(1)1 수열의 극한 2 급수

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(1)1 수열의 극한 2 급수. 그리스의 철학자 제논이 제시한 역설인 ‘발이 빠른 영웅인 아킬레스라도 거북이보다 뒤에 서 출발한다면 결코 거북이를 따라잡을 수 없다.’를 어떻게 설명할 수 있을까? 수열의 극한에 서는 양수를 무한 번 더해도 그 합은 유한할 수 있음을 보일 수 있다. 코시는 극한의 개념을 엄밀하게 다루고, 수열의 수렴과 발산을 연구하였다. 오늘날 수열의 극한과 급수는 공학 기 술 개발, 자원 탐사, 정보 통신 기술, 건축물 설계 등 다양한 분야에 활용되고 있다. 출처 우정호, 『학교수학의 교육적 기초』. ●. 제논 (Zenon, B.C. 490~B.C. 425?). BO. 0. O ●. 코시 (Cauchy, A. L., 1789~1857).

(2) 학습 목표. •수열의 극한의 뜻과 성질을 이해하고, 수열의 극한값을 한값을 구할 수 있다. •등비수열의 극한값을 구할 수 있다. •급수의 수렴, 발산의 뜻을 이해하고, 이를 판별할 수 있다. •등비급수의 뜻을 알고, 이를 활용할 수 있다.. 이 단원을 시작하며 나의 학습 계획을 세우고, 학습해 가면서 나만의 포트폴리오를 만들어 보세요.. 학습 계획. 수업 시간 전에 배울 내용을 미리 한번 읽어 봐야겠다.. 포트폴리오. 수학 학습 계획표. 수학 문학 작품집. 프랙털 도형 자료 모음집.

(3) 수열의 극한. 두 거울을 서로 마주 보도록 세워 놓고 그 사이 에서 한쪽 거울을 바라보자. 한쪽 거울 맞은편 거 울에 내 얼굴이 반사되어 나타나고, 그것이 다시 반사되어 맞은편 거울에 나타나면서 얼굴 상이 무 한히 반복되어 나타난다. 이때 거울에 보이는 얼굴 의 크기가 어떻게 변하는지 수열의 극한을 이용하 여 설명할 수 있다.. 준비 학습 ●등차수열과 등비수열 자신 있음 복습 필요. ●함수의 극한 자신 있음 복습 필요. 10 │Ⅰ. 수열의 극한. 1 다음 수열 \BO^의 일반항 BO을 추측하시오. ⑴ ,A,A,A, U. ⑵ ,A,A, , U. ⑶ Å, Å, Å, t, U. ⑷ , Å, Å, t, U. 2 다음 함수의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 극한값을 구하시오. ⑴ MJN Y

(4) . ⑵ MJN Y. ⑶ MJN YAZb Y. ⑷ MJN Y. YAZb. YAZb. YAZb.

(5) 수열의 수렴과 발산 학습 목표 •수열의 수렴, 발산의 뜻을 알고, 이를 판별할 수 있다.. 개념. 1. ᙿᩛᮿᙿಛᯛ௧ྛᨮᯣʳ". 탐구하기. 일반항이 각각 BO. A , COO인 두 수열 \BO^, \CO^에서 O의 값이 , , , U, , U, , U일 때, OA. BO과 CO의 값을 표로 나타내면 다음과 같다.. 두 수열 \BO^, \CO^에서 O의 값이 한없이 커지면 U.. O. . . . U. . U. . U. BO. . Å. Å. U. Å. U. Å. U. CO. . . . U. . U. . U. O의 값이 한없이 커질 때, BO과 CO의 값은 각각 어떻게 변할지 추측해 보자.. 배웠어요!. 수I. 일반항이 BO인 수열을 간 단히 \BO^과 같이 나타 낸다.. 다음 두 수열 \BO^, \CO^에서 O의 값이 한없이 커질 때, 일반항 BO과 CO의 값이 각 각 어떻게 변하는지 알아보자. \BO^: Å, , Ä, , U,. O , U O

(6) . \CO^: , Å, Å, Å, U, [Å]. O. , U. 두 수열 \BO^, \CO^을 그래프로 나타내면 각각 다음과 같다. BO BO . O O

(7) . CO. CO[. O ] . . . . 0. . . . . . O. 0. . . O. . 1. 수열의 극한 │. 11.

