※ 각 문항에 대한 답은 문답지의 답란에 직접 쓰시오.
1. A 학생이 B 학생에게 삼각뿔의 부피를 구하는 공식이 (밑면의 넓이)×(높이)× 1
3 임을 아래와 같이 설명하였다.
다음 물음에 답하시오. [총 5점]
[그림 1]과 같이 삼각형이 직사각형에 내접해 있고, [그림 2]와 같이 삼각뿔이 삼각기둥에 내접해 있는 경우를 생각해 보자.
[그림 1]
[그림 1] [그림 2]
삼각형의 넓이를 구하는 공식이 (밑변의 길이)×(높이)×1
2 인
것은 잘 알고 있지?
[그림 1]의 삼각형을 보면, 화살표를 따라 위로 올라갈수록 그 폭이 점점 줄어드니까 삼각형의 넓이는 외접하는 직사각형의 넓 이보다 당연히 작지? 마찬가지로 [그림 2]의 삼각뿔을 보면 위로 올라갈수록 단면의 넓이가 줄어드니까 삼각뿔의 부피도 외접하 는 삼각기둥의 부피보다 작은 것이 당연해.
[그림 1]과 [그림 2]는 모두 삼각형과 관련이 있어. 그리고 [그림 1]의 삼각형에는 밑변과 높이가 있는데, [그림 2]의 삼각뿔 에는 밑면과 높이가 있어.
삼각뿔의 부피는 외접하는 삼각기둥의 부피의 절반보다 더 작 아 보이니까 1
3 쯤 될 것 같아.
그래서 삼각뿔의 부피를 구하는 공식은 삼각형의 넓이를 구하 는 공식과 비슷하게 될 것 같지 않니? 즉 삼각형의 넓이를 구하 는 공식에서 밑변의 길이 대신에 밑면의 넓이 로 바꾸고 1
2을
1
3로 바꾸어서 (밑면의 넓이)×(높이)×31이 된다고 생각할 수 있겠지.
1- 1. 앞의 설명은 A 학생이 유추(유비추리)적 사고를 통하 여 삼각뿔의 부피를 구하는 공식을 이해하고 있음을 보 여 준다. A 학생이 유추적 사고를 했다고 말할 수 있는 근거를 A 학생의 말을 인용하여 설명하시오. (3점)
1- 2 . 만일 어떤 교사가 A 학생처럼 유추적 사고를 통하여 특정 수학 내용을 직관적으로 이해하도록 지도했다면, 이 를 보완하기 위하여 취할 수 있는 지도 방법을 쓰고, 그 방법이 유추적 사고의 어떤 측면을 보완할 수 있는지 설 명하시오. (2점)
지도 방법 :
보완할 수 있는 측면 : 문답지 전체 쪽수가 맞는지 확인하시오.
문답지 각 장의 상단 해당란에 수험번호와 성명을 쓰시오.
답안을 수정할 때에는 두 줄 (〓 )을 긋고 고친 내용을 쓰시오.
다음의 경우에는 문답지 전체나 해당 문항을 채점하지 않습니다.
문답지 상단의 점선 아래에 개인 정보가 노출된 문답지 전체 연필, 수성 사인펜 등 지워지거나 번지는 필기구로 작성된 문항 수정 테이프나 수정액을 사용하여 수정된 문항
[그림 1] [그림 2]
2 . 다음은 제7차 수학과 교육과정에 속하는 내용의 일부를 제 시한 것이다. 물음에 답하시오. [총 6점]
㈎ 도수의 합이 다른 두 집단의 분포를 비교하는 방법에 대하 여 알아본다. (7- 나 단계)
㈏ 실생활 문제에서 합동인 도형과 닮은 도형을 찾아본다.
