1차원 델타함수 상호작용 다체계와 Yang-Baxter 방정식

Vol. 66, No. 4, April 2016, pp. 379∼387 http://dx.doi.org/10.3938/NPSM.66.379

Many-body Problem in One Dimension with a Delta-function Interaction and the Yang-Baxter Equation

Min Seok Cho · Sang Gyu Jo

Department of Physics, Kyungpook National University, Daegu 41566, Korea (Received 26 November 2015 : revised 18 January 2016 : accepted 19 January 2016)

The problem of a classical one-dimensional many-body system undergoing a delta-function in- teraction is easy to solve. However, the quantum version of the same problem is not so easy. In this paper, we review the algebraic analysis of C. N. Yang on this quantum system. When the number of particles is N , the configuration space R^N is, due to the property of the delta-function, separated into N ! free areas where the potential energy vanishes. Yang, on the basis of Bethe’s hypothesis, set the wave function in each free area to be a linear combination of N ! independent plane waves with N ! coefficients, which gives rise to an N !× N! coefficient matrix. In order to find this coefficient matrix, we need the boundary conditions for the boundaries of free areas. We derive the boundary conditions and present a method for finding the relations between the matrix ele- ments. Especially, we analyze Y operators, which connect column vectors of the coefficient matrix, and show the properties satisfied by the Y operators. We also give geometric interpretations of the solutions corresponding to N = 2 and N = 3 cases.

PACS numbers: 03.65.Ge

Keywords: Many-body problem, Delta-function interaction, Bethe’s hypothesis, Coefficient matrix, Yang- Baxter Equation

1차원 델타함수 상호작용 다체계와 Yang-Baxter 방정식

조민석 · 조상규

경북대학교 자연과학대학 물리학과, 대구 41566, 대한민국

(2015년 11월 26일 받음, 2016년 1월 18일 수정본 받음, 2016년 1월 19일 게재 확정)

델타함수로 상호작용을 하는 1차원 다체계는 고전적으로는 다루기 쉬운 문제이지만 양자적으로는 간단하게 풀리지 않는다. 본 논문에서는 Bethe 의 가설을 이용한 C. N. Yang 의 대수적 방법에 의한 해석을 이해하기 쉽게 풀이하여 소개한다. 입자의 수가 N 일 경우, 배위공간 R^N에서 델타함수의 속성에 의하여 퍼텐셜에너지가 영인 영역이 N ! 개의 분리된 형태로 나타난다. 각 영역에서의 파동함수의 형태는 서로 독립인 N ! 개의 평면파들의 선형결합 형태로 나타나고 각 파의 계수들이 N ! 개의 분리된 영역에서 다르게 주어지므로 결국 N !× N!행렬로 표시된다. 이 계수행렬을 찾기 위하여 퍼텐셜에너지가 영이 아닌 경계영역들에서의 경계조건들을 이용한다. 이 경계조건들을 유도하고 이로부터 계수행렬의 원소들이 만족하는 식들을 찾는 방법을 분석할 것이다. 특히, 이 과정에 등장하여 계수행렬의 열벡터들 사이의 관계를 맺어주는 중요한 역할을 하는 Y 연산자가 만족하는 식들을 유도하고 성질들을 알아본다. 아울러 이 대수적 해석에 결부되는 기하학적인 측면을 N = 2 또는 N = 3 일 경우에 한하여 소개한다.

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PACS numbers: 03.65.Ge

Keywords: 다체문제, 델타함수 상호작용, Bethe의 가설, 계수행렬, Yang-Baxter 방정식

I. 서 론

입자 사이의 거리에만 의존하는 힘에 의하여 상호작용 하는 입자계를 고려하자. 만약 계에 등장하는 입자의 수가 둘일 경우, 질량중심좌표계와 상대좌표계를 도입하면 쉽게 풀린다. 질량중심좌표계와 상대좌표계의 도입은 상호작용 하는 이체문제를 상호작용이 없는 두 개의 일체문제로 전환 시키고, 질량중심의 좌표에 대한 운동은 등속운동이 되어 사실상의 문제는 중심력에 의한 상대좌표의 운동만 풀면 된다. 이 사실은 고전계 뿐 아니라 양자계에서도 성립된다.

계에 등장하는 입자의 수가 셋 이상이 되면, 둘인 경우와 달리 정확히 풀 수 있는 일반화된 방법이 없다. 하지만, 상호 작용의 형태가 특수하여 입자의 수가 셋 이상일지라도 정확 하게 풀 수 있는 경우도 있는데, 델타함수 (여기서는 척력인 경우만 고려하겠다) 로 상호작용하는 1차원에서의 입자들의 문제가 바로 이러한 경우에 속한다. 이 계의 고전론적 해는 단순하다. 탄성충돌에 의한 입자들의 속도만 변환하면 해 결이 된다. 예를 들어, 질량이 같은 세 입자의 초기 (t = 0) 의 위치와 속도가 x10, x₂₀, x₃₀와 v10, v₂₀, v₃₀으로 주어진 다고 하자. 그리고 x10 < x20 < x30와 v10 > v20 > v30

