Chapter 9 π 정리 -
차원해석은 Buckingham에 의하여 개량되었으며 그것은, Π 정리(定理)로 알려져 있다 그는 만약 어떤 문제가. n개의 변 수를 가지며 기본차원의 수가 m개이면 그 문제의 방정식은 (n-m) 개의 무차원군을 포함하는 형의 식으로 표시될 수 있 음을 밝혔으며 Buckingham은 이들 무차원군을 Π로 표시하 였다 앞 절에 기술한 선박저항의 문제를. Π 정리를 써서 다 시 한 번 다루기로 하자.
식(7-27)은 다음과 같은 음함수(陰函數)의 형식으로 표시 될 수 있다.
F(D, l,V, ρ, μ, g ) = 0 (7-30)
여기에서 변수 n 은 6개이고, 기본차원의 수 m 은 3개이므로 예측 할 수 있는 무차원군의 수는 n-m=6-3=3 이다 이들. 3 개의 무차원군을 각각 Π1,Π2 및 Π3 로 표시하자 그러면 무. 차원군들 사이에 관계는 다음과 같이 표시될 수 있다.
f(Π1, Π2, Π3)=0 (7-31)
Π1,Π2 및 Π3는 변수들 중에서 기본차원의 수에 해당하는 변 수에 나머지 한 변수를 더한 변수들을 조합하여 만든다 이때. 기본차원의 수에 해당하는 변수는 기하학적상사를 비교하기 위하여 길이 l, 운동학적상사를 비교하기 위하여 속도 V 및 역 학적상사를 비교하기 위하여 유체의 밀도 ρ를 취한다.
Π1=l a1Vb1ρc1D, Π2=l a2Vb2ρc2μ, Π3=l a3V b3ρc3g (7-32) 이를테면 Π1을 구하기 위해서 차원의 식으로 바꿔 쓰면
M 0L0T 0=[L]a1
[
TL]
b1[
LM3]
c1[
TML2]
이다 양변의. L,M 및T 의 지수를 등치하면 M: 0=1+c1
L : 0=1+a1+b1-3c1 T : 0=2+b1
이다 이것을 풀면 다음을 얻는다. . a1=-2, b1=-2, c1=-1
이 값들을 식(7-32)의 첫째 식에 대입하면 Π1=Dl-2V-2ρ-1=D/l 2V2ρ 같은 방법으로 Π2, Π3 을 구하면
Π2=Vlρ / μ, Π3=V/ gl
이다 이들을 식. (7-31)에 대입하면 다음 식을 얻는다. f
(
ρlD2V2, Vlμρ, Vgl
)
=0 또는 f(
ρlD2V2,R,F)
= 0식(7-31)은 Π1=φ(Π2,Π3) 의 식으로도 바꿔 쓸 수 있으므로 위의 식은 다음과 같이 표시될 수 있다.
D= ρl 2V2φ(R,F) 이 식은 식(7-29)와 동일하다.
예제 유체 속에 잠겨있는 스크류 프로펠러
[ 9-1] (screw
의 추력
propeller) T는 추진기의 지름 D, 추진기의 전진속도 V,
단위시간당의 추진기의 회전수 N, 중력의 가속도 g, 유체의
밀도 ρ 및 유체의 동점성계수 ν 의 영향을 받는다. 추력의 식을 구하라.
추력
[Sol] T 를 포함하는 음함수의 식은 F(T,D,V,N,g, ρ, ν)=0
변수는 7 개이고 기본차원의 수는, 3 개이므로 무차원군 의 수는 4 개 이다.
f(Ⅱ1,Ⅱ2,Ⅱ3,Ⅱ4)=0
D,V 및 ρ에 순차적으로 한 개씩 변수를 더해서 무차원군을 만들면
Ⅱ1=D a1 V b1 ρ c1 T, Ⅱ2=D a2 V b2 ρ c2 N
Ⅱ3=D a3 V b3 ρ c3 g, Ⅱ4=D a4 V b4 ρ c4 ν
위의 식의 a,b,c 의 지수들을 결정하면 각 무차, 원군은 다음과 같다.
Ⅱ1= T
ρ D2 V2, Ⅱ2= DN
V ,
Ⅱ3= Dg
V2, Ⅱ4= ν DV 그러므로
f
(
ρ DT2 V2, DNV, DgV2, DVν)
=0또는
T= ρ D 2 V 2 φ
(
DNV, DgV2, DVν)
여기에서 φ 함수는 실험에 의해서 결정되는 상수계수이다.
