서울대 2006학년도 정시 모집 구술고사 문제(자연계열)
- 수학 -
[문제1]
다음과 같이 주어진 함수 f : R → R에 대하여 아래 물음에 답하시오. (단, m과 n은 자연 수이다.)
f (x) = ⎧⎪⎪⎨
⎪⎩
xm sin 1
xn (x≠0 ), 0 (x = 0 )
1-1. f(0 )이 존재하고 x = 0에서 도함수 f가 연속이 되기 위한 m과 n에 관한 조건을 구하시오.
[풀이]
(ⅰ) f '( 0) 이 존재하기 위해서는 lim
h→0
f ( 0 + h) - f ( 0) h = lim
h→0
f ( h)
h (∵f ( 0) = 0)
= lim
h→0
hmsin 1 hn h = lim
h→0hm - 1sin 1 hn 이 존재하여야 한다.
여기서, m≧2 일 때, f '( 0) = 0으로 존재한다.
(∵
|
sin h1n|
≦1 이므로 - hm - 1≦ hm - 1sin h1n ≦hm - 1, limh→0hm - 1sin h1n = 0 )∴ m≧2
(ⅱ) x = 0에서 f '( x)가 연속이 되기 위해서는 f '( x) =mxm - 1sin 1
xn + xmcos 1
xn ․(- nx- n - 1) = mxm - 1sin 1
xn - n xm - n - 1cos 1 xn lim
x→0f '( x) = f '( 0) 이어야 한다.
여기서, m - n - 1≧1 일 때, lim
x→0f '( x) = f '( 0) 이다.
∴ m≧n + 2 (ⅰ), (ⅱ) 에 의하여 ∴ m≧n + 2 [답] m≧n + 2
1-2. n = 1임을 가정하자. 이때, 함수 f의 k계도함수 f(k )(x )에 대하여 lim
x →0
f(k )(x ) = 0이 되는 k의 범위를 구하시오.
[풀이]
n = 1 일 때, f ( x) = xmsin 1
x 에서 f '( x) = mxm - 1sin 1
x - xm - 2cos 1 x f ''( x) = m( m - 1)xm - 2sin 1
x - 2( m - 1)xm - 3cos 1
x - xm - 4sin 1 x f ( 3 )(x) = m( m - 1)( m -2)xm - 3sin 1
x + … - xm - 6cos 1 x …
k가 홀수이면 f ( k )(x) = m( m - 1)( m -2)… ( m - k + 1)xm - ksin 1
x + … - xm - 2kcos 1 x k가 짝수이면 f ( k )(x) = m( m - 1)( m -2)…( m - k + 1)xm - ksin 1
x + … - xm - 2ksin 1 x (중간에 생략된 항은 xm - k 와 xm - 2k 사이의 차수와 sin 1
x 또는 cos 1
x 의 곱이다.) 따라서, lim
x→0f( k )(x) = 0 이 성립하기 위해서는
m - 2k≧1 이어야 한다.
∴ k≦ m - 1 2 [답] k≦ m - 1
2
[문제 2]
다음 그림과 같이 평면 위에 중심이 원점이고 반지름이 1인 고정된 원 T와 T의 안쪽으 로 내접해서 구르는 중심이 C (3
4, 0 )이고 반지름이 1
4 인 원 S가 있다. 이때, 구르는 원 S 위의 한 점 P가 그리는 곡선의 자취에 대하여 다음 물음에 답하시오. 단, 점 P의 처음 출 발 위치는 (1, 0 )이다.
2-1. 양의 x−축과 중심선이 이루는 각을 θ라 할 때, 점 P의 자취를 θ에 관한 함수
P (θ )로 나타내면, 다음과 같음을 보이시오.
(중심선이란 원점과 구르는 원 S의 중심을 잇는 선을 의미한다.)
P (θ ) = (cos3θ, sin3θ )
[증명]
양의 x축과 중심선이 이루는 각이 θ일 때, 원 S의 중심은
(
34 cos θ,34 sin θ)
이다.이 때, 점 P의 좌표를 ( x, y)라 하면 오른쪽 그림에서 열호 ⁀ = θPQ 이므로 1
4 ∠PCQ = θ
∴ ∠PCQ = 4 θ
∴ ∠PCR = 3θ - π 2 x = 3
4 cos θ - 1
4 sin
(
3θ - π2)
= 3
4 cos θ + 1
4 cos 3θ
= cos3θ y = 3
4 sin θ - 1
4 cos
(
3θ - π2)
= 3
4 sin θ - 1 4 sin 3θ
= sin3θ 따라서,
P(θ) =( cos3θ, sin3θ) 이다. [증명끝]
O x
y
P C
θ
θ Q
R 3θ -π
2
2-2. 0 ≤ θ ≤ π일 때, 점 P의 자취로 이루어진 곡선의 개형을 그리시오.
