3 중

ALL 100

u

^{1학기 중간 고사}

I. ^{실수와 그 계산} 34

II. ^{다항식의 인수분해} ₃₉

III. ^{이차방정식} 42

3

중

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34 수학 ➌

01 -

①, ②, ③, ⑤—'7 ④'7

01-

25의 양의 제곱근은 '∂25=5이므로 a=5

(-4)¤ =16의 음의 제곱근은 -'∂16=-4이므로 b=-4

∴a+b=5+(-4)=1

01-

㉢(-1)¤ =1의 제곱근은 —1이다.

㉣ 제곱근4는 '4=2이다.

㉤'∂16=4의 양의 제곱근은 '4=2이다.

따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡이다.

01-

(삼각형의 넓이)=;2!;_13_6=39(cm¤ ) 정사각형의 한 변의 길이를x cm라고 하면 x¤ =39 ∴x='∂39 (∵ x>0)

따라서 정사각형의 한 변의 길이는'∂39 cm이다.

02-

③-"√(-7)¤ =-7

02-

①, ③, ④, ⑤2 ②-2

02-

øπ0.H9='1=1, æ≠{-;5!;}¤ =;5!;, (-'∂0.3)¤ =0.3 Æ…;3¢6;=Æ;9!;=;3!;

따라서 주어진 수 중 근호를 사용하지 않고 나타낼 수 있 는 것은øπ0.H9, æ≠{-;5!;}¤ , (-'∂0.3)¤ , Æ…;3¢6;의 4개이다.

03 -

④"√(-12)¤ _'ƒ0.25=12_0.5=6

03-

①'9+'∂25=3+5=8

②"√(-7)¤ -"ç4¤ =7-4=3

③"ç18¤ -(-'∂12 )¤ =18-12=6

④(-'∂64 )_æ–{;8#;}2 =-8_;8#;=-3

⑤-"ç28¤ ÷(-'7)¤ =-28÷7=-4

03-

(주어진 식)=7_2-5+6=15

04-

②-"ça¤ =-(-a)=a

04 -

a>0이므로 -2a<0

∴"ça¤ -"√(-2a)¤ =a-{-(-2a)}

=a-2a=-a

04-

-1<a<3이므로 a+1>0, a-3<0

∴"√(a+1)¤ +"√(a-3)¤ =(a+1)+{-(a-3)}

=a+1-a+3=4

04-

a<1, ;a!;>1이므로 a-;a!;<0 a>0, ;a!;>0이므로 a+;a!;>0

∴æ≠{a-;a!;}2 -æ≠{a+;a!;}2 =-{a-;a!;}-{a+;a!;}

∴æ≠{a-;a!;}2 -æ≠{a+;a!;}2=-a+;a!;-a-;a!;

∴æ≠{a-;a!;}2 -æ≠{a+;a!;}2=-2a

04-

a-b<0에서 a<b이고 ab<0이므로 a<0, b>0

따라서a-2b<0, -3a>0, b>0이므로

"√(a-2b)¤ -"√(-3a)¤ +"≈b¤

=-(a-2b)-(-3a)+b

=-a+2b+3a+b

=2a+3b

05 -

'∂48x="√2› _3_x이므로 x=3_(자연수)¤ 의 꼴이어 야 한다.

따라서 가장 작은 자연수x의 값은 3이다.

05 -

æ≠ =æ≠ 이므로

x=5, 2¤ _5, 3¤ _5, 2› _5, 2¤ _3¤ _5, 2› _3¤ _5 따라서 가장 작은 자연수x의 값은 5이다.

05 -

'∂60n="√2¤ _3_5_n이므로 n=3_5_(자연수)¤ 의 꼴이어야 한다.

①15=15_1¤ ②60=15_2¤ ③75=15_5

④135=15_3¤` ⑤375=15_5¤

06 -

'ƒ27+x가 자연수가 되려면 27+x는 27보다 큰 제곱수 이어야 하므로27+x=36, 49, 64, y

∴x=9, 22, 37, y

따라서 가장 작은 자연수x의 값은 9이다.

06-

'ƒ45-x가 정수가 되려면 45-x는 0 또는 45보다 작은 제곱수이어야 하므로45-x=0, 1, 4, 9, 16, 25, 36

∴x=9, 20, 29, 36, 41, 44, 45 따라서a=45, b=9이므로 a-b=45-9=36

06-

'ƒ50-n이 자연수가 되려면 50-n은 50보다 작은 제곱 수이어야 하므로50-n=1, 4, 9, 16, 25, 36, 49

∴n=1, 14, 25, 34, 41, 46, 49

따라서 두 자리의 자연수n의 개수는 6개이다.

2› _3¤ _5 720 x

x

│2~6^쪽│

01-

③

01-

④

01-

1

01-

㉠, ㉡

01-

'∂39 cm

02-

③

02-

②

02-

4개

03-

④

03-

⑤

03-

15

04-

②

04-

-a

04-

4

04-

-2a

04-

2a+3b

05-

3

05-

5

05-

③

06-

9

06-

36

06-

6개

07-

⑤

07-

'2

07-

4

08-

4개

08-

7

08-

12

09-

③

09-

①

09-

②

10-

⑤

10-

점B

10-

-2

11-

③, ④

11-

④

12-

⑤

12-

②

12-

b<c<a

12-

6

I ^{. 실수와 그 계산}

1. 제곱근과 실수

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정답과 해설 35

07-

①'2å5<'2å6이므로 5<'2å6

②'ƒ0.04<'∂0.2이므로 0.2<'∂0.2

③Æ;9!;<Æ;8!;이므로 ;3!;<Æ;8!;

④æ–;1¡5;>æ–;1¡6;이므로 æ–;1¡5;>;4!;

⑤'4>'3이므로 -2<-'3

07-

0.6=;5#;=æ≠;2ª5;, æ;5!;=æ≠;2∞5;, 3='9이므로 æ;5!;<0.6<'2<'5<3

따라서 세 번째에 오는 수는'2이다.

07 -

'3<2이므로 '3-2<0, '3+2>0

∴øπ('3-2)¤ +øπ('3+2)¤ =-('3-2)+('3+2)

=-'3+2+'3+2

=4

08-

1<'∂2x-1…3의 각 변을 제곱하면 1<2x-1…9, 2<2x…10

∴1<x…5

따라서 이를 만족하는 자연수x는 2, 3, 4, 5의 4개이다.

08-

'5<x<'∂20의 각 변을 제곱하면 5<x¤ <20

따라서 이를 만족하는 자연수x는 3, 4이므로 3+4=7

08-

3<æ≠ <4의 각 변을 제곱하면

9< <16, 18<x+1<32

∴17<x<31

따라서M=30, m=18이므로 M-m=30-18=12

09-

①'9=3 (유리수)

②0.H3 (유리수)

④"ç7¤ =7`(유리수), 'ƒ0.01=0.1`(유리수), '∂25=5`(유리수)

⑤æ;9$;=;3@;`(유리수), "√(-3)¤ =3`(유리수)

09-

② 순환소수

③æ–;2¢5;=;5@; (유리수)

④æ≠{-;3!;}2 =;3!; (유리수)

⑤'∂36=6 (유리수)

09-

①0을 제외한 유리수는 유한소수 또는 순환소수(무한 소수)로 나타낼 수 있다.

③ 무한소수 중 순환소수는 유리수이다.

④, ⑤ 순환하지 않는 무한소수는 무리수이다.

x+12 x+12

10-

⑤ 점P에 대응하는 수는 1+'2이다.

10-

점의 좌표는 각각 다음과 같다.

A(-2+'2 ), B(-1+'2 ), C('2), D(1+'2 ), E(2+'2 )

따라서'2-1에 대응하는 점은 점 B이다.

10-

ABCD=3_3-4_{;2!;_2_1}=5이므로 ABCD의 한 변의 길이는 '5이다.

따라서AP”=AB”='5, AQ”=AD”='5이므로 a=-1+'5, b=-1-'5

∴a+b=(-1+'5 )+(-1-'5)

=-2

11 -

③ 서로 다른 두 유리수 사이에는 무수히 많은 유리수 와 무리수가 있다.

④ 수직선은 유리수와 무리수, 즉 실수에 대응하는 점들 로 완전히 메울 수 있다.

11-

①'2와 '3 사이에는 무수히 많은 유리수가 있다.

