인문사 회계를 위한 수학 I 시험
2013 년 6 월 14 일
문제 1
(1) 실수 x > 1에 대하여 적분값 Z x
1
ln t dt가 어떤 영역의 넓이를 나타내는지 좌표평면 위에 표시하여라.
(2) 이 영역을 직선 y = x에 대하여 대칭이동시켜서 그 넓이를 구함으로써, 적분값 Z x
1
ln t dt를 x에 관한 식으로 표시하여라.
(3) 부분적분을 이용하여 로그함수 y = ln x의 원시함수를 찾아라.
문제 2 치환적분을 이용하여 함수 f (x) =√
1 − x2의원시함수를 구하여라. 자신이 사용한 치 환적분을왜 이용하였는지 설명하여라.
문제 3 가우스는 임의의 복소계수 다항식이 일차식으로 인수분해됨을 중명하였다.
(1) 이를 이용하여 임의의 실계수 다항식은 일차식과 이차식으로 인수분해됨을 증명하 여라.
(2) 분수함수 f (x) = 1
x3− x2+ x − 1의원시함수를 구하여라.
(3) 분수함수 f (x) = 1
x4+ 4의원시함수를 구하여라.
문제 4 길이 공식을 이용하여 원의 길이를 구하여라.
문제 5 다음급수의 수렴 여부를 판정하여라.
(1)
∞
X
n=1
n!
nn (2)
∞
X
n=2
1
n ln n (3)
∞
X
n=1
1 1 + n2 문제 6 an≥ 0일 때 다음 명제들이 옳은지 거짓인지 밝혀라.
(1) 급수P an이 수렴하면 P a2n도 수렴한다.
(2) 급수P an이 수렴하면 P √an 도 수렴한다.
문제 7 멱급수 f (x) = x − 1 3x3+ 1
5x5−1
7x7+ · · ·의 수렴구간을 구하여라. 이 급수를 이용하 여 원주율 π를 무한급수로 어떻게 나타낼 수 있는지 설명하여라.
문제 8 거듭제곱급수
∞
X
n=2
√1
nxn의 수렴반경을 구하여라. 또한, 이 급수가 수렴하는 x의 범위 를결정하여라.
문제 9
(1) 미분방정식 y00 = y를 만족하는 함수 y = f (x)를 모두 찾아라.
(2) 위에서 구한 함수 y = f (x)의 그래프를 어떻게 그리면 좋을지 설명하여라.
(3) 위에서 구한 함수들 가운데 f (0) = 0, f0(0) = 1을 만족하는 함수를 구하여라.
문제 10 아무 거나 써라.
