는 CAZ=CDZ인 이등변 삼각형이다.

/ ACZ=CDZ=8 cm

9

  ③   CB=180!-{90!+32!}=58!  

sABC와 sDEF에서   

CC=CF=90!, ABZ=DEZ, CB=CE이므로    sABC+sDEF ( RHA 합동)

③   CB=180!-{90!+32!}=58!,     CD=180!-{90!+58!}=32!이므로   

sABC와 sDEF에서   

CA=CD, ABZ=DEZ, CB=CE이므로    sABC+sDEF ( ASA 합동)

10

sDBA와 sEAC에서 

CBDA=CAEC=90!, ABZ=CAZ,  CDBA=90!-CDAB=CEAC이므로 sDBA+sEAC ( RHA 합동)

따라서 DAZ=ECZ=3 cm이므로  BDZ=AEZ=DEZ-DAZ=8-3=5{cm}

이때 사다리꼴 DBCE의 넓이는 1

2\{3+5}\8=32{cm@}이고,  sDBA=sEAC= 12\3\5=15

2{cm@}이므로

sABC   

=(사다리꼴 DBCE의 넓이)-{sDBA+sEAC}   

 =32-[ 152 +15

2 ]=17{cm@} 

11

sEBD와 sCBD에서

CBED=CBCD=90!, BDZ는 공통,  BEZ=BCZ이므로

sEBD+sCBD ( RHS 합동) 따라서 DCZ=DEZ=3 cm이므로 x=3

다른 풀이

1

^-1sABC에서 ABZ=ACZ이므로

CB=CC= 12\{180!-52!}=64! 

sBDF와 sCED에서

BDZ=CEZ, CB=CC, BFZ=CDZ이므로 sBDF+sCED ( SAS 합동) / DFZ=EDZ, CBFD=CCDE 따라서 sDEF에서

CFDE =180!-{CBDF+CCDE}   

=180!-{CBDF+CBFD}  

=CB=64!    

이때 DEZ=DFZ이므로 Cx =1

2\{180!-64!}=58!

1

^-2sABC에서 ABZ=ACZ이므로 CB=CC= 12\{180!-48!}=66!

sBDF와 sCED에서

BDZ=CEZ, CB=CC, BFZ=CDZ이므로 sBDF+sCED ( SAS 합동) / DFZ=EDZ, CBFD=CCDE 따라서 sDEF에서

CFDE =180!-{CBDF+CCDE}   

=180!-{CBDF+CBFD}   

=CB=66!

이때 DEZ=DFZ이므로 Cx= 12\{180!-66!}=57!

100점 완성

26쪽

2

-1    sABC에서 CC=90!이고, ACZ=BCZ이므로 CA=CABC= 1

2\{180!-90!}=45!

sAED에서 CEDA=90!-CA=90!-45!=45!

즉, sAED는 CE=90!이고, EAZ=EDZ인 직각이등변삼 각형이다.

이때 sEBD와 sCBD에서

CBED=CBCD=90!, BDZ는 공통, BEZ=BCZ이므로 sEBD+sCBD ( RHS 합동)

따라서 DEZ＝DCZ=6 cm이므로 AEZ=DEZ=6 cm / sAED= 12\AEZ\DEZ= 12\6\6=18{cm@} 

2

^-2sABC에서 CB=90!이고, ABZ=BCZ이므로 CC=CBAC= 12\{180!-90!}=45!

sEDC에서 CEDC=90!-CC=90!-45!=45!

즉, sEDC는 CE=90!이고, EDZ=ECZ인 직각이등변삼 각형이다.

이때 sABD와 sAED에서

CABD=CAED=90!, ADZ는 공통, ABZ=AEZ이므로 sABD+sAED ( RHS 합동)

따라서 DEZ＝DBZ=8 cm이므로 CEZ=DEZ=8 cm / sEDC= 12\DEZ\CEZ= 12\8\8=32{cm@} 

3

-1    오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ABZ

E

D C

A

3 cm

4 cm

에 내린 수선의 발을 E라 하면 5 cm

sAED와 sACD에서 CAED=CACD=90!,  ADZ는 공통, 

CEAD=CCAD이므로 sAED+sACD ( RHA 합동)

CDZ=EDZ=x cm라 하면 sABD의 넓이에서 1

2\5\x=1

2\{4-x}\3 5

2  x=6-3

2  x, 4x=6    / x=3 2 / CDZ= 32  cm 

3

-2    오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ABZ E D C A

B

8 cm

15 cm 17 cm

에 내린 수선의 발을 E라 하면 sEBD와 sCBD에서 CBED=CBCD=90!,  BDZ는 공통, 

CEBD=CCBD이므로 sEBD+sCBD ( RHA 합동)

CDZ=EDZ=x cm라 하면 sABD의 넓이에서 1

2\17\x=1

2\{8-x}\15 17

2 x=60-15

2x, 16x=60    / x=15 4 / ADZ=ACZ-CDZ=8- 154 =17

4{cm}

서술형 완성

27~28쪽

1

sABD에서 BAZ=BDZ이므로

CADB= 12\{180!-70!}=55! yy ① sEDC에서 CDZ=CEZ이므로

CEDC= 1

2\{180!-30!}=75! yy ② / CADE =180!-{CADB+CEDC}   

=180!-{55!+75!}=50! yy ③

단계 채점 기준 배점

① CADB의 크기 구하기 3점

② CEDC의 크기 구하기 3점

③ CADE의 크기 구하기 2점

2

^ADZ|BCZ이므로 CC=CDAC=46! (엇각)  yy ① sABC에서 ABZ=ACZ이므로

CB=CC=46!  yy ②

/ Cx=CB=46! (동위각)  yy ③

단계 채점 기준 배점

① CC의 크기 구하기 2점

② CB의 크기 구하기 2점

③ Cx의 크기 구하기 2점

3

sABE와 sACD에서

ABZ=ACZ, BEZ=CDZ, CB=CC이므로 sABE+sACD ( SAS 합동)

즉, ADZ=AEZ이므로 sADE는 이등변삼각형이다.

/ CADE=CAED=1

2\{180!-32!}=74!  yy ① 이때 sABE에서 BAZ=BEZ이므로 

CBAE=CBEA=74!  yy ②

/ CBAD =CBAE-CDAE    

=74!-32!=42!  yy ③

단계 채점 기준 배점

① CADE, CAED의 크기 구하기 4점

② CBAE의 크기 구하기 2점

③ CBAD의 크기 구하기 2점

4

sABC에서 ABZ=ACZ이므로 CACB= 1

2\{180!-68!}=56! yy ① 이때 CACE=180!-56!=124!이므로 

CDCE= 12CACE= 12\124!=62! yy ② sDBC에서 CBZ=CDZ이므로 CDBC=CBDC=Cx 따라서 sDBC에서 Cx+Cx=62!이므로

2Cx=62!    / Cx=31! yy ③

단계 채점 기준 배점

① CACB의 크기 구하기 2점

② CDCE의 크기 구하기 3점

③ Cx의 크기 구하기 3점

5

⑴ 정오각형의 한 내각의 크기는 180!\{5-2}

5 =108!

/ CC=108!

⑵ sBCD에서 BCZ=CDZ이므로 CCBD= 12\{180!-108!}=36!

/ CABD =CABC-CCBD

=108!-36!=72!

6

^⑴ sDBC와 sECB에서

ABZ=ACZ, ADZ=AEZ이므로 DBZ=ECZ, CDBC=CECB, BCZ는 공통이므로 sDBC+sECB ( SAS 합동)

⑵ sDBC+sECB이므로 CDCB=CEBC 따라서 sFBC는 이등변삼각형이다.

