수리영역 ( )

고 2 수 리 영 역 ( 가 형 ) 1

◦ 자신이 선택한 유형 가 형(‘ ’ / 나 형 의 문제지인지 확인하시오‘ ’ ) .

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 써 넣으시오.

◦ 답안지에 성명과 수험 번호를 써 넣고 또 수험번호와 답을 정확, 히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시 하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고, 하시오 배점은 점. 2 , 3점 또는 점입니다4 .

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

1.

5of2⁴÷ 10of2³의 값은? [ 2점]

① 1 ② 2 ③ 2 ④ 2 2 ⑤ 4

2.

두 행렬 A=

(

¹₂ ²_{3 ,}

)

^B=

(

¹₂ ^-1_{-2 에 대하여}

)

AB-A^{의 모} 든 성분의 합은? [ 2점]

① -10 ② -8 ③ -6 ④ -4 ⑤ -2

3.

공비가 실수인 등비수열 {a_n}에 대하여 a₂=6 , a₅=162 일 때, a4의 값은? [ 2점]

① 54 ② 56 ③ 58 ④ 60 ⑤ 62

4.

^limn→∞

n ²+2n-1-n

3 의 값은? [ 3점]

① 1

5 ② 1

3 ③ 1 ④ 3 ⑤ 5

학 년 도 월 고 학 업 성 취 도 평 가 문 제 지

2008 10 2

수 리 영 역 ⁽ 가 형 )

성명 수험번호 2

1

제2 교시

2 수 리 영 역 ( 가 형 ) 고 2

5.

^log43of81+

1

log₃4of8 의 값은? [ 3점]

① 1 ② log₂3 ③ 2 ④ 3 ⑤ 2log₂3

6.

실수 a,b에 대하여 연산 ◎을 a◎b=a-2b+1 이라 정의하 자. 이차정사각행렬 A의 (i,j)성분 a_ij가 a_ij=i◎j일 때 행, 렬 A의 모든 성분의 합은? [ 3점]

① -2 ② -1 ③ 0 ④ 1 ⑤ 2

7.

^limn→∞

4ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺¹+5

2²ⁿ⁺³+3ⁿ 의 값은? [ 3점]

① 1

16 ② 1

8 ③ 1

4 ④ 1

2 ⑤ 1

8.

그림과 같이 안의 9개의 수가 화살표 방향으로 등차수열을 이루고 있다. 안의 모든 수의 합이 162일 때, B^{의 값은?}

[ 3점]

A ^➡ 2B ^➡ 5C

฀ ฀

11C ^{฀ ฀} 6B ^{฀ ฀} 7A

฀ ฀

13A ➡ 10B ➡ 17C

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

고 2 수 리 영 역 ( 가 형 ) 3

9.

두 수열 {a_n}, {b_n}을 다음과 같이 정의한다.

가

( ) a_n은 [ log 2x]=n을 만족하는 정수 x^{의 개수} 나

( ) b_n은 [ log ₃x] =n-1을 만족하는 정수 x^{의 개수}

이 때, ∑^∞

n=1

a_n

b_n의 값은? ( , [단 x]는 x를 넘지 않는 최대 정수) [ 3점]

① 1 ② 3

2 ③ 2 ④ 5

2 ⑤ 3

10.

_x,y에 대한 연립방정식

(

^2a-8₄ ^2b-1_-2^-12

) ( )

^x_y⁼

( )

⁰_{0 이}

x=y= 0 이외의 해를 가질 때, a+b의 최댓값은? [ 3점]

① 5 ② 6 ③ 7 ④ 8 ⑤ 9

11.

두 수열 {a_n}, {b_n}에 대하여 옳은 것만을 보기 에서 있는< >

대로 고른 것은? [ 4점]

보 기

< >

.

ㄱ 두 수열 {a_n}, {b_n}이 수렴하면 수열 도 수렴한다.

무한급수 .

ㄴ ∑^∞

n=1(-1)ⁿa_n

이 수렴하면 lim

n→∞a_n=0 이다.

.

ㄷ 무한급수 ∑

∞ n=1a_n

이 발산하면 무한급수 ∑

∞ n=1a_2n

도 발산한다.

,

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄷ

,

④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,

12.

^{그림과 같이} y=|ax+b|의 그래프와 x^축, y^{축으로 둘러싸} 인 부분의 넓이는 32이고 직선, y=k와 만나는 점이 각각

A_k, B_k이다. ∑¹⁰

k=1

A_kB_k=110

일 때 상수, a,b^{에 대하여} a²+b²의 값은? [ 4점]

y

y=|ax+b| k

A_k B_k

32

4 수 리 영 역 ( 가 형 ) 고 2

13.

