젂기장

 움직이는 전하가 만드는 자기장을 어떻게 구할 수 있을까?

 전기장을 다음과 같이 전하로 기술했다.

여기서

dq

젂기장

2 0

1 ˆ

4

dE dq r

 r

 

ˆr

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.

 전기장을 만드는 점전하와 달리 자기장을 만드는 전류요소는 방향을 가지므로 상황이 다소 좀 복잡하다.

•

 전류요소 가 만드는 자기장(비오-사바르 법칙):



 ₀

i

자기장 (1)

0

4 3

ids r

dB r





 

  

7 0

4 10 Tm

   

A

s

id 

자기장 (2)

 전류요소가 만드는 자기장의 방향은 지름방향과 전류방향 모두에 수직하다.

 자기장의 크기는 다음과 같다.

여기서



 다양한 전류분포가 만드는 자기장을 계산한다.

0

2

sin 4

dB ids

r

 

 

긴 직선 도선이 만드는 자기장(1)

 전류

i

 도선에서 수직거리 인 점

P

dB

 자기장의 방향은 오른손 규칙에 따라 종이면에서 나오는 방향이 고, 크기는 비오-사바르 법칙으로 구한다.

r

긴 직선 도선이 만드는 자기장 (2)

 도선의 오른쪽 반이 만드는 자기장에 2를 곱해서 전체 도선이 만드는 자기장 을 구할 수 있다.

 도선의 오른편이 만드는 자기장의 크기는 다음과 같다.



r

s



0 0

2 2

0 0 0

sin sin

2 2

4 2

ids i ds

B dB

r r

   

 

  

     

2 2

r  s  r _

sin

 

   ^{ r }

s ²  r _ ²

긴 직선 도선이 만드는 자기장 (3)

 자기장의 크기

적분식

 적분결과

 전류가 흐르는 긴 직선 도선에 수직으로 떨어진 곳의 전기장

B  

i 2 

r

ds s

 r

 

0



B  

i



1

r

r

s s

 r

 





 







 





B(r

)  

i 2  r

  ₀ i

 r _

s s ²  r _ ²

  ^{1/ 2}





 





 

s



dx x

 a

 

^{ a}

 ^x

^{x  a}





긴 직선 도선이 만드는 자기장 (4)

 자기장의 방향은 그림과 같은 오른손 규칙으로 정한다.

 오른손으로 도선을 잡으면 엄지가 전류의 방향으로 향하고 나머지 손가락들은 자기장의 방향을 가리킨다.

 전류가 흐르는 도선 주변에는 그림처럼 자기장선들이

동심원을 이룬다.

 자기장선들의 간격을 보면 자기장은 도선 근처에서 가장 강하며, 1/ 에 비례한다.

^r



















원형 고리가 만드는 자기장

0 0

2 2

sin 90

4 4

ids ids

dB R R

 

 

  

2 0 0

0 4 2 2

i B dB iRd

R R

   

     

 전류가 흐르는 도선에 작용하는 자기력

 자기력의 크기

• iL

L

• 

 자기력의 방향은 전류와 자기장 모두에 수직하고, 오른손 규칙으로 정한다.

복습: 젂류가 흐르는 도선에 작용하는 자기력

sin F  iLB 

F    iL B  

젂류가 흐르는 두 평행도선 (1)

 두 평행도선에 전류가 흐르는 경우를 조사해보자.

 한 도선이 만드는 자기장이 다른 도선에서 움직이는 전하에 영향을 미치므로 두 도선이 서로 영향을 미치는 자기장을 형성하게 된다.

 전류가 흐르는 도선이 만드는 자기장의 세기는 다음과 같다.

 오른손 규칙에 따라 자기장의 방향은 도선에 흐르는 전류의 방향에 항상 수직이다

( ) 0

2

B r i

r



 

젂류가 흐르는 두 평행도선 (2)

 전류

i ₁

 이 도선에서 거리

d

 이 도선에서 거리

d

i ₂

 도선 1의 자기장이 도선 2에서 움직이는 전하에 자기력을

작용한다.

