Chapter 9 자연대류
본 자료의 모든 그림, 표, 예제 등은 다음의 문헌을 참고 하였습니다.
참고문헌 : Yunus A. Cengel and Afshin J. Ghajar, "Heat and mass transfer (Fundamentals and applications)" , 4th ed., McGraw-Hill Korea, 2011
<학습목표>
1. 자연대류의 물리적 메커니즘을 이해한다.
2. 자연대류의 지배방정식을 도출하고, 그들을 무차원화 하여 무차원 Grashof 수를 유도한다.
3. 원통과 구 뿐만 아니라 수직, 수평, 경사진 판과 관련된 자연대류에서 의 Nusselt 수를 평가한다.
4. 휜이 설치된 표면으로부터의 자연대류를 평가하고, 최적 휜 간격을 결 정한다.
5. 이중유리창과 같은 밀폐공간 내의 자연대류를 해석한다.
6. 자연-강제 복합대류를 생각해보고, 각 열전달 모드의 상대적인 중요
성을 평가한다.
9-1 자연대류의 물리적인 매카니즘
· 자연대류 : 유체온도상승→밀도감소→부력생성→유체흐름생성→에너지전달
· 자연대류흐름 : 따뜻한 공기가 근처의 찬 공기에 의해 계속적으로 교체되면서 생기는 운동
· 자연대류열전달: 자연대류흐름의 결과로 촉진되는 열전달
· 부력 : 유체에 완전히 또는 부분적으로 잠겨있는 물체에 작용하는 상 방향 힘
F
buoyancy=ρ
fluidgV
bodyF
net=W-F
buoyancy=ρ
bodygV
body-ρ
fluidgV
body=(ρ
body-ρ
fluid)gV
body(이힘은 유체와 그속에 잠긴 물체의 밀도차에 비례한다.)
· 체적 팽창계수(β) : 일정압력에서 온도에 따른 유체의 밀도 변화를 나타내는 물성치
뜨겁거나 찬 표면으로부터 충분히 멀리 떨어진 유체의 조건은 하첨자 무한대로 나타내며 이 경우 미분값을 차분값으로 바꾸 어 근사적으로 나타낼수 있다.
≈
∆
∆
∞
또는 ∞
∞(ρ∞:밀도, T∞:표면으로부터 떨어져있는 정지한 유체의 온도) 온도 T인 이상기체의 체적팽창계수는 온도의 역수와 같다. 이 는 체적팽창계쑤가 큰 유체는 온도에 다른 밀도변화가 크다는 것을 의미하고, β∆T는 일정압력에서 온도변화 ∆T에 상응하는 유체의 부피변화를 나타낸다. 또한 부력은 일정압력에서 온도 차에 비례하는 밀도차에 비례한다.
9-2 운동방정식과 Grashof 수
·운동방정식
Newton의 제2운동법칙은 δm·ax=Fx이다. 여기서 δm=ρ (dx·dy·1)는 검사체적 내에 있는 유체요소의 질량이다. x방 향으로의 가속도는 u(x,y)를 du=(∂u/∂x)dx+(∂u/∂y)dy와 같 이 전미분하고, dt로 나누면
τ=μ(∂u/∂y)이므로, x방향으로 작용하는 순 표면력은
·
· · ·
· ·
x방향으로의 운동량보존식은
표면에 수직인 방향으로 압력변화는 무시할 수 있고, 주어진 x에 대해 경계층에서 압력은 정지한 유체에서의 압력과 같다. 따라서 P=(x)=P∞(x)이고 ∂P/∂x=∂P∞/∂x=-ρ∞g이다.
∞
마지막 항은 유체의 단위 체적당 윗 방향으로의 순 힘을 나타낸다. 이것이 대류흐름을 일어 나게 하고 유지하는 힘이다. ∞
∞을 마지막 항에 대입하고 양변을 ρ로 나 누면, x방향 운동량방정식이 얻어진다.
