이것을 대입준 동형사상(evaluation homomorphism)이라 한다

환 준동형사상과 그 성질

Definition 0.1. R, R⁰이 환일 때 함수 φ : R → R⁰이 다음 두 조건을 만족하면 φ 를 환준동형사상(ring homomorphism)이라고 한다.

(1) φ(a + b) = φ(a) + φ(b), ^∀a, b ∈ R (2) φ(ab) = φ(a)φ(b), ^∀a, b ∈ R

위 정의에서 φ는 당연히 군준동형사상이 된다.

Example 0.2. 환 R과 환 F := {f | f : R → R는 함수}와 a ∈ R에 대해 함수 φa : F → R을 φa(f ) := f (a)을 정의하면 φa는 환준동형사상이다. 이것을 대입준 동형사상(evaluation homomorphism)이라 한다.

Example 0.3. 환 Z에 대해 함수 φ : Z → Z을 φ(n) := 2n으로 정의하면 φ는 환준 동형사상이 되지 않는다. 그러나 군준동형사상은 된다.

Example 0.4. φ : R → R⁰가 환준동형사상일 때 φ(0_R) = 0_R⁰이다.

Example 0.5. φ : Z → Z가 환준동형사상이라 하자. 그러면 φ(1) = φ(1 · 1) = φ(1)φ(1)

에서 φ(1) = 0 또는 1이다. 이제 양의정수 n에 대해

φ(n) = φ(1 + · · · + 1) = φ(1) + · · · φ(1) = nφ(1) 임을 알 수 있다. 위의 사실에서 φ(0) = 0이 됨은 당연하다. 그리고

φ(0) = φ(−1 + 1) = φ(−1) + φ(1) = 0 에서 φ(−1) = −φ(1)이 된다. 따라서

φ(−n) = φ((−1) + · · · + (−1)) = φ(−1) + · · · φ(−1) = nφ(−1) = −nφ(1) 임을 알 수 있다. 그러므로 모든 정수 n에 대해 φ(n) = nφ(1)임을 알 수 있고 결국 φ는 항등함수이거나 아니면 영함수가 됨을 알 수 있다.

Definition 0.6. φ : R → R⁰이 환준동형사상이고 전단사함수일 때 φ를 환동형 사상(ring isomorphism)이라 한다. 그리고 이 때 R은 R⁰와 동형(isomorphic) 이라고 한다.

Remark 0.7. R = {0_R}은 환이 된다. 이 때 0_R은 R의 덧셈과 곱셈에 대한 항 등원이 된다. 이런 특별한 경우를 제외하고는 일반적으로 환 R의 곱셈에 대한 항등원은 0_R이 아닌것을 생각한다.

Definition 0.8. 환 R에서 곱셈 연산에 대해 교환법칙이 성립하면 R을 가환환 (commutative ring)이라고 한다. 환 R이 곱셈에 대한 항등원을 가질 때 이것을 1_R로 표기하고단위원(unity)이라고 부른다.

Theorem 0.9. 환 R이 단위원 1_R을 가지면 이것은 유일하게 존재한다.

Proof. 1R와 1⁰_R이 두 개의 단위원이라 하자. 그러면 1_R = 1_R· 1⁰_R = 1⁰_R 에서 1_R= 1⁰_R이 된다.

Definition 0.10. R이 단위원 1_R을가지는 환일 때 a ∈ R에 대해 ab = ba = 1_R을 만족하는 R의 원소 b를 a의 곱셈에 대한 역원(multiplicative inverse)이라 하고 b = a⁻¹으로 표기한다.

Definition 0.11. R은 단위원을 가지는 환이라 하자. 곱셈에 대한 역원을 가지는 R의 원소를 단원(unit)이라 한다. R에서 0_R이 아닌 모든 원소가 단원일 때 R을 나눗셈환(division ring)이라 한다. 가환인 나눗셈환을 체(field)라 한다. 비가환 인 나눗셈환을 비가환체(skew field)라고 한다.

Example 0.12. 환 Z14에서 단원들은 1, 3, 5, 9, 11, 13들 이다. 그리고 2, 4, 6, 8, 10, 12 들은 단원이 아니다.

Example 0.13. 환 Zn에서 단원은 n과 서로소인 원소들이다. 예를 들면 Z12에서 단원들은 1, , 5, 7, 11이다.

<학생들이 도전할 문제>

1. 다음 환에서 단원들을 구하여라.

(1) Z × Z (2) Z × Q × Z (풀이) (1) 먼저 Z × Z의 단위원을 구하자.

(a, b) · (x, y) = (a, b), ^∀(a, b) ∈ Z × Z

을 만족하는 (x, y)는 (1, 1)이다. 즉, Z × Z의 단위원은 (1, 1)이다. 따라서 (a, b) · (c, d) = (1, 1)

을 만족하는 (a, b), (c, d)을 구하면 된다. a, b, c, d ∈ Z이므로 (a, b) = (±1, ±1), (c, d) = (±1, ±1)이다. 결국 단원은 (±1, ±1)이다.

(2) (1)과 같은 원리로 구할 수 있다.

2. Z와 Z × Z 사이의 환준동형사상을 구하여라. 나아가 Z × Z × Z와 Z 사이의 환준동형사상을 구하여라.

(힌트) 단위원을 찾고 환준동형사상에 의한 상을 구하자.

3. R은 환이고 모든 a ∈ R에 대해 a² = a을 만족한다. 그러면 R은 가환환이 됨을 보여라.(이 때 R을 Boolean 환 이라 한다.)

(힌트) (a + b)² = a + b을 이용하자.

4. R은 환이고 S ⊂ R일 때 S가 R의 부분환이 되는 필요충분조건은 다음 세 가지 조건들이다.

(1) 0R∈ S (2) a − b ∈ S, ^∀a, b ∈ S (3) ab ∈ S, ^∀a, b ∈ S