압축성 유동

(1)

압축성 유동

Fluid Mechanics

김경천외 6인역, 유체역학(Hibbeler원저), 시그마프레스, 2016, p. 706 그림인용

(2)

13.1 열역학의 개념

※지금까지는 비압축성 유체에 대해서만 유체역학을 적용.

13 장에서는 압축성 효과를 포함하여 도시 및 공업용 가스관을 통해 흐르는 고속 유동, 난방 및 환기에 사용되는 통풍관 그리고 로켓, 항공기, 제트 엔진의 설계에서 중요하게 논의되는 압축성 효과에 대해 논의.

•이상기체의 법칙(ideal gas law)

탄성 구와 같이 거동하는 분자들로 구성된 기체를 고려.

→분자 간의 거리가 분자의 크기보다 크기 때문에 분자들은 불규칙적으로 운동하게 되고 서로 간섭을 하지 않는다고 가정.

상태방정식 법칙

이상기체의

T R R

T R

R

RT p

ρ

(3)

•내부에너지와 열역학 제1법칙 내부에너지

:이상 기체의 경우 내부에너지=분자 및 원자들의 운동에너지+위치에너지 열역학 제1법칙

:열과 일 그리고 내부에너지의 균형에 관한 법칙.

pdv dq

du

pdv dw

−

=

내부에너지

변화 공급열

배출유동일

내부에너지의 변화는 한 상태에서 다른 상태로 시스템이 변화되는 과정과는 무관하나, dq와 p dv는 이 과정에 크게 의존

(4)

•비열

: 기체의 단위 질량당 온도를 1°C 올리는 데 필요한 열의 양.

. )

( )

(

) /(

:

정의 로

정압비열 와

정적비열 보통

단위

의존 가열과정에

비열은

p

v

c

R slug lb

ft or K kg J

dT c dq

•

=

•정적 과정: 체적이 일정하게 유지될 때, dv=0이고, 외부로부터의 유동일은 없다.

→열역학 제1법칙은 du=dq가 된다.

즉, 기체의 내부에너지는 공급된 열의 양에 의해서만 증가.

대부분의 공학적 응용 범위에서 는 온도변화에 따라 일정하게 나타나므로 임의의 두 상태 간에 윗식을 다음과 같이 적분. ^v

dT c

c

_v

= du

수있음 . 알

변화 내부에너지

대한 에

온도변화 주어진

안다면

를 T

c

T c u

_v

∆

∴

∆

=

∆

(5)

•정압과정

:정압 과정 동안 기체는 팽창하게 되므로 내부에너지 변화와 유동일을 고려.

.

;

, 0 :

. .

=

−

∆

=

∆

=

+

=

= + +

= +

=

+

= +

=

= +

kR c R

R c

c

T c h

c dT c

c dh

pd du

dh dp

pd dp

du dh

RT u

h

u p p

u h

h dT

pd c du

p p

p

v p p

p

υ

υ υ

υ υ ρ

υ

일정 같이

와 는 내에서

온도범위 고려하는

공학에서 일정

압력은

미분 위해

알기 변화

엔탈피

정리 관해

온도에 엔탈피

사용하여 법칙을

이상기체의

정의 를

엔탈피 상태량

기체의 위해

간소화하기 윗식을

(6)

•엔트로피와 열역학 제2법칙

: 엔트로피(S)는 기체의 열역학적 상태량.

•엔트로피의 변화: 기체의 질량당 압력, 체적 및 온도가 다른 상태로 변화할 때 발생되는 온도당 열의 양으로 정의.

T ds = dq

→고온에서 저온으로 열이 흐르는 과정은 비가역적.

즉, 열은 저온에서 고온으로 절대로 흐르지 않음. 그 이유는 저온일 때보다 고 온일 때 내부에너지나 분자들 간의 열교란이 많이 발생하기 때문.

열역학 제2법칙: 엔트로피 변화에 기초하며, 물리적 현상이 일어날 때의 시간항에 대한 순서를 결정.