②1과 2 사이에는 무수히 많은 무리수가 있다.

③;3!;과 ;2!; 사이에는 무수히 많은 무리수가 있다.

⑤-'2와 '2 사이에 있는 정수는 -1, 0, 1의 3개이다.

12 -

①-2-(-1-'2 )=-1+'2 =-'1+'2>0

∴-2>-1-'2

②(2-'2 )-('5-'2 )=2-'5='4-'5<0

∴2-'2<'5-'2

③('7+2)-4='7-2='7-'4 >0

∴'7+2>4

④(4-'3 )-(4-'2 )=-'3+'2<0

∴4-'3<4-'2

⑤(3-'5 )-1=2-'5='4-'5 <0

∴3-'5 <1

12 -

2<'6<3에서 -3<-'6<-2

∴-1<2-'6<0

따라서2-'6에 대응하는 점이 있는 구간은 ②이다.

12-

a-b=('3+2)-('2+'3)=2-'2='4-'2>0

∴a>b

b-c=('2+'3)-(2+'2)='3-2='3-'4<0

∴b<c

a-c=('3+2)-(2+'2)='3-'2>0

∴a>c

∴b<c<a

12-

1<'3<2에서 0<'3-1<1 2<'5<3에서 3<'5+1<4

따라서 두 수 사이에 있는 정수는1, 2, 3이므로 1+2+3=6

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36 수학 ➌

01-

5'2="√5¤ _2='∂50 ∴a=50 '∂180="√6¤ _5=6'5 ∴b=6

∴a+b=50+6=56

01-

'7å2="√2‹ _3¤ =('2)‹ _('3)¤ =a‹ b¤

02-

②'∂50÷'2= =5

02-

2'6÷ _Ƭ:™3º:=2'6_ _ =4'6

∴a=4

02 -

⑴ (주어진 식)=4'6_3'2_

⑴ (주어진 식)=4

⑵ (주어진 식)= _ _ _

⑴ (주어진 식)=;5#;

02-

2'2÷'3_'a_'∂12='8에서 2'2_ _'a_2'3=2'2 4'2_'a=2'2

'a=;2!; ∴a=;4!;

02-

BC”='6 cm, CD”='2 cm이므로 ABCD='6_'2=2'3 (cm¤ )

03 -

① = =

② = =

③ = =

④ = =

⑤ ='7_'3 = '∂213 '3_'3 '7

'3

'24 2'2_'2'2 2'21

2'33 2_'3 '3_'3 2

'3

'62 '3_'2 '2_'2 '3

'2

'55 '5 '5_'5 1

'5 1 '3

'3 5'2 '5 '6 2'2 '∂15 3'3

'2

1 6'3

2'5 '3 '3 '5 '5

'3 5'2

'2

03-

= = ∴a=;2(;

= = ∴b=;6%;

∴ab=;2(;_;6%;=;;¡4∞;;

03 -

직육면체의 높이를h cm라고 하면 3'5_2'6_h=36'∂10, 6'∂30 h=36'∂10

∴h= = =2'3

따라서 직육면체의 높이는2'3 cm이다.

04-

⑵'ƒ0.173=æ– =

⑵'ƒ0.173= =0.4159

04-

①'ƒ0.006=æ–;10§0º00;=

①'ƒ0.006= =0.07746

②'ƒ0.06=æ–;10^0;= = =0.2449

③'∂0.6=æ–;1§0º0;= = =0.7746

④'∂600=10'6=10_2.449=24.49

⑤'ƒ6000=10'∂60=10_7.746=77.46

04-

'ƒ210=10'∂2.1=10_1.449=14.49 'ƒ0.21=æ≠ = = =0.4583

∴'ƒ210+'ƒ0.21=14.49+0.4583

=14.9483

05-

3'∂28-5'8-'∂63+'∂18=6'7-10'2-3'7+3'2

=3'7-7'2 따라서a=3, b=7이므로

a+b=3+7=10

05-

'∂20-a'5+'∂125+'∂180=2'5-a'5+5'5+6'5

=(13-a)'5 따라서13-a=1이므로 a=12

05-

b='3+ ='3+ =;3$;'3 따라서b의 값은 a의 값의 ;3$;배이다.

05-

다음 표와 같이 빈칸에 알맞은 수를 각각A, B, C, D 라고 하자.

4'3+9'3+2'3=15'3이므로 A+3'3+4'3=15'3 ∴A=8'3 8'3+'3+B=15'3 ∴B=6'3 '3+C+9'3=15'3 ∴C=5'3 6'3+D+2'3=15'3 ∴D=7'3

'33 1

'3

4.583 '∂21 10

21 10 100

7.746 '6å0 10

10

2.449 '6 10

10 7.746

100

'6å0100 4.159

10

'∂17.3 17.3 10

100 6 '3 36'∂10

6'∂30

5'2å1 5'7_'3 6 2'3_'3 5'7

2'3

9'62 9'3_'2

'2_'2 9'3

'2

│7~10^쪽│

01-

₅₆

01-

②

02-

②

02-

₄

02-

⑴4 ⑵ ;5#;

02-

;4!;

02-

2'3 cm¤

03-

②, ④

03-

;;¡4∞;;

03-

2'3 cm

04-

⑴3.899 ⑵ 0.4159

04-

②

04-

14.9483

05-

10

05-

₁₂

05-

_;3$;배

05-

해설 참조

05-

9'2

06-

5'2-2'∂10

06-

7

06-

3'3

06-

;1¡2;

06-

5'2+;2%;

06-

₂₇

07-

₂₀

07-

₃

08-

₆

08-

10

08-

—'3

09-

2

09- 09-

_4a+4

'55

2. 근호를 포함한 식의 계산

A '3 B

'∂27=3'3 C D

'∂48=4'3 9'3 '∂12=2'3

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정답과 해설 37

05-

aæ≠ +bæ≠ =æ≠a¤ _ +æ≠b¤ _

='∂3ab+'∂12ab

='∂3_6+'∂12_6

=3'2+6'2

=9'2

06-

(주어진 식)= -

(주어진 식)=3'2-'∂10-'∂10+2'2 (주어진 식)=5'2-2'∂10

06-

('3+2'2)¤ =('3)¤ +2_'3_2'2+(2'2)¤

=3+4'6+8

=11+4'6 따라서a=11, b=4이므로 a-b=11-4=7

06 -

A= +2'3-4'2

A=2'2-'3+2'3-4'2 A=-2'2+'3

B='6 { - }- (2'6-2) A='3-2'2-2'3+'2

A=-'2-'3

∴A-2B=-2'2+'3-2(-'2-'3)

=-2'2+'3+2'2+2'3

=3'3

06-

(1+3'3)(4a-'3)=4a-'3+12a'3-9

=4a-9+(12a-1)'3 이 수가 유리수가 되려면12a-1=0이어야 하므로 12a=1 ∴a=;1¡2;

06-

ABCD=;2!;_{'∂10+('∂10+'5 )}_'5 ABCD=;2!;_(2'∂10+'5 )_'5 ABCD=5'2+;2%;

06-

(주어진 식)={(2'3-3)(2'3+3)}‹

=(12-9)‹ =3‹ =27

07-

=

=

=12+8'3 따라서a=12, b=8이므로 a+b=12+8=20

07-

(주어진 식)=

(주어진 식)= (주어진 식)=;;¡4™;;=3

(5-2'5+1)+(5+2'5+1) 5-1

('5-1)¤ +('5+1)¤

('5+1)('5-1) 8'3+12

4-3 4'3(2+'3) (2-'3)(2+'3) 2-'34'3

1 '2 2 '3 1 '2 2'∂10-'∂15

'5

5'∂10-10'2 6'2-2'∂10 5

2

12ab 3ba

12ab

3ba

08-

x=-1+'2에서 x+1='2, (x+1)¤ =('2)¤

x¤ +2x+1=2 ∴x¤ +2x=1

∴x¤ +2x+5=1+5=6

08-

x+y=(5-2'6)+(5+2'6)=10 xy=(5-2'6)(5+2'6)=25-24=1

∴;[!;+;]!;= =;;¡1º;;=10

08 -

(x+y)¤ =(x-y)¤ +4xy (x+y)¤=('2)¤ +4_;4!;=3

∴x+y=—'3

09-

= ='2+1

1<'2<2이므로 2<'2+1<3 '2+1의 정수 부분은 2이므로 a=2

소수 부분은('2+1)-2='2-1이므로 b='2-1

∴'2a-2b=2'2-2('2-1)

=2'2-2'2+2=2

09-

3<'∂12<4이므로 '∂12의 정수 부분은 3이다.