/ BFZ=CFZ

7

sBDM과 sCEM에서

CBDM=CCEM=90!, BMZ=CMZ, CBMD=CCME (맞꼭지각)이므로

sBDM+sCEM ( RHA 합동) yy ① 따라서 BDZ=CEZ=6 cm, DMZ=EMZ=3 cm이므로

yy ②

sABD = 12\BDZ\ADZ =1

2\6\{12+3}=45{cm@} yy ③

단계 채점 기준 배점

① sBDM+sCEM임을 설명하기 3점

② BDZ, DMZ의 길이 구하기 2점

③ sABD의 넓이 구하기 3점

8

sAOP와 sBOP에서

CPAO=CPBO=90!, OPZ는 공통, PAZ=PBZ이므로 sAOP+sBOP (RHS 합동) yy ① / CAPO =CBPO=1

2CAPB= 12\134!=67!

yy ② 따라서 sAOP에서

Cx=90!-CAPO=90!-67!=23! yy ③

단계 채점 기준 배점

① sAOP+sBOP임을 설명하기 3점

② CAPO의 크기 구하기 3점

③ Cx의 크기 구하기 2점

9

sFBE에서 FBZ=FEZ이므로 CFEB=CB=Cx

/ CEFD =CB+CFEB

=Cx+Cx=2Cx yy ①

sDFE에서 EFZ=EDZ이므로 CEDF=CEFD=2Cx sDBE에서

CDEC =CB+CBDE

=Cx+2Cx=3Cx yy ②

sDEC에서 DEZ=DCZ이므로 CDCE=CDEC=3Cx sDBC에서

CCDA =CB+CDCB

=Cx+3Cx=4Cx yy ③

sADC에서 CDZ=CAZ이므로 CA=CCDA=4Cx

이때 sABC에서 BAZ=BCZ이므로

CBCA=CA=4Cx yy ④

따라서 sABC에서 4Cx+Cx+4Cx=180!이므로 9Cx=180! / Cx=20! yy ⑤

단계 채점 기준 배점

① CEFD의 크기를 Cx에 대한 식으로 나타내기 2점

② CDEC의 크기를 Cx에 대한 식으로 나타내기 2점

③ CCDA의 크기를 Cx에 대한 식으로 나타내기 2점

④ CBCA의 크기를 Cx에 대한 식으로 나타내기 2점

⑤ Cx의 크기 구하기 2점

10

sABF와 sBCG에서

ABZ=BCZ, CAFB=CBGC=90!, CBAF=90!-CABF=CCBG이므로

sABF+sBCG ( RHA 합동) yy ① 따라서 BFZ=CGZ=6 cm, BGZ=AFZ=10 cm이므로 FGZ=BGZ-BFZ=10-6=4{cm} yy ② / sAFG = 12\FGZ\AFZ

= 12\4\10=20{cm@} yy ③

단계 채점 기준 배점

① sAEF+sBCG임을 설명하기 4점

② FGZ의 길이 구하기 3점

③ sAFG의 넓이 구하기 3점

실전 테스트

29~32쪽

1

  ②,  ③ 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이 등분하므로 BDZ=CDZ, PDZ\BCZ

⑤   sPBD와 sPCD에서   

BDZ=CDZ, CPDB=CPDC=90!, 

PDZ는 공통이므로   

sPBD+sPCD (SAS 합동)   

따라서 PBZ=PCZ이므로 sPBC는 이등변삼각형이다.   

/ CPBD=CPCD 따라서 옳지 않은 것은 ①, ④이다.

2

sABC에서 ABZ=ACZ이므로  CC=CB=2Cx-8!

따라서 3Cx+{2Cx-8!}+{2Cx-8!}=180!이므로 7Cx=196!    / Cx=28!

/ CA=3\28!=84!

3

sABC에서 ABZ=ACZ이므로 CC=CB=57!

/ Cx=180!-{57!+57!}=66!

이때 Cy=180!-57!=123!이므로 Cx+Cy=66!+123!=189!

4

sABC에서 ABZ=ACZ이므로 CB=CC=60!

/ CA=180!-{60!+60!}=60!

즉, sABC는 정삼각형이므로 BCZ=ABZ=14 cm 따라서 BDZ=CDZ이므로

BDZ= 12  BCZ= 12\14=7{cm} 

5

sABC에서 ABZ=ACZ이므로 CB=CC=36!

따라서 sFBE에서 Cx=180!-{36!+90!}=54!

6

sABC에서 ABZ=ACZ이므로 CB=CACB= 1

2\{180!-38!}=71!

CDCB=Cx라 하면 CDCE=CA=38!이므로 CACB=Cx+38!

따라서 Cx+38!=71!이므로 Cx=33!

7

sABD에서 DAZ=DBZ이므로  CBAD=CB=31!

/ CADC=CB+CBAD=31!+31!=62!

따라서 sADC에서 DAZ=DCZ이므로 Cx= 12\{180!-62!}=59!

8

^ABZ|DEZ이므로 CAED=CBAE=48! (엇각) sAED에서 EAZ=EDZ이므로

CADE= 12\{180!-48!}=66!

/ CEDC=180!-66!=114!

따라서 sDEC에서 DEZ=DCZ이므로 CC= 12\{180!-114!}=33!

9

   CB=Cx라 하면

sABC에서 ABZ=ACZ이므로  CACB=CB=Cx

/ CDAC=CB+CACB=Cx+Cx=2Cx sDAC에서 CAZ=CDZ이므로 

CADC=CDAC=2Cx sDBC에서

CDCE=CB+CBDC=Cx+2Cx=3Cx sDCE에서 DCZ=DEZ이므로 

CDEC=CDCE=3Cx

따라서 sDBE에서 Cx+3Cx=96!이므로 4Cx=96!    / Cx=24!

10

sABC에서 ABZ=ACZ이므로

CABC=CACB= 12\{180!-72!}=54!

/   CDBC=1

2CABC= 12\54!=27!

이때 CACE=180!-54!=126!이므로 CACD= 13CACE= 13\126!=42!

따라서 sDBC에서

Cx=180!-{27!+54!+42!}=57!

11

sABC에서 CB=CC이므로 ACZ=ABZ=10 cm 오른쪽 그림과 같이 APZ를 그으면 

10 cm A

P C

D E

sABC   

=sABP+sAPC   

 =1

2\10\PDZ+ 12\10\PEZ     =1

2\10\{PDZ+PEZ}   

 =1

2\10\8=40{cm@} 

12

   ADZ|BCZ이므로 CEGF=CGFC (엇각) CEFG=CGFC (접은 각)

/ CEGF=CEFG

따라서 sEFG는 EFZ=EGZ (①)인 이등변삼각형이므로

CEFG =CEGF=CGFC   

 =1

2\{180!-54!}=63! (③, ④) / CDGF=180!-63!=117! (⑤) 따라서 옳지 않은 것은 ②이다.

13

  ②   나머지 한 각의 크기는 180!-{90!+60!}=30!   

따라서 주어진 직각삼각형과 빗변의 길이가 같고, 한 예 각의 크기가 같으므로 RHA 합동이다.

14

^{①,  ②}sADB와 sCEA에서    CADB=CCEA=90!, ABZ=CAZ,     CBAD=90!-CCAE=CACE이므로    sADB+sCEA ( RHA 합동)

④ DEZ=DAZ+AEZ=ECZ+BDZ=5+7=12{cm}

이때 CQMA=CBMP (맞꼭지각)이므로 CQ=CQMA

따라서 sQMA는 AQZ=AMZ인 이등변삼각형이다.

  yy ②

/ AQZ=AMZ= 12  ABZ= 12\10=5{cm}  yy ③

단계 채점 기준 배점

① CB=CC임을 설명하기 1점

② sQMA가 이등변삼각형임을 설명하기 3점

③ AQZ의 길이 구하기 2점

21

sABC에서 BAZ=BCZ이므로

CC=CBAC= 12\{180!-90!}=45!

sDCE에서 CEDC=90!-CC=90!-45!=45!

즉, CC=CEDC이므로 sDCE는 EDZ=ECZ인 직각이등

변삼각형이다.  yy ①

/ EDZ=ECZ=3 cm  yy ②

이때 sABD와 sAED에서 CB=CAED=90!, ADZ는 공통,  ABZ=AEZ이므로

sABD+sAED ( RHS 합동)  yy ③

/ BDZ=EDZ=3 cm  yy ④

단계 채점 기준 배점

① sDCE가 직각이등변삼각형임을 설명하기 3점

② DEZ의 길이 구하기 1점

③ sABD+sAED임을 설명하기 3점

④ BDZ의 길이 구하기 1점

22

sAED와 sACD에서

CAED=CACD=90!, ADZ는 공통, CEAD=CCAD이므로

sAED+sACD {RHA 합동)  yy ① 따라서 AEZ=ACZ=6 cm이므로

BEZ=ABZ-AEZ=10-6=4{cm}  yy ② 이때 DEZ=DCZ이므로 

(sBDE의 둘레의 길이) =BEZ+BDZ+DEZ   

=4+BDZ+DCZ   

=4+BCZ   

=4+8=12{cm}  yy ③

단계 채점 기준 배점

① sAED+sACD임을 설명하기 3점

② BEZ의 길이 구하기 2점

③ sBDE의 둘레의 길이 구하기 3점

⑤   (사각형 DBCD의 넓이)=1

2\{5+7}\12=72{cm@}

따라서 옳지 않은 것은 ③이다.

15

sABD와 sCAE에서

CBDA=CAEC=90!, ABZ=CAZ, CABD=90!-CBAD=CCAE이므로 sABD+sCAE ( RHA 합동)

따라서 ADZ=CEZ=12 cm, AEZ=BDZ=9 cm이므로 DEZ=ADZ-AEZ=12-9=3{cm}

16

sADM와 sCEM에서

CADM=CCEM=90!, AMZ=CMZ,  MDZ=MEZ이므로

sADM+sCEM ( RHS 합동) / CA=CC=34!

