인문사 회계를 위한 수학 II 시험
2012 년 12 월 13 일
문제 1
(가) 다변수함수 f : Rn→ R 에서 일변수함수의 미분계수와 이계미분계수에 해당하는 것 이 무엇인가 쓰고, 그 의미를 간단하게 설명하여라.
(나) 다변수 벡터함수 F : Rn → Rn 에 대하여, 일변수함수의 미분계수에 해당하는 것이 무엇인가 쓰고, 그 의미를 간단하게 설명하여라.
문제 2 다음 함수들에 대하여 극소점, 극대점, 안장점을 모두 구하여라. 또한, 최대값과 최소 값을 가지는지 살펴보고, 가지는 경우 그 값을 구하여라.
(가) f (x, y) = x2− y2+ 4xy
(나) f (x, y, z) = x2+ y2+ z2− 2xy + 2zx (다) f (x, y) = x4+ y4− 2xy
(라) f (x, y) = x3y − xy3
문제 3 반지름의 길이가 1인 구 속에 내접하는 직육면체 가운데 그 겉넓이가 최대인 것의 겉넓 이를 구하여라.
문제 4 이변수함수 f : R2 → R 과 평면의 점 P ∈ R2를고정하고, 단위벡터 D ∈ R2에 대하여 일변수함수 gD(t) = f (P + tD)를 생각하자.
(가) g0D(0)을 함수 f 의 그래디언트를 이용하여 표현하여라.
(나) 이변수함수 f 에 대하여, (가)에서 구한 gD0 (0)가 무슨 의미를 가지는지 설명하여라.
[도움말: f 가 일변수함수일 때 g0D(0)의 의미가 무엇인지 생각해 보아라.]
(다) 점 P 가 고정되어 있을 때, g0D(0)의 값이 최대가 되려면 D를 어떻게 잡아야 하는지 설명하여라.
(라) 개똥이가 등고선 지도를 들고 등산하는 중이다. 잠시 쉬면서 현재 위치를 지도 위 에서 확인하였다. 이 때, 신속하게 고도를 높이려면 어느 방향으로 움직여야 하는지 설명하고, 그 이유를 같이 설명하여라.
문제 5 타원 x2 a2 +y2
b2 = 1에 대하여 다음 물음에 답하여라.
(가) 타원 위의 점 (x0, y0)에서 그은 접선의 방정식을 구하여라.
(나) 이 타원에 내접하는 직사각형 가운데 넓이가 가장 큰 것을 구하여라.
(다) 이 타원으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라.
문제 6 다음 적분값을 구하여라.
(가) Z 1
0
Z 1 0
(x2+ y) dxdy
(나) Z 1
0
Z 1 y
p1 − x2dxdy
문제 7 극한값 lim
A→∞
Z A
−A
e−x2dx을 구하여라.
문제 8 아무거나 써라.