∴a=3

2<'5<3이므로 -3<-'5<-2, 1<4-'5<2 즉, 4-'5의 소수 부분은 (4-'5)-1=3-'5이다.

∴b=3-'5

∴ = = =

09-

1<'3<2이므로 '3의 소수 부분은 '3-1이다.

∴a='3-1 이때'3=a+1이므로 '∂48=4'3=4(a+1)=4a+4

'55 1 '5 1

3-(3-'5 ) a-b1

'2+1 ('2-1)('2+1) 1

'2-1

x+yxy

│11~13^쪽│

01

^④

02

^③

03

^③

04

^②

05

^③

06

^{③, ④}

07

^⑤

08

^⑤

09

^⑤

10

^⑤

11

^①

12

^④

13

-1

14

-16

15

1-2a

16

2'∂10

17

;;¡2¶;;

18

9'3 cm

19

-6

20

'7-1

│서술형 문제│

01

^④'∂49=7의 제곱근은 —'7이다.

02

'∂90x="√2_3¤ _5_x이므로 x=2_5_(자연수)¤ 의 꼴 이어야 한다.

따라서100보다 작은 자연수 x는 2_5=10, 2‹ _5=40, 2_3¤ _5=90의 3개이다.

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38 수학 ➌

03

-4<-'∂x+2<-3에서 3<'∂x+2<4 각 변을 제곱하면9<x+2<16 ∴7<x<14 따라서a=8, b=13이므로

a+b=8+13=21

04

-'∂16=-4, 3.H0H7=;;£9º9¢;;이므로 무리수는 '∂0.4, p의 2개 이다.

05

점의 좌표는 각각 다음과 같다.

A(3-'2), B(2+'2), C(5-'2), D(3+'2), E(4+'2)

따라서5-'2에 대응하는 점은 점 C이다.

06

^③-1과 '2 사이에 있는 자연수는 1의 1개이다.

④ 수직선은 유리수와 무리수, 즉 실수에 대응하는 점들로 완전히 메울 수 있다.

07

'∂0.03=æ–;10#0;= ∴a=;1¡0;

4'∂10="√4¤ _10='∂160 ∴b=160

∴ab=;1¡0;_160=16

08

÷ _ = _ _

='3

09

^①'∂0.0402=æ– =

①'∂0.0402= =0.2005

②'∂1.01=1.005

③'∂201=10'∂2.01=10_1.418=14.18

④'∂300=10'3=10_1.732=17.32

10

^①'∂17>'∂16이므로 '∂17>4

②Æ;3!;>Æ;9!; 이므로 -Æ;3!;<-;3!;

③(2-'5)-(2-'7)=-'5+'7>0

③∴2-'5>2-'7

④(2'3+1)-(3'2+1)=2'3-3'2='∂12-'∂18<0

③∴2'3+1<3'2+1

⑤(6-'2 )-(2+2'2)=4-3'2='∂16-'∂18<0

③∴6-'2 <2+2'2

11

^{(주어진 식)}= +

(주어진 식)= +

(주어진 식)=3'2+'6-2'3-3'2

='6-2'3

12

x=2-'6에서 x-2=-'6, (x-2)¤ =(-'6)¤

x¤ -4x+4=6 ∴x¤ -4x=2

∴"√x¤ -4x+10='∂2+10='∂12=2'3 6'3+9'2 6'2+2'6 6-9

3-1

3'2('6+3) ('6-3)('6+3) 2'6('3+1)

('3-1)('3+1) 2.005

10

'∂4.02 4.02 10

100

2'3'∂15 '5'3 3'22'2 '∂12'∂15 '3'5 '∂182'2

'310

13

'∂36=6의 음의 제곱근은 -'6이므로

a=-'6 ^……40%

(-7)¤ =49의 양의 제곱근은 '∂49=7이므로

b=7 ^……40%

∴a¤ -b=(-'6)¤ -7=6-7=-1 ^……20%

14

'9="√3¤ =3, (-'5)¤ =5, "√(-3)¤ =3, '∂121="√11¤ =11

…… 각20%

∴ (주어진 식)=-3-5+3-11

=-16 ^……20%

15

-3<a<4이므로 4-a>0, -3-a<0 ^……30%

∴"√(4-a)¤ -"√(-3-a)¤

=(4-a)-{-(-3-a)} ^……40%

=4-a-3-a

=1-2a ^……30%

16

ABCD=4_4-4_{;2!;_3_1}=10이므로 ABCD의 한 변의 길이는 '∂10이다. ^……30%

따라서AP”=AB”='∂10, AQ”=AD”='∂10이므로 a=3+'∂10, b=3-'∂10 ^……40%

∴a-b=(3+'∂10)-(3-'∂10)

=3+'∂10-3+'∂10

=2'∂10 ^……30%

17

+'∂75- +2'6= +5'3- +2'6 +'∂48- +2'6=;;¡3¶;;'3+;2#;'6 ^……50%

따라서a=;;¡3¶;;, b=;2#;이므로

ab=;;¡3¶;;_;2#;=;;¡2¶;; ^……50%

18

세 정사각형의 한 변의 길이는 각각'∂12=2'3(cm), '∂27=3'3(cm), '∂48=4'3(cm)이다. ^……60%

∴AB”=2'3+3'3+4'3

=9'3(cm) ^……40%

19

^{(주어진 식)}='5(3'5-a)-2'5(3+'5)

=15-a'5-6'5-10

=5+(-a-6)'5 ^……40%

이 수가 유리수가 되려면-a-6=0이어야 한다.

……40%

∴a=-6 ^……20%

20

3<'∂11<4이므로 -4<-'∂11<-3, 1<5-'∂11<2 즉, 5-'∂11의 정수 부분은 1이다.

∴a=1 ^……40%

2<'7<3이므로 '7의 소수 부분은 '7-2이다.

∴b='7-2 ^……40%

∴a+b=1+('7-2)

='7-1 ^……20%

'62 2'33

'3 '2 2

'3

│서술형 문제│

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정답과 해설 39

01-

8x¤ y-2xy=2xy(4x-1)

01-

③-a¤ -5ab=-a(a+5b)

02-

①3x¤ -75=3(x¤ -25)=3(x+5)(x-5)

②x¤ +2x-8=(x-2)(x+4)

④4x¤ -20x+25=(2x-5)¤

⑤5x¤ -14x-3=(x-3)(5x+1)

02 -

2x¤ -3x-5=(x+1)(2x-5) 4x¤ -25=(2x+5)(2x-5)

따라서 두 다항식의1을제외한공통인수는2x-5이다.

02-

12x¤ +5x-3=(3x-1)(4x+3) 따라서 두 일차식의 합은

(3x-1)+(4x+3)=7x+2

02-

①a¤ -10a+25=(a-5)¤

②9x¤ -3x-2=(3x+1)(3x-2)

③2x¤ -24x+72=2(x¤ -12x+36)=2(x-6)¤

④25a¤ +60ab+36b¤ =(5a+6b)¤

⑤x¤ +;4!;x+;6¡4;={x+;8!;}2

02 -

①x¤ -1=(x+1)(x-1)

②x¤ -5x-6=(x+1)(x-6)

③2x¤ +x-1=(x+1)(2x-1)

④x¤ +2x+1=(x+1)¤

⑤3x¤ -2x-1=(x-1)(3x+1)

02-

2x¤ +7x-30=(x+6)(2x-5)이므로 a=2, b=-5

∴x¤ +(a-b)x-ab=x¤ +7x+10

=(x+2)(x+5)

│14~18^쪽│

01-

④

01-

③

02-

③

02-

_2x-5

02-

_7x+2

02-

②

02-

⑤

02-

_(x+2)(x+5)

02-

_2x-10

02-

_(x+4)(x-6)

02-

_2x-3

03-

40

03-

⑤

03-

;7*;

04-

11

04-

_{8, 3x+4}

04-

_-1

05-

_8x+12

05-

_4x+8

05-

_a+b

05-

_x-2

06-

②

06-

(x-y)(x-1)¤

07-

(x-y+3)(x-y-7)

07-

③

07-

₉

07-

-6(x-y)(x+6y)

07-

₁

08-

_a-1

08-

④

08-

₁₆

09-

_x+4y+6

09-

(x+y-2)(x+y-3)

10-

⑴40000 ⑵ 8'3

10-

₁

10-

_-210

11-

_4'5

11-

_-4'3

11-

_7-2'7

11-

₈

II . 다항식의 인수분해

1. 다항식의 인수분해

02-

x¤ -12x+27=(x-3)(x-9) ∴A=x-3 (x+1)(x-5)-16=x¤ -4x-21

=(x+3)(x-7)

∴B=x-7

∴A+B=(x-3)+(x-7)=2x-10

02-

(x+3)(x-8)=x¤ -5x-24이므로 지혜는 상수항 -24를 바르게 본 것이고, (x+2)(x-4)=x¤ -2x-8 이므로 주형이는x의 계수 -2를 바르게 본 것이다.