열역학 제2법칙은 우선적인 방향을 가지는데, 변화과정이 비가역적이면

→엔트로피는 항상 증가

if) 가역과정이라 가정한다면, 내부 마찰과 엔트로피 변화가 없는 등엔트로피 유동이 발생.

ds=0 가역적 ds>0 비가역적

(7)

1 2 1

2 1

2

1 2 1

2 1

2

ln ln

;

. ln

ln

. 1 );

/ ( 1

. 1)

( /

1

p R p

T c T

s s

p R dp T

c dT ds

vdp dh

Tds

T R c T

s s

c R d

T c dT ds

k c kR c

RT p

v

pdv du

Tds

p p

v

v v

p v

−

=

−

=

−

=

−

=

−

+

=

= −

=

+

=

적분

나타냄 연관지어

엔트로피와 엔탈피를

일정 는

동안 온도변화하는

대입 에

식 정의한 대해

에 그리고 와

ρ ρ ρ ρ

ρ

(8)

T -s 선도

: 온도에 따른 엔트로피 변화를 나타냄.

v

v v

c T ds

dT

d pdv

dT c Tds

=

= +

= (기체의체적을일정하게하면 0)

→이 식은 그림 13-1에서 체적이 일정할 때의 기울기를 나타냄.

p p

c T ds

dT

vdp dT

c Tds

dp

=

−

=

= 0 하면

일정하게 압력을

→이 식은 그림 13-1에서 압력이 일정할 때의 기울기를 나타냄.

(9)

•등엔트로피 과정

: 등엔트로피 과정에서는 기체가 한 상태에서 다른 상태로 갑자기 변하는 동안에 주변으로의 열전달이 발생하지 않으며, 이러한 과정을 단열과정(dq=0)이라함.

또한, 가역과정으로 마찰손실을 무시할 수 있으므로 ds=0이 된다.

대부분의 경우, 유동하는 기체의 상태변화를 등엔트로피 과정으로 간주.

(10)

) 1 /(

1 2 1

2

1 2 1

2

1 2 1 2 1

2 1

2

) (

. .

) (

. .

/ 1

1 )

)(

( 0 ln

ln

,

0

. /

, 0

0

, 0

0

= −

=

= +

=

−

=

+

=

−

=

+

=

k k

k

k v p p

v

T T p

p p p v

v v p p v

k v p p k

v k dv p

dp

c c k dT

vdp dT

c

pdv dT

c

vdp dh

pdv du

같다 다음과

나타내면 대해

절대온도에 압력을

이상기체법칙이용

같다 다음과

관계는 압력의

밀도와 대입

로

적분하면 대해

상태점에 두

임의의 일정

는

사용 소거

여기서

나타내면 대해

비열에

ρ ρ ρ

•등엔트로피 과정

(11)

13.2 압축성 유체에서의 파동 전파

모든 유체는 압축성이라서 압력 교란은 유체 내부를 통해 한정된속도로 전파하게 됨. 이러한 속도c를 음속이라 함.

•그림 13-4a에서와 같이 유체가 담긴 열린관을 고려하여 음속을 정의.

) .(

) (

.

;

.

V c

c

p

V

∆

>>

↓

∆

↓

∆

전달 형태로 파의

얇은 매우

이동하는 따라

관을 으로 음속

멀어짐 피스톤으로부터

교환은 운동량

발생하는

전파 인접한유체분자들로 우측에

충돌이 분자

지점의 이

상승 만큼 압력

옆의 바로 피스톤

거리이동 약간

로 속도

피스톤 방향으로

우측

(12)

∂ ∫

∂

CV

d

t ρ

_⩝

⁺ ∫

CS

ρ V

f_/CS

^• dA ⁼ 0

dV cd

V

VA A

c V A cA

cA

A V c

cA

ρ ρ

ρ

ρ ρ

ρ

ρ ρ

ρ

=

∆

=

∆

−

∆ +

∆

− +

−

=

∆

−

∆ + +

−

. 0

0

0 0

) )(

( 0

소거 되어

이 항은 마지막

가까우므로 에

는 와

•선형 운동량방정식

그림 13-4d의 자유물체도와 같이 열린 검사표면을 움직이는 힘은 압력에 의해서만 발생.