0 1

1

2

B i

d



 

 시간

t 동안에 길이 L

v

 자기력



B ₁

젂류가 흐르는 두 평행도선 (3)

2 2 2

q ti L i

  v

2 1 2 1

F qvB L i vB i LB v

 

    

 

0 1 0 1 2

12 2

2 2

i i i L

F i L

d d

 

 

 

   

 



문제:

다른 두 도선이 도선 (a)에 작용하는 자기력은 무엇인가?

답:







문제: 직선 평행도선

B

 

i

2

 d

 

i

  

B

 

i

2

 d  

i

4

 d  

i

 d

abc a bc

F

 i L B





F

 i

LB

 

i

L

 d

보기문제 28.1: 고리에 작용하는 힘 (1)



i ₁

 한 변의 길이가 a=0.250m인 정사각형 고리가 도선에서 수직거리 d=0.100m인 지점에 평행하게 놓여있다.

 정사각형 고리에

i ₂

문제:

보기문제 28.1: 고리에 작용하는 힘 (2)

답:

 정사각형 고리에 작용하는 힘은 직선 도선에 흐르는 전류가

만드는 자기장이 작용한다.

 오른손 규칙을 이용하여 도선에 흐르는 전류가 만드는 자기장은

고리가 놓인 곳에서 종이면으로 들어가는 방향임을 알 수 있다

 전류가 흐르는 도선에 작용하는 자기력

 오른손 규칙과 식에 따라

•

•

 두 힘의 크기는 같고 방향은 서로 반대이므로 두 힘의 합은 0이 된다.

F    iL B  

보기문제 28.1: 고리에 작용하는 힘 (3)

 고리의 윗부분에 작용하는 힘은 아래 방향이며,

크기는 다음과 같다.

 고리의 아랫부분에 작용하는 힘은 위 방향이며, 크기는 다음과 같다.

F

 

i

i

L

2

 





F

 

i

i

L

2

 



보기문제 28.1: 고리에 작용하는 힘 (4)

 위 방향을 양의 방향으로 택하면 알짜 자기력은 다음과 같이 얻는다.

F  F

 F

3.93 10 N

F   

F   4  10

T  m/A  ^{ 5.00 A   2.20 A   0.250 m }

2 

1

0.350 m  1 0.100 m









복습: 가우스의 법칙

 임의의 전하분포에 대한 전기장

•

 전하분포가 복잡하면 적분하기가 매우 어려워진다.

 그러나 전하분포가 대칭성을 지니면 가우스의 법칙을 적용하여 세련된 방법으로 전기장을 구할 수 있다.

r r E dq

d ˆ

4 1

2

 0

  r

r 

 ˆ

둘 러 싼

q A

d

E  

 ^{ }

앙페르의 법칙 (1)

 자기장에 대해서도 비오-사바르 법칙을 이용하여 임의 전류요소의 분포에 의한 자기장을 구하는 것은 어려운 적분계산이 포함될 수 있다.

 원통 또는 구형 대칭성을 갖는 전류요소의 분포에 대해서는 비오-사바르 법칙 대신에 앙페르의 법칙을 적용하여 자기장을 구할 수 있다. 이때 직접 적분계산보다 훨씬 손쉬운 방법으로 문제를 해결할 수 있다.

0

4 3

ids r

dB r





 

  

앙페르의 법칙 (2)

 앙페르의 법칙:

• 앙페르 고리라고 부르는 닫힌 경로를 따라 적분하고,

i _에워싼

 앙페르의 법칙을 적용하는 예로 평면과 수직한 5개의 전류를 생각해 보자.

 모든 전류는 평면에 수직하다.

 빨간색 곡선으로 표시한 앙페르 고리를 택한다.

에 워 싼

i S

d

B   

 ^{ }

앙페르의 법칙 (3)

 앙페르 고리는 전류 i

₁

₂

₃

₄

₅

 앙페르 고리에 대한 적분은 양쪽 방향 모두 가능하다. 그림은 자기장을 따라 적분하는 방향을 보여 준다.