를 만족하며, ^x_v^20−x10

10−v20 < ^x_v^30−x20

20−v30 가 성립하여 첫 번째 입자 와 두 번째 입자의 충돌이 먼저 일어난다고 가정하자. 이 경우의 해는 다음과 같이 주어짐을 쉽게 알 수 있다. 우선 0≤ t ≤ ^x_v²⁰₁₀^−x_−v20¹⁰인 경우에는

x₁= v₁₀t + x₁₀, x₂= v₂₀t + x₂₀, x₃= v₃₀t + x₃₀ (1) 로 주어지고, ^x_v^20−x10

10−v20 ≤ t ≤ ^x_v³⁰₁₀^−x_−v30¹⁰일 경우

x1= v20t + x20, x2= v10t + x10, x3= v30t + x30 (2) 가 되며, ^x_v^30−x10

10−v30 ≤ t ≤^x_v³⁰₂₀^−x_−v30²⁰일때는

x₁= v₂₀t + x₂₀, x₂= v₃₀t + x₃₀, x₃= v₁₀t + x₁₀ (3) 가 되고, 끝으로 ^x_v^30−x20

20−v30 ≤ t이면

x1= v30t + x30, x2= v20t + x20, x3= v10t + x10 (4) 이 된다. 즉, 충돌이 일어날 때마다 충돌입자의 역할이 바 뀜을 알 수 있다. 이와 같은 형태는 입자의 수가 더 많아지 더라도 동일하게 일어날 것임을 짐작할 수 있다. 이제 이 계의 양자역학적인 해에 대하여 알아보자.

∗E-mail: [email protected]

델타함수로 상호작용하는 1차원에서의 입자들을 기술하 는 해밀토니안은

H = 1 2m

∑

i

p²_i + c∑

i<j

δ (xi− xj) (5)

로 주어진다. 여기서 c > 0 은 상호작용의 세기를 나타내는 상수이며, 입자의 질량은 동일한 값인 m 임을 가정하였다.

이 해밀토니안의 고유함수와 고유값들을 구하는 문제가 양자역학적 해를 구하는 문제와 직결된다. 하지만, 고유함 수와 고유값들을 찾기가 그리 쉽지않다. 이 문제는 Yang에 의하여 오래전에 풀린 문제이다 [1,2]. 그는 Bethe의 가설을 이용하여 이 문제를 풀었다 [3]. 특히 풀이에 등장하는 행 렬이 만족하는 관계식이 나중에 Yang-Baxter 방정식이라 불리게 되어 정확하게 풀리는 계 (exactly solvable model) 와 관련된 관계식으로 자리를 잡게 된다 [4–7]. 여기서는 Yang-Baxter 방정식의 분석과 정확히 풀리는 계에서의 이 방정식의 역할 등에 대해서는 논하지 않을 것이다. 다만, Bethe의 가설을 이용한 식 (5) 의 고유값 문제를 해결하는 과정을 소개하겠다. 풀이의 과정이 양자역학의 이해에 보 탬이 되기도 하고, 또한 기하학적 측면을 포함하고 있어서 이 문제가 흥미로운 문제이기도 함을 알 수 있게 될 것이다.

II. 델타함수로 상호작용하는 1차원 입자들의 양자계

위의 서론에서 언급한 식 (5) 의 해밀토니안 고유값 문제 는 다음의 슈뢰딩거 방정식을 푸는 문제이다.

−ℏ² 2m

∑

i

∂²ψ

∂x²_i + c∑

i<j

δ (x_i− xj) ψ = Eψ. (6)

입 자 의 수 는 N 이 라 하 자. 그 러 면 파 동 함 수 ψ 는 x₁, x₂,· · · , xN을 변수로 취하는 함수, 즉 N 차원 공간(R^N) 에서의 함수가 될 것이다.

퍼텐셜에너지가 델타함수로 주어져서 xi값들이 모두 다 른 영역에서는 위의 해밀토니안이 자유입자들의 해밀토니 안이 된다. 따라서 이 영역에서는 파동함수가 자유입자들을 기술하는 형태인

ψ∼ exp [(i

ℏ )

(p₁x₁+ p₂x₂+· · · + pNx_N) ]

(7)

으로 주어질 것이며 고유값인 에너지는 E = 1

2m

∑

i

p²_i (8)

일 것이다. 여기서 확인하고 지나가야 할 사실은 식 (7) 에서 p들의 순서를 바꿔도 같은 에너지를 준다는 사실이다. 예를 들어 식 (7) 에서 p1과 p2를 바꿔

ψ^′ ∼ exp [(i

ℏ )

(p2x1+ p1x2+· · · + pNxN) ]

(9) 으로 주어지는 함수도 같은 에너지를 줄 것이며, 이런 가 능성이 N ! 가지 있음을 알 수 있다. 즉, 주어진 한 집합 의 서로 다른 p 들인 {p1, p₂,· · · , pN} 으로부터 N! 가지의 에너지 값을 공유하는 다른 파동함수들을 만들 수 있다.

이 함수들을 치환군 (permutation group) SN의 한 원소인 ω = (ω1ω2· · · ωN)으로 표현할 수 있고, 주어진 집합의 {p1, p₂,· · · , pN}으로부터 E 를 에너지 고유값으로 취하는 함수는 치환군의 원소들로 표현되는 함수들의 선형결합으 로 주어질 것이다. 즉,

ψ = ∑

ω∈SN

Cωexp [(i

ℏ ) ∑

i

pω_ixi

]

(10)

로 주어질 것이다. 참고로 ω 는 i 를 ωi로 치환하는 치환군 S_N의 한 원소이다.

이에 반하여 좌표 변수들 중에서 한 쌍이라도 같은 값을 가지는 영역에서는 퍼텐셜에너지가 영이 아니므로 이 영역 들에서의 파동함수 형태에 대한 조심스런 분석이 필요하 다. 퍼텐셜에너지가 0이 아닌 영역은 적어도 한 쌍이 같은 값을 가지는 영역이므로 차원이 적어도 하나는 줄어든다.

