다항식 환

다항식 환

Definition 0.1. R이 환일 때 R의 원소를 계수(coefficients)로 가지는 다항식 (polynomial) f (x)는 무한합(infinite formal sum)

f (x) =

∞

X

k=0

akx^k = a0+ a1x + · · · + anxⁿ+ · · ·

으로 정의된다.(x를 부정원(indeterminate)이라 한다.) 여기서 a_k ∈ R 이고 유 한개의 k를 제외하고는 a_k = 0_R 이다. a_k를 f (x)의 계수((coeficients)라 부른다.

a_k 6= 0_R을 만족하는 가장 큰 k를 f (x)의 차수(degree)라 부르고 deg f (x)로 표기 한다. 만일 모든 k에 대해 a_k= 0_R 이면 f (x)의 차수는 정의하지 않는다.

<표기>

R이 단위원 1R을 가지는 경우에 1_Rx = x로 표기한다. 만일 f (x) = a0 + a1x +

· · · + a_nxⁿ + · · · 에 대해 a_k = 0_R, ^∀k > n 이면 f (x) = a₀ + a₁x + · · · + a_nxⁿ 으로 표기한다. 그리고 0_Rx^k 또는 a₀ = 0_R 은 다항식 표현에서 제거하는 것으로 정한다. 모든 a_k = 0_R 이면 f (x) = 0_R으로 표기한다. 이러한 맥락에서 R의 원소를 상수다항식(constant polynomial)이라 한다.

Definition 0.2. 환 R의 원소를 계수로 가지는 두 다항식 f (x) = a₀+ a₁x + · · · + a_nxⁿ+ · · · 와

g(x) = b₀+ b₁x + · · · + b_nxⁿ+ · · · 을 생각하자. 이 때 두 다항식의 덧셈은

f (x) + g(x) = (a₀+ b₀) + (a₁+ b₁)x + · · · + (a_n+ b_n)xⁿ+ · · · 으로 정의하고 두 다항식의 곱셈은

f (x)g(x) = c₀+ c₁x + · · · + c_nxⁿ+ · · · , c_n :=

n

X

k=0

a_kb_n−k

으로 정의한다.

Theorem 0.3. 환 R의 원소를 계수로 가지는 모든 다항식들의 집합 R[x]는 다항 식의 덧셈과 곱셈 연산에 대해 환이 된다. 이 때 R이 가환환이면 R[x]도 가환환이 되고 R이 단위원 1_R을 가지면 1_R은 R[x]의 단위원이 된다.

Proof. 학생들이 직접 해 볼 수 있게 한다.

Example 0.4. Z2[x]에서

(x + 1)² = (x + 1)(x + 1) = x²+ x + x + 1 = x²+ 1 이고

(x + 1) + (x + 1) = (1 + 1)x + (1 + 1) = 0x + 0 = 0 이다.

Example 0.5. R이 환일 때 부정원 x에 대해 R[x]는 환이 된다. 이 때 새로운 부 정원 y에 대해 (R[x])[y]도 환이 되고 (R[y])[x]와 환동형임을 알 수 있다. 따라서 (R[x])[y] = (R[y])[x] = R[x, y]으로 표기한다. 이것을 두 부정원 x, y에 대한 R의 다항식 환이라 한다. 나아가 x₁, x₂, · · · , x_n들이 부정원일 때 같은 원리를 계속 적 용해서 다항식 환 R[x₁, x₂, · · · , x_n]을 정의할 수 있다.

<학생 도전 문제>

D가 정역이면 D[x]도 정역이 된다.

(힌트) 두 다항식의 곱셈의 정의를 잘 분석하고 이용한다.

Theorem 0.6. (체에서 대입 준동형사상) F 는 체 E의 부분체이고 α ∈ E이라 하자. 함수 φ_α : F [x] → E을

φ_al(a₀+ a₁x + · · · + a_nxⁿ) := a₀+ a₁α + · · · + a_nαⁿ

으로 정의하면 φ_al는 환준동형사상이 된다. 그리고 φ_al(x) = α이고 φ_α(a) = a, ^∀a ∈ F 이다.

