인문사 회계를 위한 수학 I 시험
2014 년 4 월 11 일
문제 1
(1) 중간값 정리를 써라.
(2) 최대최소정리를 써라.
(3) 연속함수 f : [0, 1] → [0, 1]에 대하여, f (x0) = x0를 만족하는 실수 x0 ∈ [0, 1]이 존재 함을보여라.
(4) 함수 f : (−∞, ∞) → (−∞, ∞)가 연속이지만 f (x0) = x0를 만족하는 실수 x0가 존 재하지 않는 함수 f 의 예를 들어라.
문제 2
(1) 평균값 정리를 써라.
(2) 함수 f : (a, b) → R 가 미분가능하고 f0 < 0이면 감소함수임을 보여라.
(3) 함수 f : (a, b) → R 가 미분가능하고 f0 ≡ 0이면 상수함수임을 보여라.
문제 3 다음 함수의 도함수를 구하여라.
(1) f (x) = x2+ 1
√x + 1 (2) f (x) = Z x2
1
t2+ 1
√t + 1dt
문제 4 삼차함수에 대하여 다음 물음에 답하여라.
(1) 임의의 삼차함수의 그래프는 변곡점을 딱 하나 가짐을 보여라.
(2) 삼차함수의 그래프는 이 변곡점에 대하여 점대칭임을 보여라.
문제 5 다음 성질들을가지는 사차함수의 예를 들고, 그 그래프를 그려라.
• 극소점을 두 개 가지고, 극대점을 하나 가진다.
• 함수의 그래프가 좌우 대칭이다.
문제 6 함수 y = x2+ 2x
x + 1 의 그래프를 그려라. 극점, 변곡점, 점근선 등이 있을 경우 모두 표시 하여라.
문제 7 책상 위에 높이를 조절할 수 있는 전등이 달려 있고, 그 전등의 바로 아래 부분에서 1 미터 떨어진 곳에서 책을 읽고 있다. 전등이 너무 높으면 전등까지 거리가 멀어지므로 밝 기가 아두워지고, 전등이 너무 낮아도 전등이 비추는 각도가 작아지므로 밝기가 어두어진다.
책을 읽는 지점의밝기는 다음과 같은 법칙을 따른다.
• 전등까지 거리의 제곱에 반비례한다.
• 수직 방향과 광선 방향의 코사인 값에 비례한다.
전등의 높이가 x일 때 책을 읽는 지점의 밝기를 x에 관한 식으로 나타내고, x가 얼마일 때 가장 밝게 책을 볼 수 있는지 살펴보아라.
문제 8 음함수 x2 52 +y2
42 = 1 로 정의된 곡선에 대하여 다음 물음에 답하라.
(1) 네 개의 각 사분면에서 dy dx,d2y
dx2의 부호를 조사하여라.
(2) 이 곡선 위의 점 (a, b)를 지나는 접선의 방정식을 구하여라.
(3) 이 곡선의 그래프를 그려라.
(4) 이 곡선의 내부를 x축의 둘레로 회전시킨 도형의 부피를 구하여라.