[풀이]
원 S의 원주의 길이가 π
2 이므로 점 P는 π
2 를 주기로 원 T 위의 점이 된다.
따라서, 아래 그림과 같이 0≦θ≦π 일 때, y축 대칭인 곡선을 그린다.
[답] 그림참조
2-3. 0 ≤ θ ≤ π일 때, 점 P의 자취로 이루어진 곡선의 길이를 구하시오.
[풀이]
0≦θ≦π 일 때, x = cos3θ, y = sin3θ 의 곡선의 길이 l은 l = ⌠⌡
π
0
(
dθdx)
2+(
dydθ)
2dθ= 2 ⌠⌡
π 2
0
(
dxdθ)
2+(
dθdy)
2dθ= 2 ⌠⌡
π 2
0 (3 sin θ cos θ)2dθ (∵ dx
dθ = 3 cos2θ․ ( - sin θ), dy
dθ = 3 sin2θ․ cos θ )
= 2 ⌠⌡
π 2
0 3 sin θ cos θ dθ
= 3 ⌠⌡
π 2
0 sin 2θ dθ
O x
y
= 3
[
- 12 cos 2θ]
π 2
0
= 3 [답] 3
2-4. 0 ≤ θ ≤ π일 때, 점 P의 자취로 이루어진 곡선을 x−축으로 회전시켜서 얻은 회 전체의 체적을 구하시오. (단, 1− 9
5 + 9
7 − 1
3 = 16
105이다.)
[풀이]
x = cos3θ, y = sin3θ 에서 x
2
3 = cos2θ, y
2
3 = sin2θ 이므로
x
2 3 + y
2
3 = 1 (∵ cos2θ + sin2θ = 1)
y
2
3 = 1 - x
2 3
y2= ( 1 - x
2 3 )3
∴ y2= 1 -3x
2 3 + 3x
4 3 - x2 구하는 회전체의 부피 V는
V =π ⌠⌡
1 - 1y2dx = 2π ⌠⌡
1
0 y2dx = 2π ⌠⌡
1 0(1 - 3x
2 3 + 3x
4
3 - x2)dx
= 2π
[
x - 95 x 35+ 97 x 73 - 13 x3]
10= 2π
(
1 -95 + 9 7- 13
)
= 2π × 16
105 (∵1 -9 5 + 9
7 - 1 3 = 16
105 ) = 32
105 π [답] 32
105 π
- 물리-
그림과 같이 전하량 q (> 0 )가 대전되어 있는 질량이 m인 단진자가 길이가 l인 줄에 매 달려 있다. 진폭이 길이 l에 비하여 아주 작다고 가정하고, 단진자의 초기 위치는 위에서 내려다 본 xy 평면상에서 (−x0, 0 )이라고 하자.
1. 이 단진자의 주기는 얼마인가?
(해설)
단진자의 주기는 T = 2π l
g 이다.
2. + z 방향으로 크기가 E인 작은 전기장을 걸었을 때 주기를 구하라.
(해설)
+z방향으로 전기력을 받아서 물체에 작용하는 중력과 전기력의 합력이 mg-qE로 감소하 므로 주기는 T' = 2π l
g - qE m
로 길어진다.
3. + y방향으로 크기가 E인 작은 전기장을 걸었을 때, 단진자의 평형점이 어디로 옮겨가 는지를 설명하라.
(해설)
+y방향으로 qE의 전기력을 받으므로 평형점은 그림에서와 같이 +y축 방향으로 Δy = l sin θ≒l tan θ = l qE
mg 만큼 이동한다.
4. 3번 문제의 경우 주기가 어떻게 바뀌는지 구해 보라.
(해설)
+y방향의 힘은 x축 상의 운동에 영향을 주지 않으므로 물체는 주기 변화없이 계속 단진 동한다.
5. x방향으로 주파수가 fd인 작은 교류 전기장을 걸었을 때, 주파수 fd에 따라 단진자의 진폭이 어떻게 바뀌게 되는지 설명하여 보아라.
(해설)
단진자의 진동수와 교류 전기장의 주파수가 같고, 진자가 출발할 때 (- x0 , 0)에서 평 형점으로 운동할 때 교류 전기장의 방향이 +x방향이라면 진자의 운동 방향과 전기력의 방 향이 계속 일치하여 진자의 진폭이 계속 증가한다. 그러나 단진자의 진동수와 교류 전기장 의 주파수가 같지만 교류 전기장의 방향과 진자의 운동 방향이 반대일 때는 진폭이 급속히 감소한다.
진자의 진동수와 교류 주파수가 일치하지 않을 때는 진자의 운동 방향과 전기장에 의한 힘의 방향이 불규칙적으로 변해 진자의 운동과 진폭이 불규칙적으로 변한다.