따라서 sABC에서 CB=180!-{34!+34!}=112!

17

sADE와 sBDE에서

ADZ=BDZ, CADE=CBDE=90!, DEZ는 공통이므로 sADE+sBDE ( SAS 합동)

/ CDAE=CDBE=Cx sADE와 sACE에서

CADE=CACE=90!, AEZ는 공통, DEZ=CEZ이므로 sADE+sACE ( RHS 합동)

/ CCAE=CDAE=Cx

따라서 sABC에서 2Cx+Cx+90!=180!

3Cx=90!    / Cx=30!

18

sAOP와 sBOP에서

CPAO=CPBO=90!, OPZ는 공통 CAOP=CBOP이므로 

sAOP+sBOP ( RHA 합동) / PAZ=PBZ=6 cm, OBZ=OAZ=9 cm 따라서 x=6, y=9이므로 

x+y=6+9=15

19

sABC에서 ABZ=ACZ이므로

CABC=CC=63!  yy ①

sBCD에서 BCZ=BDZ이므로 CBDC=CC=63!

/ CDBC =180!-{63!+63!}=54!  yy ②

/ Cx =CABC-CDBC   

=63!-54!=9!  yy ③

단계 채점 기준 배점

① CABC의 크기 구하기 2점

② CDBC의 크기 구하기 3점

③ Cx의 크기 구하기 1점

20

sABC에서 ABZ=ACZ이므로 CB=CC  yy ① 두 직각삼각형 QPC, MBP에서

CQ=90!-CC=90!-CB=CBMP

1

  ㄱ.   외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같으므로    OAZ=OBZ=OCZ

ㄷ. 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이므로 AFZ=CFZ

ㅁ.   sOAD와 sOBD에서   

CODA=CODB=90!, OAZ=OBZ, ODZ는 공통이므로  sOAD+sOBD ( RHS 합동)

ㅂ.   sOBE와 sOCE에서   

COEB=COEC=90!, OBZ=OCZ, OEZ는 공통이므로  sOBE+sOCE ( RHS 합동)     / sOBE=sOCE

따라서 옳지 않은 것은 ㄴ, ㄹ이다.

2

^OBZ=OCZ이므로 COCB=COBC=25!

따라서 sOBC에서 Cx=180!-{25!+25!}=130!

3

^BDZ=ADZ=5 cm, BEZ=CEZ=7 cm, AFZ=CFZ=8 cm / ( sABC의 둘레의 길이) =ABZ+BCZ+CAZ   

=2\{5+7+8}   

=40{cm}

4

sABO에서 OAZ=OBZ이므로  OAZ=OBZ= 12\{28-12}=8{cm}

따라서 sABC의 외접원의 반지름의 길이는 8 cm이다.

5

  ⑤   수막새의 중심은 sABC의 외심이므로 ABZ, BCZ, CAZ 의 수직이등분선의 교점을 찾아 외심을 구한다.

6

  직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 sABC의 외접원의 반지름의 길이는

1

2ABZ= 12\10=5{cm}

/ ( sABC의 외접원의 넓이)=p\5@=25p{cm@}

7

sABC에서 CA=90!-30!=60!

오른쪽 그림과 같이 OBZ를 그으면  ^A

B C

3 cm O

30!

점 O는 직각삼각형 ABC의 외심 60!

이므로 OAZ=OBZ=OCZ  이때 sABO에서 CABO=CA=60!

2 삼각형의 외심과 내심

필수 기출

34~39쪽

/ CAOB=180!-{60!+60!}=60!

따라서 sABO는 정삼각형이므로 OAZ=OBZ=ABZ=3 cm

/ ACZ=2 OAZ=2\3=6{cm}

8

  점 O는 직각삼각형 ABC의 외심이므로 OAZ=OBZ=OCZ 이때 OAZ=OBZ이므로 sAOC=sOBC

/ sOBC = 12 sABC   

 =1

2\[ 12\12\5]=15{cm@} 

9

  점 M은 직각삼각형 ABC의 외심이므로 MAZ=MBZ=MCZ sABM은 MAZ=MBZ인 이등변삼각형이므로

CMAB=CB=48!

따라서 sABM에서 CAMC=48!+48!=96!

10

^점 O는sABC의 외심이므로 OAZ=OBZ=OCZ sOAB에서 OAZ=OBZ이므로

CABO= 12\{180!-30!}=75!

sOBC에서 OBZ=OCZ이므로 COBC= 12\{180!-70!}=55!

/ CABC =CABO+COBC=75!+55!=130!

11

  Cx+26!+34!=90!이므로 Cx=30!

12

sOAB에서 OAZ=OBZ이므로 COAB=COBA=42!

따라서 CBAC=42!+24!=66!이므로 Cx=2CBAC=2\66!=132!

13

sOCA에서 OAZ=OCZ이므로  COCA=COAC=48!

sOBC에서 OBZ=OCZ이므로  COCB=COBC=Cx 이때 CACB=1

2CAOB= 12\124!=62!이므로 Cx+48!=62!    / Cx=14!

다른 풀이  

sOAB에서 OAZ=OBZ이므로 CABO= 12\{180!-124!}=28!

따라서 28!+Cx+48!=90!이므로 Cx=14!

14

  CAOB`:`CBOC`:`CCOA=7`:`5`:`6이므로 CBOC=360!\ 518=100!

/ CBAC=1

2CBOC= 12\100!=50!

15

  ①, ⑤ 점 I가 sABC의 외심일 때, 성립한다.

②   내심에서 삼각형의 세 변에 이르는 거리는 같으므로     IDZ=IEZ=IFZ

③   CIAD=CIAF이므로   

CAID=90!-CIAD=90!-CIAF=CAIF

④   sICE와 sICF에서    

CIEC=CIFC=90!, CICE=CICF,    

ICZ는 공통이므로   

sICE+sICF {RHA 합동) 따라서 옳지 않은 것은 ①, ⑤이다.

16

^점 I는sABC의 내심이므로 

CIAC=CIAB=25!, CICA=CICB=30!

따라서 sAIC에서 Cx=180!-{25!+30!}=125!

17

  점 I는 sABC의 내심이므로 

CIBC=CABI=36!, CACI=CICB=24!

/ CB=36!+36!=72!, CC=24!+24!=48!

따라서 sABC에서 Cx=180!-{72!+48!}=60!

18

sABC에서 ABZ=ACZ이므로 CABC= 12\{180!-52!}=64!

점 I는 sABC의 내심이므로 Cx= 12CABC= 12\64!=32!

19

   26!+Cx+40!=90!이므로 Cx=24!

20

  오른쪽 그림과 같이 ICZ를 그으면 

74!

25!

A

C I

CICA =CICB=1 x

2CC     =1

2\74!=37!

따라서 Cx+25!+37!=90!이므로  Cx=28!

다른 풀이  

CIBA=CIBC=25!이므로  CABC=25!+25!=50!

sABC에서 CBAC=180!-{50!+74!}=56!

/ Cx=1

2CBAC= 12\56!=28!

21

^Cx =90!+1₂^{CA=90!+ 1}₂^\58!=119!

22

sABC에서 ABZ=ACZ이므로 CC= 1

2\{180!-72!}=54!

/ CAIB=90!+1

2CC=90!+ 12\54!=117!

23

  CBAC`:`CABC`:`CACB=2`:`3`:`4이므로 CABC=180!\ 39=60!

/ CAIC=90!+1

2CABC=90!+ 12\60!=120!

24

sABC = 12\3\( sABC의 둘레의 길이)     =1

2\3\34=51{cm@} 

25

sABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 1

2\r\{10+12+10}=48이므로 16r=48    / r=3

따라서 sABC의 내접원의 반지름의 길이는 3 cm이다.