 적분에 기여하는 전류의 부호는 오른손 규칙으로 결정할 수 있다. 적분방향으로 오른손을 잡으면 엄지가 가리키는 방향과 같은 방향으로 흐르는 전류는 양수이다.

 그림에서 앙페르 고리 안의 세 전류 중 둘은 양수이고 하나는 음수이다.

) ( _{1 2 3}

0 i i i

S d

B    

 ^{  }



긴 직선 도선 내부의 자기장 (1)

 반지름

R

i

 전류는 도선의 단면에 균일하게 분포되어 있다.

 도선에 흐르는 전류가 만드는 자기장을 구하기 위하여 그림에서 빨간색 원으로 표시한 반지름

r _

사용한다.

 자기장은 앙페르 고리에 접선방향이므로 앙페르 법칙의 왼편 항은 다음과 같이 계산할 수 있다.

) 2

 (

 ^{B   d S   B dS  B  r}

긴 직선 도선 내부의 자기장 (2)

 오른편 항인 고리로 에워싸인 전류는 앙페르 고리의 면적과 도선 단면적의 비율로 다음과 같이 얻는다.

 두 식이 같으므로 다음을 얻는다.

i

 i A

A

 i  ^r

 R

B2  r

 

i r

R

B(r _ )   ₀ i 2  R ²







 r _



긴 직선 도선 내부의 자기장 (3)

 중심에서 거리

r _

 도선의 내부에서는 자기장의 크기가

r _

증가하고,

 반지름 R에서부터는

r _

(긴 직선 도선처럼).

솔레노이드의 자기장 (1)

 단일 고리를 따라 흐르는 전류는 불균일한 자기장을 만든다.

 실제 응용에서는 흔히 균일한 자기장을 필요로 한다.

 균일한 자기장을 만들기 위하여 두 개의 동축 도선고리로 구성된 헬름홀츠 코일이을 흔히 사용한다

 각 고리는 여러 번 감은 단일 도선으로 자기적으로는 단일고리처럼 작용한다.

네고리 첨가/솔레노이드의 자기장 (2)

솔레노이드의 자기장 (3)

 강하고 균일한 자기장은 도선을 빽빽하게 감은 수많은 고리로 이루어진 솔레노이드로 만들 수 있다.

 솔레노이드는 전기 및 전기-역학 장치등에 주로 사용된다.

이상적인 솔레노이드

 실제 솔레노이드의 자기장은 솔레노이드 양 끝에서 가장자리 자기장을 형성하므로, 자기장이 일정하지 않다.



이상적인

 이상적 솔레노이드 내부에서 자기장의 크기를 구하기 위하여 솔레노이드의 양 끝으로부터 멀리 떨어진 단면에 앙페르의 법칙을 적용한다.

이상적인 솔레노이드의 내부 저기장 (1)

 빨간색 직사각형으로 선택하면 적당한 전류를 포함하면서 솔레노이드의 대칭성을 이용할 수 있다.

 직사각형 앙페르 고리에 대한 적분은 다음과 같이 간단해진다.

0 0 0

b c d a

a b c d

B ds B ds B ds B ds B ds

B ds Bh

        

    

    



         

 





이상적인 솔레노이드의 내부 저기장 (2)

 앙페르 고리로 둘러싸인 전류는

앙페르 고리 내부에 있는 솔레노이드 부분을 지나가는 전류이다.

 솔레노이드를 하나의 도선으로 만들어서 고리에 흐르는 전류가 같으므로

i _enc

nhi

n

 따라서 이상적인 솔레노이드 내부 에서 자기장의 크기는 다음과 같다.

 주의: 이 결과는 솔레노이드 양쪽 끝에서 멀리 떨어진 부분에서만 성립한다.

i

i

B   ₀ in

토로이드 (1)

 솔레노이드의 양 끝이 맞닿게

구부리면 각 고리에 같은 전류가 흐르는 도넛 모양(토러스) 이 된다.

 이 장치를

토로이드 자석

 이상적인 솔레노이드처럼

이상적인 토로이드 자석 외부에서 자기장은 0이다.