6. + y방향으로 크기가 B인 작은 자기장을 걸게 되면 단진자의 운동을 어떻게 바뀌는가?
(해설)
+y방향으로 자기장 B를 걸어주면 진자가 오른쪽(+x방향)으로 운동할 때는 자기력이 위 쪽(+z방향)으로 작용하여 g가 작아지는 효과가 나타나므로 주기가 길어지는 운동을 하지만, 왼쪽(-x방향)으로 운동할 때는 자기력이 아래쪽(-z방향)으로 작용하여 g가 커지는 효과가 나타나므로 주기가 짧아지는 운동을 한다. 그러나 자기력의 방향이 물체의 운동 방향과 수 직이므로 진폭의 변화는 없다.
또한 자기력이 진자의 속력에 비례하므로 왕복 운동의 모습은 일반적인 단진동과는 다르 게 나타난다.
7. + z방향으로 크기가 B인 작은 자기장을 걸게 되면 단진자의 운동이 어떻게 바뀌게 되 는지 xy평면에서 기술해 보아라.
(해설)
+z방향으로 자기장 B를 걸어주면 진자가 오른쪽(+x방향)으로 운동할 때는 자기력이 -y 방향으로 작용하고 힘의 크기가 속력에 비례하므로 -y방향으로 휘어지는 곡선 운동을 하여 정지한다. 정지 상태에서 반대 방향으로 운동할 때는 자기력이 +y방향으로 작용하여 +y방 향으로 휘어지는 운동을 하게 된다. 따라서 진자는 xy평면에서 왕복하면서 위에서 내려다 볼 때(-z방향) 그림과 같이 시계 방향으로 회전하는 운동을 한다.
- 화학 -
보일의 법칙으로 유명한 보일(1627~1691)은 자신이 만든 진공 펌프를 사용해 공기에 관 한 여러 가지 실험을 하였다. 다음은 보일의 진공 실험 후 보일의 동료 중 한 사람이 쓴 시 다. 이 시를 읽고 공기의 성질과 그 이용에 관한 아래 질문에 답해 보라.
죽은 덴마크 관리가 보여 주었다네 공기가 없는 곳에는 생명도 없다고.
고양이가 죽은 채 놓여 있는 유리는 이 비밀을 알게 해 준다네.
유리 밖으로 공기를 쥐어짜듯 빼내자 야옹이는 죽고 결코 야옹거리지 않네.
정확히 같은 유리가 마찬가지로
보다 심오한 또 다른 비밀을 분명하게 알려주네.
공기가 희박하게라도 남아 있으면 소리의 매체가 될 수 있지만
공기가 전혀 없는 유리관 속에서 치는
괘종소리는 당신 귀에는 들리지 않는다는 것을.
『출처: 존 그리빈, 사람이 알아야 할 모든 것 과학, 들녘, 2004(강윤재, 김옥진 역)』
1. 보일이 보일의 법칙을 발견한지 백년이 더 지난 18세기 말 게이 뤼삭은 0℃에서 100℃
로 온도를 상승시키자 공기, 수소, 산소, 질소 등 기체의 종류에 상관없이 부피가 모두 37.5% 증가함을 관찰하였다. 그의 실험 결과로부터 절대온도를 구해보고 오늘날 우리가 사 용하는 값과 비교해 보라.
(해설)
(1) 0℃에서 기체의 부피가 V0이면, 100℃에서 기체의 부피는 1.375V0이다.
온도가 0℃→100℃로 상승할 때 부피는 V0 →1.375V0 만큼 증가한 것이므로 기체의 부피는 온도 1℃ 상승할 때마다 0.375
100 만큼씩 증가한 것이 된다.
따라서, t℃일 때의 부피를 Vt라고 하면 부피(Vt)와 온도(t)의 관계식은 Vt= 0.375
100 V0t + V0이다.
절대 영도에서는 기체의 부피가 0이므로,
기체의 부피가 0일 때의 온도를 위 식에 대입하여 계산하면 0 = 0.375
100 V0t + V0, 절대 영도(t) = -266.67℃가 된다.
그러므로 절대 온도(K)는 K = t(℃) + 266.67 이다.
(2) 현재 사용되고 있는 절대 온도는 K = t(℃) + 273.2℃이다.
실험에 의한 절대 영도가 실제보다 약간 높게 계산되어 절대 온도가 달라진다.
2. 1837년경 독일의 마그누스는 정밀한 측정을 통해 기체가 0℃에서 100℃의 온도 상승 에 대해 게이 뤼삭의 실험 결과와 달리 아래와 같이 기체의 종류에 따라 그 부피 변화가 다 르게 나타남을 알았다. 이 값들로부터 절대온도를 어떻게 구하는 것이 타당한지 설명해 보 라.
