1.
1) 이차함수 의 그래프와 축이 만나는 점의 좌표의 합이 곱, 일 때 상수, 에 대하여의 값은?
① ② ③
④ ⑤
2.
2) 이차함수 의 그래프와 직선 가 실수 의 값에 관계없이 항상 접할 때 상수,
에 대하여 의 값은?
① ② ③
④ ⑤
3.
3) 이차함수 가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, 의 값은? ( , , , 는 상수이다.)단가.
나. 절편은이다.
다. ≤ ≤ 일 때 최댓값은, 이다.
① ②
③
④
⑤
4.
4) 이차방정식 에서 이차항의 계수 와 판별식 가 , 일 때 다음 중 이차함수, 의 그래프가 될 수 있는 것은?
① ②
③ ④
⑤
5.
5) 그림과 같은 직사각형 ABCD에서 두 점 A, B는 축 위의 점이고 두 점 C, D는 이차함수 의 그래프 위의 점이다 이때 직사각형. , ABCD에서 둘레의 길이의 최댓값은?① ② ③
6.
6) 부등식 을 만족시키는 정수 의 최댓값은?① ② ③
④ ⑤
7.
7) 세 이차부등식 ≥ , ≥ , ≥ 이 임의의 실수 에 대하여 모두 성립할 때, 다음 부등식을 만족하는 정수인 해의 개수는?
≤
① 없음 ②개 ③개
④ 개 ⑤개
8.
8) 에 대한 부등식
≤ 을 만족하는 실수 가 존재할 때 상수, 의 최댓값은?① ② ③
④ ⑤
9.
9) 다음 조건을 만족시키는 이차함수 에 대하여 의 최댓값을 최솟값을, 이라 할 때 의 값은?가 부등식
( )
≤ 의 해가 ≤ ≤ 이다.나 모든 실수
( ) 에 대하여 부등식 ≥ 이 성립한다.
① ② ③
④ ⑤
10.
1 0) 연립부등식
≤ 을 만족하는 정수
의 개수가 한 개뿐일 때 가능한 정수, 값들의 합은?
① ② ③
④ ⑤
11.
11) 연립방정식
의 해를 , 라 할 때, 의 값은? (단, , 는 실수이다.)
① ②
③ ④
⑤
12.
12 ) 다음은 에 대한 방정식
의 해를 구하는 과정 중 일부이다. 로 치환하면 주어진 방정식은
가
이때, 가 ,
이면위의 식이 성립한다.
, 을 구하기 위해 다음 방정식의 해를 구한다.
가
, 나
그러므로 , 나 라 하면
의 해는 , , 다 이고, 이하 생략
( )
…
위의 가( ), ( ), (나 다 에 알맞은 수를 각각) , , 라 할 때,
의 값은? ( , 단
)① ② ③
④ ⑤
13.
1 3) 그림과 같이 좌표평면에서 두 점 A , B 과 제 사분면 위의 점 C 가 AC BC를 만족시킨다 두. 선분 AC, BC를 으로 내분하는 점을 각각 P, Q라 할 때, 삼각형 CPQ의 무게중심을 G라 하자 선분. CG의 길이가
일 때, 의 값은?14.
14) 그림과 같이 좌표평면 위의 세 점 A , B , C 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC에 대하여 선분 AB 위의 한 점 D와 선분 AC 위의 한 점 E가 다음 조건을 만족시킨다.가 선분
( ) DE와 선분 BC는 평행하다.
나 삼각형
( ) ADE와 삼각형ABC의 넓이의 비는 이다.
삼각형 OED의 무게중심의 좌표가 일 때 두 실수,
에 대하여, 의 값은? ( , O는 원점이고,단
이다.)
①
②
③
④
⑤
15.
15) 그림과 같이 일직선으로 뻗은 해안선의 지점에 부두가 있고 부두로부터, km 떨어진 지점에 창고가 있다.배는 부두를 출발하여 해안선에 대하여 를 이루면서 분에
km의 속력으로 움직이고 자동차는 창고를 출발하여,
해안선을 따라 부두 쪽으로 분에 km의 속력으로 움직일 때, 배와 자동차 사이의 최단 거리는? ( ,단 배와 자동차는
직선으로 움직이고 배와 자동차의 크기는 무시한다.)
