3차원 벡터 공간
1. Scalar and Vector 스칼라와 벡터
2. Inner Product (Scalar Product, Dot Product) 내적 3. Vector Product (Cross Product) 벡터곱
4. 평면의 방정식
여기서는 평면보다 한 차원 높은 3차원 공간의 기하학적 내용에 대해 주로 알아본다. 3차 원 공간이란 그 안에 있는 모든 점을 나타내는데 세 개의 실수 좌표가 필요하다는 뜻으로, 이와 똑같은 방식으로 2차원뿐만 아니라 4차원 이상의 공간에 대해서도 다룰 수 있다. 특히, 공간을 단순히 점집합으로만 보는 것이 아니라 벡터공간으로 해석함으로써 수학적으로 다양한 계산을 쉽게 할 수 있다.
1. 스칼라와 벡터
1.1 정의 (1) 집합 ℝ xy x y ∈ℝ을 2차원 (유클리드) 평면이라 부르고 평면의 한 점은 두 실수의 순서쌍으로 나타낼 수 있다.
(2) ℝ xyz x y z ∈ℝ을 3차원 유클리드 공간이라 하고, 공간의 한 점과 세 실수 의 순서쌍 사이의 일대일 대응관계를 3차원 좌표계라고 하는데 직교좌표계가 주로 쓰이지만 나중에는 원기둥좌표계와 구면좌표계도 알아둘 필요가 있다. 공간의 한 점(또는 벡터)을 나타
낼 때는 주로 와 같이 행벡터로 표현하지만 경우에 따라서는
와 같이
열벡터로 나타내기도 한다.
1.2 Remark 3차원 직교좌표계에서 을 포함하는 방정식은 ℝ에서 곡면을 나타낸다.
1.3 보기 다음 식이 ℝ에서 나타내는 곡면을 그리시오.
(1) (2) 풀이:
1.4 정의 ∈ℝ , ∈ℝ 에 대해 (1) 벡터의 합: ∈ℝ
(2) 스칼라 배: ∈ℝ .
(3) 벡터의 동치: ⇔ , for all
(4)
∈ℝ을 영벡터라 부르고 을 의 음벡터라고 한다.(5) ≡ ≡ ≡ 을 표준기저 벡터라고 부른다.
Note. 표준기저 벡터 을 써서 벡터 을 로 나타낼 수 있다.
1.5 Remark 점
은 시점이 원점 이고 끝점이 인 벡터 로 보고 이를 의 위치벡터라고 한다.
와
에 대해 유향선분
은
가 시점 이고 가 끝점인 벡터이다. 이 때
이므로
는 시점이 원점
이고 끝점이 인 벡터와 같다.1.6 정리 는 벡터이고 는 실수라 할 때 다음의 기본 관계식이 성립한다.
(1)
(2) (3)
(4)
(5) (6) (7) (8) 1.7 직선의 방정식: 한 점
∈ℝ을 지나고 벡터 ≠
에 평행 한 직선은
, 즉
을 만족하는 점
들 전체의 집합이다. 따라서
.(1) 직선의 벡터 방정식:
. (2) 직선의 매개변수 방정식: (3) 직선의 대칭방정식은 다음의 세 가지의 경우로 나누어 나타낸다:
① ≠ 일 때,
② ≠ ≠ 일 때,
③ ≠ 일 때,
1.8 보기 (1) 한 점
을 지나고 벡터 에 평행한 직선의 매개변수 방정식을 구하시오.풀이: (2) 직선 의 대칭방정식이
일 때 에 평행한 벡터와 위의 두 점을 구하시오.
풀이: 한 점
와
을 찾기 위해 z=-1로 놓으면, .
.2. 스칼라적
2.1 정의 (1) and ∈ ℝ에 대해
⋅ ≡ : (유클리드) 내적 유클리드 내적을 갖는 ℝ을 3차원 유클리드 공간이라 한다.
(2) ⋅
을 의 크기(norm, length)라 부르고 크기가 1 인 vector를 단위벡터(unit vector)라고 한다.Note. 임의의 벡터 ≠ 와 ∈ ℝ에 대해, 가 성립하므로
는 항상 단위벡터이다.
(3) ∈ℝ에 대해 와 사이의 거리는 다음과 같다.
2.2 Remark 표준기저(기본단위) 벡터 에 대해, (1) ⋅
(2)
2.3 Remark : ∈ ℝ , ∈ ℝ 에 대해 (1) ⋅ ⋅ (Symmetry)
(2) ⋅ ⋅ ⋅ (Bilinearity)
(3) ≧ 또한 ⇔ (Positive Definite)
2.4 정리 (1) (Cauchy-Schwarz 부등식) ⋅ ≦
(2) (Triangle 부등식) ≦
(3) ∈ ℝ O 에 대해 cos
⋅ .
2.5 정의 벡터 ∈ ℝ O 에 대해
⋅ cos ≦ ≦ 인 을 와 가 이루는 각(angle)이라 하고 ∠ 로 쓴다.
(1) ⊥ ⇔ ∠
⇔ ⋅ : 와 는 서로 직교, 수직(perpendicular, orthogonal) (2) ⇔ ⇔ ∠ or , ≠ : 와 는 평행(parallel)
2.6 보기
(1) 기본 단위 벡터 들은 ℝ에서 서로 직교한다.