공기: 36.608%, 이산화탄소 : 36.909%, 수소: 36.566%, 이산화황: 38.562%
(해설)
각 기체를 실험하여 얻은 결과를 평균하여 절대 온도를 구한다.
기체 공기 이산화탄소 수소 이산화황
0℃→100℃의 온도 상승시
기체의 부피 변화(%) 36.608 36.909 36.566 38.562 절대 영도 측정값(℃) -273.16 -270.94 -273.48 -259.32
평균값(℃) -269.23
따라서, 절대 온도(K) = 섭씨 온도(℃) + 269.23이 된다.
- 생물-
생물은 살아가는 데 필요한 에너지를 유기물의 분해를 통하여 공급받는다. 식물은 빛에너 지를 이용하여 스스로 유기물을 생산하고, 동물은 유기물을 섭취하여 이용한다. 대부분의
생물은 이러한 육시물이 세포 호흡을 통하여 산화∙분해될 때 나오는 에너지를 생명유지와 활동에너지로 사용한다. 세포 내에서 일어나는 세포호흡(유기호흡)은 해당과정, TCA회로, 전자전달계의 3단계로 진행되는데, 해당과정은 세포질에서, TCA회로와 전자전달계 과정은 미토콘드리아에서 진행된다.
1. 생물의 에너지원으로 사용될 수 있는 유기 물질들은 무엇인가?
3대 영양소인 탄수화물, 지방, 단백질이 있다.
(해설)
생물은 에너지원을 얻기 위해 음식물을 섭취하게 되는데, 이렇게 음식을 통해 체내에 들어온 영양소들은 다양한 경로 를 거쳐 산화된다.
녹말과 같은 다당류나 설탕과 같은 이 당류는 소화 기관의 효소에 의해서 포 도당으로 분해된 다음 해당 과정과 TCA 회로를 통해서 완전히 산화된다.
단백질은 소화 기관에서 아미노산으로 가수 분해된 다음 흡수된다. 세포는 대부분의 아미노산을 단백질 합성에 사용하지만 과도한 아미노산은 저장이 되지 않기 때문에 일 부 아미노산은 연료 물질로 사용한다. 먼저, 아미노산은 탈아미노 반응을 통해서 아미 노기가 제거된 다음 피루브산이나 아세틸-CoA, 혹은 α-케토글루타르알데히드와 같 은 TCA 회로 구성 성분의 하나로 세포 호흡 경로에 투입된다. 아미노산에서 제거된 아미노기는 암모니아로 전환된다. 암모니아는 간에서 요소로 전환되어 오줌과 함께 배 출된다.
지방은 에너지가 풍부한 많은 수소 원자를 갖고 있기 때문에 좋은 연료 물질이다. 지 방은 먼저 글리세롤과 지방산으로 분해된다. 그런 다음 글리세롤은 해당 과정의 중간 산물인 글리세르알데히드-3-인산(G3P)으로 전환되어 해당 과정으로 들어간다. 그리 고 지방산은 미토콘드리아 속에서 β산화 과정을 통해서 아세틸-CoA로 분해되어 TCA 회로 속으로 들어간다. 지방산이 β 산화될 때 2개의 탄소 원자가 아세틸-CoA 로 떨어져 나가면서 NADH와 FADH2가 각각 1분자씩 생성된다. 지방산의 일종인 팔미 트산(C16)은 7번의 β 산화 과정을 거치는 동안 8개의 아세틸-CoA로 전환되고, 모두 7NADH와 7FADH2가 만들어진다. 아세틸-CoA는 TCA 회로에 들어가서 CO2로 완전히 산화된다.
2. 세포질에서 일어나는 해당 과정에서 포도당은 피루브산으로 일차 분해된다. 이 과정에 서 에너지(ATP)의 소모와 생산을 정량적으로 설명하라.
포도당 1분자가 해당 과정을 거칠 때 2ATP가 소비되고 4ATP가 생성되므로 전체적으로 2ATP가 생성된다.
(해설)
1분자의 포도당이 2분자의 피루브산으로 분 해되는 과정은 해당 과정이며, 이 과정은 산소의 유무와 관계없이 세포질에서 일어 난다. 해당 과정을 통해 포도당 1분자가 피루브산으로 분해되면서 모두 4분자의 ATP와 2분자의 NADH2가 생산된다. 그러 나 포도당 1분자가 해당 과정으로 들어가 면서 2분자의 ATP를 이용하기 때문에 결 국 해당 과정에서 순수하게 생산되는 것은 2ATP와 2NADH2가 된다.
3. 유기 호흡에 있어 세포질에서 일어나는 해당 과정을 통하지 않고 포도당이 직접 미토 콘드리아에서 일어나는 TCA 회로를 통하여 산화 분해될 수 없는 이유는 무엇인가?
