평면도형의 성질
6
6.0 보도블록과 타일 속의 평면도형
6.1 다각형의 대각선의 개수
6.2 삼각형의 내각과 외각
6.3 다각형의 내각의 크기의 합
6.4 다각형의 외각의 크기의 합
6.5 원과 원주율
6.6 부채꼴의 호의 길이와 넓이
우리는 주위에서 평면도형 모양을 쉽게 찾을 수 있다. 공책과 지폐에서는 직사각형 모양을, 자전거의 바퀴와 동전에서는 원 모 양을, 연필과 축구장 골대 그물에서는 육각형 모양을 찾을 수 있 는데, 이들은 모두 평면도형을 일상생활에 활용한 예이다.
도형에 관한 연구를 체계적으로 정리한 사람은 그리스의 수학 자 유클리드(Euclid, B.C. 325?~B.C. 265?)로 그는 저서
원론(Elements) 을 통하여 그 이전까지의 거의 모든 수학적 지 식을 모아 그 내용들을 체계적으로 정리하였다.
이 단원에서는 다각형의 성질을 이해하고, 부채꼴의 호의 길이 와 넓이를 구하는 방법을 알아본다.
다음 중 다각형을 찾고, 그 이름을 말하시오.
⑴ ⑵
⑶ ⑷
1 다음 그림에서 안에 알맞은 각도를 써넣으시오.
⑴
45! 60!
⑵
70! 55!
120!
2
오른쪽과 같이 반지름의 길이가 5`cm 인 원의 원주와 넓이를 각각 구하시 오. (단, 원주율은 3.14로 계산한다.)
3
5`cm [출처: 오승재, 수학의 천재들 ]
보도블록과 타일 속의 평면도형
60
㈎ ㈏
● 보도블록 ㈎와 타일 ㈏에서 찾을 수 있는 평면도형을 각각 말해 보자.
태도 및 실천
● 우리 주변에서 평면도형의 성질을 이용하여 만든 물건을 찾아 보고, 그렇게 만든 이유를 말해 보자.
우리가 무심코 걷는 길에 깔린 보도블록을 유심히 본 적 있나요? 다양한 모양과 색으로 거 리를 아름답게 장식하는 보도블록은 보행자의 편의를 위해 한 가지 또는 여러 가지 평면도형 모양의 블록을 이어 붙여 바닥을 메운 것입니다.
또, 타일은 건물의 바닥이나 벽이 물에 젖는 것을 방지하고 동시에 아름답게 장식하기 위해 건물의 바닥이나 벽을 메운 것입니다.
그런데 어떤 모양의 보도블록이나 타일을 사용하여도 평면을 빈틈없이 이어 붙일 수 있을 까요? 빈틈없이 이어 붙일 수 있는 보도블록과 타일을 만들려면 평면도형이 가지는 각의 크 기, 변의 길이와 같은 성질을 생각하여야 합니다.
이처럼 평면도형의 성질은 일상생활의 여러 분야에서 활용됩니다. 평면도형의 성질을 이해 하고 적절히 활용하면 우리 생활을 보다 편리하고 아름답게 만들 수 있습니다.
다각형의 대각선의 개수
61
•다각형의 대각선의 개수를 구할 수 있다.학│습│목│표
횡단보도를 대각선으로 설치하기
보행자가 많은 교차로에서는 보행자가 여 러 방향으로 편리하게 길을 건널 수 있도록 대각선으로 횡단보도를 설치하기도 합니 다. 교차로에 대각선으로 설치할 수 있는 횡단보도는 몇 개인지 생각해 봅시다.
사거리에는 대각선으로 몇 개의 횡단보도를 설치할 수 있는지 구해 보자.
오거리에는 대각선으로 몇 개의 횡단보도를 설치할 수 있는지 구해 보자.
활동 1
활동 2
다각형에서 변의 개수와 꼭 짓점의 개수는 같다.
•다각형
선분으로만 둘러싸인 평면 도형
•다각형의 대각선 다각형에서 이웃하지 않 는 두 꼭짓점을 이은 선분
대각선 배웠어요!
초등
다각형의 대각선의 개수는 어떻게 구할 수 있나요?
생각 열기에서 오거리에 대각선으로 설치할 수 있는 횡단보도의 개수는 오각형의 대각선의 개수와 같다. 오각형에서는 각 꼭짓점에서 2개의 대각선을 그
을 수 있고, 오각형의 꼭짓점은 5개이므로 모두 5\2=10(개)의 대 각선을 그을 수 있다. 이때 각각의 대각선은 양 끝 꼭짓점에서 중복 되어 세어지므로 실제 오각형의 대각선의 개수는 10
2 =5이다.
다각형의 대각선의 개수는 다음과 같다.
다각형
사각형 오각형 육각형 칠각형
y
한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수
1 2 3 4 y
대각선의 개수 4\1
2 =2 5\2
2 =5 6\3
2 =9 7\4
2 =14 y
1
6.1 다각형의 대각선의 개수 183
다음 다각형의 대각선의 개수를 구하시오.
⑴ 팔각형 ⑵ 십이각형 ⑶ 십육각형
1
문제
일반적으로 n각형은 한 꼭짓점에서 {n-3}개의 대각선을 그을 수 있으므로 각 꼭 짓점에서 그은 대각선의 개수를 모두 합하면 n{n-3}이다. 이때 각각의 대각선은 양 끝 꼭짓점에서 중복되어 세어지므로 n각형의 대각선의 개수는 n{n-3}을 2로 나 눈 값이다.