즉, 대부분의 영역에서 입자들은 자유입자들로 행동한다.

여기서 이해해야할 사실은 N 차원의 전 변수 공간 R^N에서 퍼텐셜에너지가 0이 아닌 영역을 제거하면 퍼텐셜에너지가 0인 영역이 되는데, 이 영역이 N ! 개로 분리되어 있다는 사실이다. 예를 들어서 N = 2 일 때, 퍼텐셜에너지가 0 인 영역 {

(x1, x2)∈ R²| x1= x2

}가 퍼텐셜에너지가 0이 아닌 영역을 다음의 두 영역으로 분리시킨다.

(12) = {

(x₁, x₂)∈ R²| x1< x₂}

, (11)

(21) = {

(x₁, x₂)∈ R²| x1> x₂}

. (12)

N = 3일 경우, 자유영역인 퍼텐셜에너지가 0 인 영역

{(x1, x2, x3)∈ R³| x1= x2 or x1= x3or x2= x3

} 이 퍼 텐 셜 에 너 지 가 0 이 아 닌 영 역 을 (123) = {(x1, x2, x3)∈ R³| x1< x2< x3

}, (132), (213), (231), (312), (321) 처럼 여섯 영역으로 분리시킨다. 여기서 일반적인 N 값에 대한 분리된 영역들은 치환군 SN의 원소들로 표현됨을 알 수 있다. 따라서, 치환군 SN의 한 원소인 τ = (τ1τ2· · · τN)에 해당하는 영역은

τ = (τ1τ2· · · τN)

= {

(x1, x2,· · · , xN)∈ R^N | xτ₁< xτ₂ <· · · < xτ_N

} (13)

이 됨을 알 수 있다. 앞에서처럼 τ 는 i 를 τi로 치환하는 치환군의 한 원소이다.

이 장의 내용을 요약하면, 퍼텐셜에너지가 영이 아닌 영 역들은 자연스럽게 치환군의 원소들로 이름을 지을 수 있고 각 영역에서의 파동함수들은 또 다시 치환군 원소들의 갯 수만큼 많은 파동함수들의 선형결합으로 표현할 수 있다는 사실이다. 이러한 기본적인 사실들을 이용하여 다음 장에서 Bethe의 가설을 이용한 풀이를 자세히 알아보겠다.

III. Bethe의 가설과 경계조건

슈뢰딩거 방정식인 식 (6) 을 풀기 위하여, 한 집합의 다른 p들 {p1, p2,· · · , pN} 이 주어졌다고 가정하고, 이로부터 Bethe가 제시한 가설을 소개하겠다. 우선, 퍼텐셜에너지가 0인 각 영역 τ 에서의 에너지 고유값이 E = _2m¹ ∑

ip²_i으로 주어지는 파동함수를 다음과 둔다.

ψ_τ(x₁,· · · , xN) = ∑

ω∈SN

C_[τ,ω]exp (

i ℏ

∑

k

p_ωkx_τk )

. (14) 여기에 등장하는 계수 C_[τ,ω]는 N !×N! 행렬을 형성하며 이 행렬이 주어지면 모든 영역에서의 파동함수를 구한 셈이다.

다만 각 영역에서 따로 정의된 파동함수의 퍼텐셜에너지가 0이 아닌 경계영역들에서의 경계조건을 모두 만족하여야 하며, 이 경계조건들은 식 (6) 의 방정식을 각 경계영역에 적용하여 구한다. 이렇게 하여 모든 경계조건들을 만족하는

계수 C_[τ,ω]가 구해지면 이를 식 (14) 에 대입하여 파동함수

를 구할 수 있게 된다. 이것이 Bethe의 가설이다.

이제 경계조건에 대하여 알아보자. 그러기 위하여 인접한 퍼텐셜에너지가 영인 두 영역 τ , τ^′을 고려하자. 구체적으로

τ = (τ₁τ₂· · · τiτ_i+1· · · τN) , (15) τ^′ = (τ1τ2· · · τi+1τi· · · τN) (16) 이며 둘의 관계는

τ₁^′ = τ1, τ₂^′ = τ2,· · · , τi^′ = τi+1, τ_i+1^′ = τi,· · · , τN^′ = τN

(17) 으로 주어져서 유일하게 i 번째와 i + 1 번째가 바뀌어져 있다는 점이 두 영역의 차이점이다. 이 두 영역은 퍼텐셜에 너지가 0이 아닌 영역

Bτ τ′ = {(x1, x2,· · · , xN)| xτ₁ < xτ₂ <· · ·

< xτ_i= xτ_i+1 <· · · < xτ_N} (18)

을 경계영역으로 두고 있음을 알 수 있다. 그리고 경계 영 역 Bτ τ^′근처의 두 영역 τ , τ^′에서의 퍼텐셜 에너지는 많은 델타함수들 중 하나만 남아서 다음과 같이

V = cδ(

x_τi− xτi+1

) (19)

로 주어질 것이다. 따라서 경계영역 Bτ τ^′ 근처의 두 영역 τ, τ^′의 슈뢰딩거 방정식은 식 (6) 으로부터

−ℏ²

2m∇²ψ + cδ(

xτ_i− xτ_i−1

)ψ = Eψ (20)

로 주어지게 된다. τ 영역에서는 ψ 에 ψτ를, τ^′영역에서는 ψ에 ψτ^′을 대입하면 된다.