∞·Grashof수
Grashof수는 유체에 작용하는 점성력에 대한 부력의 비를 나타낸다.
∞
g=중력가속도, m/s2
β=체적팽창계수, 1/K(이상기체에서는 β=1/T) Ts=표면온도, ℃
T∞=표면에서 추분히 멀리 떨어진 유체의 온도, ℃ Lc=기하학적 특성길이, m
ʋ=유체의 동점성계수, m2/s
9-3 표면위의 자연대류
표면에서 자유대류열전달은 표면의 방향뿐만 아니라 기하학적 형상에 따라 좌우되며, 또한 표면에서의 온도변화와 포함된 유체의 열물리학적 물성치에 의존한다.
자연대류에서 평균 Nusselt 수 Nu에 대한 간단한 실험식은 다음과 같다.
P r
(식 9-16)여기서
은 Rayleigh 수로 유체 내에 부력과 점성의 관계를 나타내는 Grashof 수와 운 동량 확산과 열확산의 관계를 나타내는 Prandtl 수의 곱이다. 그러므로 Rayleigh 수 그 자 체는 열과 운동량 확산의 곱에 대한 부력의 비로 볼 수 있다.
P r
∞
∞
(식 9-17)
수직판 (
정 )표 9-1에 등온 수직평판에 대해 세가지 평균 Nusselt 수의 관계식이 나타나 있다.
이 관계식은
의 범위에서 가장 정확하다.수직판( 일정 )
일정 표면온도와 일정 표면열유속의 경우에 Nusselt 수 관계식이 거의 같다는 것이 판명된 다.
따라서 등온판에 대한 관계식은 막온도, Rayleigh 수, Nusselt 수를 계산할 때 판의 중간지 점 온도
을
대신에 사용하면 균일 열유속 조건의 판에 대해서도 사용될 수 있다.이 경우에
∞ 이므로, 평균 Nusselt 수는 다음과 같다.
∞
(식 9-27)
수직원통
원통의 지름이 곡면효과가 무시될 만큼 충분히 클 때 수직원통의 바깥표면은 수직판처럼 취 급될 수 있다.
≥
(식 9-28)
수평판
수평 표면으로 또는 표면으로부터의 열전달률은 표면이 위로 향하는지 또는 아래로 향하는 지에 따라 달라진다. 수평표면에 대한 평균 Nusselt 수는 표 9-1에 주어진 간단한 멱법칙 관계식으로부터 구할 수 있다. 수평표면에 대한 특성길이는 다음 식으로 계산한다.
(식 9-29)
9-4 휜이 달린 표면과 PCB에서의 자연대류
휜이 달린 표면의 자연대류 냉각(
일정 )휜으로 사용되는 수직 평행판의 특성길이는 휜의 높이 L을 사용할 수도 있지만, 일반적으로 인접한 휜들 사이의 간격 S로 한다. Rayleigh 수는 다음과 같다.
∞
and
∞
(식 9-30)수직등온 평행판에서의 평균 Nusselt 수에 대해 권장하는 관계식은,
(식 9-31)
휜이 등온이고 휜의 두께 t가 휜 간격 S에 비해서 상대적으로 작을 때 수직 열싱크에서 최 적 휜 간격을 구하는 식이 다음과 같다.
(식 9-32)
(식 9-33)
휜으로부터 자연대류에 의한 열전달률은 다음과 같다.
∞ (식 9-34)수직 PCB의 자연대류 냉각( 정 )
양쪽 판에 균일 열유속을 받는 경우에 수정된 Rayleigh 수는 다음과 같다.
(식 9-35)최대온도가 얻어지는 판의 윗 끝단에서 Nusselt 수는 다음과 같다.
(식 9-36)
양쪽 판에 균일 열유속을 받는 경우에 최적의 휜 간격은 다음과 같다.