위의 내용을 정리하면 다음과 같다.
n각형의 대각선의 개수는 n{n-3}
2 이다.
다각형의 대각선의 개수
예 십각형의 대각선의 개수는 10\{10-3}
2 =35이다.
다각형은 변의 개수에 따라 삼각형, 사각형, 오각형, y 이라고 하며, 변의 개수가 n인 다각형을 n각형이라고 한다.
다각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수가 꼭짓점의 개 수보다 3만큼 적은 이유를 친구와 이야기해 보자.
의사소통 생각을 나누는
동료 평가
•친구가 말한 이유가 적 절한가?
•친구는 나의 의견을 잘 경청하였는가?
이 시간에 배운 내용
스스로 해결하기
다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
⑴ n각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개 수는 이다.
⑵ n각형의 대각선의 개수는 이다.
1
다음 다각형의 대각선의 개수를 구하시오.
⑴ 구각형 ⑵ 이십각형
2
다음 설명이 옳으면 표, 틀리면 ×표를 하시오.
⑴ 모든 다각형은 대각선을 그을 수 있다. ( )
⑵ 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수가 8인
다각형은 십일각형이다. ( )
3
오른쪽 그림과 같이 한 대각선의 길
4`cm 이가 4`cm인 정오각형에서 모든 대
각선의 길이의 합을 구하시오.
4
어떤 다각형의 한 꼭짓점에서 한 개의 대각선을 그었더니 삼각형과 오각형으로 나누어졌다. 이 다각형의 대각선의 개수를 구하시오.
5
어느 국제회의에 참석한 12명의 정상급 대표가 원탁에 둘 러앉아 있다. 모든 사람이 서로 한 번씩 악수를 한다고 할 때, 악수는 모두 몇 번 하게 되는지 구하고, 그 풀이 과정 을 쓰시오.
7 과정을 다지는 문제
오른쪽 그림과 같은 정십각형에 서 대각선 AD와 한 점에서 만 나는 대각선의 개수를 구하시오.
6 추론
A J
B
C D
E F
G H I
6.1 다각형의 대각선의 개수 185
컴퓨터 프로그램으로 삼각형의 각의 성질 알아보기
민영이는 컴퓨터 프로그램을 이용하여 오른 쪽 그림과 같이 삼각형 ABC를 그린 후 변 BC를 점 C쪽으로 연장한 선 위에 한 점 D 를 잡았습니다. 삼각형 ABC의 모양을 변형 시키면서 만들어진 각의 크기 사이의 관계를 생각해 봅시다.
삼각형의 내각과 외각
62
•삼각형의 내각과 외각 사이의 관계를 이해한다.학│습│목│표
CA+CB+CBCA의 크기를 구하고, 점 A를 움직이면서 CA+CB+CBCA의 크기가 변하는지 관찰해 보자.
CA+CB의 크기를 구하고, 이를 CACD의 크기와 비교해 보자.
활동 1
활동 2
•내각, 외각 학│습│요│소
오른쪽 그림의 사각형 ABCD에서 물음에 답하시오.
80!
A
D
B C
⑴ 변 AD와 변 DC로 이루어진 내각을 표시하시오.
⑵ CB의 외각을 표시하고, 그 크기를 구하시오.
1
문제 다각형에서 한 내각의 외각 은 2개가 있으나, 맞꼭지각으 로 그 크기가 같으므로 하나 만 생각하기로 한다.
다각형의 내각과 외각은 무엇인가요?
다각형에서 이웃하는 두 변으로 이루어진 내부의 각을 그 다
외각
외각 내각
각형의 내각이라고 한다. 또, 한 내각의 꼭짓점에서 한 변과 그 변에 이웃한 변의 연장선으로 이루어진 각을 그 내각의 외각 이라고 한다.
1
87.3°
A
B C D
46.5° 46.2° 133.8°
다음 그림에서 Cx의 크기를 구하시오.
⑴
30! 65!
x ⑵
72!
58!
x
2
문제 삼각형의 세 각의 꼭짓점 이 한 점에서 만나도록 이어 붙이면 세 각의 크 기의 합이 180!임을 알 수 있다.
배웠어요!
초등
삼각형의 내각과 외각의 크기 사이에는 어떤 관계가 있나요?
오른쪽 그림과 같이 sABC에서 변 BC의 연장선 A
B C D
위에 한 점 D를 잡고, 점 C에서 변 AB와 평행한 반 E
직선 CE를 그으면
CA=CACE (엇각), CB=CECD (동위각) 이므로 sABC의 내각의 크기의 합은
CA+CB+CBCA =CACE+CECD+CBCA
=CBCD=180!
이다.
한편, 위의 그림에서 CBCA의 외각 CACD는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
CACD=CACE+CECD=CA+CB
따라서 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다.
위의 내용을 정리하면 다음과 같다.
2
1. 삼각형의 내각의 크기의 합은 180!이다.
2. 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다.
삼각형의 내각과 외각
6.2 삼각형의 내각과 외각 187
이 시간에 배운 내용
스스로 해결하기
다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
⑴ 다각형에서 한 내각의 꼭짓점에서 한 변과 그 변에 이웃한 변의 연장선으로 이루어진 각을 그 내각의
이라고 한다.
⑵ 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 의 크기의 합과 같다.