 토로이드 내부의 자기장은 앙페르의 법칙으로 구할 수 있다.

 내부반지름 r

₁

₂

₁

₂

토로이드 (2)

 자기장은 앙페르 고리에 대해 항상

 접선방향이므로 결국 다음을 얻는다.

 앙페르 고리로 둘러싸인 전류는

토로이드 내 고리의 수

N

i

앙페르의 법칙에 따라 다음과 같다.

 따라서 토로이드 자석 내부에서 자기장의 크기는 다음과 같다.

r 의존성!

2

B ds    rB

 ^{ }



2  rB   ₀ Ni B   ₀ Ni

2  r

문제: E 장과 B 장

아래 방향의 균일한 전기장 (

E

B

문제:

작용하는 알짜 힘이 0인

대전입자의 속도는 무엇인가?

답:

알짜 힘:

전기력은 아래 방향으로, 자기력은 위방향으로 작용한다.

따라서 다음과 같이 속도의 크기를 얻는다.

E 

B 

0 )

(   

 q E v B

F    

m/s 10

0.4T 2 80000V/m 90

sin      

 B

v E qvB

qE

문제: 굽은 도선이 만드는 자기장 (1)

문제:

R



C

i

C

답:

 비오-사바르 법칙

 그림과 같이 세 부분으로 나눠서 분석한다.

 직선 부분 1 과 2:



0

2

sin 4

dB ids

r

 

 

0 0 180

sin

0 0

sin

2

1  











B

B

문제: 굽은 도선이 만드는 자기장 (2)

 부분 3(원호):

 알짜 자기장:

B

  dB ^

₄ ^ _

^iRd _R

^



 ^{ }

ⁱ   ^{ / 2}

4  R  

i 8R

R i R

B i

8 0 8

0

C



 _







문제: 반원형 도선고리가 만드는 자기장 (1)

문제 :

직선과 동심 원호(반지름 r, 2r, 3r 의 반원 또는 사분원)로 만든 고리에 전류 i가 흐른다. 곡률중심 점에 생기는 자기장의 크기를 구해라.

답 :

 비오-사바르 법칙

직선 부분

  0 or   180 dB  

4 

idssin 

r

 0

3r

r 2r

0

2

sin 4

dB ids

r

 

 

문제: 반원형 도선고리가 만드는 자기장 (2)

3r

r 2r

 원 부분 _



 



  



  ^ 

 R

i R

dB iRd

B 









4 4

0 2

0

0

r B i

r R

12

3 ,

0 1













원

반원 큰

위쪽

r B i

r R

4 ,

0 1













원

반원 작은

아래

r B i

r R

8 , 2 /

0 1













원

사분원 아래

r B i

r R

16

2 ,

2 /

0 1













원

사분원 큰

아래

문제: 반원형 도선고리가 만드는 자기장 (3)

3r 2r

r

알짜 자기장:

 전류의 방향=반시계방향

 오른손 규칙





B _a   ₀ i

12r   ₀ i

4r   ₀ i

3r

3r 2r r

문제: 반원형 도선고리가 만드는 자기장 (4)

알짜 자기장:

 위 원호에서 전류의 방향=반시계방향

 오른손 규칙





r i r

i r

B _b i

6 4

12

0 0

0  

 _{  }



3r 2r r

문제: 반원형 도선고리가 만드는 자기장 (5)

알짜 자기장:

 위 원호에서 전류의 방향=반시계방향

 오른손 규칙





r i r

i r

i r

B _c ⁰ i ^{0 0 0}

48 13 16

8 12







 _{  }



문제: 긴 직선 도선이 만드는 자기장

문제:

d

i ₁

i ₂

i ₁

방향으로 각각 흐른다

. x축 위 어디에서 알짜 자기장이 0인가?

답:

• 크기는 같고 방향이 반대이어야 한다.

• 오른손 규칙: 두 도선 사이에서만 가능하다.