이제 경계영역에서의 경계조건을 정리해 보자. 우선, 경계영역에서의 파동함수는 연속이 되도록 한다.

ψτ |x_τi=x_τi+1= ψτ^′ |x_τi=x_τi+1 . (21) 이는 퍼텐셜에너지가 델타함수로 주어지는 경우의 파동함수 에 주어지는 일반적인 경계조건이다. 다음, 경계면에 수직한 방향으로의 파동함수의 미분값은 두 영역에서 불연속하게 주어지며, 그 차이는 위의 슈뢰딩거 방정식으로부터 구할 수 있다. 이제 이 차이값을 구해보자. τ 영역에서 τ^′영역을 향하 며 경계영역 Bτ τ^′에 수직한 단위벡터 ˆn =√¹

2

(xˆ_τi− ˆxτi+1

) 과 Bτ τ^′에 평행한 단위벡터 ˆm = √¹

2

(xˆτ_i+ ˆxτ_i+1

)을 이용 하면

∂²

∂x²_τ

i

+ ∂²

∂x²_τ

i+1

=∇²n+∇²m (22)

이 된다. 여기서

∇n= ˆn· ⃗∇ = 1

√2 ( ∂

∂x_τi − ∂

∂x_τi+1 )

(23)

이고

∇m= ˆm· ⃗∇ = 1

√2 ( ∂

∂x_τi + ∂

∂x_τi+1 )

(24)

이다. 따라서 식 (20) 은

−ℏ² 2m

(∇^′2+∇²n+∇²m

)ψ + c

√2δ (ˆn· ⃗r) ψ = Eψ (25)

로 쓸수 있다. 여기서∇^′2은∇²에서 식 (22) 의 xτi와 xτi+1

에 대한 미분항들을 제외한 연산자이며 ˆ

n· ⃗r = 1

√2

(xτ_i− xτ_i+1

) (26)

임을 이용하였다. 이제 식 (25) 를 두 영역 τ , τ^′의 경계영역 Bτ τ^′을 통과하는 ˆn방향으로의 아주 짧은 경로를 따라 선

적분 해보자. 구체적으로, 경계영역에서 ϵ 만큼 떨어진 두 점을 통과하는 경로를 따라서 적분해 보자. 적분을 한 후 ϵ 의 값을 0⁺로 접근시켜서 다음의 식을 얻게 된다.

−ℏ² 2m

[∇nψ( 0⁺)

− ∇nψ( 0⁻)]

+ c

√2ψ (0) = 0. (27)

이 식에서

∇nψ( 0⁺)

= 1

√2 ( ∂

∂x_τi − ∂

∂x_τi+1 )

ψ_τ′|x_τi=x_τi+1 (28)

이고

∇nψ( 0⁻)

= 1

√2 ( ∂

∂x_τi − ∂

∂x_τi+1 )

ψτ |x_τi=x_τi+1 (29)

을 나타낸다. 그리고

ψ (0) = ψτ |x_τi=x_τi+1 (30) 이 된다. 식 (28) 과 (29) 에서는 ψτ와 ψτ^′을 구별하는 것이 중요하나, (30) 식에서는 앞에 미분 연산자가 없으므로 앞의 식 (21) 에 의하여 ψτ 대신에 ψτ^′을 사용하여도 같은 값을 준다. 이들을 대입하면 식 (27) 은 다음과 같이 되어 식 (21) 에 이어 두번째 경계조건이 된다.

( ∂

∂xτ_i − ∂

∂xτ_i+1

)

(ψτ^′− ψτ)|x_τi=x_τi+1

−2mc

ℏ² ψτ |x_τi=x_τi+1= 0. (31) 식 (21) 과 식 (31) 로 주어지는 두 경계조건을 이용하여 계 수행렬 C[τ,ω]에 대해 자세히 분석 해보자.

IV. 파동함수의 계수

Bethe의 가설을 이용하여 구성한 식 (14) 를 경계조건 중의 연속조건 식인 (21) 에 대입하면

∑

ω∈SN

C_[τ,ω]exp (

i ℏ

∑

k

p_ωkx_τk )

|x_τi=x_τi+1

= ∑

ω∈SN

C_[τ′,ω]exp (

i ℏ

∑

k

p_ωkx_τ′ k

)

|x_τi=x_τi+1 (32)

이 된다. 좌변에서의 합에 등장하는 N ! 개의 지수함수들은 τ영역에서는 모두 독립이다. 그러나 이 식에서의 함수들은 경계영역인 Bτ τ^′에서의 값을 취하게 되며, 이 경계영역에 서는 xτi= x_τi+1이 되어 ω 들 중에서 i 번째 ωi와 i + 1 번째 ωi+1이 뒤바뀐 두 항이 동류항이 된다. 구체적으로 어떤 ω 가

ω = (ω1ω2· · · ωiωi+1· · · ωN) (33)

로 주어진다면 이 ω 와 동류항을 이루는 ω^′을 ω^′=(

ω₁^′ω₂^′· · · ωi^′ω^′_i+1· · · ω^′N

) (34)

라 할때

ω₁= ω^′₁, ω₂= ω₂^′,· · · , ωi= ω_i+1^′ , ω_i+1 = ω^′_i,· · · , ωN = ω_N^′ (35) 를 만족하게 될 것이다. 따라서 식 (32) 으로부터