1
다음 그림에서 Cx의 크기를 구하시오.
⑴
115! 30!
x ⑵
20!
x 3x
2
다음 그림에서 Cx의 크기를 구하시오.
⑴
38! x
⑵ 40!
65! 45!
x
3
오른쪽 그림에서 Cx의 크 기를 구하시오.
4
A
B C
D
130! 25!
40!
x
오른쪽 그림에서 Cx의 크 기를 구하고, 그 풀이 과정 을 쓰시오.
6 과정을 다지는 문제
A B
C
E
30! 70! 25!
x
D 오른쪽 그림과 같은 sABC
에서 변 BC의 연장선 위에 한 점 D가 있다.
CABE=CEBC, CACE=CECD일 때, Cx의 크기를 구하시오.
5 추론
A
B C
E
50! x
D
다각형의 내각의 크기의 합
63
• 다각형의 내각의 크기의 합을 구할 수 있다.학│습│목│표
다각형을 삼각형으로 나누기
다음 그림의 사각형과 같이 다각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선을 모두 그으면 여러 개 의 삼각형을 만들 수 있습니다. 이때 만들어진 삼각형을 이용하여 다각형의 내각의 크기의 합을 구 하는 방법을 생각해 봅시다.
오각형과 육각형에 표시된 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선을 모두 그어 보자.
다음 표를 완성해 보자.
다각형 사각형 오각형 육각형
꼭짓점의 개수 4
만들어지는 삼각형의 개수 2
내각의 크기의 합 180!\2=360!
활동 1
활동 2
다각형의 내각의 크기의 합은 어떻게 구할 수 있나요?
생각 열기에서 사각형은 한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 2개의 삼각형으로 나누어 지고, 한 삼각형의 내각의 크기의 합은 180!이므로 사각형의 내각의 크기의 합은 180!\2=360!임을 알 수 있다.
일반적으로 n각형은 한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 {n-2}개의 삼각형으로 나누 어지므로 n각형의 내각의 크기의 합은 180!\{n-2}이다.
위의 내용을 정리하면 다음과 같다.
1
n각형의 내각의 크기의 합은 180!\{n-2}이다.
다각형의 내각의 크기의 합
6.3 다각형의 내각의 크기의 합 189
다음 다각형의 내각의 크기의 합을 구하시오.
⑴ 팔각형 ⑵ 십일각형
1
문제
다음 정다각형의 한 내각의 크기를 구하시오.
⑴ 정육각형 ⑵ 정십각형
2
문제 정다각형은 모든 변의 길이 가 같고 모든 각의 크기가 같 은 다각형이며, 변의 개수가 n인 정다각형을 정n각형이 라고 한다.
한편, 정다각형은 내각의 크기가 모두 같다. 따라서 정n각형의 한 내각의 크기는 다음과 같이 구할 수 있다.
(정n각형의 한 내각의 크기)=180!\{n-2}
n
예 정팔각형의 한 내각의 크기는 180!\{8-2}
8 =135!이다.
다음을 보고 오각형의 내각의 크기의 합을 어떻게 구할 수 있는지 친구와 이야기해 보자.
의사소통 생각을 나누는
오른쪽 그림과 같이 오각형 의 한 꼭짓점에서 1개의 대 각선을 그어 삼각형과 사각 형으로 나누면 y.
예 십각형의 내각의 크기의 합은 180!\{10-2}=1440!이다.
동료 평가
•친구가 말한 방법이 적 절한가?
•친구가 유용하거나 참 신한 예를 제시하였는가?
이 시간에 배운 내용
스스로 해결하기
다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
⑴ n각형의 내각의 크기의 합은 180!\{ }이다.
⑵ 정n각형의 한 내각의 크기는 180!\{ } 이다.
1
다음을 구하시오.
⑴ 구각형의 내각의 크기의 합
⑵ 정십오각형의 한 내각의 크기
2
다음 그림에서 Cx의 크기를 구하시오.
⑴ 100!
120! 100!
x x
⑵ 70!
80!
95!
x
4
내각의 크기의 합이 다음과 같은 다각형의 이름을 말하시오.
⑴ 900! ⑵ 1440!
3
한 내각의 크기가 162!인 정다각형의 내각의 크기의 합을 구하고, 그 풀이 과정을 쓰시오.
7 과정을 다지는 문제
오른쪽 그림과 같은 사각형 ABCD에서 CB와 CC를 각각 이등분하는 선의 교점 을 O라고 할 때, Cx의 크 기를 구하시오.
5
130!
x A
B C
D
O
오른쪽 그림은 정n각형 모양의 그릇의 일부이다.
CBAC=12!일 때, n의 값을 구하시오.
6 추론
C A B
12!
6.3 다각형의 내각의 크기의 합 191
다각형의 외각의 크기의 합
64
• 다각형의 외각의 크기의 합을 구할 수 있다.학│습│목│표
종이를 오려서 삼각형의 외각 모으기
다음 활동을 통해 다각형의 외각의 크기의 합을 구하는 방법을 생각해 봅시다.
삼각형의 외각의 크기의 합을 구해 보자.
사각형, 오각형에 대해서도 위와 같은 활동을 한 후, 외각의 크기의 합을 각각 구해 보자.
활동 1
활동 2
다각형의 외각의 크기의 합은 어떻게 구할 수 있나요?
생각 열기에서 삼각형, 사각형, 오각형의 외각의 크기의 합은 각각 360!임을 알 수 있다.