∴x¤ -2x-24=(x+4)(x-6)

02-

"√x¤ +6x+9-"√x¤ -12x+36="√(x+3)¤ -"√(x-6)¤

이때0<x<6이므로 x+3>0, x-6<0

∴ (주어진 식)=(x+3)-{-(x-6)}

=x+3+x-6=2x-3

03-

5x¤ +Ax+80=5{x¤ + x+16}에서

=—2_1_4=—8 ∴A=—40 그런데A>0이므로 A=40

03-

① ={:¡2§:}2 =64 ② ={ }2 =16

③ y¤ -36y+36= y¤ -2_3y_6+6¤ 에서

=3¤ =9

④25a¤ + a+;1¡6;=(5a)¤ + a+{;4!;}2 에서

=—2_5_;4!;=—;2%;

⑤;9!;x¤ + xy+9y¤ ={;3!;x}2 + xy+(3y)¤ 에서

=—2_;3!;_3=—2

03-

4x¤ -4x+A=4{x¤ -x+ }에서

={ }2 =;4!; ∴A=1

;4!;x¤ +Bx+;4¡9;={;2!;x}2 +Bx+{;7!;}2 에서 B=—2_;2!;_;7!;=—;7!;`

그런데B>0이므로 B=;7!;

∴A+B=1+;7!;=;7*;

04 -

2x¤ +ax+15=(2x+5)(x+m)이라고 하면 15=5_m ∴m=3

따라서(2x+5)(x+3)=2x¤ +11x+15이므로a=11

04-

6x¤ +(2a+1)x+12=(2x+3)(3x+m)이라고 하면 12=3_m ∴m=4

즉, (2x+3)(3x+4)=6x¤ +17x+12이므로 2a+1=17, 2a=16 ∴a=8

따라서a=8이고, 다른 일차식인 인수는 3x+4이다.

04 -

2x¤ +ax-14=(x-2)(2x+m)이라고 하면 -14=-2_m ∴m=7

즉, (x-2)(2x+7)=2x¤ +3x-14이므로 a=3 3x¤ -4x+b=(x-2)(3x+n)이라고 하면 -4=n-6 ∴n=2

-12 A4

A4

-82 A5

A5

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즉, (x-2)(3x+2)=3x¤ -4x-4이므로 b=-4

∴a+b=3+(-4)=-1

05-

4x¤ +12x+9=(2x+3)¤ 이므로 이 액자의 한 변의 길 이는2x+3이다.

∴ (둘레의 길이)=4_(2x+3)=8x+12

05-

큰 직사각형의 넓이는x¤ +4x+3=(x+1)(x+3)이 므로

(둘레의 길이)=2 {(x+1)+(x+3)}

=2(2x+4)=4x+8

05-

(도형 ㈎의 넓이)=b¤ -a¤ =(b+a)(b-a)

이때 두 도형 ㈎, ㈏의 색칠한 부분의 넓이가 같으므로 도형 ㈏의 가로의 길이는a+b이다.

05-

사다리꼴의 높이를h라고 하면

x¤ -;2!;x-3=;2!;_{(x-1)+(x+4)}_h x¤ -;2!;x-3=;2!;_(2x+3)_h

2x¤ -x-6=(2x+3)h

이때2x¤ -x-6=(x-2)(2x+3)이므로 사다리꼴의 높이는x-2이다.

06 -

x¤ (x-1)-y¤ (x-1)=(x-1)(x¤ -y¤ )

=(x-1)(x+y)(x-y)

06-

(주어진 식)=(x-y)(x¤ -2x+1)

=(x-y)(x-1)¤

07-

x-y=A라고 하면

(주어진 식)=(A+2)(A-6)-9=A¤ -4A-21

=(A+3)(A-7)

=(x-y+3)(x-y-7)

07-

x¤ +x=A라고 하면

(주어진 식)=A¤ -8A+12=(A-2)(A-6)

=(x¤ +x-2)(x¤ +x-6)

=(x-1)(x+2)(x-2)(x+3)

07 -

3x-1=A, x+6=B라고 하면 (3x-1)¤ -(x+6)¤ =A¤ -B¤

=(A+B)(A-B)

={(3x-1)+(x+6)}

{(3x-1)-(x+6)}

=(4x+5)(2x-7) 따라서a=4, b=5이므로 a+b=4+5=9

07 -

x-3y=A, x+3y=B라고 하면 (주어진 식)=2A¤ -5AB-3B¤

=(2A+B)(A-3B)

={2(x-3y)+(x+3y)}

= {(x-3y)-3(x+3y)}

=(2x-6y+x+3y)(x-3y-3x-9y)

=(3x-3y)(-2x-12y)

=-6(x-y)(x+6y)

07-

(주어진 식)={(x+1)(x+4)} {(x+2)(x+3)}+k

=(x¤ +5x+4)(x¤ +5x+6)+k

이때x¤ +5x=A라고 하면 (주어진 식)=(A+4)(A+6)+k

=A¤ +10A+24+k 이 식이 완전제곱식이 되려면

24+k={:¡2º:}2 , 24+k=25 ∴ k=1

08 -

ab-a-b+1=a(b-1)-(b-1)

=(b-1)(a-1) a¤ -ab-a+b=a(a-b)-(a-b)

=(a-b)(a-1)

따라서 두 다항식의1을 제외한 공통 인수는 a-1이다.

08-

x‹ +x¤ -x-1=x¤ (x+1)-(x+1)

=(x+1)(x¤ -1)

=(x+1)(x+1)(x-1)

=(x+1)¤ (x-1)

08 -

9-x¤ -16y¤ +8xy=9-(x¤ -8xy+16y¤ )

=3¤ -(x-4y)¤

=(3+x-4y)(3-x+4y) 따라서a=-4, b=-1, c=4이므로

abc=-4_(-1)_4=16

09-

x¤ +4xy+5x-4y-6=4xy-4y+x¤ +5x-6

=4y(x-1)+(x-1)(x+6)

=(x-1)(x+4y+6)

∴A=x+4y+6

09 -

(주어진 식)=x¤ +2xy-5x+y¤ -5y+6

=x¤ +(2y-5)x+(y¤ -5y+6)

=x¤ +(2y-5)x+(y-2)(y-3)

=(x+y-2)(x+y-3) [다른 해설]

(주어진 식)=(x¤ +2xy+y¤ )-5(x+y)+6

=(x+y)¤ -5(x+y)+6 이때x+y=A라고 하면

(주어진 식)=A¤ -5A+6=(A-2)(A-3)

=(x+y-2)(x+y-3)

10-

⑴ (주어진 식)=204¤ -2_204_4+4¤

=(204-4)¤ =200¤

=40000

⑵ (주어진 식)={(2+'3 )+(2-'3 )}

{(2+'3 )-(2-'3 )}

=4_2'3=8'3

10 -

(주어진 식)=

(주어진 식)= =1

10-

(주어진 식)=(1¤ -2¤ )+(3¤ -4¤ )+y+(19¤ -20¤ )

=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4) +y+(19+20)(19-20)

=(1+2+3+4+y+19+20)_(-1)

=-210 3009_3011 3011_3009

3009_(3010+1) (3010+1)(3010-1)

40 수학 ➌

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정답과 해설 41

│19~20^쪽│

01

①, ④

02

⑤

03

③

04

④

05

④

06

②

07

⑤

08

③

01

^②4x¤ -9=(2x+3)(2x-3)