16.
1 6) 그림과 같이 직선
이 축과 만나는 점을 A,
축과 만나는 점을 B라 하고 선분 AB를 등분하는 점을 각각 P Q R S라 하자.
선분 RS를 으로 외분하는 점을 C 선분, PQ를 로 외분하는 점을 D라 하자 삼각형. OCD의 무게중심의 좌표가
일 때, 의 값은? (단 점, O는 원점이고,
이다.)
①
②
③
④
⑤
17.
17) 좌표평면에 세 점 O A B 를꼭짓점으로 하는 삼각형이 있다 직선. OA 위의 점 P와 직선 OB 위의 점 Q가 다음 조건을 만족한다 이때 선분. , PQ 의 길이의 제곱은?
가 점
( ) P는 제 사분면 점, Q는 제 사분면 위의 점이다.
( ) ∆OAB의 넓이 ×∆OPB의 넓이나 ( ) ∆OAB의 넓이 다
×∆OPQ의 넓이
① ② ③
④ ⑤
주관식
18.
1 8) ≤ ≤ 에서 이차함수 의 최댓값을 최솟값을, 이라고 할 때, 의 값을 구하시오. ( ,단
는 실수이다.)
19.
1 9) 자연수 에 대하여
이 무리수일 때,
(는 자연수, 라 하자) . 을 만족시키는
의 값을 구하시오.
20.
2 0) 에 대한 삼차방정식 이 서로 다른 세 정수를 근으로 갖는다 두 정수. , 가 ≤ ,≤ 일 때 순서쌍, 의 개수를 구하시오.
21.
21)
이 최대일 때 실수, 의 값을라 하고,
이 최소일 때 실수, 의 값을 라 하자 세 점. A , B , C 와 직선 AC 위의 점 D 에 대하여 선분 BC의 길이가 선분 BD 의 길이의 배일 때, 의 값을 구하시오. ( , 는 실수이고,단
이다.)
1) ③ 2) ② 3) ① 4) ③ 5) ④ 6) ③ 7) ⑤ 8) ① 9) ④ 10) ① 11) ② 12) ② 13) ① 14) ④ 15) ④ 16) ⑤ 17) ④ 18) 19) 20)
21)
1) ③
축과 교점의 좌표는 방정식
의 해와 같다.
즉 방정식, 의 두 근의 합이 , 곱이 이므로
이고
이다.
그러므로 , 이고 이다.
2) ②
방정식 가 실수 의 값에 관계없이 항상 중근을 갖는다.
방정식 에 대한 판별식
에 대하여
이 식은 실수 의 값에 관계없이 성립하므로
, 이다.
그러므로
3) ①
가. 이므로 직선 에서 대칭이다.
즉, 이므로 이다.
나. 절편이 이므로 이다.
다. 이고 ≤ ≤ 에서 최댓값이 이므로 함수
의 그래프는 아래로 볼록이다.
즉, 이다.
따라서 는 ≤ ≤ 에서
일 때 최댓값 을 갖는다.
이므로 이다.
그러므로 이고 × × 이다.
4) ③
에서
이면 위로 블록하고,
의 판별식 이면 축과 만나지 않는다.
6) ③
i 일 때
, 이므로
≠인 모든 실수이다.
따라서 이다.
ii ≤ 일 때
, 이므로
따라서 ≤
이다.iii ≥ 일 때
, 이므로 부등식을 만족하는 실수해가 없다.
따라서 구하는 해는
이고 정수 의 최댓값은 7) ⑤
세 이차부등식이 모두 임의의 실수에 대하여 성립하므로 각각의 최고차항의 계수와 판별식은 다음과 같다.
≥ 에서 , ≤ ,
≥ 에서 ≤ ,
≥ 에서 , ≤ 따라서 ≤ 이다.
≤ 이므로 이다.
≤ 이고
이므로 ≤ 이다.
부등식의 해는
≤ ≤ 이므로
주어진 조건을 만족하는 정수인 해는 , , 로 개다.