다각형의 각 꼭짓점에서 내각과 그 외각의 크기의 합은 180!로 일정하므로 다각형의 외각의 크기의 합은 다음과 같이 다각형의 내각의 크기의 합을 이용하여 구할 수도
있다. 180!
외각 내각 y
1
➊ 삼각형의 각 변에 연장 선을 그어 외각을 표시 한다.
➌ 외각의 꼭짓점이 한 점에서 만나도록 모은다.
➋ 외각을 오려 낸다.
준비물: 색종이, 자, 연필, 가위
예를 들어 사각형의 한 꼭짓점에서 내각과 외각의 크기
외각
의 합은 180!이고, 사각형에는 4개의 꼭짓점이 있으므로 내각
(내각의 크기의 합)+(외각의 크기의 합)
=180!\4=720!
이다. 그런데 사각형의 내각의 크기의 합은 360!이므로 사각형의 외각의 크기의 합은
(외각의 크기의 합) =720!-360!=360!
이다.
일반적으로 n각형의 한 꼭짓점에서 내각과 외각의 크기의 합은 180!이고, n각형에 는 n개의 꼭짓점이 있으므로
(내각의 크기의 합)+(외각의 크기의 합)=180!\n 이다.
따라서 n각형의 외각의 크기의 합은
(외각의 크기의 합) =180!\n-(내각의 크기의 합)
=180!\n-180!\{n-2}
=180!\n-180!\n+180!\2=360!
이다.
위의 내용을 정리하면 다음과 같다.
다각형의 외각의 크기의 합은 360!이다.
다각형의 외각의 크기의 합
다음 그림에서 Cx의 크기를 구하시오.
⑴
70!
95!
60! 80!
x
⑵ 85!
55!
40!
70!
x
1
문제
6.4 다각형의 외각의 크기의 합 193
다음 정다각형의 한 외각의 크기를 구하시오.
⑴ 정구각형 ⑵ 정십각형
2
문제
한 외각의 크기가 70!인 정다각형을 그릴 수 있는지 이야기해 보자.
의사소통
생각을 나누는 정n각형의 한 외각의
크기가 70!이려면 y.
한편, 정다각형은 내각의 크기가 모두 같으므로 외각의 크기도 모두 같다.
따라서 정n각형의 한 외각의 크기는 (정n각형의 한 외각의 크기)=360!
n 이다.
예 정육각형의 외각의 크기의 합은 360!이므로 정육각형의 한 외각의 크기는 360!
6 =60!이다.
이 시간에 배운 내용
스스로 해결하기
다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
⑴ 다각형의 외각의 크기의 합은 이다.
⑵ 정n각형의 한 외각의 크기는 이다.
1
다음 정다각형의 한 외각의 크기를 구하시오.
⑴ 정팔각형 ⑵ 정십오각형
3
내각과 외각의 크기의 총합이 1620!인 정다각형의 한 외 각의 크기를 구하시오.
5
오른쪽 그림과 같이 로봇이 점 A 에서 출발하여 오각형 모양의 건 A 물 벽을 따라 한 바퀴 돌아 점 A 로 되돌아왔다. 이때 로봇이 회전 한 각의 크기의 합을 구하시오.
6 추론
다음 그림에서 Cx의 크기를 구하시오.
⑴
50!
85!
95!
x ⑵
82! 42!
150! 40!
x 60!
2
오른쪽 그림과 같이 정오 D
A E
B C
x F 각형 ABCDE의 두 변
AB, DC의 연장선의 교 점을 F라고 할 때, Cx의 크기를 구하시오.
4
한 내각의 크기와 한 외각의 크기의 비가 13:2인 정다각 형의 이름을 말하시오.
7 과정을 다지는 문제
6.4 다각형의 외각의 크기의 합 195
컴퓨터 프로그램을 이용한 다각형의 성질 탐구
도형을 그릴 수 있는 컴퓨터 프로그램을 이용하여 육각형의 외각의 크기의 합은 항 상 360!인지 알아보자.
활동
팔각형의 외각의 크기의 합은 항상 360!임을 컴퓨터 프로그램을 이용하여 확인 해 보자.
육각형의 외각의 크기의 합 알아보기
➊ 육각형을 그린다.
➋ 각 변을 연장하는 반직선을 긋는다.
➌ 6개의 외각의 크기를 각각 측정한다.
➍ 외각의 크기의 합을 구한다.
➎ 육각형의 꼭짓점을 이동하여 육각형을 여러 가지 모양과 크기로 변형하면서 외각 의 크기의 합을 관찰해 보자.
이 과정에서 육각형의 외각의 크기의 합은 항상 360!임을 확인할 수 있다.
과일 조각의 모양 관찰하기
‘푸드 아트(food art)’는 자연이 만들어 내는 독특한 형태와 색 감을 지닌 식재료들을 자르고 구성하여 다양한 작품을 만들어 내는 예술 활동입니다. 원 모양으로 얇게 썬 과일을 이용하여 오 른쪽 그림과 같은 작품을 만들었을 때, 사용된 조각들은 어떤 모 양인지 생각해 봅시다.
원과 원주율
65
• 호, 현, 부채꼴, 중심각, 활꼴, 할선의 뜻을 안다.• 원주율 p의 뜻을 안다.