∑ ⁼ _∂ ^∂ ∫

+

→ CV

V

f CS

d

t

_/

ρ

F

_⩝

⁺ ∫

CS

V

f_/CS

ρ V

f_/CS

^• dA ⁼ 0

ρ

ρ ρ

ρ

c dp

c d

c cdV dp

A V c

V c

cA c

pA A

p p

=

−

=

∆

−

∆ +

∆

−

− +

=

−

∆ +

, 2

. 3

, 2

] ) )(

)(

( ) (

[ 0 )

(

2

풀면 대해

에 사용하여 연속방정식

차항무시 취해

극한을 미소변화의

(13)

※음파 또는 압력 교란은 등엔트로피 과정을 형성.

: 단열과정, ‘얇은’ 파 안의 마찰손실은 무시, 압력과 밀도 변화는 가역과정과 관련.

음속

나타내면 미분하여

상수

나타냄 형태로

같은 다음과

연관지어 압력을

밀도와

:

) ( / )

( )

(

, )

: (

1 k

kRT c

k p C

Ck p Ck

d Ck dp

C C

p

k k

=

∴

=

−

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ

(14)

•체적탄성계수와 유체의 밀도에 대하여 음속을 나타낼 수 있다.

. )

(

) ( /

/ /

0 ,

/

보여줌 의존하는

에 초기상태량

그리고 압축성

또는 탄성

매질의 음속이

결과는 이

상수이므로 질량은

질량변화량 질량

ρ ρ

ρ

E c E

d E dp

d d

dm d

d dm m

d E dp

=

−

= +

=

−

⩝

=

⩝ ⩝

⩝ ⩝ ⩝

⩝ ⩝

⩝

(15)

13.3 압축성 유동의 형태

: 압축성 유동을 분류하기 위해, 제8장에서 정의된 마하수 M(유체에 작용하는 압축력 대 관성력의 비의 제곱으로 나타낼 수 있는 무차원수)을 사용.

kRT V

kRT V c

V Μ

=

= Μ

•그림 13-5a에서와 같이 속도 V로 유체를 통과하는 익형과 같은 물체를 고려.

→운동하는 동안 그림 13-4의 피스톤과 같이 물체의 앞면은 앞의 공기를 압축시키고, 표면으로부터 음속으로 나가는 압력파의 발생을 야기.

→이 효과는 V에 크게 의존.

(16)

•아음속유동, M<1

: 0.3c <V < c 범위 안의 유동

그림 13-5a에 나타낸 것과 같이 물체 표면 주변 및 전체에 걸쳐 부드러운 유동이 발생

→ 유체 분자들이 물체에서 떨어져 이동.

일반적으로 물체의 운동에 의해 발생되는 압력 변화는 M>0.3이나 V >0.3c일 때 현저하게 발생.

(17)

•음속 및 초음속 유동, M≥1

음속유동(sonic flow): 물체나 충격파가 마하수 1로 이동하는 경우 (M=1) 초음속 유동(supersonic) : 마하수가 1보다 클 경우(M >1)

cf) 극초음속 유동(hypersonic): 미사일이나 우주 왕복선 등과 같이 마하수가 5 이상

충격파

:점성마찰 및 열전도 효과가 안정적으로 발생되기 시작해 매우 큰 압력을 얻을 수 있는 상태점까지 도달.

충격파가 유체를 지나가면서 국소적인 압력, 밀도 그리고 온도의 변화를 발생.

(18)

•마하콘

•충격파의 발생은 움직이는 물체의 표면이나 그 근처에서 발생하는 매우 국부적인 현상임을 인식.

•어느 한 지점에서 다른 지점으로 물체가 이동함으로써 형성되는 각 충격파는 음속으로 물체로부터 떨어져 이동.

