제 3 절 연역적 추론
앞 절의 정리에서 다룬 법칙들은 논리적 동치나 함의를 보이는데 매우 유용하 다. 이 규칙들을 추론 규칙(rules of inference)이라 한다. 이 추론 규칙들은 인용의 편리를 위해 선택한 것들로서 서로 독립성을 유지하는 것은 아니다. 예 를 들어 아래 예제와 같이 다른 규칙을 가지고 증명이 가능한 경우도 있다.
[[ 예 ]] 1.38 추론 규칙을 이용하여 대우명제의 법칙
(p → q) ≡∼ q →∼ p
p→ q ≡ ∼ p ∨ q (∵ 정리 1.15)
≡ ∼ p ∨ ∼ (∼ q) (∵ 이중부정)
≡ ∼ (∼ q) ∨ (∼ p) (∵ 교환법칙)
≡ ∼ q →∼ p (∵ 정리 1.15)
이와 같이 진리표를 사용하지 않고 추론 규칙을 사용하여 연역적 방 법(deductive method)으로 추론하는 것을 연역적 추론(deductive rea- soning)이라 한다.
[[ 예 ]] 1.39 연역적 방법으로 선언지제거법
(p ∨ q) ∧ ∼ p =⇒ q 을 증명하시오.
풀이.
(p ∨ q) ∧ ∼ p ≡ ∼ p ∧ (p ∨ q) (∵ 교환법칙)
≡ (∼ p ∧ p) ∨ (∼ p ∧ q) (∵ 분배법칙)
≡ c ∨ (∼ p ∧ q) (∵ p ∧ ∼ p ≡ c)
≡ ∼ p ∧ q (∵ 모순명제의 성질)
=⇒ q (∵ 단순화)
∴ (p ∨ q) ∧ ∼ p =⇒ q
[[ 예 ]] 1.40 연역적 방법으로 추출의 법칙(exportation law) (p ∧ q → r) ≡ [p → (q → r)]
[p→ (q → r)] ≡ [p → (∼ q ∨ r)] (∵ 정리 1.15)
≡ [∼ p ∨ (∼ q ∨ r)] (∵ 정리 1.15)
≡ [(∼ p ∨ ∼ q) ∨ r] (∵ 결합법칙)
≡ [∼ (p ∧ q) ∨ r) (∵ De Morgan)
≡ [(p ∧ q) → r] (∵ 정리 1.15)
[[ 예 ]] 1.41 연역적 방법으로
(p→ r) ∨ (q → s) ≡ (p ∧ q) → (r ∨ s) 을 증명하시오.
풀이.
(p → r) ∨ (q → s) ≡ (∼ p ∨ r) ∨ (∼ q ∨ s) (∵ 정리 1.15)
≡ (∼ p ∨ ∼ q) ∨ (r ∨ s) (∵ 결합,교환,결합법칙)
≡ ∼ (p ∧ q) ∨ (r ∨ s) (∵ De Morgan)
≡ (p ∧ q) → (r ∨ s) (∵ 정리 1.15)
위 증명을 진리표를 사용해서 할 경우 24 = 16가지의 진리표를 계산하여 야 하므로 많은 시간과 노력이 들지만 추론 규칙을 이용하여 간단히 계산할 수 있었다.
다.