(8- 나 단계)
㈐ 식의 일부를 치환하여 전개하는 다항식의 곱셈을 할 수 있 다. (9- 가 단계)
㈑ 자연 현상에서 주기적 상황을 조사하여 삼각함수와 관련시 킬 수 있다. (10- 나 단계)
2 - 1 . 위의 ㈎～㈑ 에는 공통적인 특징이 있다. 이러한 특징 을 가지는 내용을 교육과정에서 1 가지만 쓰시오.
(단, 7 - 가 단계에서 10 - 나 단계까지의 내용 중, 실생활의 문제를 해결하는 것에 관한 내용 이외의 것으로 제시하 시오.) (1점)
2 - 2 . 현재 7 - 나 단계에서 상대도수에 관한 내용이 다뤄지 고 있다. 상대도수의 개념을 처음 지도할 때와 ㈎의 내용 을 지도할 때 적합한 문제 상황의 구체적인 예를 각각 하 나씩 제시하시오. (2점)
상대도수의 개념을 처음 지도할 때 :
㈎의 내용을 지도할 때 :
2 - 3 . 위의 ㈎, ㈐와 같은 내용은 학생들의 학습 부담을 줄 이려는 의도를 보여주는 예이다. 이처럼 학습 내용을 줄 이려는 경향은 우리나라의 제4차 수학과 교육과정부터 나타나고 있다. 20 세기 중반 이후의 수학교육의 발달사 에 비추어 볼 때, 이러한 경향을 초래한 요인을 3 가지만 제시하시오. (3점)
3 . 다음은 수학 문제해결 교육과 관련하여 교사들이 주고받은 대화의 일부이다.
⑴ 문제해결 지도를 위한 문제들은 실생활로부터 만들어진 문장제이어야 합니다.
⑵ 수학 교과서에 나오는 전형적인 문제들도 적절히 변형시키 면 문제해결 지도에 적합한 문제로 활용할 수 있다고 생각 합니다.
⑶ 문제해결 교육과 학생들의 수학적 사고의 훈련은 별로 상 관이 없다고 생각합니다.
⑷ 해법이 다양한 문제일수록 그 문제는 문제해결 지도에 적 합한 문제가 된다고 생각합니다.
⑸ 문제해결 지도는 일반적인 수학 수업과는 관련시키지 않는 것이 좋습니다.
⑹ 문제해결을 잘 하기 위해서 수학 교과서에서 흔히 보는 연 습 문제는 풀 필요가 없다고 생각합니다.
대화 내용 중 문제해결 교육과 관련하여 옳지 않게 말한 대화의 번호를 3 개만 쓰고, 각각에 대하여 옳지 않다고 생 각하는 이유를 설명하시오. [총 5점]
4 . A 교사가 학생들에게 둘레의 길이가 100m인 도형의 넓이 라는 조건을 사용하여 조별로 문제를 만들고 해결하여 발표 하고, 보고서로도 제출하게 하였다. 이때 가능한 한 일상 생 활이나 다른 분야와 연계된 풍부한 배경을 가진 문제를 만 들도록 하였다.
A 교사는 학생들의 조별 발표를 관찰하고 보고서를 검토 하면서 수학적 의사소통 능력에 초점을 두어 평가하려고 한 다. 이때, 수학적 의사소통 능력을 평가하기 위한 항목을 2 가지만 쓰시오. [총 4점]
5 . 다음 행렬의 고유치(eigen v alue )와 고유공간(eigen space )을 구하시오. [총 5점]
1 1 - 1
0 2 0
0 0 2
6 . 다음 두 이차합동식의 해가 존재하는지 판별하시오. [총 5점]
6 - 1. x2 9 7 ( m o d 10 1 ) (2점)
6 - 2 . x2+ 2 x 2 8 ( m o d 8 9 ) (3점)
7 . 무한 순환군(infinite cy clic group ) G에 대하여 : G G를 아래와 같이 정의할 때, 다음 물음에 답하시오. [총 5점]
( g ) = g - 1 ( 단 , g - 1는 g 의 역원 )
7 - 1 . 가 동형사상(is omorphism )임을 보이시오. (2점)
7 - 2 . G에서 G로의 동형사상은 항등사상(identity m ap )과 뿐임을 보이시오. (3점)
8 . 아래와 같이 정의된 수열 {xn}은 유계인 증가수열임을 보이고,
nl im xn의 값을 구하시오.