C_[τ,ω]+ C_[τ,ω′]= C_[τ′,ω]+ C_[τ′,ω^′] (36) 를 얻을 수 있다. 같은 방법으로 식 (31) 로부터

Xωiωi+1

(C[τ′,ω′]− C[τ′,ω]+ C[τ,ω′]− C[τ,ω]

)

= C_[τ,ω]+ C_[τ,ω′] (37)

를 얻는다. 여기서 Xωiωi+1는

Xωiωi+1= iℏ (pi− pj)

2mc (38)

이다. 식 (37) 을 정리하면

C_[τ′,ω^′]− C[τ^′,ω]

= 1 + Xω_iω_i+1

Xω_iω_i+1

C_[τ,ω]+1− Xω_iω_i+1

Xω_iω_i+1

C_[τ,ω′] (39)

가 된다. 식 (36) 과 식 (39) 를 이용하여 C_[τ′,ω^′]를 소거하면

C_[τ,ω′]= α_ωiωi+1C_[τ,ω]+ β_ωiωi+1C_[τ′,ω] (40) 를 얻을 수 있다. 여기서 αωiωi+1과 βωiωi+1은

α_ωiωi+1 = 1

2X_ωiωi+1− 1, β_ωiωi+1= 2X_ωiωi+1

2X_ωiωi+1− 1 (41) 로 정의된 값들이며, 이들은

αω_iω_i+1+ 1 = βω_iω_i+1 (42) 을 만족한다.

이제 이 식을 해석해 보겠다. 우선 치환군의 한 원소 ω 가 주어졌다고 하자. 주어진 ω 에 대하여 모든 τ 값을 고려하

면 C[τ,ω]를 계수행렬의 ω 번째 열벡터로 볼 수 있다. 같은

맥락으로 C_[τ,ω′]를 ω^′번째 열벡터로 볼 수 있다. 그리고 식 (40) 은 이 두 열벡터 사이의 관계식이다. 즉, 계수행렬의 ω 번째 열벡터가 주어지면 ω^′번째 열벡터는 이 식에 의하여 결정된다는 것이다. 그런데 ω 와 ω^′의 관계가 i 번째와 i + 1 번째의 교환에 해당하며, 임의의 두 치환군의 요소는 이러한 교환을 여러번 반복적으로 적용하여 연결이 되므로, 위의

식 (40) 은 계수행렬 중에서 한 열만 주어지면 이로부터 다른 모든 열들의 계수행렬의 값들을 결정하는 방법을 제공한다.

이 식을 약간 변형해 보자. 우선 주어진 ω 번째 열벡터에서 C[τ,ω]는 τ 번째 성분이고 C[τ′,ω]은 τ^′번째 성분이다. 이 둘을 연결하는 행렬을 P_i,i+1^τ 이라 하면

C_[τ′,ω]= P_i,i+1^τ C_[τ,ω] (43) 가 되고, 새로운 연산자 Yωⁱ⁽ⁱ⁺¹⁾_iω_i+1를 다음과 같이

Y_ωⁱ⁽ⁱ⁺¹⁾

iω_i+1 = α_ωiωi+1I + β_ωiωi+1P_i,i+1^τ (44) 로 정의하면, 식 (40) 은

C_[τ,ω′]= Y_ωⁱ⁽ⁱ⁺¹⁾

iω_i+1C_[τ,ω] (45)

가 되어, 계수행렬의 ω 번째 열벡터로부터 ω^′번째 열벡터를 찾는 식이 된다. 다음 장에서는 N = 2 와 N = 3 인 경우의 예를 알아보겠다.

V. 입자의 수가 둘 또는 셋인 경우의 예

우선, N = 2 인 경우의 치환군 S2는 두 개의 원소를 가 진다.

S2={(12) , (21)} . (46) 계수행렬은 2× 2 행렬이고 그 첫번째 열 C[τ,(12)]가 다음과 같이 주어진다고 하자.

C[τ,(12)]=

(C[(12),(12)]

C[(21),(12)]

)

= (1

0 )

. (47)

두번째 열 C[τ,(21)]은 2×2행렬 Y12¹²를 C[τ,(12)]에 작용시켜 구할 수 있다. 여기서

P₁₂^τ = (0 1

1 0 )

(48)

이므로,

Y₁₂¹²= α₁₂I + β₁₂P₁₂^τ =

(α₁₂ β₁₂ β12 α12

)

(49)

가 되어

C_[τ,(21)]= (α₁₂

β12

)

(50)

가 된다. 따라서 계수행렬은

C_[τ,ω]=

(C[(12),(12)] C[(12),(21)]

C[(21),(12)] C[(21),(21)]

)

=

(1 α12

0 β12

) (51)

Fig. 1. Momentum vectors ⃗p(12), ⃗p(21).