포도당의 형태로는 미토콘드리아의 외막을 통해 확산되어 들어갈 수 없기 때문이다.
(해설)
TCA 회로는 미토콘드리아의 기질에 서 일어나는데, 6탄당인 포도당은 크기가 커서 미토콘드리아의 외막 을 통해 안으로 확산되어 들어갈 수 없다. 따라서 6탄당인 포도당 을 3탄당인 피루브산으로 분해한 다. 이렇게 해당 과정에서 생산된 피루브산은 확산을 통하여 미토콘 드리아의 외막을 통과하여 미토콘 드리아 안으로 들어간다. 미토콘 드리아에서 피루브산은 NAD에 의
하여 산화되며, 탄소 하나가 탄산가스로 떨어져나가고, coenzyme A와 결합되어 아세 틸-CoA로 전환되어 TCA 회로에 들어가게 된다.
4. 포도당이 가지고 있던 탄소는 TCA 회로를 거치면서 이산화탄소(CO2) 형태로 분해되어 방출된다. 이때 미토콘드리아로부터 이산화탄소 배출을 인위적으로 저해한다면 TCA 회로 의 어떤 물질이 축적되겠는가? TCA 회로를 구성하는 물질들을 중심으로 설명하라.
옥살아세트산이 축적된다.
(해설)
해당 과정 결과 생성된 피루브산에서 한 분자의 CO2와 NADH2가 생성되면서 활성아세트 산이 생성된다. 이렇게 생성된 활성아세트산이 옥살아세트산과 반응하여 시트르산이 된다.
TCA 회로의 첫 번째 생성물인 시트 르산에서 한 분자의 CO2와 NADH2가 생성되면서 α-케토글루타르산(C5)이 된다. α-케토글루타르산에서 한 분 자의 CO2와 NADH2가 생성되면서 숙 신산이 된다. 이 과정에서 기질 수준 의 인산화에 의해 한 분자의 ATP가 생성된다. 이렇게 해서 한 분자의 피 루브산은 TCA 회로를 거치면서 분해 되고, 모두 3분자의 CO2가 방출된다.
미토콘드리아로부터 CO2의 배출을 인위적으로 저해한다면, 미토콘드 리아 내의 CO2의 농도가 높아져 TCA 회로가 진행되는 과정에서 CO2가 빠져나오는 반응이 억제될 것이다. 그러므로 피루브산이 활성 아세트산으로 전환되지 못하고 그 결과 TCA 회로에서 옥살아세트산 이 시트르산으로 전환되지 못해 옥 살아세트산이 축적될 것이다.
5. 미토콘드리아 내막에는 전자 전달계 효소와 ATP 합성 효소가 존재하여 전자 전달과 동시에 ATP 합성이 일어난다. 전자 전달 과정을 통하여 ATP가 합성되는 과정을 화학 삼 투설을 근거로 설명하라.
전자 전달계 효소에 의해 고에너지 전자가 전달되는 과정에서 수소 이온의 농도차가 생기 고, ATP 합성 효소는 이 농도차를 이용하여 수소 이온을 통과시키면서 ATP를 합성한다.
(해설)
진핵생물의 미토콘드리아 속에는 NADH2 탈수소 효소, 시토크롬 산화환 원 효소 등 고정된 전자 운반체들과 이 동성의 전자 운반체들이 모여서 전자 전 달계를 형성하고 있다. 전자 전달계에서 는 고에너지의 전자가 NADH2나 FADH2
로부터 나와 전자 전달계를 따라 이동하 면서 자신이 갖고 있던 에너지를 천천히 방출한다.
NADH2와 FADH2에서 방출된 고에너지
전자는 전자 운반체들을 차례로 거쳐 최종적으로 산소까지 전달되는데, 운반체를 거칠 때 마다 에너지를 방출하고 이 에너지는 ATP를 생성하는데 사용된다. 즉 미토콘드리아 내막
에 있는 막 단백질들은 이 에너지를 이용해 수소 이온을 밖으로 퍼내고, 내막은 수소 이 온에 대한 투과성이 없기 때문에 결과적으로 내막을 경계로 한 수소 이온의 농도 차(농도 구배)가 생긴다. 이렇게 기질 바깥에 높은 농도로 존재하는 수소 이온은 다시 기질로 돌 아오려는 힘이 생기고 ATP 합성 효소가 제공하는 통로를 통해 기질로 들어가게 되는데, 이때 ATP 합성 효소가 ADP와 무기인산을 결합시켜 ATP를 합성하게 된다.
6. 일부 미생물은 발효 과정을 통하여 산소가 없는 상태에서도 포도당을 분해하여 에너지 를 얻을 수 있다. 효모, 젖산균(유산균)에 의해 일어나는 발효 과정을 비교 설명하고 실 생활에서 이용한 예를 들어 보라.