^{그림과 같이 자연수} n^{에 대하여 직선} y=x^{위에 점} A ₀, A₁, A₂, A₃,➡, A_n,➡이 있다.

A₁B₂, A₂B₃, A₃B₄,➡, A_nB_n+1,➡이 x^{축과 평행하고 삼,}

각형 A_n+1A_nB_n+1의 넓이가 삼각형 A_nA_n-1B_n의 넓이의 1 4 이고 두 삼각형이 닮음이 되도록 점 B₁, B₂, B ₃,➡, B_n,➡

을 잡는다. A₁(4, 4), B₁(2, 0)일 때 삼각형, A_nA_n-1B_n의 무게중심의 좌표가 (α, β)로 수렴한다. α+β의 값은?

단

( , A₀는 원점) [ 4점]

x

y y=x

O(=A₀)

A₁(4, 4) A₂

A3

B₁(2, 0) B₂

B₃

① 12 ② 13 ③ 14 ④ 15 ⑤ 16

14.

^{다음은 모든 자연수} n^{에 대하여} 1+2²+3³+➡+nⁿ

(n+1)ⁿ <1 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

증명

< >

(i) n= 1 일 때 좌변, ( ) = ( ) < 1 = 우변 이므로가 ( ) 성립한다.

(ii) n=k 일 때 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면, 1+2²+3³+➡+k^k

(k+1)^k <1

이므로 이다.

이 때,

나 1+2²+3³+➡+k^k+ ( )

(k+2)^k+1 < (k+1)^k+ (k+2)^k+1

나 ( )

= ( ) < 1다 그러므로 n=k+1 일 때도 성립한다.

따라서 모든 자연수 n에 대하여 주어진 부등식은 성립한다.

위의 증명에서 가( ), ( ), ( )나 다 에 알맞은 것은? [ 3점]

가

( ) ( )나 ( )다

① 1

2 (k+1)^k+1

(

^k_k⁺¹₊₂

)

^k

② 1

2 (k+1)^k+1

(

^k_k⁺¹₊₂

)

^k+1

③ 1

2 (k+1) ^k

(

^k_k⁺¹₊₂

)

^k+1

④ 3

4 (k+2) ^k

(

^k_k⁺¹₊₂

)

^k

⑤ 3

4 (k+1)^k+1

(

^k_k⁺¹₊₂

)

^k

고 2 수 리 영 역 ( 가 형 ) 5

15.

^{그림과 같이 자연수} n에 대하여 가로 세로의 길이가 각, 각 3n, 2n^{인 직사각형} ABCD안에 서로 외접하는 두 개의 원 O_n, O_n'이 있다 원. O_n은 AD, CD에 접하고 원, O_n'은

AB, BC에 접한다. O_nO_n'의 길이를 l_n이라 할 때, lim

n→∞

l_n-5n

n+1 의 값은? [ 4점]

C O_n 3n

D

B A

2n O_n'

① -2 3 ② -2 ③ - 3

④ - 1 ⑤ - 3

2

16.

방정식 | log₂x|=ax+b의 세 실근이 공비가 2인 등비수열 을 이룰 때, b의 값은? [ 3점]

① -1

2 ② -1

3 ③ -1

4

④ -1

5 ⑤ -1

6

17.

행렬 A=

(

⁰₁ ^-1_a

)

^,E=

(

¹₀ ⁰_{1 에 대하여}

)

A³=E^{일 때 옳,} 은 것만을<보기 에서 있는 대로 고른 것은> ? [ 4점]

보 기

< >

. ㄱ a=-1

행렬 .

ㄴ A의 역행렬은 -A-E^이다.

행렬 .

ㄷ (A²+E)¹⁰의 모든 성분의 합은 -1 이다.

,

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ ㄴ

,

④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,

18.

다음은 어느 신문기사의 일부이다.

2008년 10월 1일 프랑스에서 열린 기자회견에서 러시아 의 A가스회사 사장은 국제유가가 앞으로 몇 개월 내에 2배 이상 오를 것이란 전망을 내 놓았다.

중략

< >

이에 따라 대체에너지 개발에 성공했으나 생산단가가 높은 것이 단점으로 지적되고 있어서 A가스회사는 국제유가가 현 재의 2배 이상이 되었을 때 대체에너지를 상용화한다고 발표 하였다.

국제유가가 전월대비 매월 5 씩 상승한다고 할 때 위 기사에% , 따라 A가스회사가 대체에너지를 처음으로 상용화할 때는 몇 개

6 수 리 영 역 ( 가 형 ) 고 2

19.

