한국외국어대학교 산업경영공학과
제3장
이자와 경제적 등가
한국외국어대학교 (산업경영공학과)
이자율과 이자
이자와 비용 (Interest)
- 투자자 입장 : 자금을 투자한 대가로 회수한 금액 - 임차자 입장 : 자금을 빌린 대가로 지불하는 금액
이자율 결정의 3가지 요소
손실위험 (Risk)
행정비용 이 윤
원금손실 가능성
자금 대출 및 회수 비용
타투자에 대한 기회 비용
High Risk High Return
한국외국어대학교 산업경영공학과
P-F-A의 관계
P : 현재등가 (Present Value)
F : 미래등가 (Future Value)
A : 연간등가 (Annual Value)
P F
A
i n
0 n
1~n
i : 이자율 (Interest Rate)
n : 연수 (Number of Years)
이자 : 단리/복리
단리 (Simple Interest)와 복리 (Compound Interest) - 단리 : F = P*(1+i*n)
- 복리 : F = P*(1+i)^n
* P = 원금, i = 이자율, n = 연수, F = n년후 원리금
단리와 복리의 계산 (예) *원금 1,000만원을 6% 이자율로 4년간 차용 (예치)
- 단리 : 1,000*(1+6%*4) = 1,240만원 - 복리 : 1,000*(1+6%)^4 = 1,262만원
연도 연초부채 이자 원리합계
1 1,000.00 60.00 1,060.00
2 1,060.00 63.60 1,123.60
3 1,123.60 67.42 1,191.02
4 1,191.02 71.46 1,262.48
한국외국어대학교 산업경영공학과
현금흐름 (Cash Flow)
현금흐름도 (Cash Flow Diagram)
- 현금 유입/유출 등 자금의 흐름을 등가계산하기 위한 유용한 수단 - 등가계산의 3요소
유출입되는 자금의 크기, 발생시점, 이자율
F=
1,262 P=
1,000 1 2 3 4
i = 6%
P=
1,000
F=
1,262 0 1 2 3
i = 6% 4 0
[ 빌려주는 사람 ] [ 빌리는 사람 ]
현재의 1,000 = 4년후의 1,262
= 은행 정기예금 =
[문제1]
- 500만원을 연이자율 8%로 복리계산되는 은행에 예금하였다면, 3년 후의 원리합계금액은 얼마인가 ?
[문제2]
- 연이자율 5%인 은행에서 4년 후 800만원을 찾으려면, 현재 얼마를 예금해야 하는가 ?
[문제3]
- 만일 현가 300만원이 9년 후의 미래등가 525만원과 등가가 되려면, 연 이자율이 얼마가 되어야 하는가 ?
한국외국어대학교 산업경영공학과
A연간등가와 F미래등가
연간등가 (Annual Value) : 매년말 A원씩 n년간 적금
n-1 n-2 n-3 1 0
F = A*(1+i) + A*(1+i) + A*(1+i) + …… + A*(1+i) + A*(1+i)
n-1 n-2 n-3 1 0
= A*[(1+i) + (1+i) + (1+i) + …… + (1+i) + (1+i)]
n n-1 n-2 2 1
F*(1+i) = A*[(1+i) + (1+i) + (1+i) + …… + (1+i) + (1+i)]
n n
- F*i = A*[(1+i)-1] F = A*[(1+i)-1] / i
A
F 0 1 2 3 .….. n-1 n
i
A A A A
= 은행 정기적금 =
[문제1]
- 연리 6%로 복리계산한 경우, 매년 말에 40만원씩 7년간 저축한 총액과 등가인 7년 후의 미래등가 F는 얼마인가 ?
[문제2]
- 매년 말에 100만원씩 4년간 저축하여 4년 후의 원리합계액이 441.1만원이 되려면 연이자율은 얼마가 되어야 하는가 ? [문제3]
- 대학생인 김 군은 100만원인 PC를 갖고 싶어 앞으로 1년간 매월 일정액을 저축하기로 하였다. 연이자율이 6%로 월단위 복리 계산이 될 경우 매월말에 얼마씩 저축하여야 하는가 ?
한국외국어대학교 산업경영공학과
감채기금계수 (Sinking Fund Factor)
- 미래기금 (Fund)를 조성하기 위해 매년 불입하여야 하는 금액
n
A = F * i / [(1+i)-1]
현재등가와 연간등가
- 현가 P를 n년에 걸쳐 균등 분할상환하는 연간등가
n
A = F * i / [(1+i)-1]
n n
A = P * (1+i) * i / [(1+i)-1]
n n
A = P * [(1+i)*i] / [(1+i)-1]
[ P현재등가와 A연간등가 ]
= 균등 분할상환 =
[문제1]
- 연이자율 6%로 복리계산한 경우, 현가 300만원을 5년간 균등 분할상환하려면 연상환액 A는 얼마인가 ?
[문제2]
- 연이자율 10%로 복리계산한 경우, 매년말에 60만원씩 5년간 저축한 금액의 원리합계액과 등가인 현가 P는 얼마인가 ?
