안 상 욱

(1)

선형대수학과 그의 응용

2016 가을학기

강의노트

한경대학교

안 상 욱

한경대학교 선형대수학과 그의 응용 안 상 욱 2016-2 ( )

(2)

가을학기 선형대수학과 그의 응용 강의 노트 2016

Hankyong Univ.

Class: AO1. BO1. BO3

Mon.Wed(AO1), Mon(BO1), Wed(BO3) 미래관 202

Office Hour(Wed 4:00 p.m – 5:00p.m) email : [email protected] Cellular Phone Number : 010 – 4644 – 4197 담당교수 : 안 상 욱

목록

제 1 장 : 연립 차방정식과 행렬 1

연립 차방정식 입문 페이지

1.1 1 (4-7 )

가우스 소거밥 페이지

1.2 (8-11 )

행렬과 행렬연산 페이지

1.3 (12-18 )

역행렬 페이지

1.4 (19-24 )

기본행렬 과 행렬

1.5 ! 의 역행렬 !^"# 를 구하기 (25-34 페이지)

연립방정식과 그의 관한 여러 가지 결과 그리고 벡터와 벡터 공간 페이지

1.6 (35-53 )

행렬의 종류 대각행렬 삼각행렬 대칭행렬 페이지

1.7 : . . (54-61 )

제 2 장 : 행렬식 [determinant]

여인수 전개에 의한 행렬식 페이지

2.1 (63-67 )

행렬식의 성질 페이지

2.2 (68-74 )

크래머 규칙

2.3 (Cramer’s rule ), !^"# 의 공식화 행렬식의 응용 , (75-81 페이지)

고유값 고유벡터 페이지

2.4 (eigenvalue), (eigenvector) (82-94 )

장 선형변환

3 : [Linear Transformation]

변환으 로서의 행렬 페이지

3.1 : (96-103 )

선형연산 의 기 하 페이지

3.2 : [linea r operator] (104-111 )

핵 과 치역 페이지

3.3 : [kernel] [range ] (112-117 )

(3)

장 차원 과 구조

4 : [Dimension] [Structure]

기 저 와 차원 페이지

4.1 [Basis] (119-124 )

기저의 성질 페이지

4.2 (125-130 )

행렬의 기 본 공간

4.3 [The Fundamental Spaces of a Matrices](131-137p)

차원 정리와 그의 응용 페이지

4.4 (138-141 )

계급 정리와 그의 응용

4.5 [Rank Theorem and Its Implications](142-144p)

정사영 정리와 그의 응용

4.6 [Projection Theorem and Its Implications]

페이지 (145-151 )

정규직교기저와 그람 슈미트 과정

4.7 - [Orthonormal Bases and the

페이지 Gram-Schmidt Process] (152-159 )

장 대각성

5 : [Diagonalization]

유사화 과 대각화 페이지

5.1 [simila rity] [Diagonalizability] (161-172 )

직교대각화 페이지

5.2 [Orthogonal Diagonalizability] (173-179 )

Appendix : Linear Algebra written by English (180-261 page)

Problem Set (262 page) Solved Problem (273 page)

Reference (276 page)

(4)

4 2016-2 한경대학교 선형대수학과 그의 응용 안상욱( ).hwp 선형대수는 연립 차 선형 방정식을 행렬을 이용하여 그 해를 보다 효과적으 로 구하는 것을 다루는 학문이다 특히 본 강의는 정사각행렬이 역1 ( ) . 행렬을 가지기 위한 필요충분조건에 맞추어 진행된다.

아울러 벡터와 벡터공간을 다룬다.

연립 차 선형 방정식 입문 1.1 1 ( )

차 선형 방정식

1 ( ) : $%"평면에서 차방정식은 직선 1 &$ ' (% ) * 이고, $%+"공간에서 차방정식은1 평면 &$ ' (% ' *+ ), 이고, -"차원 공간에서는 &_#$_#' &_.$_. ' ⋯ ' &_-$_-)( 이다 여기서.

&_#0 &_.0 ⋯ 0 &_- 은 상수들이고, $_#0 $_.0 ⋯ 0 $_- 은 미지수들이다.

연립 차 선형 방정식1 ( ) :

&_##$_# ' &_#.$_. ' ⋯ ' &_#-$_-)(_#

&_.#$_# ' &_..$_. ' ⋯ ' &_.-$_-) (_. 1⋆3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

&_5#$_# ' &_5.$_. ' ⋯ ' &_5-$_-)(₅

여기서, &₆₇ 16)#0 .0 ⋯ 0 5 8 7 )#0 .0 ⋯ 0 -3 는 상수들[1⋆3 의 계수들 이고] , $₉ 19 )#0 .0 ⋯ 0 -3 은 미지 수들이고, (_: 1: )#0 .0 ⋯ 0 53 은 상수들이다.

