잉여류와 Lagrange 정리 (Cosets and Lagrange theorem)

잉여류와 Lagrange 정리

(Cosets and Lagrange theorem)

현대대수학1 <제10절>

이상준 교수

(덕성여대 수학과)

교재 : 현대대수학(제7판)

John B. Fraleigh 지음, 강영욱, 강병련 옮김 강의 슬라이드 : 이상준, 조유진(13)

동기

„ 질문: 많은 원소를 포함하는 군을 어떻게 이해할 수 있을까?

„ 실생활에서의 질문: 많은 사람들이 있는 조직을 어떻게 이해할 수 있을까?

예제

„ 예제: 한국프로야구를 생각해보자.

„한국프로야구에는 200명의 선수들이 있다.

„야구 선수들

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예제

„ 예제: 한국프로야구를 생각해보자.

„한국프로야구에는 200명의 선수들이 있다.

„야구 선수들

팀 A 팀 B 팀 C 팀 Z

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큰 군에 대한 아이디어

„ G

„ 군

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큰 군에 대한 아이디어

„ G

„ 군

군 H

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잉여류 (Cosets)

„ 정의 10.2: H가 G의 부분군이고, a ∈ 𝐺라 하자.

„𝒂𝑯 ≔ 𝑎ℎ ℎ ∈ 𝐻 : a를 포함하는 H의 좌잉여류 (left coset)

„𝑯𝒂 ≔ ℎ𝑎 ℎ ∈ 𝐻 : a를 포함하는 H의 우잉여류 (right coset)

„ 주의: G가 아벨군이면, 곱하기 대신에 더하기를 사용한다.

„이 때 잉여류는

„ 𝒂 + 𝑯 ≔ 𝒂 + 𝒉 𝒉 ∈ 𝑯 : 좌잉여류

„ 𝑯 + 𝒂 ≔ 𝒉 + 𝒂 𝒉 ∈ 𝑯 : 우잉여류

„관찰: 𝒂 + 𝑯 = 𝑯 + 𝒂.

예제

„ 예제: ℤ₀에서 H={ 0, 3 }의 모든 좌잉여류를 찾아라.

„ ℤ₀= 0, 1, 2, 3, 4, 5

„ 0 + 𝐻 = 0, 3 1 + 𝐻 = 1, 4 2 + 𝐻 = 2, 5

„ 3 + 𝐻 = 0, 3 4 + 𝐻 = 1, 4 5 + 𝐻 = { 2, 5 }

예제

„ 예제: ℤ₀에서 H={ 0, 3 }의 모든 좌잉여류를 찾아라.

„ ℤ₀= 0, 1, 2, 3, 4, 5

„ 0 + 𝐻 = 0, 3 1 + 𝐻 = 1, 4 2 + 𝐻 = 2, 5

예제

„ 예제: ℤ의 부분군 3ℤ의 좌잉여류를 찾아라.

„ 예제: ℤ의 부분군 3ℤ의 우잉여류를 찾아라.

예제

„ 예제: 𝑆_;에서 H = { 𝑒 , 12 }의 모든 좌잉여류를 찾아라.

„𝑆_; = { 𝑒, 12 , 13 , 23 , 123 , 132 }

„ 𝑒𝐻 = { 𝑒, 12 }

„ 12 𝐻 = { 𝑒, 12 }

„ 13 𝐻 = { 13 , 123 }

„ 123 𝐻 = 13 , 123

„ 23 𝐻 = { (23), 132 }

„ 132 𝐻 = { (23), 132 }

예제

„ 예제: 𝑆_;에서 H = { 𝑒 , 12 }의 모든 좌잉여류를 찾아라.

„𝑆_; = { 𝑒, 12 , 13 , 23 , 123 , 132 }

„ 𝑒𝐻 = { 𝑒, 12 }

„ 13 𝐻 = { 13 , 123 }

„ 23 𝐻 = { (23), 132 }

좌잉여류의 2가지 성질

„ 성질1: H가 G의 부분군이라고 하자.

