다지기
접선의 기울기가 증가하거나 감소하는 구간에서 곡선은 어떤 모양일까?
키우기
O 시간 A
B
C
P
확산도
도입 발전
성숙 정체
O 시간 A
확산도
B
⑴ 점 P가 점 A에서 점 B C 까지 움직일 때, 점 P에 서의 접선의 기울기는 증가한다.
⑵ 점 P가 점 B에서 점 C 까지 움직일 때, 점 P에 서의 접선의 기울기는 감소한다.
어떤 구간에서 곡선 위의 임의의 서로 다른 두 점 P, Q를 잇는 곡선 부분이 항상 선분 PQ의 아래쪽에 있으면 곡선은 이 구간에서 아래로 볼록(또는 위로 오목)하다 고 하고, 위쪽에 있으면 위로 볼록(또는 아래로 오목)하다고 한다.
곡선의 오목과 볼록
누나, 변곡점이 뭐야?
수학 시간에 들었던 것 같은데….
엄마와의 결혼이 내 인생의 변곡점이었단다.
P 아래로 볼록 Q
P
Q 위로 볼록
이제 이계도함수를 이용하여 곡선 y=f(x)의 오목과 볼록에 대하여 알아보자.
➊ 함수 f(x)가 어떤 구간에서 f "(x)>0이면 f '(x)는 증가하므로 곡선 y=f(x)의 접선의 기울기도 증가한다.
따라서 오른쪽 그림과 같이 곡선 y=f(x)는 이 구간에 서 아래로 볼록(또는 위로 오목)하다.
➋ 함수 f(x)가 어떤 구간에서 f "(x)<0이면 f '(x)는 감소하므로 곡선 y=f(x)의 접선의 기울기도 감소한다.
따라서 오른쪽 그림과 같이 곡선 y=f(x)는 이 구간에 서 위로 볼록(또는 아래로 오목)하다.
f "(x)는 f '(x)의 도함수 이므로 f "(x)의 부호로 f '(x) 의 증가와 감소를 알 수 있다.
y=f(x)
아래로 볼록 f "(x)>0
O x
y
위로 볼록 f "(x)<0
y=f(x)
O x
y
곡선의 오목과 볼록 함수 f(x)가 어떤 구간에서
➊ f "(x)>0이면 곡선 y=f(x)는 이 구간에서 아래로 볼록하다.
➋ f "(x)<0이면 곡선 y=f(x)는 이 구간에서 위로 볼록하다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
예제 곡선 y=xÜ`-x+2의 오목과 볼록을 조사하시오.
| 곡선의 오목과 볼록 조사하기
1
풀이 ▶ f(x)=xÜ`-x+2라 하면 f '(x)=3xÛ`-1, f "(x)=6x f "(x)의 부호를 조사하면 x<0일 때 f "(x)<0
x>0일 때 f "(x)>0
따라서 열린구간 (-¦, 0)에서 위로 볼록하고, 열린구간 (0, ¦)에서 아래로 볼록하다.
풀이 참조
다음 곡선의 오목과 볼록을 조사하시오.
⑴ y=ln x ⑵ y=sin 2x (단, 0<x<p)
1
문제
7 . 함수의 그래프
129
곡선의 모양이 곡선 y=f(x) 위의 점 P(a, f(a))를 경계로 하여 위로 볼록에서 아래로 볼록으로 바뀌거나 아래로 볼록에서 위로 볼록으로 바뀔 때, 점 P를 곡선 y=f(x)의 변곡점이라 한다.
변곡점 P(a, f(a))의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 f "(a)가 존재하면 f "(a)=0이다.
변곡점
변곡점의 판정
함수 f(x)에서 f "(a)=0이고, x=a의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌면 점 (a, f(a))는 곡선 y=f(x)의 변곡점이다.
일반적으로 곡선 y=f(x)의 변곡점은 다음과 같이 판정할 수 있다.
곡선 y=xeÅ` 의 변곡점의 좌표를 구하시오. 곡선 y=xÜ`-3xÛ` 의 변곡점의 좌표를 구하시오.
| 변곡점의 좌표 구하기
예제
2
따라 하기풀이 ▶ f(x)=xeÅ` 이라 하면 f '(x)=(1+x)eÅ`
f "(x)=(2+x)eÅ`
f "(x)=0에서 x=-2이고 x<-2일 때 f "(x)<0 x>-2일 때 f "(x)>0
따라서 변곡점의 좌표는 (-2, -2e-2)
(-2, -2e-2)
풀이 ▶ f(x)=xÜ`-3xÛ` 이라 하면 f '(x)=
f "(x)=
f "(x)=0에서 x= 이고 일 때 f "(x)<0 일 때 f "(x)>0 따라서 변곡점의 좌표는
다음 곡선의 변곡점의 좌표를 구하시오.
⑴ y=xÝ`-2xÜ`+3 ⑵ y=cos x (단, 0<x<2p)
2
문제
변곡점 f(a)
O a
P
x y
y=f(x)
f(a) 변곡점
O a
P
x y
y=f(x)
f "(a)=0이면 점 (a, f(a))에서 항상 변곡점인 가요?
아니요. 예를 들어 f(x)=xÝ`에서 f "(0)=0이지만 x=0의 좌우에서 f "(x)>0이 므로 점 (0, 0)은 곡선 y=f(x) 의 변곡점이 아닙니다.