③x¤ -3x-10=(x+2)(x-5)

⑤a(x+y)-4(x+y)=(x+y)(a-4)

02

2x¤ +(3a-2)x-15=(2x-3)(x+b)에서 3a-2=2b-3, -15=-3b

-15=-3b에서 b=5

3a-2=2b-3에서 3a-2=7, 3a=9 ∴a=3

∴ab=3_5=15

03

x› -16=(x¤ +4)(x¤ -4)=(x¤ +4)(x+2)(x-2)

04

6a¤ -36a+k=6{a¤ -6a+;6K;}에서

;6K;={ }¤ =9 ∴k=54

05

x¤ +ax+20=(x+5)(x+m)이라고 하면 20=5_m ∴m=4

즉, (x+5)(x+4)=x¤ +9x+20이므로 a=9 -62

09

x-5

10

(x+2)(x-6)

11

2a-1

12

10x-16

13

(a+b-2)(a+b+4)

14

4'3

│서술형 문제│

3x¤ +17x+b=(x+5)(3x+n)이라고 하면 17=15+n ∴n=2

즉, (x+5)(3x+2)=3x¤ +17x+10이므로 b=10

∴b-a=10-9=1

06

a¤ -2ab-2a+4b=a(a-2b)-2(a-2b)

=(a-2b)(a-2)

07

x¤ +y¤ -2xy-1=(x¤ -2xy+y¤ )-1=(x-y)¤ -1¤

=(x-y+1)(x-y-1) 따라서a=-1, b=1, c=-1이므로 a+b-c=-1+1-(-1)=1

08

"√26¤ -24¤ ="√(26+24)(26-24)

='∂50_2='∂100=10

09

2x¤ -3x-35=(x-5)(2x+7) ^……40%

4x¤ -100=4(x¤ -25)=4(x+5)(x-5) ^……40%

따라서 두 다항식의1을 제외한 공통 인수는 x-5이다.

……20%

10

(x-7)(x+3)=x¤ -4x-21이므로 동현이는 x의 계수

-4를 바르게 본 것이다. ^……35%

(x-3)(x+4)=x¤ +x-12이므로 연정이는 상수항

-12를 바르게 본 것이다. ^……35%

∴x¤ -4x-12=(x+2)(x-6) ^……30%

11

"√a¤ +4a+4-"√a¤ -6a+9="√(a+2)¤ -"√(a-3)¤

……20%

이때-2<a<3이므로 a+2>0, a-3<0 ^……40%

∴ (주어진 식)=(a+2)-{-(a-3)}

=a+2+a-3=2a-1 ^……40%

12

6x¤ -19x+15=(2x-3)(3x-5)이므로 직사각형의 세

로의 길이는3x-5이다. ^……50%

∴ (둘레의 길이)=2{(2x-3)+(3x-5)}

=2(5x-8)

=10x-16 ^……50%

13

a+b=A라고 하면 ^……20%

(주어진 식)=A(A+2)-8=A¤ +2A-8

=(A-2)(A+4) ^……50%

=(a+b-2)(a+b+4) ^……30%

14

x= =

x= ='3+'2

y= =

y= ='3-'2 ^……30%

x¤ y+xy¤ +x+y=xy(x+y)+(x+y)

=(x+y)(xy+1) ^…… 30%

x+y=('3+'2)+('3-'2)=2'3,

xy=('3+'2)('3-'2)=3-2=1이므로 ^……30%

(x+y)(xy+1)=2'3_(1+1)=4'3 ^……10%

'3-'2 3-2

'3-'2 ('3+'2 )('3-'2 ) '3+'21

'3+'2 3-2

'3+'2 ('3-'2 )('3+'2 ) 1

'3-'2

11-

x¤ -y¤ -8x+8y=(x¤ -y¤ )-8(x-y)

=(x+y)(x-y)-8(x-y)

=(x-y)(x+y-8)

='5_(12-8)=4'5

11-

x= = ='3-1

y= = ='3+1

이때x+y=('3-1)+('3+1)=2'3, x-y=('3-1)-('3+1)=-2이므로 x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)=2'3_(-2)=-4'3

11-

x+2=A라고 하면

(x+2)¤ -4(x+2)+3=A¤ -4A+3

=(A-1)(A-3)

=(x+2-1)(x+2-3)

=(x+1)(x-1)

=('7-1+1)('7-1-1)

='7_('7-2)=7-2'7

11 -

2'2='8에서 2<'8<3, 즉 2<2'2<3이므로 5<3+2'2<6

∴x=(3+2'2 )-5=2'2-2

∴x¤ +4x+4=(x+2)¤ ={(2'2-2)+2}¤

=(2'2 )¤ =8 2('3+1) ('3-1 )('3+1 ) 2

'3-1

2('3-1) ('3+1 )('3-1 ) 2

'3+1

│서술형 문제│

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42 수학 ➌

02-

㉠(-2)¤ +2_(-2)=0

㉡(-2)¤ -3_(-2)+2+0

㉢(-2)¤ -(-2)+0

㉣(-2)¤ +(-2)-2=0

따라서x=-2를 해로 갖는 이차방정식은 ㉠, ㉣이다.

02-

x=-1일 때, (-1)¤ -4_(-1)-5=0 x=0일 때, 0¤ -4_0-5+0

x=1일 때, 1¤ -4_1-5+0

따라서 주어진 이차방정식의 해는x=-1이다.

03-

x=-1을 x¤ -(2a+1)x+3a+2=0에 대입하면 1+(2a+1)+3a+2=0, 5a=-4

∴a=-;5$;

03 -

x=4를 x¤ +ax+4=0에 대입하면 16+4a+4=0, 4a=-20

∴a=-5

x=4를 x¤ =-x+b에 대입하면 16=-4+b ∴b=20

∴b-a=20-(-5)=25

03 -

x=a를 5x¤ +3x-3=0에 대입하면 5a¤ +3a-3=0 ∴5a¤ +3a=3 x=b를 2x¤ +3x+1=0에 대입하면 2b¤ +3b+1=0 ∴2b¤ +3b=-1

∴5a¤ +3a-2b¤ -3b=5a¤ +3a-(2b¤ +3b)

=3-(-1)=4

03 -

x=m을 x¤ -4x+1=0에 대입하면 m¤ -4m+1=0

m+0이므로 양변을 m으로 나누면 m-4+ =0 ∴m+ =4

∴m¤ + ={m+ }2 -2

=4¤ -2=14

04-

(x+3)(x-2)=0에서 x+3=0 또는 x-2=0

∴x=-3 또는 x=2

04-

③2x+3=0 또는 ;2!;x-6=0

∴x=-;2#; 또는 x=12

05-

3x¤ +x-4=0에서 (3x+4)(x-1)=0

∴x=-;3$; 또는 x=1

05 -

(x-3)(x-5)=2x-9에서

x¤ -8x+15=2x-9, x¤ -10x+24=0 (x-4)(x-6)=0

∴x=4 또는 x=6

이때a>b이므로 a=6, b=4

∴a+2b=6+2_4=14 m1 1

m¤

m1 m1

│21~24^쪽│

01-

③

01-

_a+3

01-

①

02-

⑤

02-

③

02-

㉠, ㉣

02-

_x=-1

03-

_-;5$;

03-

₂₅

03-

₄

03-

₁₄

04-

②

04-

③

05-

x=-;3$; 또는 x=1

05-

14

05-

x=2

05-

3

05-

1

05-

3

06-

②, ④

06-

④

06-

5

06-

-5

06-

1, 13

06-

;1¡8;

07-

x=-3—

07-

13

07-

7

07-

2'1å0

08-

29

08-

⑤

08-

-2 '72

III ^{. 이차방정식}

1. 이차방정식의 풀이

01-

①x¤ -16=x¤ , 즉 -16=0이므로 거짓인 등식이다.

②x¤ -3x=x¤ -x, 즉-2x=0이므로일차방정식이다.

③-x¤ +1=0이므로 이차방정식이다.

④x¤ +4x+4=x¤ -1, 즉 4x+5=0이므로 일차방정 식이다.

⑤-3x(x¤ -1)=0, 즉 -3x‹ +3x=0이므로 이차방 정식이 아니다.

01-

3(x+1)¤ =ax¤ -3x+5에서 3x¤ +6x+3=ax¤ -3x+5 (3-a)x¤ +9x-2=0

이 식이x에 대한 이차방정식이 되려면 3-a+0이어야 한다.