   

 

0 1

0 1 0 2 0 1

3

2 2 2 2

i i i i

r d r r d r

 

  

 ^   ^  ^   ^

i

2 

0

r

    3 i

2   

 

1 3 16 cm

3 4 4 cm

4 4

d r

r d r r d r d

r d r



         



문제: 자기장 안의 원운동 (1)

문제 1:

전자(

m

^-31

답 1:

전자가 정지상태에서 가속되므로 전기퍼텐셜에너지가 모두 전자의 운동에너지로 전환된다.

문제: 자기장 안의 원운동 (2)

문제 2:

자기장 안에서 원운동하는 전자의 반지름은 얼마인가?

답 2:

원운동에 필요한 구심력= 자기력

2 e cent

F m v

 r

F

 vBe

mag cent

F F vBe m v

   r

자석인 원자 (1)

 모든 물질을 만드는 원자에는 움직이는 전자들이 있어서 자기장을 만드는 전류고리가 형성된다.

 대부분의 물질에서는 전류고리가 막방향으로 향하기 때문에 알짜 자기장을 만들지 못한다.



자기물질

 다른 물질들은 외부자기장에 의해 물질 내의 전류고리가 정렬되어 자기화 될 수 있다.

 매우 단순한 원자모형을 생각해 보자.

•

•

•

자석인 원자 (2)

 원자모형 전하는 크기가 e 인 전자의 전하이고, 시간은 전자궤도의 주기 T와 관계가 있다.

 따라서 전류의 크기를 다음과 같이 얻는다.

 한편 궤도를 돌고 있는 전자의 자기쌍극자 모멘트 크기는 …

 전자의 궤도 각운동량의 크기는 …

 따라서 다음을 얻는다.

i  e

T  e

2

 r

 

^

^{ve  r}

2

2 2

orb

ve ver

iA r

 r 

   

L orb  rp  rmv

2

2

orb

L rm m

er e

 

 

     

자석인 원자 (3)

 자기쌍극자 모멘트와 각운동량은

벡터이므로 다시 표기하면 다음과 같다.

•

 이 결과는 수소 원자의 궤도 자기모멘트의 실험 측정값과 일치한다.

 하지만, 수소 원자와 원자 내 전자들이

원형궤도를 가진다는 가정을 토대로 한 다른 원자들에 대한 예측은 실험결과와 일치하지 않는다.

 원자들의 자기적 특성에 대한 자세한 설명은

orb 2 orb

e L



  m

강자성 (1)

 철, 니켈, 코발트, 가돌리늄, 디스프로슘과 이 원소들을 포함하는 합금은 강자성을 가진다.

 강자성 물질:

•

•

 구역 안에서는 자기장이 강할 수 있다.

 구역은 매우 작고 막방향으로 배열되어 알짜 자기장은 0이다.

 외부자기장은 구역의 자기쌍극자 모멘트와 상호작용하여 구역들을 한 방향으로 정렬시킬 수 있다.

강자성 (2)

 강자성 물질은 외부자기장이 사라진 다음에도 구역들이 정렬되어 남으려는 경향 때문에 유도된 자기의 전부 또는 일부가 남게 된다.

 유도자기장은 외부자기장과 같은 방향이다.

•

 실험

•

상자성

 특정 전이원소(악틴계열과 희토류를 포함한)를 함유한 물질은 상자성을 보인다.

 이들 원소를 이루고 있는 개별 원자는 영구 자기쌍극자를

가지고 있지만, 쌍극자모멘트들이 막방향으로 흩어져 있어서 알짜 자기장을 만들지 못한다.

하지만 외부자기장이 걸리면 이들 자기쌍극자 모멘트 중 일부가 외부자기장 방향과 같은 방향으로 정렬한다.

•

•

 외부자기장이 사라지면 유도된 자기쌍극자

모멘트가 없어진다.

반자성

 대부분의 물질은 반자성을 보인다.

 반자성은 매우 약하므로 다른 종류의 자성이 있으면 완전히 가려진다.

 반자성 물질에서는 외부자기장에 의해 반대방향으로 약한 자기쌍극자 모멘트가 유도된다.

 유도자기장의 방향은 외부자기장과 반대방향이다.