학│습│목│표
•호, ABi, 현, 할선, 부채꼴, 중심각, 활꼴, p 학│습│요│소
㉠
㉡
위의 그림에서 두 조각 ㉠, ㉡의 모양은 각각 원 모양의 과일을 어떻 게 자른 것인지 그려 보자.
위의 그림에서 두 조각 ㉠, ㉡의 모양은 각각 우리 주변의 물건 중 어 떤 것의 모양과 비슷한지 말해 보자.
활동 1
활동 2
중심 O반지름
ABi는 보통 길이가 짧은 쪽 의 호를 나타내고, 길이가 긴 쪽의 호는 그 호 위에 한 점 C를 잡아 ACBI와 같이 나타 낸다.
한 원에서 길이가 가장 긴 현 은 지름이다.
원과 관련된 도형을 알아볼까요?
평면 위의 한 점 O로부터 일정한 거리에 있는 모든 점으로 이루어진 도형을 원이 라 하고, 이것을 원 O로 나타낸다.
원 O 위에 두 점 A, B를 잡으면 원은 두 부분으로 나누어지
O
B
C
A 호
는데 이 두 부분을 각각 호라고 한다. 양 끝 점이 A, B인 호를 호 AB라 하고, 이것을 기호로
ABi 와 같이 나타낸다.
원 O 위의 두 점을 이은 선분을 현이라 하고, 양 끝 점이 A,
O B
C
D A
현
할선
B인 현을 현 AB라고 한다. 특히, 원의 중심을 지나는 현은 그 원의 지름이다.
원 O 위의 두 점을 지나는 직선을 할선이라 하고, 두 점 C, D를 지나는 할선을 할선 CD라고 한다.
1
6.5 원과 원주율 197
호 AB를 중심각인 CAOB 에 대한 호라 하고, 현 AB를 중심각인 CAOB에 대한 현 이라고 한다.
오른쪽 그림과 같이 원 O에서 두 반지름 OA, OB와 호 AB로 이루어진 도형을 부채꼴이라 하고, 이것을 부채꼴 AOB라고 한다. 이때 부채꼴 AOB에서 두 반지름 OA, OB 가 이루는 CAOB를 부채꼴 AOB의 중심각 또는 호 AB에 대한 중심각이라고 한다. 또, 원 O에서 현 CD와 호 CD로 이루어진 도형을 활꼴이라고 한다.
부채꼴
활꼴 O A
C D
B
중심각
오른쪽 그림과 같이 원 O 위에 세 점 A, B, C가 있다. 다음을 기호로 나타내시오.
⑴ CAOB에 대한 호
⑵ BCi에 대한 중심각
⑶ 부채꼴 AOB의 중심각
1
문제
O A
B
C
반지름의 길이가 4`cm인 원의 원주와 넓이를 각각 p를 사용하여 나타내시오.
2
문제
한 원에서 부채꼴이면서 활꼴인 도형을 그려 보고, 왜 그렇게 그렸
O
는지 설명해 보자.
의사소통 생각을 나누는
•(원주) =2\(반지름의 길이) \(원주율)
• (원의 넓이)
=(반지름의 길이) \(반지름의 길이) \(원주율)
배웠어요!
초등
원주율을 나타내는 기호는 무엇인가요?
원의 크기에 관계없이 원주를 원의 지름의 길이로 나눈 값은 항상 일정한데, 그 값 을 원주율이라고 한다.
원주율의 값은 3.1415926535897y과 같이 소수점 아래의 숫자가 한없이 계속되는 소수로 알려져 있다. 이 원주율을 기호로
p
와 같이 나타내고, 이것을 ‘파이’라고 읽는다.
p를 사용하여 원주와 원의 넓이를 나타내면 다음과 같다.
반지름의 길이가 r인 원의 원주를 L, 넓이를 S라고 하면 L=2pr, S=pr@
2
다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
⑴ 한 원 위의 두 점을 이은 선분을 이라 하고, 한 원 위의 두 점에 의하여 두 부분으로 나누어진 원의 각 부분을 라고 한다.
⑵ 원의 크기에 관계없이 원주를 원의 지름의 길이로 나눈 값을 이라고 하며, 기호로 와 같이 나타낸다.
1
오른쪽 그림과 같이 원 O 위에 네 점 A, B, C, D가 있다. 다음 도형을 오른쪽 그림 위에 나타내 시오.
⑴ 중심각이 CAOC인 부채꼴
⑵ 현 BD와 호 BD로 이루어 진 활꼴
2
B A
D
O
C
오른쪽 그림과 같이 원 O 위에 두 점 A, B가 있다. 현 AB의 길이가 원 O의 반지름의 길이와 같을 때, ABi에 대한 중심각의 크기를 구하 시오.
3 추론
B A
O
오른쪽 그림과 같이 중심이 O인 두 원에서 OAZ=ABZ이고, OAZ를 반지름으로 하는 원 O의 넓이가 p`cm@일 때, 색칠한 부분의 넓이 를 구하고, 그 풀이 과정을 쓰시오.
4 과정을 다지는 문제
O A B
이 시간에 배운 내용
스스로 해결하기
가상현실 전문가
가상현실 전문가는 가상의 시공간에서 사용자가 실제와 비슷한 공간적, 시간적 체험을 하게 함으로써 현실과 상상의 경계를 넘나 들 수 있는 환경을 만든다.
오늘날 가상현실은 주로 영화, 만화 영화, 광고 등의 분야와 물 리적 모의 실험, 건축, 디자인 등의 분야에서 사용된다.
