수와 연산 연산(1) (1) 수와

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수와

수와 연산 연산(1) (1) 수와

수와 연산 연산(1) (1)

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1. 수와 연산 지도의 의의

• 학문적 관점: 대수적 구조

• 대수적으로 닫힌 수 체계

• 연산의 구조

• 과정적 관점: 수 체계는 추상화의 결과

• 추상: 구체적인 대상에서 다른 부분을 생략하고 특정한 부분을 추 출함으로써 얻어지는 것

• 심리적 관점: 기존의 지식 체계(인지 구조)를 수정, 발전

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2. 수 개념의 발생

자연수 개념 – 수 개념의 추상

• 경험론

: 수 개념은 사물 자체가 가진 본질적인 특성이므로 인간이 포착하면 추상화될 수 있는 것.

•사물에 의한 방법: 다양한 사물을 여러 가지 방법으로 보여줌.

•학습 활동이 의미를 갖지 못하고 수동적으로 감각에 사고가 종속될 수

•학습 활동이 의미를 갖지 못하고 수동적으로 감각에 사고가 종속될 수 있음.

• 관념론

: 수를 이루는 기초적인 개념이 선천적으로 타고나는 것.

•기호에 의한 방법: 수를 다루는 기호를 다루는 규칙을 학습하여 자연수 개념 학습.

•공허한 기호로만 학습될 수 있음.

두 가지 관점을 통합적으로 고려해야

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• ‘사물 자체’ 또는 ‘인간의 정신’ 대신 수 개념이 추상화되는 원천을 ‘사물에 대한 인간의 활동 ’으로 보는 관점 – 듀이와 피아제

• Dewey

수 개념의 발생

• Dewey

– 수를 사물 ‘없이’ 가르치는 것과 사물에 ‘의해서만’ 가르치는 것은 어리석은 것.

– 구성적인 방법으로 사물을 사용하는 것으로부터 관념이 생겨난다.

– 외적 사물/상황과 내적 정신 활동이 수 개념 발생에 있어 한 축 – 활동으로부터 수 개념이 발생.

– 반성적 사고

• Piaget

– 사물에 대한 행동을 추상함으로써 수 개념이 형성됨.

– 경험적 추상화 vs. 반영적 추상화

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수 개념의 원천이 되는 활동-

Dewey

• 측정 활동에 의해 수 개념이 생겨남. 측정 활동은 한계 상황의 인식에서 비롯됨. 한계를 느끼면 목적에 맞게 수단을 조정하 게 됨.

• 측정 활동은 전체를 단위로 분해하고 단위의 반복으로 전체를 재구성함.

• 수는 전체량과 단위량 사이의 상대적인 관계 즉 비(ratio)

• 측정 활동: 모호한 전체를 명확한 전체로 만드는 과정

– 변별(분석)과 관계짓기(종합)의 하위 조작을 포함.

– 이 두 가지의 상보적인 수행과 변증법적인 통합이 요구됨. 아동에게는 어려운 일일 수 있음.

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• 구성적 활동의 방법: 활동주의 → Piaget의 조작적 구성주의

• 구성적 활동에 의한 산술 지도의 과정

1. 모호한 전체: 명확히 규정될 필요가 있는 한정된 크기나 양을 경험.

탐구와 사고를 발생시키는 문제 상황. 한계 상황

2. 전체를 (명확하게) 구성하는 데 도움이 되는 부분(단위)을 파악. 단위

수 개념의 원천이 되는 활동-

Dewey

2. 전체를 (명확하게) 구성하는 데 도움이 되는 부분(단위)을 파악. 단위 는 주목하는 행동에 의해 결정됨

*고정 단위 방법을 비판: ① 단위가 사물 자체의 성질로 규정되게 됨.

② 변별과 관계 짓기가 이루어질 수 없음 3. 명확한 전체를 구성하는 측정의 과정(수 값의 결정). 단위의 반복을

통해 전체를 표현.

• 듀이의 문제해결 5단계: 문제 상황에 대한 막연한 착상,

문제의 지적인 정리, 가설, 추론, 가설의 검증

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수 개념의 조작적 구성- Piaget

• 발생적 인식론: 인식론적 문제를 심리적 발생과 인지구조로 설명(발생적 인식론)

• 조작은 내면화된 가역적 행동

– 내면화: 행동을 의식하고 그 행동을 머리 속에 넣는 것

• 수학적 개념은 행동의 일반적 조정에 대한 반영적 추상화의 결과로 구성되는

조작: 조작적 구성주의

• 성장과 함께 조작이 발달: 감각운동기-전조작기-구체적 조작 기-형식적 조작기(가설 연역적 사고)

• 조작의 체계가 수학적 구조를 가짐

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수 개념의 조작적 구성- Piaget

[대상을 분류하고 분류된 집합들 사이의 위계를 형성하는 조작 체계]

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• 구체적 조작의 체계 T (군성체의 조건)

– 합성가능성: A, A’가 인접조작일 때, 합성조작 A+A’가 정의되 고 T에 속함(닫혀 있다)

수 개념의 조작적 구성- Piaget

– 가역성: 역조작 –A가 존재. A+A’=B이면 B+(-A’)=A – 결합법칙: (A+A’)+B=A+(A’+B)

– 일반 항등조작: 모든 조작 A에 대하여 A+O=A인 O가 존재 – 특수 항등조작: 각 조작에 더해도 변하지 않는 조작이 존재.

A+A=A, B+A=B

• 군의 구조와 매우 유사

• 군: 닫혀 있다, 결합법칙, 항등원, 역원

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• Piaget는

군성체라고 부름

* 합성 가능성이나 결합법칙이 인접 조작에서만 의미를 가진다는 점에서 군과 차이가 있음

– 집합의 가법 군성체 (개의 분류)

– 비대칭적 추이 관계의 가법 군성체 (서열화 조작)

수 개념의 조작적 구성- Piaget

– 비대칭적 추이 관계의 가법 군성체 (서열화 조작)

• 수 계열은 분류와 서열화의 조작적 종합의 결과

• 군성체의 핵심 특성은 가역성 수의 보존

• 수 개념의 근거를 ‘활동’에 대한 반영적 추상화로 인해 구성되는

‘조작’에 두고 있음

• 수 개념의 구성은 ‘보존되는 전체 내에 부분을 겹쳐 넣는 것’과

‘서열화’를 전제함

– 길이의 측정(Dewey)도 자연수 개념과 관련: 분류와 서열화

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수와 연산 연산(1) (1) 수와

수와