EX) 그림 13-6에서와 같이 초음속 V로 수평 비행하고 있는 제트기.

→각 지점에서 제트기는 음속(c)으로 대기를 통과하는 구면의 충격파를 생성.

→ t=0일 때 만들어진 충격파는 비행기가 Vt’까지 이동할 때 (t=t’), ct’까지 이동.

→마하콘이 생성.

※마하콘: 시간 t 동안 생성된 모든 파들을 합쳐서 생성된 원뿔형의 경계층.

(19)

•그림 13-6에서 마하콘의 경사각 α는 제트기의 속도에 크게 의존하고, 마하콘 안에 빨간색 음영으로 칠해진 삼각형으로 정의.

. ,

sin , sin 1

작아짐 는

경사각 따라서

증가되면 가

속도 α α

α V

M V c =

=

(20)

13.4 정체 상태량

•주어진 한 점의 상태값으로부터 임의점의 상태값들을 어떻게 얻을 수 있는지 알아보자.

•압축성 유동에 관련된 문제에서는 기준점으로 유동의 정체점을 선택.

→13.13절에서 제시할 내용과 같이 이 기준점으로 편리하게 실험적 측정이 되기 때문.

•정체온도(stagnation temperature) : 기체의 속도가 0이 되었을 때의 온도.

T

⁰

•전온도(total temperature)

:열이 빠져나가지 않는 등엔트로피 유동이나 단열유동에서의 정지된 후의 유동에서의 모든점에서 전온도는 동일.

T

⁰

•정온도(static temperature)

T

: 유동과 함께 움직이는 관찰자에 의해 측정된 온도.

(21)

•그림 13-8과 같이 고정 검사체적이 고려된 기체의 정체온도는 정온도와 연관.

2 ) 1 1

(

, .

) 1 /(

2 ) 1 2 (

)]

( [

2

)]

0 0 (

) 2 0

[(

0 0 0

2 )]

( 2 )

[(

. ,

,

0 ,

2 0

0 0

2 0

0 2

2 2

0 0

k M T

T

kRT c

k kR c

T c T V

T V or

T c T c

T T c h h or T c h

h V h

m V h

h

m V gz

h V gz

h W

W Q

V T

O

p

p p

p

p p

in in

in out

out pump out

in turb

+ −

=

−

=

+

= +

=

−

=

−

∆

=

∆

+

=

+ +

− + +

= +

−

+ +

− +

+

= +

−

=

•

나타내면 관해

마하수에 이용

와 식

무시 내부에너지

기체 단열유동

속도 정온도

온도는 안의

파이프

속도 정체온도

는 점 안의 저장고

→정온도 T는 유동에 관련되어 측정되는 값인 반면에, 전온도 는 단열유동을

T

⁰

김경천외 6인 역, 유체역학 (Hibbeler원저), 시그마프레스, 2016, p. 723 그 림인용

(22)

•정체압력

: 한 점에서 기체의 압력 p는 유동에 관련되어 측정.

정체압력 와 전압력등 엔트로피적으로 유동이 정지된 점에서의 기체압력.

→그렇지 않으면 열전달과 마찰효과에 의해 전압력이 변화될 것이기 때문에 이 과정은 반드시 등엔트로피 과정.

p ^p

₀

) 1 /(

0

) 1 0 /(

0

2 ) 1 1

( ) (

−

+ −

=

k k k k

p k p

T p T p

•정압 p가 변한다 하더라도 정체압 는 공급된 유동이 등엔트로피 과정 의 유선을 따르는 모든 점에서 동일.

•정온도 T와 정압 p는 그에 상응하는 정체온도 와 에 비해 항상 작음.

p

0

p

0

T

0

(23)

•정체밀도

. 2 )

1 1 (

0 0

0

) 1 /(

1 2 0

됨 동일하게 값들이

점에서 모든

따르는 유선을

어떤 유동에서

등엔트로피 처럼

및 는

T p

k M

_k

ρ

= + ⁻ ⁻

(24)

13.5 가변면적을 통과하는 등엔트로피 유동

•연속방정식

: 속도 및 밀도 그리고 단면적 모두 변하기 때문에 연속방정식은 다음과 같다.