(8) 배웠어요!. 수 II. O의 값이 한없이 커지는 것을 기호 b를 사용하여 OAZb로 나타내고 b를 무한대라고 읽는다.. 앞의 그래프에서 O의 값이 한없이 커질 때, 수열 \BO^의 일반항 에 한없이 가까워지고, 수열 \CO^의 일반항 [Å]. O 의 값은 O

(9) . O. 의 값은 에 한없이 가까워짐을. 알 수 있다.. 일반적으로 수열 \BO^에서 O의 값이 한없이 커질 때, 일반항 BO의 값이 일정한 값 =에 한없이 가까워지면 수열 \BO^은 =에 수렴한다고 하고, 이것을 기호로 MJN BO=. OAZb. 배웠어요!. 수 II. 함수 G Y 에서 Y의 값이 한없이 커질 때, G Y 의 값이 일정한 값 -에 한 없이 가까워지면 함수 G Y 는 -에 수렴한다고 하고, 이것을 기호로 MJN AG Y - 또는. 또는 O AZ b일 때 BO AZ = 와 같이 나타낸다. 이때 =를 수열 \BO^의 극한값 또는 극한이라고 한다.. YAZb. YAZb일 때 G Y AZ과 같이 나타낸다. 보기. ⑴ 수열 <. O =은 O 에 수렴하므로 MJN O

(10) OAZb O

(11) . ⑵ 수열 <[Å]. O. O. =은 에 수렴하므로 MJN [Å] OAZb. . 특히, 수열 \BO^에서 모든 자연수 O에 대하여 BOD D는 상수 인 경우, 즉 D, D, D, U, D, U. BO. 인 수열 \BO^은 D에 수렴한다고 하고. BOD. D. MJN BOMJN DD. OAZb. OAZb. 0. . . . . O. 와 같이 나타낸다.. 문제. 1. 다음 수열의 극한값을 조사하시오.. ⑴ , Å, Å, U, MÅ, U ⑶ , Å, Å, U,. 12 │Ⅰ. 수열의 극한. O ,U O. ⑵ , Å, Å, U, MÅ, U . ⑷ , , , U, , U.

(12) 2. 개념. ᙿᩛᮿႃᔗᯛ௧ྛᨮᯣʳ" 다음 두 수열 \BO^, \CO^에서 O의 값이 한없이 커질 때, 일반항 BO과 CO의 값이 각각 어떻게 변하는지 알아보자. \BO^: , , , U, O, U \CO^: , , , U, O, U 두 수열 \BO^, \CO^을 그래프로 나타내면 각각 다음과 같다. BO. CO 0 . BOO. . . O CO. 0. . . . O. . . 위의 그래프에서 O의 값이 한없이 커질 때, 수열 \BO^의 일반항 O의 값은 한없이 커지고, 수열 \CO^의 일반항 O의 값은 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커짐을 알 수 있다. 따라서 두 수열 \BO^, \CO^은 모두 수렴하지 않는다. 이와 같이 어떤 수열이 수렴하지 않을 때, 그 수열은 발산한다고 한다.. 배웠어요!. 수 II. 함수 G Y 에서 Y의 값이 한없이 커질 때, G Y 의 값이 양의 무한대로 발산 하는 것을 기호로 MJN AG Y b 또는. 일반적으로 수열 \BO^에서 O의 값이 한없이 커질 때, 일반항 BO의 값이 한없이 커 지면 수열 \BO^은 양의 무한대로 발산한다고 하고, 이것을 기호로 MJN BOb. OAZb. 또는. O AZb일 때 BO AZb. 와 같이 나타낸다.. YAZb. YAZb일 때 G Y AZb 와 같이 나타낸다.. 또, 수열 \BO^에서 O의 값이 한없이 커질 때, 일반항 BO의 값이 음수이면서 그 절댓 값이 한없이 커지면 수열 \BO^은 음의 무한대로 발산한다고 하고, 이것을 기호로 MJN BOb. OAZb. 또는. O)Zb일 때 BOAZb. 와 같이 나타낸다.. 보기. ⑴ 수열 \O^은 양의 무한대로 발산하므로 MJN Ob OAZb. O. ⑵ 수열 \ ^은 음의 무한대로 발산하므로 MJN O b OAZb. 문제. 2. 다음 수열의 수렴, 발산을 조사하시오.. ⑴ , , , U, O, U. ⑵ , , , U, O, U. 1. 수열의 극한 │. 13.