(2) 에 대해
이다.
2.7 Exercise 세 점 에 대해 ∠
라 할 때 cos 를 구하시오.2.8 정의 (1) ℝ에서 ⊥ 이고 ⊥ 가 성립하는 벡터 을 의 위로의 (벡터) (정)사영(projection)이라하고 로 쓴다.
(2) ∠ 에 대해 cos 을 의 위로의 스칼라 사영(projection), 또는 의 방향으 로의 성분이라 한다.
2.9 Remark 벡터 에 대해
를 라고 놓으면
projyx y
x⋅yy x⋅uy uy ⇒ projy x x⋅uy
증명: 라 놓으면, ⋅ 이므로 정리하면
⋅.
2.10 보기 (1) 에 대해
,
.
(2) 를 벡터 에 평행한 벡터 과 에 수직인 벡터 의 합으로 나타 내시오.
풀이: projv u
,
3. Cross Product
3.1 정의 ∈ℝ에 대해
× Note. (Lagrange 항등식) × ⋅
3.2 보기
(1) × × ×
(2) 에 대해 ×
3.3 정리 : ≠ ∈ ℝ 에 대해
(1) ⋅ × and ⋅ × . ( ⇒ × 이면, × 는 x와 y 모두에 수직) (2) 가 와 사이의 각이면 ( ≦ ≦ ),
× sin
( ⇒ × 는 x와 y를 두 변으로 갖는 평행사변형의 넓이이다.)
3.4 보기
(1) 일 때, 와 에 수직인 단위 벡터를 찾아라.
풀이: × 이므로, ± ×
× ±
.
(2) 일 때, 삼각형
의 넓이를 구하라.풀이:
이므로 × . 따라서
.3.5 Exercise 을 지나는 평면에 수직인 벡터를 모두 구하시오.
풀이:
이므로 × 의 스칼라배.3.6 벡터적의 중요한 성질 : ∈ ℝ ∈ ℝ 에 대해 (1) × ×
(2) ×
(3) × × × (4) × × × (5) × × × (6) × ×
But, in general
(7) × × ≠ × ×
e. g. × × × ×
3.7 한 점
을 지나고 벡터
에 평행한 직선과 직선 밖의 한 점
사이의 거리
는
×
증명: sin 이므로, × sin .
3.8 보기
에서 직선
에 이르는 거리를 구하시오.
풀이:
,
을 선택하면
×
3.9 정의 ( 삼중적 Triple scalar (cross) product )
⋅ × × cos ∠ ×
3.10 Remark (1) 를 세 변으로 하는 평행육면체의 부피:
Vol = × cos ⋅ ×
(2) ⋅ ×
× ⋅
3.11 보기 일 때, 에 의해 결정되는 평행육면체의 부피를 구하시오.
풀이: ⋅ ×
4. 평면의 방정식
4.1 평면의 방정식: 한 점
∈ℝ을 포함하면서 벡터 ≠
에 수직인 평면 은
⊥ 을 만족하는 점
들 모두로 이루어진 집합이다. 즉,
∈ 인 것과
⊥ 인 것은 동치이므로 에 수직이고
을 포함하는 평면의 방 정식은 ⋅ 이고 풀어 쓰면 다음과 같이 의 1차 방정식이 된다.
⋅Note. 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점을 지나는 평면은 단 하나 존재한다. 즉, 평면
은 평면 위의 서로 다른 세 점에 의해 결정된다. 따라서 축에 각각 한 점씩 있으면 평면 을 그리기 쉽다.
4.2 보기 한 점
을 지나고, 직선
에 수직인 평면의 방정 식을 구하고, 그 평면의 개형을 그리시오.
풀이: 는 에 평행하므로 에 수직. 따라서 .
4.3 Exercise
(1) 점 를 지나고 벡터 에 수직인 평면의 방정식을 구하시오.
(2) 위에서 구한 평면과 평면 와의 사이의 각을 구하시오.
풀이: 두 평면 사이의 각은 평면에 수직인 벡터 과 사이의 각
와 같으므로
cos
.
4.4 Remark 평면 위의 세 점만 주어진 경우의 평면의 방정식을 구하는 방법: 한 직선 위에 있지 않은 세 점 을 포함하는 평면 π에 대해, ≡
×
은 평면에 수직인 벡터이다.4.5 보기 세 점
을 포함하는 평면의 방정식을 구하 시오.풀이:
는 평행하지 않으므로 세 점은 하나의 평면을 결정짓는 다.
×
는 평면에 수직이고
∈ 이므로, 평면의 방정식 은 .4.6 보기 두 평면 사이의 각 와 교선 의 방정식을 구하시 오. [두 평면 사이의 각은 법벡터 사이의 예각이다.]
풀이: cos
⋅
.
직선 ∩의 방향벡터는 과 에 수직이므로 ×에 평행하다. 따라서
×
이고 ∈이므로, 의 방정식은
.
4.7 한 점
에서 평면 까지의 거리
증명:
로 취하면 에 대해
⋅
.
4.8 보기 (1)
와 평면 사이의 거리를 구하시오.풀이:
(2) 두 평면 와 사이의 거리를 구하시오.
풀이: 평면 위의 한 점으로 을 택하면
이다.