이고, 이로부터 파동함수는 (12) 영역 즉, x1 < x2인 영역 에서는

ψ₍₁₂₎(x₁, x₂) = e^{ℏi(p1x1+p2x2)}+ α₁₂e^{ℏi(p2x1+p1x2)} (52) 이고, (21) 영역 즉, x2< x₁인 영역에서는

ψ₍₂₁₎(x₁, x₂) = β₁₂e^{ℏi(p2x2+p1x1)} (53) 으로 주어짐을 알 수 있다. C_[τ,(12)]=

(0 1

)

로 두면 또 다 른 독립인 해를 구할 수 있으나 여기서는 생략을 하고 이제 기하학적 설명을 해보겠다. 그러기 위하여 p1 > p2 > 0 라고 가정을 하고, 두 운동량 벡터 ⃗p(12)와 ⃗p(21)을

⃗

p(12) = p1xˆ1+ p2xˆ2, (54)

⃗

p₍₂₁₎ = p2xˆ1+ p1xˆ2 (55) 로 정의하자 (Fig. 1). p1이 p2보다 크므로 ⃗p₍₁₂₎가 x1축에 더 가깝게 나타난다. 식 (52) 의 파동함수는 진폭 1의 ⃗p₍₁₂₎ 방향 평면파와 진폭 α12의 반사파 ⃗p(21)방향 평면파의 선형 결합이 되고, 식 (53) 으로 주어지는 파동함수는 진폭 β12

의 ⃗p₍₁₂₎방향 평면파가 됨을 알 수 있다. Fig. 2는 이를 나 타낸 그림이며 보다시피 (12) 영역과 (21) 영역의 경계영역

B_(12)(21)(여기서는 선) 에서 진폭 1의 입사파가 일부는 반

사되어 진폭 α12의 반사파가 되고 일부는 통과하여 (양자터 널효과) 진폭 β12의 투과파로 나타남을 알 수 있다.

이제 N = 3 인 경우를 고려해 보자. 이 경우의 치환군 S3

은 여섯 개의 원소를 가진다.

S₃={(123) , (132) , (213) , (231) , (312) , (321)} (56) 계수행렬은 6×6 행렬이고 그 첫 번째 열 C[τ,(123)]이 다음과 같이 주어진다고 하자.

C_[τ,(123)]=









C[(123),(123)]

C[(132),(123)]

C[(213),(123)]

C[(231),(123)]

C[(312),(123)]

C[(321),(123)]









=







 1 0 0 0 0 0









(57)

Fig. 2. The reflection and transmission of momentum vectors for N = 2.

N = 3인 경우의 P^τ행렬은 두 가지가 존재하며

P₁₂^τ =









0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0









, (58)

P₂₃^τ =









0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0









(59)

이다. 따라서 두 번째 열 C_[τ,(132)]는 6× 6 행렬 Y23²³을 C_[τ,(123)]에 작용시켜 구할 수 있다. 그리고 Y₂₃²³은

Y₂₃²³= α23I + β23P₂₃^τ (60) 이 되므로 이로부터

C_[τ,(132)]=







 α₂₃ β₂₃ 0 0 0 0









(61)

가 된다. 세번째 열 C[τ,(213)]은 Y₁₂¹²를 C[τ,(123)]에 작용시 켜 구할 수 있다. 그리고 Y₁₂¹²는

Y₁₂¹²= α₁₂I + β₁₂P₁₂^τ (62) 이므로 이로부터

C_[τ,(213)]=







 α12

0 β12

0 0 0









(63)

가 된다. 같은 요령으로, 네 번째 열 C[τ,(231)]은 Y₁₃²³을 C_[τ,(213)]에 작용시켜 구할 수 있고, 다섯 번째 열 C_[τ,(312)]

는 Y₁₃¹²을 C_[τ,(132)]에 작용시켜 구할 수 있으며, 여섯 번째 열 C[τ,(321)]은 Y₂₃¹²을 C[τ,(231)]에 작용시켜 구할 수 있다.

Y행렬들은

Y₁₃²³ = α13I + β13P₂₃^τ, (64) Y₁₃¹² = α₁₃I + β₁₃P₁₂^τ, (65) Y₂₃¹² = α23I + β23P₁₂^τ (66) 로 주어진다. 이렇게 하여 구한 후, 계수행렬을 완성하면

C[τ,ω]=









1 α23 α12 α13α12 α13α23 α12α13α23+ β12α13β23

0 β23 0 β13α12 α13β23 α12α13β23+ β12α13α23

0 0 β₁₂ α₁₃β₁₂ β₁₃α₂₃ α₁₂β₁₃α₂₃ 0 0 0 β₁₃β₁₂ 0 β₁₂β₁₃α₂₃ 0 0 0 0 β13β23 α12β13β23

0 0 0 0 0 β12β13β23









(67) 가 되고, 이로부터 각 영역에서의 파동함수들을 짐작할 수 있다. 파동함수를 기술하기 위하여 주어진{p1, p2, p3}로부 터 다음의 여섯 가지의 운동량 벡터들을 정의하자. 편의상 p1> p2> p3> 0이라고 가정한다.

⃗

p_(ijk)= p_ixˆ₁+ p_jxˆ₂+ p_kxˆ₃ (68) 영역 (123) 에서의 여섯 파동함수 운동량벡터 방향 평면파의 계수들은 위 행렬의 첫 번째 행의 원소들이다. 계수가 1인 평면파는 ⃗p₍₁₂₃₎ 방향의 평면파이고 α23을 계수로 취하는 평면파는 ⃗p₍₁₃₂₎방향의 평면파 등이다. 특히 행렬의 대각선 계수들은 각 영역에서의 ⃗p₍₁₂₃₎방향의 평면파들임을 식 (14) 로부터 알 수 있다. Fig. 3은 치환군의 원소들로 표현되는 6 개의 영역을 나타낸다. 여기서 원점은 x1 = x2 = x3

을 만족하는 직선에 해당하며, 여섯 개의 운동량 벡터들의 방향들도 이 그림에 표시하였다.