가상현실 전문가는 도형을 이용하여 현실 세계의 물체를 묘사하 거나 가상 환경 속의 물체의 모습을 만들기 때문에 공간 지각력과 분석 능력 등 도형 분석 능력이 필요하다. [출처: 커리어넷, 2012]
6.5 원과 원주율 199
원 모양의 색종이 접기
준비물: 색종이중심각의 크기가 같은 부채꼴을 만들기 위해 다음 그림과 같이 원 모양의 색종이를 반으로 세 번 접은 후 펼쳤습니다.
부채꼴 ➊을 펼쳐 부채꼴 ➋, ➌이 될 때, 부채꼴 ➊, ➋, ➌의 중심각의 크기와 호의 길이, 부채꼴의 넓이 사이에는 어떤 관 계가 있는지 생각해 봅시다.
➊ ➋ ➌
부채꼴 ➋, ➌의 중심각의 크기와 부채꼴 ➊의 중심각의 크기를 각각 비교해 보자.
부채꼴 ➋, ➌의 호의 길이와 부채꼴 ➊의 호의 길이를 각각 비교해 보자.
부채꼴 ➋, ➌의 넓이와 부채꼴 ➊의 넓이를 각각 비교해 보자.
활동 1
활동 2
활동 3
부채꼴의 호의 길이와 넓이
66
• 부채꼴의 중심각의 크기와 호의 길이, 부채꼴의 넓이 사이의 관계를 이해한다.•부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구할 수 있다.
학│습│목│표
부채꼴의 중심각의 크기와 호의 길이, 부채꼴의 넓이 사이에는 어떤 관계가 있나요?
한 원에서 부채꼴의 중심각의 크기가 2배, 4배, y가 되면 호의 길이와 부채꼴의 넓이도 각각 2배, 4배, y가 됨을 알 수 있다.
오른쪽 그림의 원 O에서 중심각의 크기가 같은 두 부채
O A
B C
D
꼴 AOB, COD는 회전하여 서로 포갤 수 있으므로 두 부 채꼴의 호의 길이와 넓이는 각각 같다.
1
일반적으로 한 원에서 부채꼴의 중심각의 크기가 2배, 3배,
O
4배, y가 되면 부채꼴의 호의 길이와 넓이도 각각 2배, 3배, 4배, y가 된다.
즉, 한 원에서 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 각각 중심각의 크기에 정비례한다.
위의 내용을 정리하면 다음과 같다.
한 원에서
1. 중심각의 크기가 같은 두 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 각각 같다.
2. 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 각각 중심각의 크기에 정비례한다.
부채꼴의 중심각의 크기와 호의 길이, 부채꼴의 넓이 사이의 관계
| 참고 | 위의 성질은 반지름의 길이가 같은 두 원에서도 성립한다.
한편, 원 O에서 중심각의 크기가 같은 두 부채꼴 AOB와
O A
B
C D
COD에서 sAOB와 sCOD는 서로 합동이므로 두 현 AB, CD의 길이는 같다.
또, 원 O에서 길이가 같은 두 현에 대한 중심각의 크기는 서로 같다.
| 참고 | 한 원에서 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않는다.
다음 그림에서 x의 값을 구하시오.
⑴
6`cm 100! O 50! x`cm
⑵
x! O 120!
45`cm@
15`cm@
1
문제
오른쪽 그림과 같이 원 O 위에 CAOB=CBOC가 되도록 세 점 A, B, C를 잡았다. 이 그림을 보고 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않음을 설명해 보자.
의사소통 생각을 나누는
O
B C A
한 원에서 두 부채꼴의 호의 길이 또는 넓이가 같으면 두 부채꼴의 중심각의 크기도 같다.
6.6 부채꼴의 호의 길이와 넓이 201
풀이│ 부채꼴의 호의 길이를 L, 넓이를 S라고 하면 L =2\p\12\ 30
360
=2p {cm}
S =p\12@\ 30 360
=12p {cm@}
호의 길이: 2p`cm, 넓이: 12p`cm@
오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 12`cm이고, 중심각의 크기
30!
12`cm
가 30!인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 각각 구하시오.
예제1
부채꼴의 호의 길이와 넓이는 어떻게 구할 수 있나요?
부채꼴의 호의 길이와 넓이는 각각 중심각의 크기에 정비례하므로 이를 이용하여 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구할 수 있다.
오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 r인 원 O에서 중심각
O
S r x!
L
의 크기가 x!인 부채꼴의 호의 길이를 L, 넓이를 S라고 하자.
한 원에서 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 각각 중심각의 크 기에 정비례하므로
360:x=2pr:L, 즉 L=2pr\ x360
360:x=pr@:S, 즉 S=pr@\ x360 이다.
위의 내용을 정리하면 다음과 같다.
반지름의 길이가 r이고, 중심각의 크기가 x!인 부채꼴의 호의 길
x!
S L
r 이를 L, 넓이를 S라고 하면
L=2pr\ x 360 S=pr@\ x
360 부채꼴의 호의 길이와 넓이
2
다음 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 각각 구하시오.
⑴
45!
6`cm
⑵
8`cm 200!
2
문제
다음 부채꼴의 넓이를 구하시오.