26

sABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 1

2\r\{13+5+12}=1

2\5\12이므로 15r=30    / r=2

/ sABI= 12\13\2=13{cm@} 

27

^AFZ=ADZ=3 cm, BDZ=BEZ=5 cm, CEZ=CFZ=4 cm / (sABC의 둘레의 길이) =2\{3+5+4}   

=24{cm}

28

^BEZ=BDZ=ABZ-ADZ=14-5=9{cm}

CEZ=CFZ=ACZ-AFZ=ACZ-ADZ=11-5=6{cm}

/ BCZ=BEZ+CEZ=9+6=15{cm}

29

  ADZ=AFZ=x cm라 하면

BEZ=BDZ={7-x} cm, CEZ=CFZ={9-x} cm 이때 BEZ+CEZ=BCZ이므로 {7-x}+{9-x}=12 -2x=-4    / x=2   

/ ADZ=2 cm

30

^점 I는sABC의 내심이므로  CDBI=CIBC, CECI=CICB 이때 DEZ|BCZ이므로

CDIB=CIBC (엇각), CEIC=CICB (엇각) / CDBI=CDIB, CEIC=CECI

즉, sDBI, sEIC는 각각 이등변삼각형이므로 DIZ=DBZ=6 cm, EIZ=ECZ=4 cm

/ DEZ=DIZ+EIZ=6+4=10{cm}

31

   오른쪽 그림과 같이 IBZ, ICZ를 각각  ^A

D E

C I 15 cm 12 cm

  그으면 점 I는 sABC의 내심이므로

CDBI=CIBC, CECI=CICB 이때 DEZ|BCZ이므로

CDIB=CIBC (엇각),  CEIC=CICB (엇각)

/ CDBI=CDIB, CECI=CEIC

즉, sDBI, sEIC는 각각 이등변삼각형이므로  DIZ=DBZ, EIZ=ECZ

/   ( sADE의 둘레의 길이)   

=ADZ+DEZ+EAZ   

=ADZ+{DIZ+EIZ}+EAZ    

={ADZ+DBZ}+{ECZ+EAZ}   

=ABZ+ACZ   

=15+12=27{cm}

32

  ③   삼각형의 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같다.

1

^점 O는sABC의 외심이다.

①   외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같으므로    OAZ=OCZ

②   COAD=COBD, COBE=COCE이지만     COAD=COCE가 성립한다고는 할 수 없다.

40~41쪽

Best

쌍둥이

33

^점 I는sABC의 내심이므로 110!=90!+1

2 CA    / CA＝40!

점 O는 sABC의 외심이므로 CBOC=2CA=2\40!=80!

34

  ⑴ 점 O는 sABC의 외심이므로 CBOC=2CA=2\48!=96!

sOBC에서 OBZ=OCZ이므로 COCB= 12\{180!-96!}=42!

⑵ sABC에서 ABZ=ACZ이므로  CACB= 12\{180!-48!}=66!

점 I는 sABC의 내심이므로  CICB=1

2CACB= 12\66!=33!

⑶ COCI=COCB-CICB=42!-33!=9!

35

sABC에서 CBAC=90!-58!=32!

점 I는 sABC의 내심이므로 CIAC= 12CBAC= 12\32!=16!

sOCA에서 OCZ=OAZ이므로 COCA=COAC=32!

따라서 sAPC에서 

CAPC=180!-{16!+32!}=132!

36

sABC의 외접원의 반지름의 길이를 R cm라 하면  R=1

2  ACZ= 12\10=5

/ (외접원의 둘레의 길이)=2p\5=10p{cm}

sABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 1

2\r\{6+8+10}=1

2\8\6이므로 12r=24    / r=2

/ (내접원의 둘레의 길이)=2p\2=4p{cm}

따라서 sABC의 외접원과 내접원의 둘레의 길이의 합은  10p+4p=14p{cm}

③, ④ 점 O가 sABC의 내심일 때, 성립한다.

⑤   삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이다.   

즉, ACZ의 수직이등분선은 점 O를 지난다.

따라서 옳은 것은 ①, ⑤이다.

2

   오른쪽 그림과 같이 OCZ를 그으면  

60! C

O A

8 cm   점 O는 sABC의 외심이므로

OAZ=OBZ=OCZ

이때 sOBC에서 COCB=CB=60!

/ CBOC=180!-{60!+60!}=60!

따라서 sOBC는 정삼각형이므로  BCZ=OBZ= 12  ABZ= 12\8=4{cm} 

3

^점 O는sABC의 외심이므로 OAZ=OBZ=OCZ sOAB에서 OAZ=OBZ이므로

CABO= 12\{180!-82!}=49!

sOBC에서 OBZ=OCZ이므로 COBC= 12\{180!-38!}=71!

/ CABC=CABO+COBC=49!+71!=120!

4

^점 O는sABC의 외심이므로 BDZ=CDZ=6 cm    / x=6 OAZ=OBZ=8 cm    / y=8

20!+41!+COCA=90!이므로 COCA=29!   

/ z=29   

/ x+y+z=6+8+29=43

5

sOAB에서 OAZ=OBZ이므로 COAB=COBA=36!

sOCA에서 OAZ=OCZ이므로 COAC=COCA=27!

따라서 CBAC=36!+27!=63!이므로 Cx=2CBAC=2\63!=126!

6

  ①, ③, ④ 점 I가 sABC의 외심일 때, 성립한다.

②   sIAD와 sIAF에서   

CIDA=CIFA=90!, CIAD=CIAF,    

AIZ는 공통이므로    

sIAD+sIAF ( RHA 합동)   

/ ADZ=AFZ

⑤   sIBD와 sIBE에서   

CIDB=CIEB=90!, CIBD=CIBE,    

BIZ는 공통이므로    

sIBD+sIBE ( RHA 합동) 따라서 옳은 것은 ②, ⑤이다.

7

  35!+23!+Cx=90!이므로 Cx=32!

8

  115!=90!+1

2CACB이므로 1

2CACB=25!    / CACB=50!

/ Cx=1

2CACB= 12\50!=25!

9

sABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 1

2\r\{5+4+3}=1

2\4\3이므로 6r=6    / r=1

따라서 sABC의 내접원의 반지름의 길이는 1 cm이다.

10

^BEZ=BDZ=x cm라 하면

AFZ=ADZ={9-x} cm, CFZ=CEZ={14-x} cm 이때 AFZ+CFZ=ACZ이므로 {9-x}+{14-x}=11 -2x=-12    / x=6

/ BEZ=6 cm

11

   오른쪽 그림과 같이 IBZ, ICZ를 각각 

I

8 cm 9 cm 6 cm

A

B

D E

C

  그으면 점 I는 sABC의 내심이므로

CDBI=CIBC, CECI=CICB 이때 DEZ|BCZ이므로

CDIB=CIBC (엇각),  CEIC=CICB (엇각)

/ CDBI=CDIB, CECI=CEIC 즉, sDBI, sEIC는 각각 이등변삼각형이므로 DIZ=DBZ, EIZ=ECZ

/   ( sADE의 둘레의 길이) =ADZ+DEZ+EAZ   

=ADZ+{DIZ+EIZ}+EAZ   

={ADZ+DBZ}+{ECZ+EAZ} 

=ABZ+ACZ   

=9+6=15{cm}

12

  ① 삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다.

⑤   이등변삼각형의 외심과 내심은 꼭지각의 이등분선 위에  있다.

13

^점 O는sABC의 외심이므로 CBOC=2CA=2\52!=104!

sOBC에서 OBZ=OCZ이므로 COBC= 12\{180!-104!}=38!

 sABC에서 ABZ=ACZ이므로 CABC= 1

2\{180!-52!}=64!

점 I는 sABC의 내심이므로 CIBC= 12CABC= 12\64!=32!

/ COBI=COBC-CIBC=38!-32!=6!

14

sABC의 외접원의 반지름의 길이를 R cm라 하면  R=1

2  ABZ= 12\17=17 2

sABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 1

2\r\{17+8+15}=1

2\8\15이므로 20r=60    / r=3

따라서 sABC의 외접원과 내접원의 반지름의 길이의 합은 17

2+3=23 2{cm}

1

-1    점 O는 sABC의 외심이므로 OAZ=OBZ / COAB=CB=30!

이때 sABC의 외심 O가 BCZ 위에 있으므로 CBAC=90!

/ COAC=90!-30!=60!

점 O'은 sAOC의 외심이므로 COO'C=2COAC=2\60!=120!

따라서 sO'OC에서 O'OZ=O'CZ이므로 CO'CO= 12\{180!-120!}=30!

1

-2    점 O는 sABC의 외심이므로 OAZ=OCZ / COAC=CC=28!

이때 sABC의 외심 O가 BCZ 위에 있으므로 CBAC=90!

/ CBAO=90!-28!=62!

점 O'은 sABO의 외심이므로 CBO'O=2CBAO=2\62!=124!

따라서 sO'BO에서 O'BZ=O'OZ이므로  CO'BO= 12\{180!-124!}=28!

2

-1    오른쪽 그림과 같이 OBZ를 그으면 

35!

25!

B O C

x

  점 O가 sABC의 외심이므로

OAZ=OBZ=OCZ sOAC에서

COAC=COCA=25!이므로 COBA=COAB=25!+35!=60!

sOBC에서 COBC=COCB=25!+Cx

따라서 sABC에서 35!+60!+{25!+Cx}+Cx=180!

2Cx=60!    / Cx=30!