압축성 유동 해석은 제트엔진 및 로켓 노즐의 덕트를 지나는 기체에 적용.

이러한 응용을 위해 기체가 흐르는 덕트의 단면적 변화에 의해 기체의 압력 및 속도 그리고 밀도가 어떠한 영향을 받는지를 보여주고 논의.

 미소 거리에 대한 등엔트로피 과정 및 정상유동을 생각.

덕트의 단면적은 서서히 변화한다고 가정하여 유동을 1차원 유동으로 간주하면 표준 기체 상태량을 사용할 수 있게 됨.

∂ ∫

∂

CV

d

t ρ

⩝ ⁺

∫

CS ρV^•dA⁼0

) (

0 ,

3 2

, 0

0 ) )(

)(

( 0

dA V d

dV

AdV VAd

VdA x

A A

V V

VA

+

−

=

= +

+

→

∆

=

∆ +

∆ + +

−

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ

간소화하면 다시

소거되고 항들은

차

및

차

취하면

(25)

•선형 운동량방정식 그림 13-12b의 검사체적 자유물체도에 보이는 것과 같이 주변 기체가 검사표면의 앞과 뒤로 압력을 가한다.

. .

) 2 / (

.

적용 운동량방정식 선형

유동방향으로

것 작용될 수평으로

의해 면적에

증가된

은 평균압력

증가 만큼

측면은

덕트의 ∆A p+∆p

∑

⁼ _∂^∂

∫

+→ CVVf CS d

t _/ ρ

F ⩝ ⁺

∫

CSVf _/CSρVf _/CS ^•dA ⁼ 0

A dA dp V

d c

dp d

A dA V d

dp

A V dA d

V VdV dp

A A

V V

VA V

A A

p p

p A p

pA

2 2

1

. ,

/ ) (

) 2

(

) )(

)(

( ) (

0

) )(

( 2 )

(

Μ

= −

= +

=

+ +

−

=

∆ +

∆ + +

− +

=

∆ +

−

∆ ∆ + +

ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ

있음 구할

변화 압력 따른

면적변화에 나타내면

마하수에대해

다음 소거한

를 대입함으로

을 여기서

김경천외 6인역, 유체역 학(Hibbeler원저), 시그마 프레스, 2016, p. 730 그림

(26)

•아음속 유동

그림 13-13a,b 참조.

압력과 속도에 대한 이 결과들은 베르누이 방정식으로부터 알려진 비압축성 유동에 대한 결과와 유사.

•초음속 유동

그림13-13c,d참조

: 초음속 유동은 일반 도로의 자동차 흐름과 유사한 거동을 한다.

도로의 폭이 넓어지면 차들의 속도가 증가하게 되고(높은 속도), 넓게 퍼지기 시작한다(낮은 압력 및 밀도).

도로 폭이 좁아지면 밀집되게 되고(높은 압력 및 밀도) 속도가 저하되게 된다.(낮은 속도)

(27)

•라발 노즐

: 시작되는 축소부에서 아음속 유동(M>1)을 노즐목에서 음속(M=1)이 될 때까지

가속시키며, 이후 이어지는 확대부에서 음속에서 초음속 유동(M >1)까지 속도를 증가.

※노즐목을 통해서는 음속(M=1) 이상의 속도를 내는 것이 불가능하다.

→음속에 도달하게 되면 노즐 유동의 가속을 야기하기 위해 압력파가 상류로 이동 할 수 없게 되기 때문이다.

•면적비

: 연속방정식을 이용하여 마하수에 대하여 정의함으로써 노즐에 따른 임의의 점에서의 단면적을 구할 수 있음.

노즐목에서 음속조건이 된다고 하면 노즐목의 단면적(A*)을 기준으로 한다.