(단, xn은 실수이고 xkn= ( xn)k이다.) [총 4점]
{
xx1n + 13 = 3= 6 x2n - 8 xn9 . 폐구간 [ 0 , 2 ]에서 정의된 함수 f 가 아래와 같을 때, 다음 물음에 답하시오. [총 6점]
f ( x ) =
{
x ,x2, x 가 유리수x 가 무리수9 - 1 . 함수 f 는 x = 1에서 연속임을 보이시오. (3점)
9 - 2 . 함수 f 의 리만(Riem ann ) 적분가능성을 판별하시오.
(3점)
10 . 복소평면 C 에서 해석적인 함수(entire function) f 가 다음 두 조건을 모두 만족시키면 f ( z ) = z 임을 보이시오. [총 5점]
(i ) f ( 1 ) = 1
(ii ) 임의의 z C 에 대하여 |f ( z ) | | z |
11. 곡선 x ( t ) = (3 t , 3 t2, 2 t3) 위의 모든 점에서 단위접 선벡터(unit tang ent v ector)와 평면 x + z = 0이 이루는 각을 구하시오. [총 5점]
12 . 실수 전체 집합 R 의 멱집합(pow er set )의 부분집합
= { R - { p } p R } 에 대하여 다음 물음에 답하시오. [총 5점]
12- 1 . 를 부분기저(subbase )로 갖는 위상(topology ) 를 구하시오. (2점)
12- 2 . 위상공간 ( R , )에서 자연수 전체 집합 N 의 도집합 (deriv ed s et )을 구하시오. (3점)
13 . 같은 종류의 물건 n 개를 m 명의 학생에게 나누어주는 경우의 수를 f ( n , m )이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[총 5점]
13 - 1 . f ( 6 , 3 )의 값을 구하시오. (1점)
13 - 2 . 모든 자연수 n에 대하여 다음 등식이 성립함을 수학적귀납법을 이용하여 증명하시오. (4점)
f ( 1 , m ) + f ( 2 , m ) + + f ( n , m ) = f ( n , m + 1 ) - 1
14 . 2 0 0 3년도 전국학력평가에 응시한 수험생 중에서 자연계 수험생 64명, 인문계 수험생 9명을 임의로 선택하여 수리 영역의 점수를 조사하였다. 그 결과 자연계 수험생은 평균 이 4 8점, 표준편차가 5 . 6점이었고, 인문계 수험생은 평균 이 4 2점, 표준편차가 7 . 5점이었다. 자연계와 인문계에 응 시한 수험생 전체의 수리 영역 점수가 각각 정규분포를 이 룬다고 가정하고 두 집단의 평균점수를 추정하려 한다.
다음 물음에 답하시오. [총 5점]
14 - 1 . 아래의 표준정규분포표를 이용하여 자연계 수험 생 전체의 수리 영역 평균점수를 신뢰도 9 5 %의 신뢰구 간으로 추정하시오. (2점)
표준정규분포표( P ( 0 Z z ) )
z .05 .06
1.6 1.7 1.8 1.9
.4505 .4599 .4678 .4744
.4515 .4608 .4686 .4750
14 - 2 . 아래의 t - 분포표를 이용하여 인문계 수험생 전체 의 수리 영역 평균점수를 신뢰도 9 5 %의 신뢰구간으 로 추정하시오. (3점)
t - 분포표(P ( t t ) = )
자유도 0.05 0.025 7
8 9 10
1.895 1.860 1.833 1.812
2.365 2.306 2.262 2.228