„H의 좌잉여류들은 G의 분할(partition)을 준다.

„ 증명:

„ H의 좌잉여류들의 합집합은 G가 된다.

„증명: 𝑎 ∈ 𝐺라 하자.

„𝑎 = 𝑎 @ 𝑒 ∈ 𝑎𝐻

„ 𝑎𝐻와 b𝐻가 같지 않다면, 이 두개는 서로소이다.

„증명: (귀류법)

„𝑥 ∈ 𝑎𝐻 ∩ 𝑏𝐻 인 x가 있다고 가정하자.

„𝑥 = 𝑎ℎ_E = 𝑏ℎ_F

„𝑎 = 𝑏ℎ_Fℎ_E^GE → 𝑎ℎ = 𝑏ℎ^I ∈ 𝑏𝐻 → 𝑎𝐻 ⊂ 𝑏𝐻

„𝑏 = 𝑎ℎ_Eℎ_F^GE → 𝑏ℎ = 𝑎ℎ^I ∈ 𝑎𝐻 → 𝑏𝐻 ⊂ 𝑎𝐻

좌잉여류의 2가지 성질

„ 성질2: H가 G의 부분군이라고 하자.

„H의 잉여류 중 임의로 2개를 뽑으면, 그 둘은 크기가 같다.

„ 증명: 𝜙 ∶ 𝐻 → 𝑎𝐻가 일대일대응임을 보이면 된다.

ℎ ↦ 𝑎ℎ

„ 𝜙가 일대일함수

„𝑎ℎ_E = 𝑎ℎ_F ⟶ ℎ_E = ℎ_F (소거법칙 이용)

„ 𝜙가 위로의 사상

„자명하다.

요약

군

H aH bH gH

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⋯

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G 군

라그랑지 정리 (Lagrange theorem)

„ 정리10.10: H가 유한군 G의 부분군이라 하자.

„ 그러면 H의 위수는 G의 위수의 약수이다.

„ 증명:

„G가 유한하기 때문에, G에서 H의 좌잉여류들은 유한개가 있다.

„ H의 좌잉여류들을 𝑎_E𝐻, 𝑎_F𝐻, ⋯ , 𝑎_P𝐻라 하자.

„ 𝐺 = 𝑎_E𝐻 ⊔ 𝑎_F𝐻 ⊔ ⋯ ⊔ 𝑎_P𝐻 (성질1에 의해)

„ 𝐺 = 𝑎_E𝐻 + 𝑎_F𝐻 + ⋯ + 𝑎_P𝐻 = 𝑘 𝐻 (성질2에 의해)

따름정리

„ 따름정리 10.11: 위수를 소수로 갖는 모든 군은 순환군이다.

„ 증명:

따름정리

▶ 따름정리 10.12: 유한군의 원소의 위수는 군의 위수를 나눈다.

▶ 증명:

지수 𝐺 ∶ 𝐻

„ 정의 10.13: H가 G의 부분군이라고 하자.

„ G에서의 H의 지수(index) 𝑮 ∶ 𝑯 는 G에서의 H의 좌잉여류의 개수이다.

„ 예제:

„(𝑍₀ ∶ {0,3}) =

„ 𝑍 ∶ 5𝑍 =

„ 사실: 𝐺 가 유한하면, 𝑮 ∶ 𝑯 = 𝑮 / 𝑯 이다.

„ 정리 10.14: 𝐾 ≤ 𝐻 ≤ 𝐺라 하고, 𝐻 ∶ 𝐾 와 𝐺 ∶ 𝐻 가 유한이라고 하자.

„ 그러면 𝐺 ∶ 𝐾 도 유한이며 𝐺 ∶ 𝐾 = 𝐺 ∶ 𝐻 𝐻 ∶ 𝐾 이다.