이제 식 (67) 에 숨어있는 기하학적 측면을 간략히 설명해 보겠다. Fig 4에서처럼 (123) 영역 (x1 < x2 < x3) 에서 진폭 1의 ⃗p₍₁₂₃₎ 방향 평면파가 진행한다. 이 파가 (213) 영역과의 경계영역 (여기서는 2차원의 면임) B_(123)(213)에 서 일부는 통과하고 일부는 반사한다. 통과한 파는 같은 방향인 ⃗p(123)방향의 평면파가 되고 그 계수는 β12가 된다.

이 계수는 식 (67) 에서의 행렬의 3행 3열의 원소에 해당 한다. 3행인 이유는 통과한 영역인 (213) 영역을 세 번째 영역으로 택하였기 때문이며 대각선 원소가 ⃗p₍₁₂₃₎ 방향 평면파에 해당하기 때문이다. 반사된 파의 방향은 ⃗p₍₂₁₃₎ 방향이다. 이는 경계면에서 x1= x2가 성립되고 벡터가 이

Fig. 3. Momentum vectors ⃗p₍₁₂₃₎, ⃗p₍₁₃₂₎, ⃗p₍₂₁₃₎, ⃗p₍₂₃₁₎,

⃗

p₍₃₁₂₎, ⃗p₍₃₁₂₎.

Fig. 4. The reflection and transmission of momentum vectors for N = 3.

면을 반사하게 되면 x1성분과 x2성분이 바뀌기 때문이다.

반사할 때의 반사계수는 α12이고 영역은 (123) 영역이므로 식 (67) 의 행렬에서의 1행 3열 원소에 해당한다. 반사파는 (123) 영역을 가로지른 후 (132) 영역과의 경계면 B(123)(132)

에 도착할 것이다. 이 경계면은 x1 < x₂ = x₃를 만족하는 점들로 이루어져 있다. 따라서 반사 후의 파의 방향은 원래 방향 ⃗p₍₂₁₃₎에서 x2성분과 x3성분이 바뀐 ⃗p₍₂₃₁₎ 방향이 된 다. 그리고 이 경계면에 입사할 때의 계수가 α12였는데, 반 사하면서 추가로 α13이 곱해진다. 이유는 다음과 같다. 입 사파의 운동량이 ⃗p₍₂₁₃₎이고 영역의 이동방향이 (123) 에서 (132) 쪽이므로 입사파의 둘째, 셋째 성분에 의해 주어지는 α₁₃을 이용해야 한다. 그래서 (123) 영역에 ⃗p₍₂₃₁₎ 방향의 파 (네번째 순서의 파) 가 추가된다. 그 계수는 α13α₁₂이고 식 (67) 행렬의 1행 4열 원소이다. 물론 경계면 B(123)(132)

를 통과한 파는 같은 방향인 ⃗p₍₂₁₃₎ 방향의 파이고 계수는 β13을 추가로 곱한 β12α12가 될 것이다. 이는 (132) 영역 에서의 파이고, 식 (67) 행렬의 2행 4열 원소에 해당한다.

(123) 영역으로 반사된 ⃗p(231) 방향의 파는 한번 더 경계면

B(123)(213)에서 반사되어 더 이상 경계영역을 만나지 않는

⃗

p₍₃₂₁₎방향의 파가 되며 그 계수는 α23α13α12가 될 것이다.

이 계수는 1행 6열의 두 항 중 하나이다. 나머지 항은 일부 통과한 파가 반사되어 다시 (123) 영역으로 진입한 파임을 짐작할 수 있다. 참고로, Fig 4의 (123) 영역에서의 4개의 파 가 바로 서론에서 소개한 고전 입자의 운동의 해에 해당함을 알 수 있다. 양자계에서는 통과가 가능하지만 고전계에서는 반사만 허용되어 해가 (123) 영역에 한정된다. 이런 식으로 조심스럽게 분석하면 행렬에 등장하는 모든 원소들을 찾을 수 있다. 예를 들어서 계수행렬의 1행의 나머지 계수들은 입사파가 (132) 영역과의 경계면에서 처음으로 반사되어 나오는 파에 의한 계수들로부터 구할 수 있다. 여기서는 더 이상의 분석은 생략하겠다. 다음 장에서는 계수행렬을 찾는데 큰 역할을 하는 식 (44) 의 Y 행렬의 성질에 대해 정리를 해보겠다.

VI. Yang-Baxter 방정식

앞 장에서 N = 3 일 경우의 계수행렬 중에서 여섯 번째 열 C_[τ,(321)]을 구할 때, Y₂₃¹²을 C[τ,(231)]에 작용시켜 구했다.

그리고 C[τ,(231)]은 Y₁₃²³을 C[τ,(213)]에 작용시켜 구했고, C_[τ,(213)]은 C_[τ,(123)]에 Y₁₂¹²를 작용시켜 구했다. 따라서

C_[τ,(321)]= Y₂₃¹²Y₁₃²³Y₁₂¹²C_[τ,(123)] (69) 가 될 것이다. 그러나 C[τ,(321)]을 다른 방법으로 구할 수도 있다. 우선, C[τ,(123)]에 Y₂₃²³을 작용시켜 C[τ,(132)]를 구하 고 여기에 Y₁₃¹²을 작용시켜 C_[τ,(312)]를 구한 후 다시 Y₁₂²³ 를 작용시켜 C[τ,(321)]을 구할 수 있다. 즉,