효모는 알코올 발효를, 젖산균은 젖산 발효를 한다. 알코올 발효는 빵이나 술을 만드는데 이용되고, 젖산 발효는 김치, 치즈 등을 만드는데 이용된다.
(해설)
효모는 알코올 발효를 하는 대표적인 단세포 생물이다. 알코올 발효에서 피루브산은 두 단계 반응을 거치면서 이산화탄소가 방출되고 에탄올로 전환된다. 해당 과정에서 생성된 피 루브산은 이산화탄소를 방출하고 아세트알데히드가 된다. 아세트알데히드는 NADH2로부터 전자를 받아서 에탄올이 되고, NADH2는 NAD+로 산화되어 해당 과정으로 되돌아간다. 포 도당 1분자가 2분자의 에탄올로 분해되는 과정에서 2ATP가 순수하게 생성된다. 해당 과정 에서 생성된 NADH2는 피루브산이 에탄올로 환원될 때 NAD+로 다시 산화되기 때문에 NAD+와 NADH2의 변동은 없다. 알코올 발효는 포도주, 막걸리, 맥주 등과 같은 술을 만들 때나 빵을 만드는 과정에 이용된다.
젖산 발효에서는 해당 과정에서 생성된 피루브산이 3탄당인 젖산으로 환원된다. 해당 과 정에서 생성된 NADH2는 피루브산을 환원시키고 NAD+로 산화되어 해당 과정에 다시 이 용된다. 따라서 젖산 발효에서도 알코올 발효와 마찬가지로 포도당으로부터 2개의 ATP가 생성되고 NAD+와 NADH2의 변동은 없다. 젖산 발효는 김치, 치즈, 요구르트를 만드는데 이용된다.
- 지구과학 -
[문제 1]
설악산 국립공원은 많은 사람들이 즐겨 찾는 명산이나 그 지질학적 생성 과정에 대해서는 알려진 바라 많지 않다. 등산을 좋아하는 대영이는 대학입학 기념으로 설악산을 등반하며
암석을 관찰하기로 결정하고, 설악동과 비선대를 거쳐 설악산의 최고봉인 대청봉까지 오르 는 등반 코스를 계획하였다. 대영이와 함께 야외 지질조사를 겸한 등반 여행을 떠나 보자.
1-1. 설악동에는 주로 석영과 장석으로 구성된 화강암이 관찰되었다. 또한 판상으로 얇게 쪼개지는 유색광물도 약간 관찰되었다. 햇빛에 반사되어 광택을 잘 보여주는 이 광물은 무 슨 광물일까?
(해설)
화강암은 마그마 분화 작용의 말기에 형성되는 화성암이므로 주로 석영, 장석 등의 무색 광 물로 이루어져 있으며, 약간의 유색 광물이 포함되어 있다. 그 중에서 얇게 판상으로 쪼개 지는 광물은 흑운모이며, 이 광물의 표면을 햇빛에 반사시키면 비금속의 진주 광택이 나타 난다.
1-2. 비선대 쪽으로 가다 보니 개울가로 짙은 회색의 암맥이 나타났다. 이 암맥에서는 장 석이 약 1cm 크기의 반정으로 산출하는 반면, 기질은 세립 광물로 구성되어 있었다. 기질 에서는 석영과 함께 유색광물도 많아 암석이 짙게 보였다.
(1) 설악동 화강암에서 본 판상의 유색 광물과 함께 짙은 녹색의 유색 광물이 기질에서 관찰되었고, 두 방향의 쪼개짐 면을 찾을 수 이썽T다. 이 유색 광물은 어떤 광물일까?
(해설)
암맥의 기질에서 석영과 함께 유색 광물이 많아 암석이 짙게 보였다고 했으므로 이 암석은 산성암인 화강암보다 SiO2 함량이 적음을 짐작할 수 있다. 즉 이 암석은 중성암이며, 중성 암을 이루는 주요 유색 광물은 흑운모, 각섬석 등이다. 각섬석은 짙은 녹색, 갈색, 검은색 등의 색깔로 관찰되며, 흑운모와는 달리 두 방향의 쪼개짐을 보인다. 따라서 이 유색 광물 은 각섬석이다.
(2) 이 암석의 명칭은 무엇인가?
(해설)
암맥이 반정과 세립 광물의 기질로 이루어져 있으므로 반심성암의 조직인 반상 조직이 발달 한다. 즉 이 화성암은 중성암이고, 반심성암이므로 섬록 반암이다.
1-3. 비선대로부터 시작해 천불동계곡의 모든 봉우리들은 분홍색을 띤 화강암으로 구성 되어 있었다. 이 분홍색은 어떤 광물로부터 유래하는가?