2

-2    오른쪽 그림과 같이 OBZ를 그으면  

45!

A 20! B

C O

x

점 O가 sABC의 외심이므로  OAZ=OBZ=OCZ

sOAC에서

COAC=COCA=45!이므로 COBA=COAB=45!+20!=65!

sOBC에서 COBC=COCB=45!+Cx

따라서 sABC에서 20!+65!+{45!+Cx}+Cx=180!

2Cx=50!    / Cx=25!

3

-1    오른쪽 그림과 같이 AIZ를 그으면 

64!

A

C

D E

x I x

y y

CIAD= 12CA= 12\64!=32!

CIBD=CIBC=Cx,  CICB=CICE=Cy라 하면

32!+Cx+Cy=90!    / Cx+Cy=58!

100점 완성

42~43쪽

sADC에서CBDC=64!+Cy sABE에서 CBEC=64!+Cx

/ CBDC+CBEC ={64!+Cy}+{64!+Cx}   

=128!+Cx+Cy   

=128!+58!=186!

3

-2    오른쪽 그림과 같이 ICZ를 그으면 

80!

A

B D C

I E x x

y y

CICD= 12CC= 12\80!=40!

CIAB=CIAE=Cx,  CIBA=CIBD=Cy라 하면 Cx+Cy+40!=90!

/ Cx+Cy=50!

sBCE에서CAEB=Cy+80!

sADC에서CADB=Cx+80!

/ CAEB+CADB ={Cy+80!}+{Cx+80!}   

=160!+Cx+Cy   

=160!+50!=210!

4

-1    sABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 1

2\r\{20+12+16}=1

2\12\16이므로 24r=96    / r=4

/   (색칠한 부분의 넓이)   

=(정사각형 IECF의 넓이)-(부채꼴 IEF의 넓이)     =4\4-1

4\p\4@   

=16-4p{cm@} 

4

^-2sABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 1

2\r\{24+7+25}=1

2\7\24이므로 28r=84    / r=3

/   (색칠한 부분의 넓이)   

=(정사각형 DBEI의 넓이)-(부채꼴 IDE의 넓이)     =3\3-1

4\p\3@   

 =9-9

4p{cm@} 

5

-1    오른쪽 그림과 같이 IBZ, ICZ를 그으면 ^A

B C

I

D E

12 cm

  점 I는 sABC의 내심이므로

CABI=CIBD ABZ|IDZ이므로  CDIB=CABI (엇각)

즉, sDIB에서 CDBI=CDIB이므로 DBZ=DIZ 같은 방법으로 하면

sECI에서 CECI=CEIC이므로 ECZ=EIZ 이때 ABZ|IDZ이므로 CIDE=CB=60! (동위각) ACZ|IEZ이므로 CIED=CC=60! (동위각) 따라서 sIDE는 정삼각형이다.

/ DBZ=DIZ=DEZ=EIZ=ECZ

/ DEZ= 13  BCZ= 13  ACZ= 13\12=4{cm} 

5

-2    오른쪽 그림과 같이 IBZ, ICZ를 그으면  ^A

B C

I

D E

18 cm

점 I는 sABC의 내심이므로 CABI=CIBD

ABZ|IDZ이므로  CDIB=CABI (엇각)

즉, sDIB에서 CDBI=CDIB이므로 DBZ=DIZ 같은 방법으로 하면 

sECI에서 CECI=CEIC이므로 ECZ=EIZ 이때 ABZ|IDZ이므로 CIDE=CB=60! (동위각) ACZ|IEZ이므로 CIED=CC=60! (동위각) 따라서 sIDE는 정삼각형이다.

/ DBZ=DIZ=DEZ=EIZ=ECZ 

/ DEZ= 13  BCZ= 13  ABZ= 13\18=6{cm} 

6

-1    점 I는 sABC의 내심이므로   

CBAC=2CCAE=2\40!=80!   

점 O는 sABC의 외심이므로

COBA=COAB=28!    

CBOC=2CBAC=2\80!=160!

이때 sOBC에서 OBZ=OCZ이므로

COBC= 12\{180!-160!}=10!   

/ CABD =CABO+COBC   

=28!+10!=38!

따라서 sABD에서 CADE=28!+38!=66!

6

-2    점 I는 sABC의 내심이므로   CBAC=2CCAE=2\38!=76!

오른쪽 그림과 같이 OBZ, OCZ를 그  ^A

B C

O D E

I 24! 38!

으면 점 O는 sABC의 외심이므로 COBA=COAB=24! 

CBOC =2CBAC   

=2\76!=152!

이때 sOBC에서 OBZ=OCZ이므로 COBC= 1

2\{180!-152!}=14!

/ CABD =CABO+COBC   

=24!+14!=38!

따라서 sABD에서 CADE=24!+38!=62!

서술형 완성

44~45쪽

1

CA=90!이고, COAB`:`COAC=3`:`2이므로 CBAO=90!\ 3

5=54! yy ①

이때 점 O는 직각삼각형 ABC의 외심이므로 OAZ=OBZ 따라서 sABO는 이등변삼각형이므로

CB=CBAO=54! yy ②

/ CAOB=180!-{54!+54!}=72! yy ③

단계 채점 기준 배점

① CBAO의 크기 구하기 3점

② CB의 크기 구하기 3점

③ CAOB의 크기 구하기 2점

2

^{점 O는} sABC의 외심이므로 2Cx+3Cx+5Cx=90!

10Cx=90! / Cx=9! yy ① 이때 OAZ=OBZ이므로 sABO는 이등변삼각형이다.

/ CABO=CBAO=2\9!=18! yy ② 따라서 sABO에서

CAOB=180!-{18!+18!}=144! yy ③

단계 채점 기준 배점

① Cx의 크기 구하기 2점

② CABO의 크기 구하기 2점

③ CAOB의 크기 구하기 2점

3

CAOB=105!이고, CBOC`:`CCOA=7`:`8이므로 CAOC ={360!-105!}\8

15=255!\ 815=136!

yy ①

/ CABC=1

2CAOC= 12\136!=68! yy ②

단계 채점 기준 배점

① CAOC의 크기 구하기 4점

② CABC의 크기 구하기 4점

4

⑴ 점 I'은 sIBC의 내심이므로 CIBI'=CI'BC=17!

/ CIBC=2\17!=34!

점 I는 sABC의 내심이므로 CABI=CIBC=34!

/ CABC=2\34!=68!

⑵ 점 I는 sABC의 내심이므로 CICB=CACI=30!

/ CACB=2\30!=60!

⑶ sABC에서 CA=180!-{68!+60!}=52!

5

sABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 sIBC=12 cm@이므로

1

2\8\r=12, 4r=12

/ r=3 yy ①

이때 sABC=36 cm@이므로 1

2\3\{ABZ+8+ACZ}=36 ABZ+8+ACZ=24

/ ABZ+ACZ=16{cm} yy ②

단계 채점 기준 배점

① 내접원의 반지름의 길이 구하기 4점

② ABZ+ACZ의 길이 구하기 4점

6

⑴ 점 I는 sABC의 내심이므로 CDBI=CIBC, CECI=CICB

이때 DEZ|BCZ이므로

CDIB=CIBC (엇각), CEIC=CICB (엇각) / CDBI=CDIB, CECI=CEIC 즉, sDBI, sEIC는 각각 이등변삼각형이므로 DIZ=DBZ, EIZ=ECZ

⑵ DIZ=DBZ, EIZ=ECZ이므로

( sADE의 둘레의 길이)

=ADZ+DEZ+EAZ

=ADZ+{DIZ+EIZ}+EAZ

={ADZ+DBZ}+{ECZ+EAZ}

=ABZ+ACZ

=2 ABZ

이때 sADE의 둘레의 길이가 28 cm이므로 2 ABZ=28 / ABZ=14{cm}

7

^{점 O는} sABC의 외심이므로 CA=1

2CBOC= 12\84!=42! yy ①

점 I는 sABC의 내심이므로

CBIC=90!+ 1

2CA=90!+ 1

2\42!=111! yy ②

단계 채점 기준 배점

① CA의 크기 구하기 3점

② CBIC의 크기 구하기 3점

8

sABC의 외접원의 반지름의 길이를 R cm라 하면 R=1

2 ABZ= 12\15=15

2 yy ①

sABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 1

2\r\{15+12+9}=1

2\12\9이므로

18r=54 / r=3 yy ②

/ (색칠한 부분의 넓이)

