10주차: 문제해결 지도(1)
광주교육대학교 수학교육과 이 대 현
수학과 교육 2-강의 자료
학습 내용: 문제해결 지도의 의의
✔문제해결 영역의 지도: 문제해결의 전략을 구체적으로 제시 학생들의 문제해결력을 기르도록 하는데 그 목적
문제해결은 수학의 중요한 부분으로 오래 전부터 강조 An Agenda for Action(NCTM, 1980)
우리나라 문제해결 교육: 제4차 수학과 교육과정 이래로 지속적으로 강조
✔규칙성과 문제해결: 문자와 식, 규칙성과 함수 영역
✔학교에서 수학을 지도하는 이유
=수학 그 자체를 계승 발전시키기 위한 것
=수학을 활용하여 생활에서 일어나는 여러 가지 문제를 해결하기 위한 것 (문제해결)
수학 학습 자체를 문제해결이라고 생각하는 경향
[토론] 내 학교시절의 문제해결 경험은 어떠했는지 토론해 보아라.
학습 내용: 문제해결 영역의 지도 내용
학년
영역 1학년 2학년 3학년
문 제 해 결
․□를 사용한 식
․실제로 해보기, 그림 그리기, 식 만들기 등으로 문제를 해결하기
․미지수 구하기
․식 만들기
․규칙 찾기, 거꾸로 풀기 등으로 문제를 해결하기
․표 만들기, 예상과 확인 등으로 문제를 해결하기
4학년 5학년 6학년
․단순화하기, 논리적 추론 등으로 문제를 해결하기
․문제해결 과정 설명하기
․하나의 문제를 여러 가지 방법으로 해결하기
․주어진 문제에서 필요 없는 정보, 부족한 정보 찾기
․문제해결의 타당성 검토하기
․방정식
․문제해결 방법 비교하기
․문제의 조건을 바꾸어 새로운 문제 만들기
․문제해결 과정의 타당성 검토하기
학습 내용: 문제와 문제해결(1)
✔좋은 문제를 제공하는 것
‘문제’에 대한 정의는 학자에 따라 여러 가지 의미로 사용
문제(problem)는 pro(앞으로)와 ballein(던진다)이 합쳐진 단어 ‘명료하지 않다. 알고 싶다. 해결하고 있다.’ 등의 뜻
✔문제(problem), 연습문제(exercise), 질문(question)
ㆍ문제: 문제는 전형적인 학교 수학에서 강조되어 온 연습 문제와 구별되며, 주어진 과제를 해결하기 위하여 학습한 내용을 종합하고 분석하는 주의 깊은 사고와 문제해결 전략이 요구되는 과제이다.
ㆍ연습문제: 연습 문제는 문제해결의 절차가 이미 알려져 있으며, 한 두 개의 알고리즘을 직접 적용함으로써 쉽게 풀 수 있는 과제를 의미한다.
ㆍ질문: 질문은 이미 학습한 내용을 회상하도록 요구하는 물음으로, 학습한 내용을 올바르게 이해하고 기억하고 있는가를 확인하기 위한 목적을 가진다.
✔문제와 연습문제의 구분: 학습자에 따라 상대적
개개인의 학생에게도 문제를 다루는 시간에 따라 상대적
학습 내용: 문제와 문제해결(2)
✔Lenchner(1983): 좋은 문제를 선택하기 위한 준거
ㆍ문제해결자가 문제 풀기를 원하도록 충분히 흥미 있고 도전적이어야 한다.
ㆍ다양한 문제해결 전략을 통하여 해결할 수 있어야 한다.
ㆍ문제는 다른 문제와 관련되어야 하며, 다양한 영역으로 확장 가능해야 한다.
ㆍ문제해결자의 능력에 대한 적절한 기능 수준에 있어야 한다.
ㆍ문제해결자 스스로 창안한 문제를 이용한다(p. 14).
✔문제해결(problem solving) 학자들에 따라 다양하게 제시
주어진 문제 장면에서 부딪치는 장애를 해결하기 위해 기지의 수학적 지식이 나 기능, 경험 등을 활용하여 새로운 해결책을 발견하여 해를 산출하는 것
✔문제해결은 수학의 중요한 부분으로 오래 전부터 강조
An Agenda for Action(NCTM, 1980) ==> 1980년대에는 문제 해결의 시대 NCTM(2000): 문제해결을 발전적으로 강조, 문제해결이 모든 수학 학습의 통합된 부분, 수학 교수 프로그램은 수학을 이해하는 요소
학습 내용: 문제의 유형
✔문제의 유형: 정형적인 문제(routine)와 비정형적인 문제(non-routine problem) =정형적인 문제: 이미 제시된 알고리즘을 사용하여 해결할 수 있는 문제
학습한 수학적 개념, 원리, 법칙을 적용하여 결과를 산출
=비정형 문제: 알고리즘이나 답을 얻는 방법을 모르는 상태에서 문제해결 전략이나 독자적인 해결 방법을 구안하여 풀어야 하는 문제
문제해결의 결과뿐 아니라, 문제를 해결하는 과정 그 자체가 중요 여러 가지 문제해결 전략을 적용하여 결과를 산출
✔Charles & Lester(1982): 해결 단계와 활용 정도에 따라 여섯 가지로 구분
=반복 문제: 알고리즘을 사용한 반복 연습의 기회를 주는 문제, 주로 계산력을 신장 =간단한 적용 문제: 문장제를 수식으로 번안하는 것이 필요
=복잡한 적용 문제: 문제 장면을 수식으로 번안하여 해를 구할 때 2개 이상의 연산이 요구되는 문장제, 다단계 문제라고도 한다.