1⋆3 에서 (_:); 1: )#0 .0 ⋯ 0 53 이면 1⋆3 를 제차연립선형방정식이라고 부르고 그렇지 않으면 , 1⋆3 를 비제차연립 선형방정식이라고 부른다.

주목: 모든 연립선형방정식은 해를 오직 하나 가지거나, 무수히 많은 해를 가지거나, 해를 갖지 않 거나 셋중의 하나이다.

5 × - 행렬

=

>

?

^@

A

B

&_## &_#. ⋯ &#-

&_.# &_.. ⋯ &.-

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

&_5# &_5. ⋯ &5-

은 1⋆3 의 계수행렬이라부른다 여기서 . 5 은 행렬의 행 가(

로선 의 갯수를 나타내고) , - 은 행렬의 열 세로선 의 갯수를 나타낸다( ) .

(5)

5 2016-2 한경대학교 선형대수학과 그의 응용 안상욱( ).hwp 만일에 '0 $0 ) 의 위치를 머릿속으로 생각하고 이들을 생략하면 - 개 변수에 관한 5 개 방정식으 로 구성된 연립선형방정식은 수로만 이루어진 직사각형 배열로 간단히 표현할 수 있다 즉. ,

5 × 1- ' #3 행렬

=

>

?

^@

A

B

&_## &_#. ⋯ &_#- (_#

&_.# &_.. ⋯ &.- (_.

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

&_5# &_5. ⋯ &_5- (₅

은 1⋆3 의 첨가 확장 행렬이라부른다( ) .

주의: 첨가행렬을 만들 때 계수는 각 방정식에서 동일한 가로순서로 기술되어야하고, 각 상수는 오 른쪽에 동일한 세로순서로 기술되어야만 한다.

예를 들면,

$ ' % " C+ ) D C$ ' E% ' F+ )#C

" $ ' % ' G+ ) E

의 첨가행렬은

=

>

?

^@

A

# # " C D

B

C E F #C

" # # G E

이다.

연립선형방정식의 해를 구하는 기초적인 방법은 다음 세 가지 형태의 연산을 계속 적용하여 미지수

를 쳬계적으로 소거함으로써 얻어진다.

1. 하나의 방정식의 양변에 ; 이 아닌 상수를 곱한다. 2. 두 방정식을 위아래로 교환한다.

3. 한 방정식에 ; 이 아닌 상수를 곱하여 다른 방정식에 더한다.

이러한 과정을 반복해도 연립선형방정식의 해는 변함이 없다.

첨가행렬의 각 행 수평선 은 ( ) 주어진 연립선형방정식의 각 방정식에 대응하므로 이들 세 가지 연산은 첨가행렬의 행에 관한 다음 연산에 대응된다.

1. 한 행에 ; 이 아닌 상수를 모두 곱한다. 2. 두 행을 위아래로 교환한다.

3. 한 행의 배수를 다른 행에 더한다.

우리는 이를 기본행연산(elementary row ope ration)이라 부른다.

(6)

6 2016-2 한경대학교 선형대수학과 그의 응용 안상욱( ).hwp 주목 첨가행렬의 기본행연산을 반복 적용해도 연립선형방정식의 해는 변함이 없다: .

예제 첨가 확장 행렬에다가 기 본행연산을 적용 하여 다음 연립선형방정식의 해를 구하시오: ( ) , .

$ ' % ' .+ )H .$ ' I% " C+ )#

C$ ' F% " E+ );

풀이:

=

>

?

^@

A

B

# # . H

. I "C # C F "E ;

→

=

>

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^@

A

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# # . H

; . "D "#D

; C "## ".D

→

=

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A

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# # . H

; # " K.

D " K.

#D

; C "## ".D

→

=

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A

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# # . H

; # " K.

D " K.

#D

; ; " K.

# " K. C

→

=

>

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^@

A

B

# # . H

; # " K.

D " K.

#D

; ; # C

→

=

>

?

^@

A

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# ; K.

## K.

CE

; # " K.

D " KC

#D

; ; # C

→

=

>

?

^@

A

# ; ; #

B

; # ; .