=(외접원의 넓이)-(내접원의 넓이) =p\[ 152 ]@-p\3@

=225

4 p-9p= 1894 p{cm@} yy ③

단계 채점 기준 배점

① sABC의 외접원의 반지름의 길이 구하기 2점

② sABC의 내접원의 반지름의 길이 구하기 3점

③ 색칠한 부분의 넓이 구하기 3점

9

점 D는 직각삼각형 ABC의 외심이므로 DAZ=DBZ=DCZ 즉, sABD는 DAZ=DBZ인 이등변삼각형이므로

CBAD=CB=53! yy ①

sABE에서 CBAE=90!-53!=37! yy ②

/ CEAD =CBAD-CBAE   

=53!-37!=16!  yy ③

단계 채점 기준 배점

① CBAD의 크기 구하기 4점

② CBAE의 크기 구하기 3점

③ CEAD의 크기 구하기 3점

10

sABC에서 ABZ=ACZ이므로

CACB= 12\{180!-68!}=56!  yy ① 이때 점 I는 sABC의 내심이므로

CICD= 12CACB= 12\56!=28!  yy ② sABC의 외심 O는 세 변의 수직이등분선의 교점이므로

CODC=90!  yy ③

따라서 sECD에서

CDEC=180!-{90!+28!}=62!  yy ④

단계 채점 기준 배점

① CACB의 크기 구하기 2점

② CICD의 크기 구하기 3점

③ CODC의 크기 구하기 3점

④ CDEC의 크기 구하기 2점

실전 테스트

46~48쪽

1

  오른쪽 그림과 같이 OAZ를 그으면  ^A

B C

26! O 58!

x

OAZ=OBZ=OCZ이므로 COAB=COBA=26!

/ COAC =CBAC-COAB   

=58!-26!=32!

/ Cx=COAC=32!

2

^점 O는sABC의 외심이므로

sOAD+sOBD, sOBE+sOCE,  sOAF+sOCF (RHS 합동)

이때 sABC=2{sOAD+sOCE+sOCF}이므로  sOAD+sOCE+sOCF= 12 sABC

/   (사각형 OECF의 넓이)   

 =sOCE+sOCF= 12 sABC-sOAD     =1

2\40-1

2\4\3=14{cm@}

3

  직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 sABC의 외접원의 반지름의 길이는 

1

2  BCZ= 12\12=6{cm}

/ ( sABC의 외접원의 둘레의 길이) =2p\6   

=12p{cm}

4

  ④   점 M이 sABC의 외심이므로 AMZ=BMZ=CMZ    따라서 sABM에서 CABM=CA=50!이므로    CMBC=90!-50!=40!

5

^점 O가sABC의 외심이므로 OAZ=OBZ=OCZ sOAC에서 COAC=COCA=40!이고, sOAB에서 COAB=COBA=75!이므로 CAOB=180!-{75!+75!}=30!

따라서 sOAC에서

CBOC=180!-{30!+40!+40!}=70!

6

  25!+Cx+43!=90!이므로 Cx=22!

7

^점 O는sABC의 외심이므로 OAZ=OBZ / CABO=CBAO=28!

sABO에서 CAOB=180!-{28!+28!}=124!

/ Cx=1

2CAOB= 12\124!=62!

8

^점 I는sABC의 내심이므로 IEZ=IDZ=3 cm    / x=3 CICA=CICE=26!    / y=26

/ x+y=3+26=29

9

^점 I는sABC의 내심이므로

CIBC=CABI=Cx, CICB=CACI=30!

따라서 sIBC에서 Cx=180!-{125!+30!}=25!

10

  오른쪽 그림과 같이 IBZ를 그으면 

x

8! I y A

C B

CIBA =CIBC=1

2CB   

 =1

2\78!=39!

따라서 Cx+Cy+39!=90!이므로  Cx+Cy=51!

11

^Cx=90!+1₂CBAC=90!+24!=114!

12

  오른쪽 그림과 같이 ICZ를 그으면 

D E

70!

A

I

y C y

CICD= 1 xx

2CC= 1

2\70!=35! 

CIAB=CIAE=Cx,  CIBA=CIBD=Cy라 하면

Cx+Cy+35!=90!    / Cx+Cy=55!

sBCE에서 CAEB=Cy+70! 

sADC에서 CADB=Cx+70! 

/ CAEB+CADB ={Cy+70!}+{Cx+70!}   

=Cx+Cy+140!   

=55!+140!=195!

13

¹₂^\5\(sABC의 둘레의 길이)=85 / ( sABC의 둘레의 길이)=34{cm} 

14

^CFZ=CEZ=x cm라 하면

ADZ=AFZ={12-x} cm, BDZ=BEZ={10-x} cm 이때 ADZ+BDZ=ABZ이므로 {12-x}+{10-x}=8 -2x=-14    / x=7   

/ CFZ=7 cm

15

   오른쪽 그림과 같이 IBZ, ICZ를 각각 

7 cm A

I

C

D E

11 cm 9 cm 6 cm

  그으면 점 I는 sABC의 내심이므

로 CDBI=CIBC,  CECI=CICB 이때 DEZ|BCZ이므로

CDIB=CIBC (엇각), CEIC=CICB (엇각)    / CDBI=CDIB, CECI=CEIC

즉, sDBI, sEIC는 각각 이등변삼각형이므로 DIZ=DBZ, EIZ=ECZ

/   ( sABC의 둘레의 길이)   

=ABZ+BCZ+CAZ   

={ADZ+DBZ}+BCZ+{AEZ+ECZ}   

=ADZ+DIZ+BCZ+EIZ+AEZ    

=ADZ+{DIZ+EIZ}+BCZ+AEZ    

=ADZ+DEZ+BCZ+AEZ    

=9+7+11+6=33{cm}

16

^점 O는sABC의 외심이므로 CBOC=2CA=2\74!=148!

점 I는 sABC의 내심이므로 CBIC=90!+ 1

2CA=90!+ 1

2\74!=127!

/ CBOC-CBIC=148!-127!=21!

17

   오른쪽 그림과 같이 OCZ를 그으면  ^A

B C

I 38! O 60!

점 O는 sABC의 외심이므로 CAOC=2CB=2\38!=76!

sAOC에서 OAZ=OCZ이므로 COAC= 12\{180!-76!}=52!

sABC에서 CBAC=180!-{38!+60!}=82!

/ CIAC=1

2CBAC= 12\82!=41!

/ COAI=COAC-CIAC=52!-41!=11!

18

   오른쪽 그림과 같이 sABC의 세 변

B C

E O

A

I

x cm

1 cm 3 cm

F

D y cm

  AB, BC, CA와 내접원 I의 접점을 

각각 D, E, F라 하고,

BCZ=x cm, CAZ=y cm라 하면 BDZ=BEZ={x-1} cm, ADZ=AFZ={y-1} cm

이때 ABZ=2 OBZ=2\3=6{cm}이고,  BDZ+ADZ=ABZ이므로

{x-1}+{y-1}=6    / x+y=8

/ sABC = 12\1\{x+y+6}   

 =1

2\1\14=7{cm@} 

19

^점 O는sABC의 외심이므로

BCZ=2 CDZ=2\5=10{cm}  yy ① sOBC에서 OBZ=OCZ이므로

 OBZ=OCZ= 12\{22-10}=6{cm}  yy ② 따라서 sABC의 외접원의 반지름의 길이는 6 cm이므로 ( sABC의 외접원의 넓이) =p\6@   

=36p{cm@}  yy ③

단계 채점 기준 배점

① BCZ의 길이 구하기 2점

② sABC의 외접원의 반지름의 길이 구하기 2점

③ sABC의 외접원의 넓이 구하기 2점

20

  CBAC`:`CB`:`CACB=3`:`4`:`5이므로

CB=180!\ 412=60!  yy ① / CAOC=2CB=2\60!=120!  yy ② 따라서 sAOC에서 OAZ=OCZ이므로

Cx= 12\{180!-120!}=30!  yy ③

단계 채점 기준 배점

① CB의 크기 구하기 2점

② CAOC의 크기 구하기 2점

③ Cx의 크기 구하기 2점

21

sABC의 내접원 I의 반지름의 길이를 r cm라 하면 1

2\r\{10+8+6}=1

2\8\6이므로   

12r=24    / r=2  yy ① 

/   (색칠한 부분의 넓이) =sABC-(내접원 I의 넓이)   

=24-p\2@   

=24-4p{cm@}  yy ②

단계 채점 기준 배점

① sABC의 내접원의 반지름의 길이 구하기 5점

② 색칠한 부분의 넓이 구하기 3점

22

^CEZ=CFZ=4 cm  yy ①

BDZ=BEZ=6 cm이므로

AFZ=ADZ=ABZ-BDZ=11-6=5{cm}  yy ② / ( sABC의 둘레의 길이) =ABZ+BCZ+CAZ    

=11+{6+4}+{5+4}   

=30{cm}  yy ③

단계 채점 기준 배점

① CEZ의 길이 구하기 2점

② AFZ의 길이 구하기 3점

③ sABC의 둘레의 길이 구하기 3점

즉, sCDF는 CDZ=CFZ인 이등변삼각형이므로  CFZ=CDZ=ABZ=9`cm

/ EFZ=CFZ-CEZ=9-5=4{cm}

 

BCZ=BEZ+CFZ-EFZ이므로 14=9+9-EFZ    / EFZ=4{cm}

8

sABE와 sFCE에서 

CABE=CFCE (엇각), BEZ=CEZ,  CAEB=CFEC (맞꼭지각)이므로  sABE≡sFCE (ASA 합동)   / CFZ=BAZ=8 cm

이때 DCZ=ABZ=8 cm이므로 DFZ=DCZ+CFZ=8+8=16{cm}

9

  CA+CD=180!이고, CA`:`CD=4`:`1이므로 CD=180!\ 15=36! / CB=CD=36!