(식 9-37)판으로부터 총 열전달률은
(식 9-38)
∞ ; 그리고 모든 유체의 물성치는 평균온도에서 계산되어야 한다.9-5 밀폐공간 안에서의 자연대류
수직 밀폐공간 : 뜨거운 면에 접한 유체가 상승, 차가운 면에 접 한 유체가 하강하여 밀폐 공간 내에서 대류를 통해 열전달 촉 진.
수평 밀폐공간 : 뜨거운 판이 위에 있으면 대류가 없이 전도로 만 열전달 되며 Nu=1이다.
뜨거운 판이 아래에 있으면
일 때 자연대류 흐름 을 일으키고
× 이 되면 난류가 된다.
밀폐공간에서 Rayleigh 수
: 뜨거운 면과 차가운 면 사이의 거리
: 각각 뜨거운 면과 차가운 면의 온도유효열전도도
Nusselt 수를 알고 있을 때 열전달률은
두께
, 면적
, 열전도도가 인 층을 통한 정상 열전도율
kNu를 밀폐공간의 유효열전도도라고 한다.
Nu=1이면 밀폐공간의 유효열전도도가 유체의 열전도도와 같아진다.
수평 사각 밀폐공간
공기가 들어 있는 수평 밀폐공간에 대해 Jakob 의 관계식
×
×
P r 의 범위에서 다른 가스에도 적용가 능하다.
Hollands의 관계식
기호 는 괄호안의 값이 음수이면 0으로 하라는 의미.
인 경우 물에 대해서도 사용 가능.경사진 사각 밀폐공간
큰 종횡비
≥ 의 경우 아래의 식은 경사각 70°,
, °
≥ 에서 잘 맞는다.
cos
cossin
cos
작은 종횡비를 갖는 밀폐공간
≤ 에서는우측 표의 임계값보다 경사각이 작으면
°
°
°sin
임계값보다 큰경사각에서는
°sin 수직 사각 밀폐공간
Catton, Berkovsky, Polevikov의 관계식
P r
P r
P r P r
P r
P r
동심원통
우측 그림처럼 온도가 각각 와
로 유지될 때 환형공간을 통한 자연대류에 의한 실린더의 단위길 이당 열전달률
ln
유효열전도도 관계식은
P r
P r
동심구
등온 동심구에서 구 사이의 틈새를 통한 자연대 류열전달률
유효열전도도 관계식은
P r
P r
자연대류와 복사의 복합
총 열전달률은 대류와 복사성분을 더해서 구해진다
끝부분 효과를 무시할 수 있으면, 절대온도가
,
인 두 개의 평행판 사이의 복사열전달 은
유효방사율
9-6 자연-강제 복합대류
중력장에서 유체에 온도구배가 존재하면 항상 자연대류가 존재한다. 따라서 강제대류는 항상 자연대류를 동반한다.
옆의 그래프를 보면
에서 자연대류를 무시할 수 있고
에서 강제대류를 무시할 수 있고
에서 둘다 무시할 수 없다.부력으로 유발된 운동과 강제대류 운동의 상대적인 방향에 따라 자연대류는 강제대류 열전 달을 도와줄 수도 있고 방해할 수도 있다.
(a) 도움유동(assisting flow)에서는 부력에 의한 운동과 강제운동이 같은 방향이므로 자연 대류가 강제대류를 도와서 열전달을 촉진.
(b) 대항유동(opposing flow)에서는 부력에 의한 운동이 강제운동과 반대 방향이므로 자연 대류는 강제대류에 저항하여 열전달을 감소.
(c) 교차유동(transverse flow)에서는 부력에 의한 운동이 강제운동에 수직이므로 교차유동 은 유체의 혼합을 증대시켜 열전달을 촉진.
자연-강제 복합대류에서 열전달 계산 시 사용되는 실험식
for ±
도움유동과 교차유동은 + 사용, 대항유동은 – 사용.