(28)

) 1 ( 2

1 2

0 0

0

) 1 2(

1

) 1 2(

1 1 1

1 /

/

) )(

1 (

) 1 (

) 1

( )

(

. 1

, ,

− +

∗

• ∗

∗

















+

− +

= Μ

=

Μ

= Μ

=

= Μ

=

k k

k

M k

A A

T T

T T T T A

A

T T A

or A

A kRT A

kRT A

V VA

m

kRT c

V T

T

값 때의 일

항들은 와

필요 연속방정식

이기에 점에서

다른 임의의

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ

(29)

•주어진 비열비(k)에 대한 윗식의 그래프를 그림 13-15

(30)

13.6 축소 및 확대 노즐을 통과하는 등엔트로피 유동

•그림 13-18a와 같이 정체된 가스의 대형 용기 또는 저장고에 부착된 노즐로부터 발생하는 압축성 유동을 연구.

•노즐의 끝부분에서 파이프는 탱크 및 진공 펌프에 연결.

•펌프를 작동하고 파이프의 밸브를 개방함으로써 탱크 내의 배압(backpressure) pb 와 노즐을 통한 유동을 조절할 수 있게 됨.

•이때의 배압이 노즐을 통한 질량유량과 압력에 어떠한 영향을 미치는지 연구.

(31)

•축소 노즐

그림 13-18a와 같이 탱크에 축소 노즐을 부착하였을 때에 대해 고려.

• 배압과 저장고의 압력이 같은 경우( ), 그림 13-18b의 압력분포곡선 1에서 나타내는 바와 같이 노즐을 통한 유동은 발생되지 않음 • 가 보다 약간 낮은 경우, 노즐을 통해 흐르는 유동은 아음속으로 유지.

여기에서 속도는 노즐을 통해 증가하게 되고, 선 2에 나타난 바와 같이 압력은 감소.

• 이후 의 압력강하로 결국 노즐 출구에서의 유동 이 음속 유동 M =1에 도달.

이 지점에서의 배압을 임계압력 p*라 부름(선 3).

여기서의 압력은 식 (13-32)에서 M=1로 하여 정의.

p0는 정체압력이므로, 결과는 다음과 같이 표현.

p

0

p

_b =

p

b

^p

₀

p

b

) 1 /(

0

*

1 )

( 2

⁻

= +

^k ^k

k

p

(32)

•음속에 도달하기 위한 노즐 외부의 압력은 저장고의 압력에 약 절반이 되어야함.

* .

0에서 으로 감소되는동안유동은등엔트로피유동으로간주 배압이

p

_b =

p p

_b =

p

→절대압력이 노즐 내에서 항상 양의 값으로 유지되고, 얇은 경계층의 결과로 노즐을 통해 유동을 가속함에 있어 최소 마찰손실 이 생성되어 빠른 유동이 발생되기 때문.

•배압이 더욱 저하된 경우(p’, p*)는 노즐의 압력분포와 유동의 질량유량에 영향을 미치지 않음. ‘노즐목’, 즉 노즐 출구에서의 압력은 반드시 p*로 유지되기 때문에 노즐이 초킹되었다고 말할 수 있음. 음속에서 p*보다 낮은 압력은 노즐을 통해 더 많은 기체를 유입하기 위해 상류 유동으로 영향을 줄 수 없음.

낮은 배압 p’에서 외부와 노즐의 출구 바로 앞의 압력은 갑자기 감소.

→그러나 이 압력감소는 단지 노즐 출구에서 3차원 팽창파의 형성으로 인해 발생 되는 것(선 4). 가스의 팽창은 열손실과 마찰로 인해 엔트로피 증가를 초래하기 때 문에 이 영역에서 등엔트로피 과정은 유지 되지 않음.

(33)

•앞서 네 가지의 경우 각각에 대한 배압의 함수로서 유량은 그림 13-18c와 같이 도시.

(34)

•축소-확대 노즐

• 이전처럼, 배압이 저장고의 압력과 동일한 경우( ), 노즐을 통해 압력이 일정하기 때문에 그림 13-19b의 선 1과 같이 노즐에서는 유동이 발생하지 않음.