8) ①
이므로부등식 ≤ 에서
않는 경우를 생각해보면 i ~iii 의 경우 모두 해가 존재하지 않아야 한다.
따라서 ≤
, ≤ , 이다.
≥ , ≥ , 를 모두 만족하는
값의 범위는 이다.
따라서 부등식의 해가 존재하는 값의 범위는
≤ 이므로 의 최댓값은
9) ④
≤ ≤ 이므로 ≤
≤ 이다.
따라서 ≤ 의 해는 ≤ ≤ 이므로
이다.
모든 실수 에 대하여 ≥ 즉,
≥ 이므로
이고 방정식 에 대한 판별식 에 대하여 ≤
≤ 이므로
≤ ≤ 이다.
이므로 의 최댓값은 이고 최솟값은 이다.
그러므로 이고 이다.
10) ①
의 해는
또는
이고 ≤ 이다.
이 연립부등식의 정수해가 한 개뿐이므로
≤ 인 경우는 ≤ 에서 ≤ 이고
≥ 인 경우는 ≤ 에서 ≤ 이다.
따라서 값의 범위는 이고 모든 정수의 합은
11) ②
, 로 치환하면
에서
⋯ ㉠
에서
⋯ ㉡
㉠ ㉡을 연립하여 풀면
∴
,
i , 일 때
의 판별식 에 대하여
서로 다른 두 허근을 갖는다.
ii ,
일 때
의 판별식 ′에 대하여
′
서로 다른 두 실근을 갖는다.
그러므로
이므로 이다.
12) ②
로 치환하면 주어진 방정식은
이때,
,
이면 주어진 조건의 식이 성립한다.
,
이므로 을 두 근으로 갖는 이차항의 계수가 인 이차방정식을 구하면
∴ 또는
그러므로 ,
라 하면
∴ , 의 두 근은 이다.
,
,
, ∴
13) ①
AC BC이므로
G
G
CG
이므로
이다.
여기에 를 대입하면
이므로
이거나 즉, 이거나 이다.
따라서 이거나 이다.
점 는 제 사분면 위의 점이므로
이다.
그러므로
14) ④
선분 DE와 선분 BC는 평행하므로 삼각형 ADE와 삼각형 ABC는 닮음이다.
삼각형 ADE와 삼각형 ABC의 넓이의 비가
이므로 닮음비는 이다.
따라서 AD DB AE EC 이다.
점 D는 선분 AB를 로 내분한 점이므로 D
D 이다.점 E는 선분 AC를 로 내분한 점이므로 E
E 이다.삼각형 OED의 무게중심을 구하면
이므로 ,
이다.
그러므로
이다.
∴
따라서 점 P
이다.BQ 이므로 점 Q의 좌표는 Q 이다.
PQ
따라서 배와 자동차 사이의 거리의 최솟값은
16) ⑤
를 으로 내분하는 점은
점 는 를 로 내분하는 점이므로
점 는 를 로 내분하는 점이므로
점 는 를 로 외분하는 점이므로
∆의 무게중심
그러므로
17) ④
나 에서
( ) ∆OAB ∆OPB OA OP
∴PQ
18)
주어진 이차함수는 이므로
≤ ≤ 에서 일 때 최솟값을 갖고
일 때 최댓값을 갖는다, . 따라서 최솟값은 이고 최댓값은 이다. ∴
19)
이므로
이다.
이므로 위 식에 대입하면
여기서
은 무리수이고 , 는 자연수이므로 , 이다.
이므로 ,
, 에서
또는 이다.
그런데 는 자연수이므로 이다.
그러므로
20)
의 두 근을 라 하면
,
, 일 때
,
의 값은 ± ± ⋯ ±의 개다.
일 때
,
의 값은 ±, ±, ±, ±의 개다.
가 최대가 되는 경우는 세 점 가 일직선인 경우이다.즉 두 점 을 지나는 직선 위에
가 있으므로 , ∴
의 최솟값은 를 직선 에 대하여 대칭 이동시킨 점 과 점 사이의 거리이다 두 점. 을 지나는 직선 위에 가 있으므로
A B
C 에서직선 AC의 식 위에 점 D 가 있으므로
선분 BC
이므로 BD
∴ ∵ 그러므로