(13) 발산하는 수열 중에서 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지 않는 수열을 알아 보자. 다음 두 수열 \BO^: , , , , U, O, U \CO^: , , , , U, O@O, U 을 그래프로 나타내면 각각 다음과 같다. BO. CO BO . . 0. . . . . . O. CO @O. 0 . . . . . O. . . . 위의 그래프에서 O의 값이 한없이 커질 때, 수열 \BO^의 일반항 O의 값은 교 대로 과 이 되고, 수열 \CO^의 일반항 O@O의 값은 교대로 음수와 양수가 되면서 그 절댓값이 한없이 커짐을 알 수 있다. 이와 같이 수열이 수렴하지도 않고 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않으 면 그 수열은 진동한다고 한다. 참고. 다음은 모두 진동하는 수열이다. ⑴ BO

(14) O BO 0. O O은 홀수. ⑵ COA O은 짝수. CO. O. 0 . 수열의 수렴과 발산을 정리하면 다음과 같다. 수열 \BO^의 수렴과 발산 MJN BO= 단, =는 실수. 1. 수렴: OAZb MJN BOb 양의 무한대로 발산. OAZb MJN BOb 음의 무한대로 발산. 2. 발산: 9 OAZb 진동. 14 │Ⅰ. 수열의 극한. . . . O.

(15) 예제. 1. 다음 수열의 수렴, 발산을 조사하시오.. ⑵ \

(16) O^. ⑴ \O^ 풀이. B . ⑴ 일반항을 BOO이라고 하면 수열 \BO^은 , , , , U이고,. . 그래프로 나타내면 오른쪽 그림과 같다.. BO. . 따라서 양의 무한대로 발산한다.. 0 O. ⑵ 일반항을 CO

(17) O이라고 하면. CO . 수열 \CO^은 , , , , U이고, 그래프로 나타내면 오른쪽 그림과 같다.. C

(18) . . 따라서 발산한다. 0 O. ⑴ 발산 ⑵ 발산. 문제. 3. 다음 수열의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 극한값을 구하시오.. ⑴ \O^ ⑶

(19). d O. ⑵ \ O@O^ ⑷. d O. 문제 해결. 생각과 표현. 추론. 창의・융합. 의사소통. 수렴하는 수열과 발산하는 수열의 예를 각각 찾고, 찾은 예가 옳은지 친구들과 서로 바꾸어 확인해 보자.. 이 수열은 수렴할까? 발산할까?. 먼저 일반항을 구해 보고 U.. 그래프를 그려서 확인해 볼까?. 1. 수열의 극한 │. 15.

(20) 극한값의 계산 학습 목표 •수열의 극한에 대한 기본 성질을 이해하고, 이를 이용하여 극한값을 구할 수 있다.. 개념. 1. ᙿᩛᮿɠ⧃ᨷ‫⧃ݧ‬ʗᅟᖘḯᮧྛᨮᯣʳ". 탐구하기. 수열 \BO^이 다음과 같을 때, 물음에 답해 보자.. 함수의 극한에 대한 성질이 수열의 극한에서도 성립할까?. \BO^: ., ., ., ., U,

(21) .O, U. 1. OAZb. 2. 수열 \BO^을 적어 보고, MJN BO의 값을 구해 보자.. 3. MJN BO과 MJN BO의 값을 비교해 보자.. MJN BO의 값을 구하고, MJN BO을 계산해 보자. OAZb. OAZb. OAZb. OAZb. 수렴하는 수열의 극한에 대한 기본 성질을 알아보자.. 일반항이 BO

(22) .O, CO

(23) .O인 두 수열 \BO^, \CO^은 각각 \BO^: ., ., ., ., U . \CO^: ., ., ., ., U. 이고, 그 극한값은 각각 MJN BO, MJN CO이므로 OAZb. OAZb. MJN MJ N CO

(24) MMJN MJ N BO

(25)

(26) MJN. UU ㉠. MJN MJ N CO@ MJN BO@ MJN MJ @MJN. UU ㉡. OAZb O Zb b OAZb O Zb. OAZb O Zb OAZb O Zb. 이다. 이때 두 수열의 각 항을 더하여 만든 수열 \BO

(27) CO^은 ., ., ., ., U 이며, 그 극한값은 MJN MJ JN B BO

(28) C

(29) O. . OAZb O Zb. 이다.. 16 │Ⅰ. 수열의 극한. UU ㉢.

(30) ㉠, ㉢으로부터 다음을 알 수 있다. MJN N BO

(31) MJ MJN CO MJN MJN B MJ BO

(32)

(33) CCO . MJ. O Zb. O Zb. O Zb. 또한, 두 수열의 각 항을 곱하여 만든 수열 \BOCO^은 ., ., ., ., U 이며, 그 극한값은 MJN BOCO MJ. O Zb. UU ㉣. 이다. ㉡, ㉣로부터 다음을 알 수 있다. MMJJN BOCO MJN BO@ MJN CO. O Zb. O Zb. O Zb. 일반적으로 수렴하는 수열의 극한에 대하여 다음과 같은 성질이 성립한다. MJN ABO= =는 실수 ,. 수열의 극한에 대한 기본 성질. MJN ACOb일 때. MJN BO=, MJN CO> =, >는 실수 일 때 수열 \BO^, \CO^이 각각 수렴하고 OAZb OAZb. ① =이면. MJN DBOD MJN BOD= 단, D는 상수. 1. OAZb OAZb. OAZb. OAZb. MJN ABOCOb. OAZb. MJN BO

