인문사 회계를 위한 수학 2 시험
2013 년 10 월 24 일
문제 1 벡터의 내적에 관한 쉬바르쯔 부등식을 쓰고 증명하라. 이 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건을 구하여라.
문제 2 직선 x
3 = y − 1
2 = z + 3
−1 와 평면 x + 2y − z = 1의 교점을 구하여라.
문제 3 정방행렬 A 가 다음 성질을 가진다고 가정하자: 임의의 열벡터 B 에 대하여 일차연립 방정식 AX = B 는 하나의 해를 가진다. 이 연립방정식의 해를 이용하여 정방행렬 A의 역 행렬을 구하는방법을 설명하여라.
문제 4
(가) 평면에서 원점을 중심으로 하고 시계 반대 방향으로 θ만큼 회전하는 회전변환 Rθ가 선형변환임을 설명하고, 이 변환을 행렬로 나타내라.
(나) 쌍곡선 xy = 1을 회전변환 Rπ/4로 이동시킨곡선의 방정식을 구하여라.
(다) 타원 x2+ y2
2 = 1을 회전변환 Rπ/4로 이동시킨곡선의 방정식을 구하여라.
(라) 평면에서 원점과 단위원 위의 점 (cos θ, sin θ)에 의하여 결정되는 직선을 중심으로 하는 대칭변환 Sθ가 선형변환임을 설명하고, 이 변환을 행렬로 나타내라.
(마) 문제 (가)와(라)에서 구한 행렬을 각각 Rθ와 Sθ라 두면, 등식 Sθ = RθS0R−θ
이 성립함을보여라.
(바) 이 등식을 이용하여, 두 평면변환 Rθ와 Sθ 사이의 관계를 설명하여라.
문제 5 행렬
1 1 3 0 −2 3 2 4 1
의 행렬식을 구하여라.
문제 6 두공간벡터 A = (a1, a2, a3) ∈ R3와 B = (b1, b2, b3) ∈ R3에 대하여 A × B = (a2b3− a3b2, a3b1− a1b3, a1b2− a2b1) ∈ R3 라정의하자.
(가) 임의의 열벡터 C ∈ R3에 대하여 C · (A × B) = det(C, A, B) 임을 설명하여라.
(나) A · (A × B) = B · (A × B) = 0임을 보여라.
(다) 두 직선 x − 2
2 = y − 1
3 = z − 3
3 , x − 2
2 = y + 1
−1 = z
3 사이의 최단거리를 구하 여라.
문제 7 다음 이차동차식에 의하여 정의된 함수가 원점에서 최대값이나 최소값을 가지는지, 아 니면 원점이 안장점이 되는지 판정하라. 또한, 방정식 f (x, y) = 0 또는 f (x, y, z) = 0의 해 가 원점 외에도 있는지 살펴보아라.
(가) f (x, y) = x2− xy + 4y2
(나) f (x, y, z) = x2+ y2+ z2− 2xy + 4yz (다) f (x, y, z) = x2+ y2+ z2− 2xy (라) f (x, y, z) = xy + yz + zx
문제 8 아무거나 써라.