-예제풀이-
예제9-1) 온수관으로부터의 열손실
그림에 보인 길이 6cm, 지름 8cm인 수평 온수관이 온도 20℃인 큰 방을 지나간다. 관의 바깥 표면온도가 70℃일 때, 관으로부터 자연대류에 의한 열손실율을 구하라.
· 가정
1.정상상태에서 작동한다.
2.공기는 이상기체이다.
3.대기압은 1기압이다.
· 물성치
막온도 Tf=(Ts+T∞)/2=(70+20)/2=45℃와 1기압에서 공기의 물성치는 k=0.02699W/m·K, Pr=0.7241, ʋ=1.750*10-5m2/s, β=1/Tf=1/318K
· 문제풀이 Lc=D=0.08m
∞
이 경우 Nu수는
P r
·
·
따라서
∞
·
℃
관은 자연대류에 의해 442W의 율로 방안의 공기로 열을 잃을 것이다.
예제9-2) 여러 방향으로 놓인 판의 냉각
30℃인 방안에 놓여있는 0.6m*0.6m의 얇은 정사각팡능 생각해보 자. 그림에서 보인바와 같이 판의 한쪽 면은 90℃로 유지되고 다 른 면은 단열되어 있다. 판이 (a)수직,(b)뜨거운 면이 위로 향하는 수평,(c)뜨거운 면이 아래로 향하는 수평으로 놓여있을 때, 판으로 부터 자연대류에 의한 열전달률을 구하라.
가정
1.정상상태에서 작동한다.
2.공기는 이상기체이다.
3.대기압은 1기압이다.
· 물성치
막온도 Tf=(Ts+T∞)/2=(90+30)/2=60℃와 1기압에서 공기의 물성치는 k=0.02808W/m·K, Pr=0.7202, ʋ=1.896*10-5m2/s, β=1/Tf=1/333K
· 문제풀이
(a) L=0.6m
∞
이 경우 Nu수는
P r
·
·
따라서
∞
·
℃
(b)
∞
이 경우 Nu수는
·
·
따라서
∞
·
℃
(c)Lc=0.15m, RaL=1.195*107로 (b)번과 동일 이 경우 Nu수는
·
·
따라서
∞
·
℃
뜨거운 면이 아래로 향하는 경우에 자연대류열전달이 가장 낮다.
예제9-3) 열싱크의 최적 휜 간격
폭12cm, 높이18cm인 뜨거운 수직표면이 30℃ 공기 중에서 사각형상의 균일하게 배열된 휜을 가진 열싱 크에 의해 냉각된다. 휜의 두께는 0.1cm이고 수직방 향 길이는 18cm이며 바탕으로부터의 높이는 2.4cm 이다. 바탕온도가 80℃일 때 최적 휜 간격과 자연대 류에 의한 열전달률을 구하라.
· 가정
1.정상상태에서 작동한다.
2.공기는 이상기체이다.
3.대기압은 1기압이다.
4.휜의 두께는 휜 간격에 비해 매우작다.
5.모든 휜의 표면은 바탕온도로 등온이다.
· 물성치
막온도 Tf=(Ts+T∞)/2=(80+30)/2=55℃와 1기압에서 공기의 물성치는 k=0.02772W/m·K, Pr=0.7215, ʋ=1.847*10-5m2/s, β=1/Tf=1/328K
· 문제풀이 L=0.18cm
∞
따라서
·
·
따라서
∞
∞
·
℃
열 싱크는 자연대류에 의해 29.4W의 율로 열을 발산할 수 있다.
※ 예제 정리
예제 9-4) 이중 유리창을 통한 열손실
높이 0.8 m, 폭 2 m인 수직인 이중 유리창이 대기압의 공기층에 의해 2 cm만큼 떨어진 두 장의 유리로 구성 되어있다. 공기층을 향한 유리면의 온도가 12℃ 와 2℃
일 때 유리창을 통한 열전달률을 구하라.
· 가정
1. 정상상태로 작동하고 있다.
