인문사 회계를 위한 수학 I 시험
2014 년 6 월 12 일
문제 1 n차 다항함수의 n차 근사식은 자기 자신임을 보여라. 이를 이용하여 이항정리를 쓰고 증명하여라.
문제 2
(가) 함수 y = sin x와 y = cos x의 근사다항식을 구하여라.
(나) 이를 이용하여 함수 f (x) = tan x의 5차 근사식을 구하여라.
(다) 함수 y = sin x의 2n + 1차 근사다항식을 pn(x)라 두면, 임의의 실수 x에 대하여
n→∞lim pn(x) = sin x가 성립함을 보여라.
문제 3 함수 f (x) = arctan x의 테일러급수를 구하고, 이 급수의 값이 arctan x와 같아지는 x의 범위를 구하여라. 또한, 이를 이용하여 원주율 π를 무한급수로 나타내어라.
문제 4 실수 e가 무리수임을 증명하여라.
문제 5 다음 함수
f (x) =
ex− 1
x , x 6= 0, 0, x = 0 에 대하여 다음 물음에 답하라.
(가) 미분의 정의에 의하여 함수 f 는 x = 0에서 미분가능함을 보이고 f0(0)의 값을 구하 여라.
(나) 함수 f 의 테일러급수를 구함으로써, 각 n = 1, 2, . . . 에 대하여 f(n)(0)의 값을 구하 여라.
문제 6 구의반지름이 1 퍼센트 줄어들 때, 그 표면적과 부피는 각각 대략 몇 퍼센트 정도 줄어 드는지 살펴보아라.
문제 7 다음급수의 수렴 여부를 판정하여라.
a)
∞
X
n=1
n
n2+ 1 b)
∞
X
n=1
n!
nn c)
∞
X
n=1
(−1)n n ln n
문제 8 거듭제곱급수로 정의된 함수 f (x) =
∞
X
n=1
nxn에 대하여 다음 물음에 답하여라.
(가) 함수 f 의 정의역을 구하여라.
(나) 이 함수를 분수함수로 표현하여라. [힌트: 무한등비급수 공식]
(다) 함수 y = f (x)의 그래프를 그리되, 함수의 정의역과 증감 및 오목볼록을 분명하게 하여라.
문제 9 미분방정식 y0 = −2y의 해를 구하여라.
문제 10 아무 거나 써라.