∴a+3

01-

(ax-1)(x+2)=-5x¤ +2에서 ax¤ +2ax-x-2=-5x¤ +2 (a+5)x¤ +(2a-1)x-4=0

이 식이x에 대한 이차방정식이 되려면 a+5+0이어야 한다.

∴a+-5

02-

①-2_(2+2)+0 ②(-5)¤ -5_(-5)+0

③(-3)¤ +9+6_(-3) ④ 4¤ +4-12+0

⑤5_1¤ -2_1-3=0

따라서 [ ] 안의 수가 주어진 이차방정식의 해인 것은

⑤이다.

02-

①-(-3-3)¤ +0

②(-3)¤ -3_(-3)+0

③(-3)¤ +6_(-3)+9=0

④(-3)¤ +(-3)+3+0

⑤2_(-3-3)_(-3+5)+0 따라서x=-3을 해로 갖는 것은 ③이다.

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정답과 해설 43

05-

x¤ +5x-14=0에서 (x+7)(x-2)=0

∴x=-7 또는 x=2

2x¤ +5x-18=0에서 (2x+9)(x-2)=0

∴x=-;2(; 또는 x=2

따라서 두 이차방정식의 공통인 해는x=2이다.

05-

x=3을 (a-1)x¤ -7x+3=0에 대입하면 9(a-1)-21+3=0, 9a=27 ∴a=3 즉, 주어진 이차방정식은2x¤ -7x+3=0이므로 (2x-1)(x-3)=0 ∴x=;2!; 또는 x=3 따라서 다른 한 근은;2!;이므로 b=;2!;

∴2ab=2_3_;2!;=3

05-

x¤ -x-2=0에서 (x+1)(x-2)=0

∴x=-1 또는 x=2

이때 두 근 중 음수인 근은-1이므로 x=-1을 x¤ -2ax-3a=0에 대입하면

1+2a-3a=0, -a=-1

∴a=1

05-

x=2를 (a-1)x¤ -(a¤ +3)x+4(a+1)=0에 대입 하면

4(a-1)-2(a¤ +3)+4(a+1)=0

4a-4-2a¤ -6+4a+4=0, 2a¤ -8a+6=0 2(a¤ -4a+3)=0, 2(a-1)(a-3)=0

∴a=1 또는 a=3

그런데a-1+0, 즉 a+1이어야 하므로 a=3

06-

①(x-2)¤ =4에서 x¤ -4x+4=4 x¤ -4x=0, x(x-4)=0

∴x=0 또는 x=4

②(x+2)¤ =0에서 x=-2 (중근)

③x¤ -3x-4=0에서 (x+1)(x-4)=0

∴x=-1 또는 x=4

④9x¤ -12x+4=0에서 (3x-2)¤ =0

④∴x=;3@; (중근)

⑤x¤ =81에서 x¤ -81=0

(x+9)(x-9)=0 ∴x=-9 또는 x=9

06 -

①x¤ -6x+9=0에서 (x-3)¤ =0

∴x=3 (중근)

②4x¤ +4x+1=0에서 (2x+1)¤ =0

④∴x=-;2!; (중근)

③3x¤ -24x+48=0에서 3(x¤ -8x+16)=0 3(x-4)¤ =0 ∴x=4 (중근)

④2x¤ -4x-6=0에서 2(x¤ -2x-3)=0 2(x+1)(x-3)=0 ∴x=-1 또는 x=3

⑤x=0 (중근)

06-

2k-6={;2$;}2 에서 2k=10

∴k=5

06 -

이차방정식2(x+3)¤ =a+2가 중근을 가지려면 a+2=0 ∴a=-2

즉, 2(x+3)¤ =0의 해는 x=-3(중근)이므로 m=-3

∴a+m=-2+(-3)=-5

06-

2m-1=[ ]¤ 에서 m¤ -14m+13=0 (m-1)(m-13)=0

∴m=1 또는 m=13

06-

모든 경우의 수는6_6=36

이차방정식x¤ -2ax+b=0이 중근을 가지려면 b={ }2 , 즉 b=a¤ 이어야 한다.

b=a¤ 을 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (1, 1), (2, 4)의 2가지이므로 구하는 확률은 ;3™6;=;1¡8;

07-

4(x+3)¤ =7에서 (x+3)¤ =;4&;

x+3=— ∴x=-3—

07-

(x+A)¤ =17에서 x+A=—'∂17

∴x=-A—'∂17

따라서A=4, B=17이므로 B-A=17-4=13

07-

;2!;(x-5)¤ =4에서 (x-5)¤ =8 x-5=—2'2 ∴x=5—2'2 따라서a=5, b=2이므로 a+b=5+2=7

07-

2(x-2)¤ -20=0에서 (x-2)¤ =10 x-2=—'∂10 ∴x=2—'∂10 따라서 두 근의 차는

2+'∂10-(2-'∂10)=2'∂10

08-

x¤ -12x+1=0에서 x¤ -12x=-1 x¤ -12x+36=-1+36

∴(x-6)¤ =35

따라서a=-6, b=35이므로 a+b=-6+35=29

08-

x¤ -6x-2=0에서 x¤ -6x=2 x¤ -6x+9=2+9, (x-3)¤ =11 x-3=—'1å1 ∴ x=3—'1å1

08-

x¤ -10x-p=0에서 x¤ -10x=p x¤ -10x+25=p+25, (x-5)¤ =p+25 x-5=—'ƒp+25

∴x=5—'ƒp+25

따라서p+25=23이므로 p=-2 '72 '72

-2a2

-(m-3) 2

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44 수학 ➌

01-

x= =

따라서A=-3, B=5이므로 A-B=-3-5=-8

01-

x=

x=

따라서25-8a=41에서 -8a=16 ∴a=-2

01-

x¤ +2x-5=0에서

x=-1—"√1¤ -1_(-5)=-1—'6 3x+1<-5에서 3x<-6 ∴x<-2 따라서 구하는x의 값은 -1-'6이다.

01-

x=-(-2)—"√(-2)¤ -1_2=2—'2 이때a>b이므로 a=2+'2, b=2-'2

따라서2-'2-2<n<2+'2-2에서 -'2<n<'2 이므로 조건을 만족하는 정수n은 -1, 0, 1의 3개이다.

02-

양변에10을 곱하면 2x¤ +7x=-4 2x¤ +7x+4=0

∴x= =

따라서A=-7, B=17이므로 A+B=-7+17=10

02-

양변에12를 곱하면 4(x¤ +1)-3(x+3)=2x 4x¤ +4-3x-9=2x, 4x¤ -5x-5=0

∴x=

∴x= 5—'ƒ105 8

-(-5)—"√(-5)¤ -4√_4_(-5) 2_4

-7—'1å7 -7—"√7¤ -4_2_4 4

2_2 5—'∂25-8a

4

-(-5)—"√(-5)¤ -4_2_a 2_2

-3—'5 -3—"√3¤ -4_1_1 2

2_1

│25~29^쪽│

01-

_-8

01-

_-2

01-

_-1-'6

01-

3개

02-

10

02-

x=

02-

x=;2!;

02-

x=-2—'∂10

02-

0

02-

2

03-

㉡, ㉣

03-

6

03-

4

03-

⑤

03-

6개

04-

-2

04-

30

04-

_-2

04-

_-;1£1;

04-

₄₆

04-

_;2&;

04-

-12

05-

27

05-

-10

05-

④

05-

-2'∂10

06-

-8

06-

-12

06-

1

07-

2x¤ +12x+18=0

07-

6x¤ -x-1=0

07-

3x¤ -5x+1=0

07-

x=-1 또는 x=-5

08-

16

08-

십각형

08-

3초

09-

5 cm

09-

2 m

09-

3 m

09-

P(3, 10) 또는 P(5, 6)

5—'ƒ105 8

2. 이차방정식의 근의 공식과 활용

02-

0.6x¤ -1.3x+0.5=0의 양변에 10을 곱하면 6x¤ -13x+5=0, (2x-1)(3x-5)=0

∴x=;2!; 또는 x=;3%;

;3@;x¤ -;3&;x+1=0의 양변에 3을 곱하면 2x¤ -7x+3=0, (2x-1)(x-3)=0

∴x=;2!; 또는 x=3

따라서 두 이차방정식의 공통인 해는x=;2!;이다.