(해설)
화강암의 조암 광물로는 석영, 사장석, 흑운모 뿐만 아니라 많은 양의 정장석이 포함되어 있는데, 정장석은 흰색, 분홍색 등의 밝은 색을 띠므로 석영, 사장석 등과 구별된다. 설악 산 봉우리에서 분홍색의 화강암을 관찰하였다면 이는 분홍색의 결정을 이루는 정장석에서 유래한 것이다.
1-4. 천불동계곡의 끝자락은 절벽처럼 가팔라서, 대영이는 한참동안 산을 오른 후에야 겨
우 완만한 능선부에 도착하였다. 잠시 숨을 돌리고 나니, 왜 이렇게 가파른 지형이 만들어 졌을까 하는 의문이 생겼다. 혹시 비가 많이 와서일까 하는데 생각이 미치게 되었다.
(1) 대영이는 왜 다른 지역보다 설악산에 비가 많이 온다고 생각했을까?
(해설)
설악산은 지형상으로 태백 산맥에 속해 있다. 태백 산맥의 동쪽 사면은 북동풍이나 남동풍 의 바람, 서쪽 사면은 북서풍의 바람받이에 해당하므로 산맥을 넘는 공기의 푄현상으로 계 절에 따라 영동 지방이나 영서 지방에 지형성 강수가 잘 나타난다. 설악산의 천불동 계곡 등과 같이 가파른 지형은 이 과정에서 내린 강수가 지표를 따라 흘러 화강암에 생긴 절리를 침식함으로써 형성되었다.
(2) 큰 지각 변동이 없다고 가정할 때, 풍화와 침식 작용에 의해 화강암이 자꾸 깎여나가 게 된다면, 설악산은 어떻게 높은 고도를 유지할 수 있을까?
(해설)
여러 개의 나무 도막을 쌓아 물에 띄운 다음 한 도막씩 차례로 드러내면 나머지 나무 도막 은 점점 위로 떠오르는 것을 볼 수 있다. 지각도 이와 같이 맨틀 위에 떠서 힘의 평형을 이 루는데, 이를 지각 평형설이라고 한다. 따라서 오랜 세월 동안 풍화와 침식 작용으로 화강 암이 깎여 나가면 지각이 평형을 유지하기 위해 융기하므로 높은 고도를 유지할 수 있다.
1-5. 대청봉 쪽으로 올라가다 보니 화강암과는 전혀 다른 암석이 나타났다. 대청봉 암석 들은 5~6cm 크기의 장석을 포함하고 있을뿐더러 기질은 엽리 구조를 보여주었다. 드물게 는 갈색의 석류석이 관찰되었다. 대영이는 이 암석과 홍색 화강암 사이의 경계부를 자세히 관찰한 결과, 부정합이라기보다 관입 관계일 것으로 결론 내렸다. 어떤 관찰로부터 이러한 결론이 가능했을까?
(해설)
대청봉의 암석이 5~6cm 크기의 장석을 포함하고, 기질에 엽리 구조가 나타나며, 변성 광 물인 석류석이 산출되는 것으로 보아 이 암석은 변성암인 편마암이다. 만약 이 지역의 지질 을 편마암과 화강암의 부정합 관계로 판단한다면 화강암이 생성된 후 편마암이 나중에 생성 된 경우이고, 화강암에서는 침식의 흔적이, 편마암 내에서는 기저 역암의 흔적이 관찰될 것 이다. 그러나 광역 변성 작용에 의해 편마암이 생성되는 동안 이보다 먼저 생성된 화강암도 동시에 광역 변성 작용을 받아 화강 편마암으로 변하게 되므로 이 지역에는 화강암이 존재 하지 않게 된다. 현재 이 지역에 화강암이 관찰된다고 하였으므로 두 암석의 관계를 부정합 으로 판단하는 것은 타당하지 않다. 따라서 이 지역의 지질은 화강암이 기반암을 이루는 편 마암을 관입한 것으로 판단해야 한다. 이 경우 경계부의 편마암에서는 불규칙한 모양의 관 입 암맥이 관찰되고, 경계부의 화강암에서는 편마암의 포유물이나 포획물이 관찰되며, 관입 마그마 자체의 급격한 냉각으로 인해 경계부에 있는 화강암은 상대적으로 작은 결정을 이루 게 된다.
[문제 2]
별이 종말에 이르러 폭발할 경우 막대한 에너지를 방출하며 밤하늘에 밝게 나타났다가 점 차 사라진다. ‘아주 밝은 새로운 별’이라는 뜻의 초신성은 이러한 폭발하는 별을 말한다.