=과정 문제: 단계적으로 사고하는 과정이 중시된 문제로서 몇 개의 연산을 이용하여 서는 해결할 수 없고 구체적 해결 전략을 이용하여야만 해결할 수 있는 문제
=응용문제: 수학적 지식과 사고력을 활용할 기회를 주는 문제
=퍼즐 문제: 오락적인 문제, 사고의 유연성이 중시되며 교육적 게임
학습 내용: 문제해결의 지도(1)
✔Polya(1957): ‘How to solve it’
문제 이해, 계획 수립, 계획 실행, 반성의 4단계
각 단계에 적절한 발문과 학생의 사고를 자극하는 아이디어를 제시 적절한 수준의 발문과 권고를 사용
▶ 문제 이해 단계
✔구하려는 것과 주어진 것을 알고, 용어의 뜻을 파악하며, 문제를 분석하는 것 ==> 문제가 무엇을 묻고 있는지, 문제가 어떤 상황이고
문제에 나타난 조건이 무엇인지, 조건들 사이에는 어떤 관계가 있는지를 파악 수학의 외적 조건(문제에 포함된 언어) 장애를 확인하고 이를 교정
․미지인 것은 무엇이고 주어진 것은 무엇인가?
․자료와 조건은 무엇인가?
․조건은 만족될 수 있는가?
․조건은 미지의 것을 결정하기에 충분한가, 불충분한가, 아니면 과다한가?
․그림을 그리거나 적절한 기호를 붙여 보아라.
․조건을 여러 부분으로 분해해 보아라.
학습 내용: 문제해결의 지도(2)
▶ 계획 수립 단계
✔답을 구하기 위하여 어떻게 할 것인가에 대한 계획 문제해결 전략(problem solving strategy)을 발견
․전에 그 문제를 본 적이 있는가? 다른 형태로 된 같은 문제를 본 적이 있는가?
․관련 문제를 알고 있거나, 도움이 될 것 같은 어떤 사실이나 정리를 알고 있는가?
․친숙한 문제 중에 미지인 것이 같거나 유사한 문제를 생각해 보아라.
․문제를 달리 진술할 수 있을까? 좀 더 다르게 진술할 수 있을까?
․쉬운 관련된 문제를 생각해 낼 수 있을까?
․문제를 보다 일반적인 형태나 특수한 문제로 변형할 수 있을까?
․조건 가운데 일부분만 남기고 다른 것은 버려 보아라. 그렇게 하면 미지인 것은 어느 정도까지 정해지는가?
․자료나 조건은 모두 사용했는가?
․문제에 포함된 핵심적인 개념을 모두 고려했는가?
학습 내용: 문제해결의 지도(3)
▶ 계획 실행 단계
✔계획 수립에 연이어 이루어지며, 실수하지 않도록 하나하나를 주의 깊게 살펴야 한다.
각 단계가 옳다는 확신, 왜 그런가를 물어보고 답을 할 수 있어야 한다.
✔계획의 실행 중에도 교사는 계속하여 학생에게 도움과 안내를 제시 계획된 문제해결 전략이 옳지 않은 경우에는 전략을 수정
․풀이의 각 단계를 조심스럽게 실행하도록 하여라.
․각 단계가 올바른지 명확히 알 수 있는가?
․그것이 옳다는 것을 설명할 수 있는가?
학습 내용: 문제해결의 지도(4)
▶ 반성 단계
✔해결 과정을 검토, 다른 해결 방법을 찾아보고, 비슷한 문제를 만들어 해결 문제의 확장 가능성을 고려
․결과를 점검할 수 있는가?
․풀이 과정을 점검할 수 있는가?
․결과를 다른 방법으로 이끌어 낼 수 있는가?
․결과나 방법을 어떤 다른 문제에 활용할 수 있는가?
․유사한 문제를 만들어 해결할 수 있는가?
[탐구활동] 한 문제를 선택하여 문제해결 4단계에 따라 실행하여라.
학습 내용: 문제만들기
✔학생 스스로 문제를 만들어 해결하는 것을 의미
원래의 문제를 재해석, 그 문제를 해결할 수 있는 단서를 발견
새로운 문제를 만들고 그것을 분석: 원래 문제를 그렇게 풀게 된 이유나 폭넓은 일반화, 형태에 대한 통찰을 통해 그 문제의 의미를 이해
✔Brown과 Walter(1983): What If Not전략
① 속성 열거하기: 문제를 구성하고 있는 요소나 속성을 모두 열거해 본다.
② What If Not 수행하기(속성 부정하기): 전 단계에서 열거한 속성에서 ‘만약-그렇지 않다면 어떻게 될 것인가’라는 의문을 가져 본다.
③ 문제 만들기: 전 단계에서 생각한 의문을 기초로 새로운 문제를 만든다.
④ 만든 문제 분석하기: 새로 만든 문제를 분석하거나 해를 구한다.
[탐구활동] 피보나찌 수열을 이용하여 문제만들기 활동을 해 보아라.
학습 내용: 학습 내용 정리
문제해결 지도의 가치에 대해 토론해 보아라.
문제와 문제해결의 정의와 예를 들어 보아라.
Polya의 문제해결 4단계를 제시하고, 한 문제를 이용하여 실행하여라.
문제만들기 활동의 가치에 대해 논하여라.