02-

양변에10을 곱하면 6+4x(x-1)=5x¤

6+4x¤ -4x=5x¤ , x¤ +4x-6=0

∴x=-2—"√2¤ -1_(-6)=-2—'∂10

02 -

5x+1=A라고 하면 A¤ -2A-24=0 (A+4)(A-6)=0 ∴A=-4 또는 A=6 즉, 5x+1=-4 또는 5x+1=6이므로 x=-1 또는 x=1

따라서 두 근의 합은-1+1=0

02-

x-2y=A라고 하면 A(A+4)+4=0 A¤ +4A+4=0, (A+2)¤ =0^∴∴

∴A=-2 (중근) 즉, x-2y=-2이므로

2y-x=-(x-2y)=-(-2)=2

03-

㉠b¤ -4ac=0¤ -4_1_(-5)=20>0 ∴2개

㉡b¤ -4ac=1¤ -4_1_6=-23<0 ∴0개

㉢b¤¤ -4ac=4¤ -4_2_2=0 ∴1개

㉣b¤ -4ac=(-4)¤ -4_3_2=-8<0 ∴0개 따라서 근을 갖지 않는 것은 ㉡, ㉣이다.

03-

x¤ +4x=3-k에서 x¤ +4x-3+k=0

b¤ -4ac=4¤ -4_1_(-3+k)>0이어야 하므로 16+12-4k>0, -4k>-28 ∴k<7 따라서 정수k의 최댓값은 6이다.

03 -

b¤ -4ac=(m-2)¤ -4_9_1=0이어야 하므로 m¤ -4m-32=0, (m+4)(m-8)=0

∴m=-4 또는 m=8

따라서 모든 상수m의 값의 합은 -4+8=4

03-

3x¤ -6x+k=0에서

b¤ -4ac=(-6)¤ -4_3_k=36-12k

①k=-1이면 36+12=48>0이므로 서로 다른 두 근을 갖는다.

②k=0이면 36-0=36>0이므로 서로 다른 두 근을 갖는다.

③k=3이면 36-36=0이므로 중근을 갖는다.

④k=4이면 36-48=-12<0이므로 근을 갖지 않는 다.

⑤k=6이면 36-72=-36<0이므로 근을 갖지 않는 다.

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정답과 해설 45

03-

이차방정식x¤ -4x+p=0이 근을 갖지 않으므로 b¤ -4ac=(-4)¤ -4_1_p<0, 16-4p<0 -4p<-16 ∴p>4

이차방정식x¤ +6x+p-1=0이 근을 가지므로 b¤ -4ac=6¤ -4_1_(p-1)æ0, 36-4p+4æ0 -4pæ-40 ∴p…10

따라서4<p…10을 만족하는 정수 p는 5, 6, 7, 8, 9, 10의 6개이다.

04-

a=-;3%;, b=-;3!;이므로 a+b=-;3%;+{-;3!;}=-2

04-

(두 근의 합)=-1+6=-a ∴a=-5 (두 근의 곱)=-1_6=b ∴b=-6

∴ab=-5_(-6)=30

04-

이차방정식x¤ -2x-7=0의 두 근의 합은 2이므로 x=2를 2x¤ -3x+k=0에 대입하면

8-6+k=0 ∴k=-2

04-

이차방정식4x¤ +px+q=0의 두 근이 -3, ;4!;이므로 (두 근의 합)=-3+;4!;=-;4P;

-;;¡4¡;;=-;4P; ∴p=11 (두 근의 곱)=-3_;4!;=;4Q;

-;4#;=;4Q; ∴q=-3

따라서 이차방정식11x¤ +3x-2=0의 두 근의 합은 -;1£1;이다.

04-

이차방정식x¤ +5x-7=0에서 (두 근의 합)=-5, (두 근의 곱)=-7

즉, 이차방정식2x¤ +ax+b=0의 두 근이 -5, -7이 므로

(두 근의 합)=-5+(-7)=-;2A;

-12=-;2A; ∴a=24 (두 근의 곱)=-5_(-7)=;2B;

35=;2B; ∴b=70

∴b-a=70-24=46

04-

두 근을a, a+3이라고 하면 (두 근의 합)=a+(a+3)=5 2a=2 ∴a=1

따라서 두 근은1, 4이므로 (두 근의 곱)=1_4=2k-3 2k=7 ∴k=;2&;

04-

두 근을a, 3a라고 하면 (두 근의 합)=a+3a=m+6 4a=m+6 ∴m=4a-6 (두 근의 곱)=a_3a=12 a¤ =4 ∴a=-2 또는 a=2

⁄ a=-2일 때, m=-8-6=-14

¤ a=2일 때, m=8-6=2

⁄, ¤에 의하여 모든 상수 m의 값의 합은 -14+2=-12

05-

a+b=-3, ab=-6이므로 a¤ -ab+b¤ =(a+b)¤ -2ab-ab

=(a+b)¤ -3ab

=(-3)¤ -3_(-6)=27

05-

a+b=4, ab=-2이므로

;å©;+;∫ƒ;= =

;å©;+;∫ƒ;= = =-10

05 -

a+b=3, ab=1이므로

①a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=3¤ -2_1=7

②(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=3¤ -4_1=5

③;å!;+;∫!;= =3

④ + = = =7

⑤a¤ b+ab¤ =ab(a+b)=1_3=3

05-

a+b=-2, ab=-;2#;이므로 (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab

(a-b)¤=(-2)¤ -4_{-;2#;}=10

∴a-b=—'∂10

그런데a>b이므로 a-b>0

∴a-b='∂10

∴a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)

=-2_'∂10=-2'∂10

06-

한 근이4-'5이므로 다른 한 근은 4+'5이다.

(두 근의 합)=(4-'5 )+(4+'5 )=-a

∴a=-8

06-

한 근이2-2'3이므로 다른 한 근은 2+2'3이다.

(두 근의 합)=(2-2'3)+(2+2'3)=-a

∴a=-4

(두 근의 곱)=(2-2'3)(2+2'3)=b

∴b=-8

∴a+b=-4+(-8)=-12

06 -

1<'2<2에서 -2<-'2<-1

∴1<3-'2<2

이때3-'2의 정수 부분이 1이므로 소수 부분은 (3-'2 )-1=2-'2

따라서 한 근이2-'2이므로 다른 한 근은 2+'2이다.

(두 근의 곱)=(2-'2 )(2+'2 )=-a+3 2=-a+3 ∴a=1

07-

중근이-3이고 x¤ 의 계수가 2인 이차방정식은 2(x+3)¤ =0, 2(x¤ +6x+9)=0

∴2x¤ +12x+18=0

a¤ +b¤

(ab)¤

a¤ +b¤

a¤ b¤

1 b¤

1 a¤

a+bab

-220 4¤ -2_(-2)

-2

(a+b)¤ -2ab a¤ +b¤ ab

ab

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46 수학 ➌

07-

두 근이;2!;, -;3!;이고 x¤ 의 계수가 6인 이차방정식은 6{x-;2!;}{x+;3!;}=0, 6{x¤ -;6!;x-;6!;}=0

∴6x¤ -x-1=0

07 -

a+b=5, ab=3이므로

;å!;+;∫!;= =;3%;

;å!;_;∫!;=;å¡∫;=;3!;

따라서 구하는 이차방정식은3{x¤ -;3%;x+;3!;}=0

∴3x¤ -5x+1=0

07-

두 근이1, 5이고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은 (x-1)(x-5)=0, 즉 x¤ -6x+5=0

이때 지민이는 상수항을 바르게 보았으므로 상수항은5 이다.

두 근이-4, -2이고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은 (x+4)(x+2)=0, 즉 x¤ +6x+8=0

이때 경철이는x의 계수를 바르게 보았으므로 x의 계수 는6이다.

따라서 처음에 주어진 이차방정식은x¤ +6x+5=0이 므로

(x+1)(x+5)=0 ∴x=-1 또는 x=-5

08-

연속하는 두 홀수를x, x+2(xæ1)라고 하면 x¤ +(x+2)¤ =130, x¤ +2x-63=0 (x+9)(x-7)=0 ∴ x=-9 또는 x=7 그런데xæ1이므로 x=7

따라서 연속하는 두 홀수는7, 9이므로 구하는 합은 7+9=16

08 -

=35에서 n¤ -3n-70=0

(n+7)(n-10)=0 ∴n=-7 또는 n=10 그런데næ3이므로 n=10

따라서 구하는 다각형은 십각형이다.