^함수 f(x)=[ [logx]-logx]에 대하여

방정식 f(x) -ax= 0 ( -1 <a< 0 의 실근이 존재하지 않도) 록 하는 모든 a의 값들의 합은? 단( , [x]는 x^{를 넘지 않는} 최대 정수) [ 4점]

① -1

9 ② -1

8 ③ -1

7 ④ -1

6 ⑤ -1 5

20.

^원 x²+y²=9 위의 서로 다른 두 점 A(a,b), B(c,d)에 대하여 행렬 M=

(

^a_c ^b_d

)

의 역행렬이 존재하지 않을 때 원 위, 의 임의의 점 C에 대하여 △ABC의 무게중심이 그리는 도형 의 길이는? [ 4점]

① π

2 ② π ③ 3

2π

④ 2π ⑤ 5

2π

21.

좌표평면에서 삼각형을 이루는 세 점 A, B, C에 대하여 임 의의 점 P₀의 점 A에 대한 대칭점을 P1, P₁의 점 B에 대한 대칭점을 P₂, P₂의 점 C에 대한 대칭점을 P3, P₃의 점 A에 대한 대칭점을 P4라 하자. 이와 같은 방법으로 세 점 A, B, C에 대하여 차례로 대칭이동하는 점 P_i가 있다고 할 때 옳은 것만을, <보기 에서 있는 대로 고른 것은> ? ( ,단 점 P_i 는 A, B, C가 아니고 i는 음이 아닌 정수 ) [ 4점]

보 기

< >

점 .

ㄱ P₀와 점 P₆의 좌표는 같다.

.

ㄴ P₁₈P₁₉의 중점은 점 C이다.

.

ㄷ P₁P₅= P_6m+1P_6n-1( ,단 m, n은 자연수 )

,

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄷ

,

④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,

O A

B

C P₀

P₁

P₂

P₃

x y

단 답 형 (22 ~ 30)

22.

2^{log 25}의 값을 구하시오. [ 3점]

고 2 수 리 영 역 ( 가 형 ) 7

23.

두 행렬 A=

(

¹₃ ²_{4 ,}

)

^B=

(

^-2₈ ³_{2 에 대하여}

)

AX=BX+E^{를 만족하는 행렬} X의 모든 성분의 합을 구하 시오. [ 3점]

24.

모든 실수 x^{에 대하여} 부등식 (4^a+8)x+1

2<3➡2^a+1x+log₂a가 성립할 때, 10a^의 값을 구하시오. [ 3점]

25.

_x에 대한 연립부등식

{

²₃^xx>3_<a의 정수해가 2개일 때, a^의 최댓값을 구하시오. [ 3점]

26.

그림과 같이 길이가 1인 선분 OA를 반지름으로 하는 사분 원 위에 점 P_i(i=1, 2, 3, ➡, 89 를) ∠P _iOA=i 가 되도 록 잡는다 점. P_i에서 선분 OA에 내린 수선의 발을 H_i라 하 자.

이 때, 2∑⁸⁹

i=1P_iH_i+∑⁸⁹

i=1 P_iA²

의 값을 구하시오. [ 4점]

O H A

P_i

i

8 수 리 영 역 ( 가 형 ) 고 2

27.

_x에 대한 삼차방정식 3ax ³-9bx²+11cx-18a= 0의 서로 다른 세 실근이 a, b, c^이다. a,b, c가 이 순서대로 등차수열 을 이룰 때, a²+b²+c²의 값을 구하시오. [ 4점]

28.

그림과 같이 일정한 규칙에 따라 마름모의 변의 길이를 늘려 가면서 수를 배열하려고 한다 각 마름모 안의 수들의 합을 각. 각 a1, a2, a3, ➡, a_n,➡이라 할 때, a7의 값을 구하시오.

[ 3점]

a₁= 1

a₂= 13

an

a₃= 53

29.

정수 부분이 두 자리인 서로 다른 두 실수 x,y^{에 대하여} log x, logy의 가수의 역수가 각각 정수이고

x⁴

y^{2 =1000을 만} 족할 때, 20 logxy^{의 값을 구하시오.} [ 4점]

30.

자연수 n^{을 작은 것부터} n개씩 차례로 나열한 수열 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, ➡이 있다.

이 수열의 순서대로 숫자가 하나씩 적혀있는 카드를 처음부터 차례대로 한 번씩 확인하여 카드에 적혀있는 수가 홀수이면 3 분만큼 짝수이면, 2분만큼 시계방향으로 시계의 분침을 이어 돌린다.

12시 정각인 시계의 분침을 위와 같은 방법으로 210번째 카 드까지 확인하고 돌렸을 때 시계가 가리키고 있는 시각은, a^시 b^{분이다 이 때. ,} a+b^{의 값을 구하시오. ( ,단} a^{는 자연수이고}

0≤b< 60 ) [ 4점]