•

•

 유도된 자기장은 외부자기장이 없어지면 사라진다.

양성자와 핵의 스핀

 대부분의 기본입자들은 스핀에 의한 고유 자기모멘트를 가진다.

 (퀴크로 구성된) 양성자와 중성자 또한 자기쌍극자 모멘트를 가진다.

 (양성자와 중성자로 구성된) 핵 또한 자기쌍극자 모멘트를 가진다.

 외부자기장에서 자기쌍극자는 자기장과 같은 방향이거나 반대 방향이다.

 두 상태의 에너지가 다르다.

• 에너지 차=2

 B,

•



NMR과 MRI

 적절한 진동수로 시간에 따라 변하는 자기장을 도입하면

외부자가장과 반대 방향의 양성자를 같은 방향으로 뒤집어서 에너지를 얻게 만들 수 있다.

 자기 퍼텐셜에너지는 두 값만 가지므로 외부자기장의 크기에 따라 양성자를 뒤집는 에너지가 결정된다.

 따라서 특장 진동수만이 자기쌍극자를 뒤집을 수 있다.

 시간에 따라 변하는 자기장을 끄면 높은 에너지상태의 양성자가 원래 에너지상태로 내려오면서 방출하는 전자기에너지를

검출할 수 있다.

 NMR을 이용하여 영상을 얻을 수 있다.

 시간에 따라 변하는 자기장으로 인체 내 양성자의 위치 (즉, 밀도)를 파악한 다음에 자기장을 변화시켜서 수소 원자를 포함한 생체조직의 분포에 대한 3차원 영상을 얻는다

재래식 자석

 산업적 응용과 과학연구에 필요한 자석은 저항이 있는 보통의 도선에 전류를 흘려서 만들 수 있다.

 이러한 종류의 전형적인 자석은 커다란 솔레노이드이다.

 자석의 도선에 흐르는 전류는 저항 때문에 열을 발생하고,

 이 열은 보통 속이 빈 전도체에 전도율이 낮은 물을 흘려서 제거한다. (전도성이 낮은 물은 전기를 전도하지 않도록 정화되어 있다.)

 이러한 실온 자석은 보통 1.5T 세기까지의 자기장을 만들어내며

 상대적으로 제작비용이 저렴하지만 고가의 전기료 때문에 작동비용은 많이 든다.

초젂도 자석

 MRI 같은 응용에서는 측정 시 가장 좋은 신호 대 잡음 비율을 얻기 위하여 가능한 최대 크기의 자기장을 필요로 한다.

 이러한 자기장을 얻기 위해서는 저항이 있는 코일 보다는

저항이 없는 초전도 코일을 이용하여 자석을 만들어야 한다.

 이런 자석은 실온 자석보다 강한 10T나 그 이상으로 강한 자기장을 만들 수 있다.

 초전도 자석의 단점은 전도체가 약 4K인 액체헬륨 온도로 유지되어야 한다는 것이다.

 따라서 자석을 차게 유지하기 위한 액체헬륨으로 가득 차있는 저온유지장치 안에 자석이 밀폐되어 있어야 한다.

 초전도 자석의 장점은 일단 전류가 자석 코일에 흐르면 외부 요인으로 전류를 제거할 때까지 계속해서 전류가 흐른다는 것이다. 하지만 코일 내의 저항손실이 없어서 절약할 수 있는

에너지의 일부는 적어도 초전도 코일을 차게 유지시키는 에너지 비용과 상쇄된다.

초젂도성

 지난 20년간 물리학자와 공학자들은 4K 훨씬 위에서 초전도성을 보이는 신물질들을 발견해 왔다.

 이러한

고온 초전도체

보고되었다. 이는 액체질소로 냉각시킨 초전도체를 만들 수 있다는 뜻이다.

 전 세계적으로 많은 연구자들이 실온에서 초전도성을 가지는 물질을 찾고 있다.

 이러한 물질들은 산업계의 여러 분야, 특히 운송과 송전망 분야에서 혁명적 변화를 일으킬 것이다.

터미네이터의 CPU 는 실온 초전도체이다.