⑴ 2p`cm
3`cm
⑵
4`cm 20`cm
3
문제
한편, 반지름의 길이가 r이고, 중심각의 크기가 x!인 부채꼴의 호의 길이를 L, 넓이 를 S라고 하면
L=2pr\ x360, S=pr@\ x 360 이므로 넓이 S는
S=pr@\ x360=r
2\[2pr\ x360 ]=r
2\L= 12 rL 과 같이 나타낼 수 있다.
다음 그림과 같이 부채꼴을 자른 뒤 엇갈리게 붙이는 방 법으로 넓이를 생각할 수도 있다.
r
r
2!L L
6.6 부채꼴의 호의 길이와 넓이 203
이 시간에 배운 내용
스스로 해결하기
다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
⑴ 반지름의 길이가 r이고, 중심각의 크기가 x!인 부채 꼴의 호의 길이를 L, 넓이를 S라고 하면
L= \ x
360 , S= \ x 360 이다.
⑵ 반지름의 길이가 r이고, 호의 길이가 L인 부채꼴의 넓이를 S라고 하면 S=1
2\ 이다.
1
다음 그림에서 색칠한 부분의 넓이를 구하시오.
⑴
80!
2`cm 6`cm
⑵
10`cm
10`cm
5
오른쪽 그림의 원 O에 서 x의 값을 구하시오.
2
O 12`cm
25! 75!
x`cm
오른쪽 부채꼴의 호의 길이와 넓 이를 각각 구하시오.
3
8`cm 225!
오른쪽 그림에서 두 부채꼴 AOB와 COD의 넓이의 합이 20`cm@이고, CAOB=15!, CCOD=5CAOB일 때, 원 O 의 넓이를 구하시오.
4
15! O D
A B
C
오른쪽 그림의 원 O 위에 다 섯 개의 점 A, B, C, D, E가 있다. CAOB=2a, CCOD=3a+15!이고 ABi=4`cm일 때, AEi의 길 이를 구하시오.
(단, ADZ, BEZ는 원 O의 지름이다.)
6 추론
2a O 3a+15!
A
B E
C
D 4`cm
오른쪽 그림과 같이 ABZ가 지 름인 원 O 위에 두 점 P, Q가 있다. APZ|OQZ,
CQOB=30!이고, PQi의 길 이가 2p`cm일 때, 다음을 구 하고, 그 풀이 과정을 쓰시오.
⑴ APi의 길이
⑵ 원 O의 반지름의 길이
⑶ 부채꼴 BOQ의 넓이
7 과정을 다지는 문제
30!
A O B
P Q 2p`cm
비밀 동굴의 문 열기
● 평면도형의 나라로 들어가는 비밀 동굴의 문을 열려면 아래 그림의 빈칸을 채워야 한 다. 가로 열쇠와 세로 열쇠의 문제를 풀어 각 문항 번호가 적힌 칸을 채워 보자.
③
②
①
④
⑤
⑥
가로 열쇠
① 십오각형의 대각선의 개수
② 오른쪽 그림에서
80!
x! 130!
x의 값
③ 오른쪽 그림에서 5x! x!
x의 값
④ 한 외각의 크기가 12!인 정다각형의 변 의 개수
⑤ 오른쪽 그림
40! O 70!
x`cm
8`cm
에서 x의 값
세로 열쇠
② 오각형의 내각의 크기의 합 !
③ 정구각형의 한 내각의 크기 !
④ 이십각형의 외각의 크기의 합 !
⑤ 오른쪽 그림
30`cm x!
25p`cm
에서 x의 값
⑥ 오른쪽 그림에
x`cm 16p`cm
192p`cm@
서 x의 값 가로 열쇠는 가로로,
세로 열쇠는 세로로 써넣어 보자.
6.6 부채꼴의 호의 길이와 넓이 205
다각형의 내부의 한 점 P와 각각의 꼭짓점을 선분으로 연 결하였더니 8개의 삼각형이 생겼다. 이 다각형의 대각선 의 개수를 구하시오.
02
내각의 크기의 합이 1260!인 다각형에 대하여 다음 보기 에서 옳은 것을 모두 고르시오.
ㄱ. 변의 개수는 9이다.
ㄴ. 대각선의 개수는 36이다.
ㄷ. 한 꼭짓점에서 대각선을 그었을 때 만들어지는 삼각형의 개수는 7이다.
보기
01
6 평면도형의 성질
오른쪽 그림에서 Cx의 크기
100!
160!
85! x
를 구하시오.
05
오른쪽 그림은 한 변의 길이
a 가 서로 같은 정오각형과 정
팔각형의 한 변을 붙여 놓고, 서로 다른 두 변을 연장하여 그린 것이다. 이때 Ca의 크
기를 구하시오. (단, 풀이 과정을 자세히 쓰시오.)
06 서술형
한 내각의 크기가 한 외각의 크기의 4배인 정다각형의 이 름을 말하시오.
07
오른쪽 그림에서 Cx+Cy의 크기를 구하시오.
04
45! 60!
40! x y
다음 지도에서 7개의 도시 사이에 다른 도시를 거치지 않 고 직접 연결하는 항공로를 개설하려고 한다. 최소한 몇 개의 항공로를 개설해야 하는지 구하시오.
(단, 풀이 과정을 자세히 쓰시오.)
나이로비 런던
인천동해
싱가포르 마드리드 마닐라
모스크바
03 서술형
오른쪽 그림의 원 O에서
O x!
30! 70!
6`cm
y`cm
9`cm x+y의 값을 구하시오.