; ; # C

그러므로 해는

$ )#0 %).0 + )C

# # . H

. I "C # C F "E ;

의 기약행 사다리꼴(reduced row echelon form)이라 하고 간단히,

기약 가우스 행렬(reduced Gauss matrix)이라 부른다.

첨가행렬이 기약행 사다리 꼴 기약 ( 가우스 행렬 이 ) 되기 위해서는 다음 네 가지 성질을 만족해야한 다.

1. 한 행이 모두 ; 으 로 되어 있 지 않으면 그 행에서 첫째로 ; 이 아닌 수는 # 이다 우리 는 .[ # 을 선행의 #(leading # 이라 한) 다]

2. 모두가 ; 으로 된 행이 존재하면 이들은 행렬의 가장 아래쪽에 놓인다.

3. 모두가 ; 이 아닌 두 연속행 에 있어서 아래 행의 선행의 # 은 위 행의 선행의 # 보다 오른쪽에 위치한다. 4. 선행의 # 을 포함한 각 열 세로선 의 다른 모든 수는 ( ) ; 이다.

윗 조건에서 번 조건을 제거한 행렬을 행 사다리꼴 가우스 행렬 이라 부른다4 ( ) .

(9)

9 2016-2 한경대학교 선형대수학과 그의 응용 안상욱( ).hwp

앞에 예제에서 보았듯이 첨가행렬이 기본행연산에의하여 기약행 사다리 꼴 기약 ( 가우스 행렬 로 ) 변형

되면 연립선형방정식은 간단히 풀릴 수 있음을 우리는 보았다. 첨가행렬에 기본행연산을 적용하여

행 사다리 꼴 가우스 ( 행렬 로 ) 변형시키는 방법을 가우스 소거법(Gaussian elimination)이라

하고, 기약행 사다리 꼴 기약 ( 가우스 행렬 로 ) 변형시키는 방법을 가우스 조단 - 소거법

이라 부른다 (Gauss-Jordan elimination) .

# . " E C F #I

; ; # ; " K.

D " F

; ; E ; " #D " .H

→

=

>

?

^@

A

B

# . " E C F #I

; ; # ; " K. D " F

; ; ; ; K.

# #

→

=

>

?

^@

A

B

# . " E C F #I

; ; # ; " K. D " F

; ; ; ; # .

행 사다리꼴

( )

그러므로, $_# ' .$_. " E$_C ' C$_I ' F$_E) #I

$_C " K.

D $_E) " F

$_E) . → $_C)#0 $_#)D " .$_. " C$_I

∴ $_.)M0 $_I)N 라 놓으면 여기서( , M0 N 는 임의의 상수),

우리는 다음과 같은 무수히 많은 해를 가진다.

$_#)D " .M "CN0 $_.)M0 $_C)#0 $_I)N0 $_E).

(10)

10

앞의 예제에 가우스 조단 소거법을 적용하면-

=

>

?

^@

A

B

# . " E C F #I

; ; # ; " K. D " F

; ; ; ; # .

→

=

>

?

^@

A

B

# . ; C ; D

; ; # ; ; #

; ; ; ; # .

기약행 사다리 꼴

( )

그러므로,

$_# ' .$_. ' C$_I )D

' $_C )#

' $_E).

∴ $_.)M0 $_I)N 라 놓으면 여기서( , M0 N 는 임의의 상수),

우리는 다음과 같은 무수히 많은 해를 가진다.

$_#)D " .M "CN0 $_.)M0 $_C)#0 $_I)N0 $_E).

주목: 모든 행렬은 기 본행연산에의하여 유일한 기약행 사다리꼴 기약 ( 가우스 행렬 로 ) 변형된다. 즉,

주어진 행렬에 기본행연산의 순서를 달리 할지라도 똑같은 기약행 사다리꼴에 도달한다. 하지만 이

와는 달리 주어진 행렬의 행 사다리꼴은 유일하지 않다. 즉 기본행연산의 순서가 다르면 다른 행 사다리 꼴로 변형된다.

문제 가우스 조단 소거법을 이용 하여 다음 연립선형방정식의 해를 구하시오: - .

C$_# ' .$_. " $_C) " #E E$_# ' C$_. ' .$_C) ; C$_# ' $_. ' C$_C) ##

(11)

11

문제 가우스 조단 소거법을 이용 하여 다음 연립선형방정식의 해를 구하시오: - .

$ ' I% " + ' O ) .

#;% " I+ ' O ) #

C$ ' .% ' + ' .O ) E

" .$ " G% ' .+ " .O ) " I