한국외국어대학교 산업경영공학과
등차급수 모형
등차급수 (Gradient Series)
- 매년 일정하게 G (Gradient, 점증계수) 만큼씩 증가
- 경제분석에서 매년 일정하게 수입이나 지출이 증가/감소하는 경우
A P
1 2 3 4 .….. n i
A+
G A+
2G A+
3G A+
(n-1)*G 0
P
1 2 3 4 .….. n i
G 2G 3G (n-1)*G
0
A A A A A
[ 등차급수의 미래등가 ]
등차급수의 미래등가
n-1 n-2 n-3 1
(1+i)-1 + (1+i)-1 + (1+i)-1 + …… + (1+i)-1 F = G
i i i i
n-1 n-2 n-3 1
Fi/G = (1+i) + (1+i) + (1+i) + …… + (1+i)-(n-1)
n-1 n-2 n-3 1 n
Fi/G + n = (1+i) + (1+i) + (1+i) + …… + (1+i) + 1 = [(1+i)-1]/i
n
G (1+i)-1 F = - n i i
0 1 2 3 4 .….. n i
G 2G
3G
(n-1)*G 매년 G씩 n-1년
매년 G씩 n-2년
매년 G씩 n-3년
매년 G씩 1년
한국외국어대학교 산업경영공학과
= 장비의 운영비 =
[문제1]
- 향후 5년간 사용할 장비의 수리비가 1년말에 0, 2년말에 10만원, 3년말에 20만원 등 10만원씩 증가한다.
i=10%일때 이 등차급수의 수리비와 등가가 되는 연간등가는 ? [문제2]
- 향후 5년간 사용할 장비의 운영비는 1년말에 100만원, 2년말에 90만원, 3년말에 80만원 등 10만원씩 감소한다.
i=10%일때 이 등차급수의 운영비와 등가가 되는 연간등가는 ? - 또한, 이 운영비의 현재등가는 ?
등비급수 모형
등비급수 (Geometric Gradient Series) - 매년 일정한 비율 (R; Rate)로 증가
- 개인 연봉의 증가, 인플레이션에 의한 비용의 상승 등
0 1 2 3 .….. n-1 n i
n-1
C(1+R)
n-2
C(1+R)
2
C(1+R) C(1+R)
C
n-1
1 (1+R) (1+R) P = C + + … +
2 n
(1+i) (1+i) (1+i)
2 n-1 n
P = C/(1+i)*[1+(1+w)+(1+w) + … + (1+w) ] = C/(1+i)*[(1+w)-1]/w
1+R 1+w = 1+ i
한국외국어대학교 산업경영공학과
= 연말 상여금 =
[문제1]
- 올 연말의 상여금은 500만원이고, 이는 앞으로 매년 10%씩 증가할 예정이다. 이자율이 8%일때 향후 10년간의 상여금 총액의 현재등가는 얼마나 되는가 ?
- 또한, 상여금의 증가율이 5%라면 현재등가는 얼마나 되는가 ?
극한치의 계수값
균등지출이 필요한 영구 사업의 초기자본 (Capitalized Cost) - 매년 A의 균등지출
- 초기자본 P
n n n
P = A * [(1+i)-1] / [(1+i)*i] = A * [1-1/(1+i)]/i = A/i
매년 일정액을 지불하는 영구 장학재단
- 100만원/년의 장학금 지불 (i=10%) 초기 1,000만원의 자본 필요
A P
0 1 2 3 .….. n-1 n=
i
A A A A
한국외국어대학교 산업경영공학과
= 설비투자 =
[문제1]
- 어떤 설비는 초기투자 비용이 1,000만원이고, 10년 사용 뒤에 잔존가치는 200만원으로 예상된다.
이 설비는 매년 얼마씩 소모된 셈인가 ? (단, 이자율은 10%) [문제2]
- 향후 5년간 사용할 장비의 연간 운영비는 10만원이나, 3년 뒤에 수리비로 20만원이 소요될 예정이다. (단, 이자율은 10%)
이 장비에 소요될 총금액의 연간등가는 얼마인가 ? [문제3]
- 1,000만원에 구입한 기계는 10년후 100만원에 처분할 수 있다.
최소 수익률 (이자율)이 20%일때, 이 기계는 매년 얼마의 수익 (비용절감)을 창출하여야 구입할 가치가 있는가 ?
= 이자의 응용 1 =
[문제1]
- 2000년1월1일부터 매년 1,000만원씩 4년간 적금을 부을 예정이다.
이자율이 20%일때 2004년1월1일의 등가는 얼마인가 ?
- 2005년1월1일에 찾는다면 이 적금의 미래등가는 얼마인가 ? [문제2]
- 2001년12월31일부터 5번에 걸쳐 매년말 100만원씩 찾고 싶다.
2001년12월31일에 얼마를 예금해야 하는가 ? (단, 이자율 20%) [문제3]
- 지금 100만원을 빌려서 연이자율 10%로 매년말에 30만원씩 갚아나가기로 했을 경우, 돈을 다 갚는데 몇 년이 걸리는가 ?
한국외국어대학교 산업경영공학과
= 이자의 응용 2 =
[문제1]
- 자녀의 교육비를 위해 지금부터 20년말부터 23년말까지 각 연도 말에 100만원씩 찾고 싶다.
연이자율이 5%일때,이 연불액의 현재등가는 얼마인가 ? [문제2]
- 앞으로 10년에한번씩 100만원을 영구히지불하는 장학기금을 만들려면, 현재 얼마를 조성해야 하는가 ? (단, 이자율 10%)
[문제3]
- 자동차의 연간 보전비는 첫해 120만원에서 30만원씩 증가하여 5년차에는 240만원이 된다.
5년간 연간 보전비의 현재등가와 연간등가는 ? (단, 이자율 5%)
< Terminology >
단리 (Simple Interest)
복리 (Compound Interest)
현금흐름도 (Cash Flow Diagram)
A : 연간등가 or 연가 (Annual Value)
P : 현재등가 or 현가 (Present Value)
F : 미래등가 (Future Value)
