수학의 기초와 응용 IV
부산가톨릭대학교 컴퓨터공학과
변 상 선
3인 게임
• 2인 게임보다 일반적
• 2인 게임의 균형점 발견 과정과 유사한 과정을 그대로 사용 가능
• 3인 이상의 게임에 대해 2인 게임보다 잘 설명
• 예를 들어, 2명이 작당해서 나머지 1명을 상대하는 경우
3국가 게임
• 홍수국, 침수국, 습지국 세 나라가 대치
• 병력을 어느 곳에 배치하는가가 그들의 전략 선택
• 홍수국: 북쪽과 남쪽 가운데 선택
• 침수국: 동쪽과 서쪽 가운데 선택
• 습지국: 육지 또는 섬 가운데 선택
3국가 게임
• Payoff matrix
습지국
육지 섬
침수국 침수국
서 동 서 동
홍수국
북 6, 6, 6 7, 7, 1 7, 1, 7 0, 0, 0 남 0, 0, 0 4, 4, 4 4, 4, 4 1, 7, 7
3국가 게임
• Coalition (연합)
• 협력을 행하는 플레이어 집단
• Singleton coalition (개체연합)
• (홍수국), (침수국), (습지국)
• 2-플레이어 연합
• (홍수국, 침수국), (홍수국, 습지국), (침수국, 습지국)
• Grand coalition (대연합)
• (홍수국, 침수국, 습지국)
• Coalition structure (연합구조)
• 연합의 형태
• 예) (홍수국) vs (침수국, 습지국)
3국가 게임
•
가능한 연합구조•
(홍수국, 침수국, 습지국)•
(홍수국, 침수국), (습지국)•
(홍수국, 습지국), (침수국)•
(침수국, 습지국), (홍수국)•
(홍수국), (침수국), (습지국)•
협조해•
(북, 서, 육지) => 그러나 내시 균형이 아님•
침수국이 전략을 서에서 동으로 바꿈으로서 이득이 더 늘어난다3국가 게임
•
(홍수국, 침수국)의 연합을 가정•
(7, 7, 1)의 이득을 내는 (북, 동)의 전략으로 조정•
습지국은 0의 이득을 주는 섬보다 1이라도 이득이 있는 육지를 선택•
그 누구도 단독으로 전략을 바꿔도 현재보다 더 높은 이득을 보지 못함•
그리고, 홍수국과 침수국은 조정을 파기할 이유가 없음 => 내시 균형•
비슷하게 (홍수국, 습지국)의 연합을 가정•
(7, 1, 7)의 이득을 내는 (북, 섬)의 전략으로 조정•
침수국은 0의 이득을 주는 ‘동’보다 1이라도 이득이 있는 ‘서’를 선택 => 내시균형•
비슷하게 (침수국, 습지국)의 연합도 가정•
역시 내시 균형3국가 게임
• 복수의 내시균형을 갖는 게임
• 그렇다면 과연 어떠한 내시균형이 실제로 발생할 것인가?
• 2 국가간의 연합조약의 차이에 의해 결정 될 수 있다 => 셸링초점
• 3국가 연합은 불가능 => 내시 균형이 아니므로
• 그렇다면, 3국가 연합을 가능하게 하려면?
• 연합으로 인한 각국가의 이득이 그렇지 않았을 때의 이득보다 더
커야 한다 => 협력 (협조) 게임 이론
훼방자 (spoiler)
•
자신의 이득 최대화가 불가능할 때, 다른 플레이어가 최대 이득을 얻지 못하도록 훼방하는 플레이어•
미국 2000년 대통령 선거훼방자
•
네이더의 우월전략 => 출마하는 것•
부시의 우월전략 => 온정주의•
고어는 우월전략을 갖지 않았지만, 네이더와 부시가 우월전략을 선택할 것이므로 (즉, (온정주의, 출마)를 선택), 고어는 중도주의 전략이 최선반응임•
즉, (온정주의, 중도주의, 출마)가 내시균형•
만약, 네이더가 출마하지 않았다면?•
고어가 중도주의를 선택함으로써 당선될 수 있었음•
하지만, 이는 내시균형이 아님주식투자 자문
•
어떤 나라에, GS라고 하는 기업이 있고, 유월이, 칠월이, 팔월이 3명의 주식투자 자 문가가 있음•
이 3명의 자문가 중, 최소한 2명이 GS 주식의 매수를 권할 때마다 주가가 올라가고, 이를 추천한 자문가들의 이득이 증가함•
반대로, 최소한 2명이 GS 주식의 매각을 권할 때마다 주가가 떨어지고, 이를 추천한 자문가들의 이득이 역시 증가함
June
buy sell
Julia Julia
buy sell buy sell
Augusta
buy 5,5,5 6,0,6 6,6,0 0,6,6
sell 0,6,6 6,6,0 6,0,6 5,5,5
주식투자 자문
•
내시균형•
모든 자문가가 매수 또는 매각•
2명의 자문가가 매수 또는 매각을 결정하고 1명의 자문가가 반대로 결정했을 때, 그 1명의 자문가 는 자신의 전략을 2명의 자문가의 전략과 일치시킴으로써 이득의 증가를 꾀할 수 있음•
따라서, 2명의 자문가가 매수 또는 매각을 결정하고 1명의 자문가가 반대로 결정하는 것은 내시 균 형이 될 수 없음•
주식시장의 투자•
케인스와 미인대회•
해당 주식의 주가가 오를 것이라고 생각되는 주식에 투자를 하는 것이 아니고, 주가가 오를 것이라 고 생각하는 사람들이 많을 것 같은 주식에 투자를 하는 것임•
실제로 전도유망한 기업이라도 많은 자문가들이 매각이 옳다고 판단하면 그 기업의 주가는 떨어짐가로등 게임
• 3인 게임의 특성
• 2명이서 연합을 함으로써 1명을 왕따 시킬 수 있다
• 훼방꾼이 한 사람의 이득을 줄일 수 있다
• 다수를 추종하지 않으면 손해를 본다
• 또 다른 특성
• 둘은 좋은데 셋이면 너무 많다
가로등 게임
•
가로등이라는 술집이 있는데, 이 술집은 손님이 적당히 많을 때 가장 분위기가 살아 난다고 함•
즉, 손님들이 술집을 찾아서 얻는 이득이 비선형적임•
일정 수까지 손님이 많아지면, 이득이 급격하게 증가하나, 그 이상 많아지면 급격 히 감소함가로등 게임
• 에이미, 바브, 캐롤은 술집에 가거나 집에 머무는 전략 중에서 선택함
• 세 명이 모두 가면 술집이 붐비게 되어 모두 마이너스 이득을 얻게 됨 => (-1, -1, -1)
• 둘 만 가는 것이 최대의 이득 => (2, 2, 1)
• 혼자만 가면 집에 있는게 차라리 나음 => (0, 1, 1)