C_[τ,(321)]= Y₁₂²³Y₁₃¹²Y₂₃²³C_[τ,(123)] (70) 로 구할 수도 있다. 따라서,

Y₂₃¹²Y₁₃²³Y₁₂¹²= Y₁₂²³Y₁₃¹²Y₂₃²³ (71) 라는 식을 얻는다. 이 식을 Yang-Baxter 방정식이라 칭 한다. 임의의 N 에 대한 일반화된 식을 소개하기 전에 더 간단한 관계식을 하나 더 소개하겠다. C[τ,(213)]은 C[τ,(123)]

에 Y₁₂¹²를 적용시켜 구한다. 반면에 C_[τ,(123)]는 C_[τ,(213)]

에 Y₂₁¹²를 적용시켜 구한다. 그러므로,

C_[τ,(123)]= Y₂₁¹²Y₁₂¹²C_[τ,(123)] (72) 라는 식을 얻는다. 이 식으로부터

Y₂₁¹²Y₁₂¹²= I (73)

로 표현되는 관계식을 얻을 수 있다. 식 (71) 과 식 (73) 에 해당하는 임의의 N 에 대한 두 관계식을 같은 방식을 적용하여 구하면 다음과 같다.

Y_ωⁱ⁽ⁱ⁺¹⁾_i+1ωiY_ωⁱ⁽ⁱ⁺¹⁾_iωi+1= I, (74) Y_ωⁱ⁽ⁱ⁺¹⁾_i+1ωi+2Y_ω^(i+1)(i+2)_iωi+2 Y_ωⁱ⁽ⁱ⁺¹⁾_iωi+1=

Y_ω^(i+1)(i+2)_iωi+1 Y_ωⁱ⁽ⁱ⁺¹⁾_iωi+2Y_ω^(i+1)(i+2)_i+1ωi+2 . (75) 이 식들은 식 (44) 의 정의를 이용하여 직접 증명할 수 있 으나 여기서는 생략하겠다. 다만, 서론에서 언급했듯이 두 번째의 관계식으로 주어지는 Yang-Baxter 방정식은 정확 히 풀리는 문제들에 유사한 관계식들이 등장하기도 한다는 점을 강조하고자 한다.

VII. 결 론

델타함수로 상호작용하는 1차원 입자들의 고전계는 비교 적 풀기가 쉬운 계이지만, 앞에서 보았듯이 양자계의 경우 분석이 간단하지가 않음을 알 수 있다. Bethe 의 가설을 이용한 잘 알려진 대수적 해결방법을 소개하면서 이 문제의 기하학적 측면을 알아보았다. 이 모형은 정확히 풀리는 문제들에 등장하기도 하는 Yang-Baxter 방정식을 보이는 쉬운 예로서 잘 알려진 모형이기도 하지만, 양자역학을 배워 이해하고 있는 물리학도들에게 아주 좋은 문제라고 여겨 진다. 이미 소개한 내용들을 기본으로 하여 이 모형에는 앞으로 분석할 수 있는 내용이 아주 풍부하다. 여기서는 1차원 공간이 무한 직선인 경우를 고려하였지만, 원이 될 수도 있다. 이럴 경우의 에너지 스펙트럼은 주기성에 의한 추가 경계조건에 의하여 불연속이 될 것이며 에너지 고유값 구하는 문제가 좋은 연습문제가 될 것이다. 델타함수가 인력인 경우 (c < 0) 도 좋은 연습문제인데, 이 경우 입자들 이 서로 구속이 되는 상태들이 가능하여 에너지 고유값이 음수가 되는 경우도 가능하게 될 것이다. 아울러, 여기서 는 입자들의 동일성을 가정하지 않았는데, 만약 입자들이 동일하여 구별이 되지 않는 경우라면, 입자의 교환이라는 추가적인 대칭성이 주어지게 될 것이다. 이 경우 치환군이 대칭성의 군으로 등장하여 이 군의 표현론에 입각한 추가 분석이 가능하게 될 것이다. 즉, 입자들이 보존일 경우의 파동함수의 형태, 페르미온일 경우의 파동함수의 형태 또 는 파라통계를 만족하는 파동함수 등 많은 응용문제들이 포함되어 있다. 이런 추가적인 응용을 하는데, 여기서 다룬 내용들이 많은 도움이 될 것이다.

감사의 글

이 논문은 2012학년도 경북대학교 학술연구비에 의하여 연구되었습니다.

REFERENCES

[1] C. N. Yang, Phys. Rev. Lett. 19, 1312 (1967).

[2] C. N. Yang, Phys. Rev. Lett. 168, 1920 (1968).

[3] H. A. Bethe, Physik. 71, 205 (1931).

[4] R. J. Baxter, Ann. Phys. 70, 323 (1972).

[5] R. J. Baxter, Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 289, 315 (1978).

[6] R. J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Me- chanics, 3rd ed. (Academic Press, London, 1989).

[7] A. Lamacraft, Phys. Rev. A 87, 012707 (2013).

조민석은 충남대학교 천문학과에서 학사과정을 마친 후, 경북대학교 물리학과 대학원에 진학하 여 2015년에 석사과정을 마쳤다. 석사학위 논 문에서는 Yang-Baxter 방정식과 관련된 내용을 다루었고, 현재 경북대학교 물리학과 박사과정에 재학 중이다.

조상규는 서울대학교 물리학과를 졸업한 후, 미 국 MIT에서 이론물리학을 전공하여 박사학위를 받았으며, 이어서 미국 시라큐스대학에서 박사후 연구원으로 근무한 후, 현재 경북대학교 물리학 과의 교수로 재직 중이다. 전공은 양자장론이다.