11
내각의 크기의 비가 3:5:5:6:8인 오각형에서 가장 큰 내 각의 크기를 a!, 가장 큰 외각의 크기를 b!라고 할 때, a+b의 값을 구하시오.
08
오른쪽 그림과 같이 원 O 위에 6개
O 의 점을 찍어 정육각형을 만들었다.
원 O의 넓이를 a라고 할 때, 색칠한 부채꼴의 넓이를 a를 사용한 식으 로 나타내시오. (단, 풀이 과정을 자 세히 쓰시오.)
12 서술형
오른쪽 그림과 같이 ABZ, BCZ, A
B
C
D
E
F G
H I
y y CDZ, DEZ, y를 변으로 갖는 정n각형과 정오각형, 정사각 형이 변끼리 붙어 있다. 이때 n의 값을 구하시오.
09
오른쪽 그림의 원 O 위에 네 점 A
B
C
O D
A, B, C, D가 있다.
1
2CAOB=CCOD이고, BCZ 가 원 O의 지름일 때, 다음 보기 에서 옳은 것을 모두 고르시오.
ㄱ. ABi=2CDi ㄴ. ABZ=2CDZ ㄷ. (△AOB의 넓이)=2\(△COD의 넓이)
ㄹ. (부채꼴 AOB의 넓이)=2\(부채꼴 COD의 넓이)
보기
10
반지름의 길이가 9`cm이고, 넓이가 27p`cm@인 부채꼴의 중심각의 크기와 호의 길이를 각각 구하시오.
13
오른쪽 그림과 같이 정오
P Q
E R
D C B 각형 ABCDE의 변에 부 A 채꼴 P, Q, R가 차례로 붙어 있다. 부채꼴 P의 호 의 길이가 4p`cm일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하시오.
14
단원 마무리 207
자기
평가점검 항목 도달 정도
미흡 보통 우수
학습 내용
다각형의 성질을 이해하였는가?
부채꼴의 중심각의 크기와 호의 길이, 넓이 사이의 관계를 이해하였 는가?
부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구할 수 있는가?
학습 태도
수업 시간에 성실히 참여하였는가?
문제를 풀 때 끈기 있게 도전하였는가?
복습과 예습을 꼼꼼히 하였는가?
친구의 의견을 존중하고 경청하였는가?
●이 단원을 공부하면서 알게 된 점과 어려웠던 점은 무엇인지 써 보자.
문제 해결 창의
UP다음 그림과 같이 한 변의 길이가 20`m인 정오각형 모양 꽃밭의 P 지점에 끈의 길이가 30`m가 되도록 소를 묶어 놓았다. 소는 꽃밭 위를 지나갈 수 없을 때, 이 소가 움직 일 수 있는 영역의 넓이를 구하시오.
(단, 끈의 매듭의 길이와 소의 크기는 생각하지 않는다.)
20`m P 30`m
15
오른쪽 그림과 같이 육각형의 각 꼭짓점에서 대각선을 2개씩 그었 을 때, 색칠한 각의 크기의 합을 2가지 이상의 방법으로 구하시오.
16
창의 융합 프로젝트
기원전 8세기에 그리스에서 고대 올림픽 의 한 종목으로 시작된 육상은 달리고 뛰고 던지는 인간의 가장 기본적인 움직임을 바 탕으로 한 경기이다.
육상 경기에 사용되는 육상 트랙은 반지 름의 길이가 같은 두 개의 반원과 한 개의 직사각형을 조합한 형태로, 직선 구간과 곡 선 구간을 합친 한 바퀴의 주행 거리가 400`m이다.
어느 중학교에서는 운동장에 한 바퀴의 주행 거리가 400`m인 육상 트랙을 그리려고 한다. 이 학교의 조건에 맞는 육상 트랙을 설계해 보자. (단, p는 3.14로 계산한다.)
과제
육상 트랙 설계하기
오른쪽 그림과 같이 곡선 구간은 각각 점 O 와 점 O'을 중심으로 하는 반원이고 원 O의 반지름 OAZ의 길이가 40`m일 때, 직선 구 간 ABZ의 길이를 구해 보자.
1
오른쪽 그림과 같이 육상 트랙을 설계하고 각 레인의 폭이 1`m가 되도록 4개의 레인 을 그렸다. 그런데 각 레인의 왼쪽 선을 기 준으로 출발선에서 시작하여 결승선으로 돌아올 때까지의 거리를 측정하니 그 거리가 제각기 달랐다. 결승선까지 4개의 레인의 주행 거리가 모두 같도록 출발선의 위치를 조정하는 방법을 알아보자.
⑴ 직선 구간과 곡선 구간 중 어느 구간에서 각 레인의 주행 거리의 차이 가 생기는지 말해 보자.
⑵ 서로 인접한 레인의 주행 거리의 차를 구하고, 1레인의 출발선이 위의 그림과 같을 때 모든 레인의 주행 거리가 1레인과 같도록 나머지 3개 레인의 출발선을 각각 그려 보자.
2
1 2 3 4
1`m O 40`m O'
출발선,결승선
A B
출발선 결승선
수학 체육
[출처: 이동욱, 육상 경기 지도 방법론 ]
포트폴리오 평가
•이 단원을 학습한 후 스스로 해결하기 및 단원 마무리 문제 해결, 자기 평가 작성, 창의+융합 프로젝트 과제 해결 등 모든 활동 결과를 확인하고 점검하였는가?
창의 + 융합 프로젝트 209