10

  CC+CD=180!이므로 CD=180!-110!=70!

따라서 sAED에서 Cx=180!-{35!+70!}=75!

11

  CD=CB=80!이므로 sACD에서 CDAC=180!-{80!+50!}=50!

이때 CAEC=CDAE (엇각)이고,  AEZ는 CDAC의 이등분선이므로

CAEB=CDAE= 12CDAC= 12\50!=25!

12

  CB+CC=180!이고, CB`:`CC=2`:`3이므로 CBAD=CC=180!\ 35=108!

/ CDAP=CBAP=1

2CBAD= 12\108!=54!

이때 ADZ|BCZ이므로 CAPB=CDAP=54! (엇각)

/ CAPC=180!-CAPB=180!-54!=126!

13

  CADC=CB=58!이므로 

CADF= 12CADC= 12\58!=29!

sAFD에서 CDAF=180!-{90!+29!}=61!

이때 CBAD+CB=180!이므로  CBAD=180!-58!=122!

/ CBAF =CBAD-CDAF=122!-61!=61!

14

  CAEB=180!-130!=50!이므로  CFAE=CAEB=50! (엇각) / CFAB=2CFAE=2\50!=100!

이때 CABE=180!-100!=80!이므로  CABF= 12CABE= 12\80!=40! 

따라서 sABF에서 Cx=100!+40!=140!

다른 풀이

1

^ABZ|DCZ이므로 CACD=CBAC=64! (엇각)  ADZ|BCZ이므로 CDBC=CADB=28! (엇각) sBCD에서 28!+{Cx+64!}+Cy=180!

/ Cx+Cy=88!

2

^{④ ㈑ ASA}

3

  CB=CD=180!-{53!+60!}=67!

4

^OCZ= 12  ACZ= 12\18=9이므로 2x+1=9, 2x=8    / x=4 ABZ=DCZ이므로 2y=y+5    / y=5 / x+y=4+5=9

5

  ①,  ③ 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하 므로 OAZ=OCZ, OBZ=ODZ

②   평행사변형에서 두 쌍의 대변의 길이는 각각 같으므로     ABZ=CDZ

④   평행사변형에서 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같으므로     CABC=CADC

⑤   sOAB와 sOCD에서   

OAZ=OCZ, CAOB=CCOD (맞꼭지각),    

OBZ=ODZ이므로    

sOAB+sOCD (SAS 합동) 따라서 옳지 않은 것은 ③이다.

6

^ABZ|ECZ이므로 CBEC=CABE (엇각) / CBEC=CEBC

즉, sCEB는 CBZ=CEZ인 이등변삼각형이므로 CEZ=CBZ=13 cm

이때 CDZ=ABZ=8 cm이므로 DEZ=CEZ-CDZ=13-8=5{cm}

7

  ADZ|BCZ이므로 CAEB=CDAE (엇각) / CBAE=CBEA

즉, sBEA는 BAZ=BEZ인 이등변삼각형이므로  BEZ=BAZ=9 cm

/ CEZ=BCZ-BEZ=ADZ-BEZ=14-9=5{cm}

ADZ|BCZ이므로 CCFD=CADF (엇각) / CCDF=CCFD

3 ^{평행사변형}

필수 기출

50~54쪽

15

^OAZ=OCZ, OBZ=ODZ이므로 

 OBZ+OCZ = 12  BDZ+ 12  ACZ= 12{BDZ+ACZ}   

 =1

2\28=14{cm}

/ {sOBC의 둘레의 길이) =OBZ+BCZ+OCZ   

={OBZ+OCZ}+BCZ   

=14+10=24{cm}

16

  ①,  ②, ④ sAPO와 sCQO에서    CPAO=CQCO (엇각), OAZ=OCZ,   

CAOP=CCOQ (맞꼭지각)이므로   

sAPO+sCQO ( ASA 합동)   

/ APZ=CQZ, OPZ=OQZ

③   ABZ=DCZ이므로    

BPZ=ABZ-APZ=DCZ-CQZ=DQZ 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

17

  ① ㈎ CCAD 

18

fABCD가 평행사변형이 되려면

ADZ=BCZ이어야 하므로 6x-1=3x+8     3x=9    / x=3 

CA+CB=180!이어야 하므로  CB=180!-110!=70!    / y=70 / x+y=3+70=73

19

  ①   CA=CC, 즉 대각의 크기가 같지 않으므로 평행사변형 이 아니다.

②   BCZ=ADZ, 즉 대변의 길이가 같지 않으므로 평행사변형 이 아니다.

③   ABZ=DCZ 또는 ADZ|BCZ인지 알 수 없으므로 평행사변 형이라 할 수 없다.

④   두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형이다.

⑤   CDBC=CADB이므로 ADZ|BCZ   

즉, 한 쌍의 대변이 평행하고, 다른 한 쌍의 대변의 길이 가 같으므로 평행사변형이라 할 수 없다.

따라서 평행사변형인 것은 ④이다.

20

  ㄱ.   오른쪽 그림의 fABCD는  

C B A

D   ABZ|DCZ, ADZ=BCZ이지만    

평행사변형이 아니다.

ㄴ.   오른쪽 그림과 같이   A D

C O

  COAB=COCD,  

COAD=COCB이면 엇각의 크

기가 각각 같으므로 ABZ|DCZ, ADZ|BCZ    즉, 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 fABCD는 평행 사변형이다.

ㄷ. 오른쪽 그림의 fABCD는 

C B A

D  CA=CB, CC=CD이지만    

평행사변형이 아니다.

ㄹ.   오른쪽 그림과 같이 ACZ=BDZ,  

C O A

D

  ACZ\BDZ이지만 OAZ=OCZ, OBZ=ODZ

일 수도 있다.   

즉, 평행사변형이 아니다.

ㅁ. 오른쪽 그림과 같이 CA=CC이 A D

C

고, ABZ|DCZ이므로     CA+CD=180!,   

CB+CC=180!에서 CD=CB   

즉, 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행사변형이다.

따라서 평행사변형이 되는 것은 ㄴ, ㅁ이다.

21

fABCD가 평행사변형이므로 MDZ|BNZ,  MDZ= 12  ADZ= 12  BCZ=BNZ

즉, 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로  fMBND는 평행사변형이다.

따라서 가장 알맞은 것은 ⑤이다.

22

  ADZ|BCZ이므로 AFZ|ECZ y ㉠

CAEB=CFAE (엇각)이고, CBAE=CFAE이므로 CAEB=CBAE

즉, sBEA는 BEZ=BAZ인 이등변삼각형이므로 BEZ=ABZ=14 cm

같은 방법으로 하면 

sDFC는 DFZ=DCZ인 이등변삼각형이므로 DFZ=DCZ=ABZ=14 cm

/ AFZ=ECZ=20-14=6{cm} y ㉡

㉠, ㉡에 의해 fAECF는 평행사변형이다.

따라서 fAECF의 둘레의 길이는 2\{6+15}=42{cm}

23

fABCD가 평행사변형이므로 

OAZ=OCZ, OBZ=ODZ y ㉠ 이때 BEZ=DFZ이므로 

OEZ=OBZ-BEZ=ODZ-DFZ=OFZ y ㉡

㉠, ㉡에 의해 fAECF는 평행사변형이다.

sAEC에서 CAEC=180!-{30!+25!}=125!

/ CAFC=CAEC=125!

24

sABO=sBCO=sOCD=sDAO= 14 fABCD / fABCD=4sOCD=4\12=48{cm@}

25

sOPA와 sOQC에서

CPAO=CQCO (엇각), OAZ=OCZ,  CAOP=CCOQ (맞꼭지각)이므로 sOPA+sOQC (ASA 합동) 따라서 sOPA=sOQC이므로

fABCD =4sOBC=4{sOBQ+sOQC}   

=4{sOBQ+sOPA}   

=4\8=32

26

sPAB+sPCD=sPDA+sPBC이므로 10+19=sPDA+16   

/ sPDA=13{cm@}

1

^ADZ=BCZ이므로 x+6=7    / x=1  BOZ= 12  BDZ= 12\12=6{cm}이므로 2y+2=6, 2y=4    / y=2

CC+CD=180!이므로 CD=180!-105!=75!