08-

35t-5t¤ =50에서 t¤ -7t+10=0 (t-2)(t-5)=0 ∴ t=2 또는 t=5

따라서 이 물체가50 m 이상의 높이에서 머무는 것은 2 초부터5초까지이므로 3초 동안이다.

09 -

처음 정사각형의 한 변의 길이를x cm라고 하면 (x+3)(x+2)=56, x¤ +5x-50=0

(x+10)(x-5)=0 ∴x=-10 또는 x=5 그런데x>0이므로 x=5

따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는5 cm이다.

09-

연못의 반지름의 길이를x m라고 하면 p_(x+2)¤ -px¤ =3px¤ , 3x¤ -4x-4=0 (3x+2)(x-2)=0 ∴x=-;3@; 또는 x=2 그런데x>0이므로 x=2

따라서 연못의 반지름의 길이는2 m이다.

n(n-3) 2

a+bab

09-

길의 폭을x m라고 하면 길을 제외한 잔디밭의 넓이는 가로의 길이가(20-x) m, 세로의 길이가 (15-x) m 인 직사각형의 넓이와 같으므로

(20-x)(15-x)=204, x¤ -35x+96=0 (x-3)(x-32)=0 ∴x=3 또는 x=32 그런데0<x<15이므로 x=3

따라서 길의 폭은3 m이다.

09-

점P의 x좌표를 a라고 하면 점 P의 좌표는 P(a,-2a+16)이다.

OQPR의 넓이가 30이므로

a_(-2a+16)=30, -2a¤ +16a-30=0 a¤ -8a+15=0, (a-3)(a-5)=0

∴a=3 또는 a=5

따라서 점P의 좌표는 P(3, 10) 또는 P(5, 6)이다.

│30~32^쪽│

01

②, ③

02

④

03

③

04

④

05

⑤

06

③

07

②

08

①

09

⑤

10

⑤

11

④

12

③

01

^{① 이차식이다.}

②x¤ -6x+9=5, 즉 x¤ -6x+4=0이므로 이차방정식 이다.

③-3x¤ +8=0이므로 이차방정식이다.

④x‹ -x=x¤ +1, 즉 x‹ -x¤ -x-1=0이므로 이차방정 식이 아니다.

⑤-4x-3=0이므로 일차방정식이다.

02

①(-2)¤ -(-2)+0 ②(2+3)_(2-2)+4

③1¤ +2_1-1+0 ④(-1)¤ -4_(-1)=5

⑤3¤ +3-6+0

따라서 [ ] 안의 수가 주어진 이차방정식의 해인 것은 ④ 이다.

03

x=-1을 3x¤ -(2a+1)x+4=0에 대입하면 3+(2a+1)+4=0

2a=-8 ∴a=-4

04

①x¤ -2x-3=0에서 (x+1)(x-3)=0

∴x=-1 또는 x=3

②x¤ -3x-10=0에서 (x+2)(x-5)=0

∴x=-2 또는 x=5

③x¤ +7x+12=0에서 (x+4)(x+3)=0

∴x=-4 또는 x=-3

④x¤ +12x+36=0에서 (x+6)¤ =0

∴x=-6 (중근)

13

a+3

14

-5

15

-;2#;

16

5

17

;;™4ª;;

18

x=-5

19

x= 3—"√29

20

2초 후 2

│서술형 문제│

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정답과 해설 47

⑤3x¤ -15x+18=0에서 3(x¤ -5x+6)=0 3(x-2)(x-3)=0 ∴x=2 또는 x=3

05

5(x-2)¤ =10에서 (x-2)¤ =2 x-2=—'2 ∴x=2—'2 따라서A=2, B=2이므로 A+B=2+2=4

06

x¤ -8x+5=0에서 x¤ -8x=-5 x¤ -8x+16=-5+16, (x-4)¤ =11 x-4=—'∂11 ∴x=4—'∂11

07

x=

x=

따라서a=3, b=1+3a에서 b=1+9=10

∴a+b=3+10=13

08

b¤ -4ac=(-4)¤ -4_1_(-2k-6)>0이어야 하므로 16+8k+24>0, 8k>-40 ∴k>-5

따라서k의 값이 될 수 없는 것은 ① -6이다.

09

a+b=2, ab=-;4!;이므로 (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab (a-b)¤=2¤ -4_{-;4!;}=5

10

^{한 근이}5-'2이므로 다른 한 근은 5+'2이다.

(두 근의 합)=(5-'2)+(5+'2)=k+2 10=k+2 ∴k=8

11

연속하는 세 자연수를x-1, x, x+1(xæ2)이라고 하면 (x+1)¤ =(x-1)¤ +x¤ -45, x¤ -4x-45=0

(x+5)(x-9)=0 ∴x=-5 또는 x=9 그런데xæ2이므로 x=9

따라서 가장 큰 수는10이다.

12

도로를 제외한 땅의 넓이는 가로의 길이가(20-x) m, 세 로의 길이가(14-x) m인 직사각형의 넓이와 같으므로 (20-x)(14-x)=160, x¤ -34x+120=0

(x-4)(x-30)=0 ∴x=4 또는 x=30 그런데0<x<14이므로 x=4

13

x(ax+8)+4=3x¤ -x에서 ax¤ +8x+4=3x¤ -x

(a-3)x¤ +9x+4=0 ^……60%

이식이x에대한이차방정식이되려면a-3+0이어야한다.

∴a+3 ^……40%

14

x=a를 x¤ +5x-1=0에 대입하면

a¤ +5a-1=0 ^……40%

a+0이므로 양변을 a로 나누면

a+5-;a!;=0 ^……40%

∴a-;a!;=-5 ^……20%

1—'∂1+3a a

-(-1)—"√(-1)¤ -a_(-3) a

15

x¤ -3x+2=0에서 (x-1)(x-2)=0

∴x=1 또는 x=2 ^……40%

이때 두 근 중 작은 근은1이므로 x=1을 x¤ -10x-6a=0 에 대입하면

1-10-6a=0, -6a=9 ∴a=-;2#; ^……60%

16

^{이차방정식}x¤ -6x+2a+5=0이 중근을 가지므로 2a+5={ }¤ , 2a=4 ∴a=2 ^……40%

즉, 주어진 이차방정식은x¤ -6x+9=0이므로 (x-3)¤ =0 ∴x=3 (중근)

∴m=3 ^……40%

∴a+m=2+3=5 ^……20%

17

4x¤ -16x-5=0에서 x¤ -4x-;4%;=0 x¤ -4x=;4%;, x¤ -4x+4=;4%;+4

∴(x-2)¤ =;;™4¡;; ^……60%

따라서p=2, q=;;™4¡;;이므로

p+q=2+;;™4¡;;=;;™4ª;; ^……40%

18

0.1x¤ +;5#;x+;2!;=0의 양변에 10을 곱하면 x¤ +6x+5=0, (x+5)(x+1)=0

∴x=-5 또는 x=-1 ^……40%

+ =0의 양변에 6을 곱하면 2x(x+2)+3(x-5)=0, 2x¤ +4x+3x-15=0 2x¤ +7x-15=0, (x+5)(2x-3)=0

∴x=-5 또는 x=;2#; ^……40%

따라서 두 이차방정식의 공통인 해는x=-5이다.

……20%

19

^{이차방정식}2x¤ +ax+b=0의 두 근이 -;2!;, 3이므로

(두 근의 합)=-;2!;+3=-;2A;

;2%;=-;2A; ∴a=-5 ^……30%

(두 근의 곱)=-;2!;_3=;2B;

-;2#;=;2B; ∴b=-3 ^……30%

따라서x¤ -3x-5=0에서 x=

x= ^……40%

20

10+40x-5x¤ =70에서 x¤ -8x+12=0

(x-2)(x-6)=0 ∴x=2 또는 x=6 ^……60%

따라서 공의 높이가 처음으로70 m가 되는 것은 던져 올린

지2초 후이다. ^……40%

3—"√29 2

-(-3)—"√(-3)¤ -√4_1_(-5) 2_1

x-52 x(x+2)

3 -62

│서술형 문제│

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