• 배압이 다소 떨어지는 경우에는 아음속 유동이 발생.

축소부를 통과하여 노즐목에서는 압력이 최저로 감소되는 동안 속도는 최대로 증가

• 배압이 p3가 되면, 노즐목에서의 압력은 p*로 떨어지고 그 결 과 음속(M=1) 에 도달. 이 경우는 축소 및 확대부 모두에서 아음속이 발생하는 제한적인 경우(선 3). 노즐목에서의 속도가 최대(M=1)이기 때문에 배압이 약간 감소하더라도 노즐을 통한 질량유량은 증가하지 않음.

따라서 노즐이 초킹되고, 질량유량이 일정하게 유지.

• 확대부에서 유동을 등엔트로피적으로 가속시키기 위해, 선 4에 도시된 바와 같이 배압이 p4에 도달할 때까지 계속 감 소시킬 필요가 있음. 다시 한 번 강조 하지만, 노즐이 초킹되기 때문에 질량유량은 더 이상 증가하지 않음.

p

0

p

_b =

(35)

• 선 3과 4의 압력분기 때문에 p≤ p3와 p=p4의 조건에서 노즐을 통한

등엔트로피 유동이 발생. A/A*(노즐목 면적 대 출구면적)으로 주어진 면적비에 대 해 식 (13-41)은 그림 13-15(M1 아음속과 M2 초음속)에서 언급한 바와 같이 두 개의 출구 마하수를 제공하기 때문.

그러므로, 배압이 p3와 p4의 엔트로피 출구 압력 사이에 있는 경우 또는 p4보다 낮은 경우, 출구 압력은 노즐 안이나 바로 바깥쪽에 형성된 충격파를 통해서 갑작스럽게 배압으로 전환.

충격파는 마찰손실을 포함하기 때문에 등엔트로피 유동이 아니며,

노즐의 비효율적인 사용을 초래. 이 현상에 대해서는 13.7절에 서 논의.

(36)

13.7 압축성 유동에 대한 마찰의 영향

•일정한 단면을 가진 파이프 내에서 유동이 어떻게 변화하는지에 대한 연구.

•벽면 마찰계수 f를 고려.

•f 는 무디 선도로부터 알아봄. 이상기체와 정상유동으로 가정.

•기체에서 생성된 열이 빠져나가지 않는다고 가정한다면, 그 과정은 단열과정.

→이러한 형태의 유동을 파노 유동이라 함.

마찰과 마하수가 유동에 어떠한 영향을 미치는지 연구하기 위해,

그림 13- 24a와 같이 고정 미소 검사체적에 유체역학의 기본방정식을 적용.

•연속방정식

∂ ∫

∂

CV

d

t ρ

_⩝

⁺ ∫

CS

ρ V ^• dA ⁼ 0

0

2

0 ) (

) )(

( 0

= +

=

− +

∆ +

∆ + +

V dV d

VA A

V V

ρ ρ

ρ

무시 차항

취하면 극한을

(37)

•선형 운동량방정식

. )

2 (

, ,

24 13

정의 의해

에

이며 전단력

벽면 작용

검사표면에 밀폐된

는 마찰력

같이 자유물체도와

의 그림

h x p

r

F b

w

f

γ τ

τ

∂ +

= ∂

∆

−

유체는 기체이기 때문에 그 중량을 무시할 수 있음.

V x D

x fA D F

D A

x D

V f V

D f D

V D

x f p

p p g

V D x f h

x p D

w f

w w

L w

∆

=

∆

=

∆

∴

=

∆

=

∆

=

∆

=

∆

= ∆

2 ) ( ]

[

4 ,

) (

) 8 )( 2

4 )(

(

) 2 / )(

/ (

. )

2 / )(

/ (

) 4 )(

(

2

2 2

2 2 2

π ρ τ

π π

τ

ρ τ ρ

ρ τ

면적이 검사표면의

열린 작용

에 검사면적

가

관해풀면 에

두고 동일하게

항들을 오른쪽

방정식의 두

소거 를

의해 수두손실에

의

(38)

•검사체적에 대한 운동량방정식을 다음과 같이 적용.