/ z=75

/ x+y+z=1+2+75=78

2

  ABZ∥DEZ이므로 CDEA=CBAE (엇각) / CDEA=CDAE

즉, sDAE는 DAZ=DEZ인 이등변삼각형이므로  DEZ=DAZ=12 cm

이때 DCZ=ABZ=9 cm이므로  CEZ=DEZ-DCZ=12-9=3{cm}

3

^ADZ|BCZ이므로 CAEB=CDAE (엇각) / CBAE=CBEA

즉, sBEA는 BAZ=BEZ인 이등변삼각형이므로  BEZ=BAZ=18 cm

/ CEZ=BCZ-BEZ=ADZ-BEZ=24-18=6{cm}

ADZ|BCZ이므로 CCFD=CADF (엇각) / CCDF=CCFD

즉, sCDF는 CDZ=CFZ인 이등변삼각형이므로 CFZ=CDZ=ABZ=18 cm

/ EFZ=CFZ-CEZ=18-6=12{cm}

4

  CC+CD=180!이고, CC`:`CD=2`:`1이므로 CD=180!\ 13=60!

이때 ABZ∥DCZ이므로 Cx=CD=60! (엇각)

5

  CABC=CD=64!이므로  CEBC= 12CABC= 12\64!=32!

sBCF에서 CBCF=180!-{90!+32!}=58! 

이때 CBCD+CD=180!이므로 CBCD=180!-64!=116! 

/ CDCF=CBCD-CBCF=116!-58!=58!

6

  CAFB=180!-150!=30!이므로  CFBE=CAFB=30! (엇각) / CABE=2CFBE=2\30!=60!

이때 CFAB=180!-60!=120!이므로  CBAE= 12CFAB= 12\120!=60!

따라서 sABE에서 Cx=60!+60!=120! 

55쪽

Best

쌍둥이

1

^-1

B C

D P

E M

A 38!

위의 그림과 같이 ADZ의 연장선과 BMZ의 연장선의 교점을  P라 하자.

 sMBC와 sMPD에서  CBMC=CPMD (맞꼭지각), 

MCZ=MDZ, CMCB=CMDP (엇각)이므로  sMBC+sMPD (ASA 합동)

/ PDZ=BCZ=ADZ

이때 sAEP는 CAEP=90!인 직각삼각형이고, 점 D가   빗변 AP의 중점이므로 점 D는 sAEP의 외심이다. 

/ DAZ=DEZ=DPZ

따라서 sDEP는 DEZ=DPZ인 이등변삼각형이므로 CDEP=CDPE= 12\38!=19!

/ CMBC=CMPD=19!

1

^-2

B C

P D

M

E A

54!

위의 그림과 같이 DAZ의 연장선과 CMZ의 연장선의 교점을  P라 하자. 

sMBC와 sMAP에서  CBMC=CAMP (맞꼭지각),

BMZ=AMZ, CCBM=CPAM (엇각)이므로 sMBC+sMAP (ASA 합동)

/` PAZ=BCZ=ADZ

100점 완성

56~57^쪽

7

  ① 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형이다.

③ 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행사변형이다.

④   두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형이다.

⑤   엇각의 크기가 같으므로 두 쌍의 대변이 각각 평행하다. 

즉, 평행사변형이다.

따라서 평행사변형이 아닌 것은 ②이다.

8

sPAB+sPCD=sPDA+sPBC이므로 sPAB+10=16+14    / sPAB=20{cm@}

이때 sPED는 CPED=90!인 직각삼각형이고, 점 A가    빗변 PD의 중점이므로 점 A는 sPED의 외심이다.

/ APZ=AEZ=ADZ

따라서 sAPE는 APZ=AEZ인 이등변삼각형이므로  CAPE=CAEP= 1

2\54!=27!

/ CMCB=CMPA=27!

2

-1    점 Q가 점 C를 출발하여 AQZ|PCZ가 될 때까지 걸린 시간 을 x초라 하면

APZ=2\{x+5}=2x+10{cm}

CQZ=3\x=3x{cm}

이때 APZ|QCZ이므로 AQZ|PCZ가 되려면 fAPCQ는 평 행사변형이어야 한다. 즉, APZ=QCZ이어야 하므로 2x+10=3x    / x=10

따라서 AQZ|PCZ가 되는 것은 점 Q가 점 C를 출발한 지     10초 후이다.

2

-2    점 Q가 점 C를 출발하여 AQZ|PCZ가 될 때까지 걸린 시간 을 x초라 하면

APZ=1\{x+12}=x+12{cm}

CQZ=4\x=4x{cm}

이때 APZ|QCZ이므로 AQZ|PCZ가 되려면 fAPCQ는 평 행사변형이어야 한다. 즉, APZ=QCZ이어야 하므로 x+12=4x, 3x=12    / x=4

따라서 AQZ|PCZ가 되는 것은 점 Q가 점 C를 출발한 지     4초 후이다.

3

-1    오른쪽 그림과 같이 AEZ, ODZ를 각각 

A cm

9 cm E

D F

C O B

  그으면 AOZ|EDZ이고, 

AOZ=OCZ=EDZ이므로 fAODE는 평행사변형이다.

/ AFZ=DFZ, OFZ=EFZ

 AFZ= 12  ADZ= 12  BCZ= 12\9=9 2{cm}

 OFZ= 12  EOZ= 12  DCZ= 12  ABZ= 12\6=3{cm}

/ AFZ+OFZ= 92  +3=15 2 {cm} 

3

-2    오른쪽 그림과 같이 AEZ, ODZ를 각각 

A

8 cm E

F D

C O

B 2 cm

그으면 AOZ|EDZ이고, `    AOZ=OCZ=EDZ이므로

fAODE는 평행사변형이다. 

/ AFZ=DFZ, OFZ=EFZ 

 AFZ = 12  ADZ= 12  BCZ     =1

2\8=4{cm}

 OFZ = 12  EOZ= 12  DCZ= 12  ABZ= 12\12=6{cm} 

/ AFZ+OFZ=4+6=10{cm}

4

-1    오른쪽 그림과 같이 ABZ와 평행하고, A D

P C B

E

64!

32!

  점 P를 지나는 직선이 ADZ와 만나는 

점을 E라 하자. 

DCZ|EPZ이므로 

CEPD=CCDP=32! (엇각)

/ CAPE=CAPD-CEPD=64!-32!=32! 

또 ABZ|EPZ이므로 

CBAP=CAPE=32! (엇각) 이때 CDAP`:`CBAP=5`:`4이므로 CDAP`:`32!=5`:`4, 4CDAP=160!   

/ CDAP=40! 

/ CDAB=CDAP+CBAP=40!+32!=72! 

따라서 CDAB+CB=180!이므로 CB=180!-72!=108!

4

-2    오른쪽 그림과 같이 ADZ와 평행하  A D

C 28!

P56!

E

고, 점 P를 지나는 직선이 ABZ와 만 나는 점을 E라 하자.

ADZ|EPZ이므로

CAPE=CDAP=28! (엇각)

/ CEPB=CAPB-CAPE=56!-28!=28!

또 EPZ|BCZ이므로 

CCBP=CEPB=28! (엇각) 이때 CABP`:`CCBP=3`:`2이므로 CABP`:`28!=3`:`2, 2CABP=84!

/ CABP=42!

/ CABC=CABP+CCBP=42!+28!=70!

따라서 CABC+CC=180!이므로 CC=180!-70!=110!

5

-1   ①,  ② sABC와 sDBE에서   

ABZ=DBZ, BCZ=BEZ,    

CABC=60!-CEBA=CDBE이므로     sABC+sDBE (SAS 합동)        / ACZ=DEZ`

③   sABC와 sFEC에서    

ACZ=FCZ, BCZ=ECZ,    

CACB=60!-CECA=CFCE이므로    

sABC+sFEC (SAS 합동)   

/ sDBE+sFEC

④   DAZ=DBZ=EFZ, DEZ=FCZ=AFZ이므로   fDAFE는 평행사변형이다.

⑤   CDEF+CABE+CACE   

={CDEB+60!+CCEF}+CABE+CACE   

={CACB+60!+CABC}+CABE+CACE 

={CACB+CACE}+{CABC+CABE}+60!   

=CECB+CEBC+60!   

=60!+60!+60!   

=180!

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.