2. 공기는 이상기체이다.
3. 복사열전달은 고려하지 않는다.
4. 수직 사각 밀폐공간에서 자연대류가 일어난다.
· 물성치
1. 평균온도
℃
2. 압력 1기압 에서 ⇒
·
⇒ Pr = 0.7344 ⇒ × ⇒
· 문제풀이
- 밀폐공간 안에서의 자연대류에 의한 열전달률을 구하는 문제이다.
-
×
×
-
P r
, [형상의 종횡비
]
- ×
-
-
이
× 폭
마지막으로,
-
(식 9-41)
→ Nusselt 수를 알고 있을 때, 밀폐공간을 통한 열전달률은
이다.-
·
⇒ 따라서 창을 통한 열손실율은 27.1 W 이다.
예제 9-5) 구형 밀폐공간을 통한 열전달
지름
와
인 두 개의 동심구가 1기압 의 공기로 분리되어 있다. 공기를 둘러싼 두 구의 표면온 도는 각각
와
이다. 안쪽 구에서 바깥 쪽 구로의 자연대류에 의한 열전달률을 구하라.· 가정
1. 정상상태로 작동하고 있다.
2. 공기는 이상기체이다.
3. 복사열전달은 고려하지 않는다.
· 물성치
1. 평균온도
℃ 와 1기압 2.
·
3. P r
4. ×
5.
· 문제풀이
-
-
×
× - 유효열전도도
P r
P r
× × ×
·
- 구 사이의 열전달률
예제 9-6) 태양에너지에 의해 관에서 가열된 물
태양열 집열기가 외경 5 cm인 수평 알루미늄 관으로 되 어 있으며 지름 10cm인 동심의 얇은 유리관으로 둘러싸 여 있다. 물이 관 안을 지나갈 때 가열되며, 알루미늄 관 과 유리관 사이의 환상 공간은 압력 1 기압의 공기로 채 워져 있다. 맑은 날 물을 순환하는 펌프가 고장 나서, 관 안의 물의 온도가 올라가기 시작한다. 알루미늄 관은 태양 복사열을 관 1 m 당 30 W 율로 흡수하고, 바깥 대기온도 는 20℃ 이다. 복사에 의한 열손실을 무시하고, 정상상태 에 도달했을 때 알루미늄 관의 온도를 구하라.
· 가정
1. 정상상태로 작동하고 있다.
2. 관과 덮개는 등온이다.
3. 공기는 이상기체이다.
4. 복사에 의한 열손실은 무시한다.
물성치
1. 평균온도
℃
℃
(덕트에서 공기의 출구온도를 모르기 때문에,
이 시점에서 유체와 유리 덮개의 온도를 구할 수 없다.
따라서 유리온도를 40℃ 로 가정한다.) 2.
· ℃3. P r
4. ×
5.
· 문제풀이
- 알루미늄 관에서 유리 덮개로의 열전달과 유리 덮개의 바깥 표면에서 주위 대기로의 열전 달을 포함하고 있다.
-
(per meter of tube)- 유리 덮개의 열전달 면적은
(per meter of tube)- 유리의 표면온도가 주어져 있지 않기 때문에 시행착오법을 이용한다.
∞
×
×
P r
×
· ℃
· ℃
∞
· ℃ ℃
- 열전달률 < 30W 이므로, 가정한 유리 덮개의 온도 40 는 낮다. 더 낮은 온도로 계산을 반복하면 30W에 해당하는 유리 덮개의 온도는 41℃ 가 된다.
- 두 수평 동심원통에서의 자연대류 관계식을 사용하여 알루미늄 관의 온도를 구한다.