Proof. 두 다항식 f (x), g(x) ∈ F [x]에 대해

φ_α(f (x) + g(x)) = φ_α(f (x)) + φ_α(g(x)), φ(f (x)g(x)) = φ_α(f (x))φ_α(g(x)) 임을 보이면 된다.

<의미> : 고등학교까지 수학에서 부정원 x에 상수를 ‘대입’한다고 배운 개념은 대수학의 수학적 논리를 적용하면 비논리적인 것이 된다. 이것을 수학적 논리를 적용하여 정확하게 설명하려면 위와 같은 함수의 논리가 필요하다. 이 함수를 통 해 ‘대입’이라고 하는 비논리적인 것을 수학적 논리를 통해 설명할 수 있게 되는 것이다.

Example 0.7. α = 0_F라 두면

φ_α(a₀+ a₁x + · · · + a_nxⁿ) = a₀+ a₁0_F + · · · + a_n0ⁿ_F = a₀ 가 된다.

Example 0.8. 대입준동형사상 φ₂ : Q[x] → R에 대해 ker φ2 = (x − 2)f (x), f (x) ∈ Q[x] 이다.

i ∈ C에 대해 대입준동형사상 φⁱ : Q[x] → C을 정의하면 x²+ 1 ∈ ker φi 이다.

Example 0.9. 무리수 π에 대해 대입준동형사상 φ_π : Q[x] → R을 정의하면 ker φ_π = {0} 이므로 φ_π는 단사함수가 된다.

Definition 0.10. F 는 체 E의 부분체이고 α ∈ E일 때 대입준동형사상 φα : F [x] → E을 생각하자. f (x) = a₀ + a₁x + · · · + a_nxⁿ ∈ F [x]에 대해 f (α) := φ_α(f (x))라 하자. 만일 f (α) = 0_F 이면 α를 f (x)의 해(zero)라고 한다.

의미: 고등학교때까지 배웠던 방정식 f (x) = 0의 해를 구항다는 것은 f (x)의 해 (zero)를 구한다는 것과 같은 의미이다.

<연습>

1. Z6[x]에서 두 다항식 f (x) = 2x²+ 3x + 4, g(x) = 3x²+ 2x + 1의 덧셈과 곱셈을 구하여라.

2. 대입준동형사상 φ₄ : Z7[x] → Z7에 대해 φ₄(3x¹⁰⁶+ 5x⁹⁹+ 2x⁵³)을 구하여라.

3. Z5 안에서 다항식 x⁵+ 3x³+ x²+ 2x의 해(zero)를 구하여라.

4. Z8[x] 안에서 차수가 3 보다 작거나 같은 다항식의 개수를 구하여라.

5. D가 정역일 때 D[x]의 단원을 구하여라.

(풀이) 5번 풀이;

1_D는 D[x]의 단위원이다. 이제 다항식 f (x) = a₀ + a₁x + · · · + a_nxⁿ이 단원이라 하자. 그러면 f (x)g(x) = 1_D를 만족하는 다항식 g(x) = b₀ + b₁x + · · · + b_mx^m

이 존재한다. f (x)g(x)의 계수를 생각해보면 a₀b₀ = 1_D임을 알 수 있다. 그리고 a_nb_m = 0_D이고 D는 정역이므로 a_n = 0_D 또는 b_m = 0_D이다. 다음 차수를 생각하 면 a_nb_m−1+ a_n−1b_m = 0_D이고 a_n= 0_D이면 a_n−1 = 0_D이고 b_m = 0_D이면 b_m−1 = 0_D 임을 알 수 있다. 이런 방식으로 계속하면 f (x) = a₀ 또는 g(x) = b₀임을 알 수 있다. 그러므로 f (x)는 D의 단원이 된다.