개개의 은하마다 평균적으로 약 100년에 하나씩 초신성이 폭발하며, 먼 은하의 초신성도 대 형 망원경을 이용하여 관측이 가능하다. 초신성은 가장 밝았을 때의 절대 등급이 -19.5등 급으로 거의 일정하여, 은하까지의 거리를 구할 수 있는 중요한 천체이다. [그림 1]은 2005 년에 은하 NGC 999에서 관측된 초신성의 밝기 변화를 보여주고 있다.
(1) 은하 NGC 999까지의 거리는 얼마인가?
(해설)
별까지의 거리(r)는 겉보기 등급(m)과 절대 등급(M)을 알면 거리 지수를 통해 구할 수 있 다. 은하 NGC 999에서 관측된 초신성이 가장 밝았을 때의 겉보기 등급이 15.5등급이고, 절대 등급이 -19.5등급이므로 m - M =- 5 + 5 log r에서 r = 10 8pc이다. 즉 초신성이 관 측된 은하 NGC 999까지의 거리는 100Mpc이다.
(2) 초신성이 가장 밝았을 때의 밝기는 은하 NGC 999 전체의 밝기에 비하여 어떠한가?
단, 은하 NGC 999에는 100억 개의 별이 있으며, 모든 별은 태양과 유사한 별로서 절대 등 급은 5.5 등급으로 동일하다고 가정한다.
(해설)
은하 NGC 999에 절대 등급이 5.5등급으로 모두 같은 100억 개의 별이 있다고 했으므로 은 하 NGC 999의 광도는 별 하나의 광도보다 100억 배 크다. 별 하나의 절대 등급과 광도를 각각 M S, L S, 은하 NGC 999의 절대 등급과 광도를 각각 M G, L G라고 하면, 포그슨 의 공식에서 MG- MS=- 5
2 log L G LS 이고,
L G
L S = 10 10이므로 M G=- 19.5이다. 즉 초신성이 가장 밝았을 때의 밝기와 은하 NGC 999의 밝기는 같다.
(3) [그림 2]는 여러 은하들에서 관측된 초신성들에 대하여, 그들의 밝기가 최대일 때의 겉보기 등급 m과 초신성이 속한 은하들의 적색편이 z = (λ−λ0) │ λ0와의 관계를 보여준 다. 식의 λ는 관측된 흡수선의 파장을, λ0는 실험실에서 측정한 그 흡수선의 원래 파장을
나타낸다. 허블의 법칙으로부터 m과 z사이에는 [그림 2]와 같은 관계가 있음을 보여라. [그 림 2]로부터 허블 상수 H의 대략적인 값을 구한다면 얼마인가?
(해설)
별의 후퇴 속도를 V라고 할 때 별빛의 도플러 효과에 의한 적색 편이(z)는 V = cz (c : 빛 의 속도)이므로 이 값에 허블의 법칙을 적용하면 V = cz = Hr (H: 허블 상수), 즉
r = cz
H 이다. 또한 초신성의 밝기가 최대일 때의 겉보기 등급을 m, 절대 등급을 M, 초신 성이 속한 은하까지의 거리를 r이라고 하면, m - M =- 5 + 5 log r에서
m = M - 5 + 5 log cz
H 이고, 초신성의 절대 등급은 일정하므로 m = 5 log z + C (C : 상수) 의 간단한 식으로 표현된다. 이 식을 그래프로 나타내면 [그림 2]와 같은 관계가 있다.
한편 (1)에서 구한 은하 NGC 999까지의 거리가 100Mpc이고, [그림 2]에서 최대 겉보기 밝 기가 15.5등급인 초신성의 적색 편이가 약 0.02이므로 허블 상수는
H = cz
r = 3×10 5km/s×0.02
100Mpc = 60km/s/M pc이다.
(4) 적색 편이가 클수록 우리는 우주의 보다 과거의 모습을 보게 된다. 적색 편이가 z인 은하에서 폭발한 초신성의 빛이 우리에게 도달하기까지 걸리는 시간을 허블 상수 H로 표시
하라. z = 0.1인 경우, 초신성은 실제로 과거 어느 시점에 폭발한 초신성인가?
(해설)
우리 은하로부터 거리가 r만큼 떨어져 있는 은하에서 폭발한 초신성의 빛이 우리에게 도달 하기까지 t시간 걸렸다면 t = r
V = r
c (c: 빛의 속도)이다. 또한 별빛의 도플러 효과와 허 블의 법칙에서 V = cz = Hr이므로 t = r
c = z
H , 즉 초신성의 빛이 우리에게 도달하기까 지 걸린 시간은 z
H 이다. 한편 우주가 허블의 법칙으로 팽창했다면, 이 은하가 우리 은하 로부터 현재의 거리로 멀어지는데 걸린 시간은 t = r
V = r Hr = 1
H 이다. 즉 우주의 나이 는 1
H 이고, z = 0.1이면 우주 대폭발의 시점부터 1
10 의 시간이 경과한 때에 폭발한 초 신성이다.