VdV dp

V dx D

f x

ρ ₋ ₌ ρ

−

∴

→

∆

2 ) (

. 3

2 , 0

2

있음 수

무시할 항을

차 및 차 때

일

•유동의 마하수에 f dx/D를 연관시키기 위해 이상기체의 법칙과 에너지방정식을 함께 이 결과를 사용해야 함.

(39)

•이상기체의 법칙

V dV T

dT p

dp

= −

•에너지방정식

단열유동이기 때문에, 파이프에 걸쳐 정체온도는 일정하게 유지.

) ) 1 2(

1 1 (

) ( ) 1

(

2 4

2 2

Μ

− +

Μ

Μ Μ

= −

k k

d D

f dx

•파이프 길이 대 마하수

파이프가 실제로 충분히 길다면 (또는 충분히 길다고 생각한다면), 마찰 효과는 유동을 음속(M=1)으로 변화시키는 경향 나타냄.

음속은 임계점에서 발생되고, 위치 1에서 의 위치까지 구간적분을 적용하기 위해서 이 임계점을 기준점으로 사용가능.

길이 에 따라 마찰계수는 실제로 달라지는데, 이는 f가 레이놀즈수의 함수이기 때문. 하지만 레이놀즈수는 일반적으로 높으므로,

여기서는 f 의 평균 값을 사용.

L

max

x

_cr

=

Lmax

(40)

•파이프 길이 대 마하수

 

 





Μ

− +

Μ +

+ + Μ

Μ

= −

Μ

− +

Μ

Μ Μ

= ∫ −

∫

2 2

1

2 2

2 max

2 4

2 2

0

) 1 (

1 ] 2 ) 1 ln [(

2 1 1

) )

1 2 (

1 1 (

) (

) 1

(

max

k k k

k k

D fL

k k

dx d D

f

^l

M L

(41)

•온도

단열과정이 되기 때문에 정체온도는 일정하게 유지.

•속도

: 속도는 마하수와 연관

•밀도

연속방정식 적용.

*

V A

VA ρ ρ =

2 2

1 2 1

1 0

*

1 0

*

1 ( 1 )

) 1 (

) /(

Μ

− +

= +

= k

k T

T T T T

T

2 / 1 2 2

1 2 1

*

1 ( 1 )

) 1 (

) 1

( 



 





Μ

− +

= +

∗

=

k M k

kRT kRT M

V V

2 / 1

2 1

2 2

1

*

( 1 )

) 1 (

1 1

 

 





+

− +

= Μ

k

M k

ρ

(42)

•압력

) 1 ( 2 / ) 1 ( 2

* 0 0

2 2

1 2 1

*

2 ) 1 1

1)(

( 2 1

. )

1 (

1

) 1 1 (

2 / 1

− +



 + − +

= Μ



 





Μ

− +

= +

k k

k M k

p p

k k M

p p

수있음 달라질

따라 파이프에

정체압력비는 때문에

아니기 과정이

등엔트로피

(43)

•파노 선(T-s 도표 )

:온도의 함수인 엔트로피가 파이프에 따라 어떻게 변화하는지 고려함으로써 유체 거동에 어떠한 영향을 미치는지 살펴보는 것이 도움이 된다.

→관을 따른 초기 위치 1과 어떤 임의의 위치 사 이의 엔트로피 변화를 반드시 표현.

 

  − + − +

− +

=

−

− +

−

=

−

1 1

0

1 0

1 1

ln 2

2 ln ln

) 2 ln(

ln

ln )

( 2 ln ln

ln

V R R c

T c

T R T

T c

V R T

T c R

T c

s s

p p

υ υ

→이 식을 그래프화하면, 유동에 대한 파노 선(T-s 도표)을 구할 수 있다.

압축성 유동