- 관 온도를 90℃ 로 가정하여 계산하면, 평균온도
℃
℃
×
×
- 유효전도도
ln
ln
P r
P r
× × ×
· ℃- 따라서, 원통사이의 열전달률은
ln
ln
· ℃ ℃
※ 열전달률이 30W보다 크므로 가정한 관의 온도 90℃ 는 높다. 다른값을 가지고 계산을 반복하면 30W에 상응하는 관의 온도는 82℃ 이다. 그러므로, 펌프가 고장나면 관은 82℃ 의 평형온도에 도달할 것이다.
예제 9-7) 도움유동과 대항유동에서의 열전달
× 의 수직판의 표면온도가 40℃로 일정하게 유지될 때, 20℃ 공기가 판 위에
로 평행하게 흐르는 경우 도움유동과 대항유동에 대한 Nusselt수를 구한다.
· 가정
정상상태이다. 물성치는 일정하다. 표면온도는 일정하다. 공기는 이상기체 법칙을 따른다.
복사에 의한 열전달은 무시한다.
· 물성치 30℃ 공기에서
·
, × , P r ,
· 문제풀이
Reynolds 수와 Grashof 수를 구하면
×
∞
×
× 따라서
×
자연대류와 강제대류가 모두
≈ 이고 복합대류이다. 자연대류와 강제대류의 경우 Nusselt수를 구하면
× ×
for
P r 도움유동 (위로 흐름)과 대항유동 (아래로 흐름)의 경우 복합 Nusselt 수는
움유동
for
대항유동
for
예제 9-8) 창문의 유리 중앙부분에 대한 U계수
겨울철 설계조건에서 평균온도 0℃인 6mm의 공기층을 가진 이중유리창의 중앙부분의 U계 수를 구한다.
가정
정상상태이다. 창문을 통한 1차원 열전달. 유리판의 열저항은 무시한다.
· 물성치
유리의 방사율
겨울철 설계조건에서
·
,
·
· 문제풀이
유리판의 열저항을 무시하면 유리창 중앙의 U계수는
≅
이중유리창에서 공기층의 유효방사율
위의 유효방사율과 공기층온도 0℃에서
·
따라서
·
예제 9-9) 알루미늄 창틀의 창문을 통한 열손실
22℃로 유지되는 집 벽에서 높이 1.2m 폭 1.8m의 개구부에 알루미늄 창틀. 외부공기온도 –10℃에서 각 조건에서 창문을 통한 열손실율과 창틀유리의 안쪽 표면온도를 구하라.
(a) 3mm인 단열유리
(b) 공기층이 12.7mm인 이중유리
(c) 공기층이 12.7mm이고 낮은 방사율로 피복된 삼중유리
가정
정상상태이다. 창문을 통한 1차원 열전달. 창문의 열적물성치와 열전달계수는 상수.
· 물성치
창문의 U계수는 각각
·
,
·
,
·
· 문제풀이
위 표에 창문의 U계수가 주어져 있다.
창문을 통한 열전달률은
와
는 실내외 공기온도,
은 창문의 U계수,
창문면적
창문유리의 안쪽표면 온도는 다음과 같이 계산한다.
는 창문의 안쪽 표면의 열전달계수로 옆의 표에서 구할 수 있다.
·
(a) 단일유리 :
·
·℃ ℃
℃
·℃
℃
(b)이중유리 :
·
·℃ ℃
℃
·℃
℃
(c)삼중유리 :
·
·℃ ℃
℃
·℃
℃
예제 9-10) 두 개의 문으로 된 창의 U계수
금속간격유지기를 가진 두 개의 문으로 된 목재 창틀 이중유리창의 총합 U계수를 구하고 표 9-6과 비교. 창문은 × , 유리 치수는 × .
· 가정
정상상태이다. 창문을 통한 1차원 열전달.
· 물성치
두 표에서
·
·
·
문제풀이
창문, 유리 창틀의 면적은
유리 모서리 부분은 유리둘레를 따라 6.5cm의 띠로 구성.
위의 면적과 U계수로부터 전체 창문의 총합 U계수는
× × ×
·
표 9-6에서 총합 U계수는