(34) CO MJN BO

(35) MJN CO=

(36) > 2. OAZb OAZb OAZb. ② =이면 MJN ABOCOb. MJN BOCO MJN BOMJN CO=> 3. OAZb OAZb OAZb. OAZb. 임이 알려져 있다.. MJN BOCOMJN BO@MJN CO=> 4. OAZb OAZb OAZb MJN ABO. B = MJN O OAZb 단, CO

(37) , >

(38) . 5. OAZb CO > MJN ACO OAZb. 보기. MJN 이므로 수열의 극한에 대한 기본 성질에 의하여 다음이 성립한다. O. OAZb. ⑴ MJN MJN [ @ ] MJN Å@ O OAZb O OAZb O OAZb ⑵ MJN [ OAZb. 문제. 1. ]MJN A MJN @ O OAZb OAZb O. 다음 극한값을 구하시오.. ⑴ MJN [ OAZb. ] O. ⑶ MJN [ ][

(39) ] O O OAZb. ⑵ MJN. OAZb. [

(40) ] O O. O ⑷ MJN OAZb O

(41). . 1. 수열의 극한 │. 17.

(42) 문제. 2. 두 수열 \BO^, \CO^에 대하여 MJN BO, MJN CO일 때, 다음 극한값을 구하시오. OAZb. OAZb. 단, CO

(43) . ⑴ MJN BO

(44) CO. ⑵ MJN BOCO. ⑶ MJN BOCO. ⑷ MJN. OAZb. OAZb. OAZb. BO CO. OAZb. 수열의 극한에 대한 기본 성질을 이용하여 복잡한 수열을 간단한 수열의 합, 차, 곱, 몫으로 고쳐서 수열의 극한값을 구할 수 있다.. 예제. 1. 다음 극한값을 구하시오.. ⑴ MJN. OAZb. 분모에서 차수가 가장 큰 항으로 분모, 분자를 각각 나눈다.. 풀이. O O

(45) . ⑵ MJN ÃO

(46) ÂOO. OAZb. ⑴ 분모에서 차수가 가장 큰 항 O으로 분모, 분자를 각각 나누면 O MJN MJN OAZb O

(47) OAZb . MJN [ ] MJN MJN OAZb OAZb OAZb O O O MJN

(48) MJN MJN [

(49) ]

(50) OAZb OAZb OAZb O O O .

(51) . ⑵ 분모를 로 생각하고 분모, 분자에 각각 ÃO

(52) ÂO

(53) O을 곱하여 분자를 유리화하면. 분모를 로 생각하고 분자 를 유리화한다.. MJN ÃO

(54) ÂOO MJN. OAZb. ÃO

(55) ÂOO ÃO

(56) ÂO

(57) O. ÃO

(58) ÂO

(59) O. OAZb. MJN. OAZb. MJN. OAZb. . O

(60) O O ÃO

(61) ÂO

(62) O. MJN. OAZb. O ÃO

(63) ÂO

(64) O MJN .

(65)

(66) O. . OAZb. MJN

(67)

(68) MJN O OAZb. OAZb. Å

(69) ⑴ ⑵ Å. 문제. 3. 다음 극한값을 구하시오.. ⑴ MJN. OAZb. O O

(70) . ⑶ MJN O

(71) O. OAZb. 18 │Ⅰ. 수열의 극한. ⑵ MJN. O O

(72) . ⑷ MJN. ÃO

(73) OO. OAZb. OAZb.

(74) 2. 개념. ᙿᩛᮿɠ⧃ᨷᖃ‫ݧ‬ᗳŧī‫ۻ‬ᨛਇ⧇ʳ" 수렴하는 수열의 극한에서는 다음과 같은 대소 관계가 성립한다. 수열의 극한의 대소 관계 수열 \BO^, \CO^이 각각 수렴하고 MJN BO=, MJN CO> =, >는 실수 일 때 OAZb. OAZb. 1. 모든 자연수 O에 대하여 BOCO이면 => 2. 수열 \DO^이 모든 자연수 O에 대하여 BODOCO이고 =>이면 MJN DO=. OAZb. 참고. MJN BOMJN CO인 경우도 있다. 1에서 모든 자연수 O에 대하여 BOCO이지만 OAZb OAZb 예를 들어 BOMÅ, COM 이면 모든 자연수 O에 대하여 BOCO이지만 MJN BOMJN CO OAZb. OAZb. 마찬가지로 2에서도 BOMÅ, COMÄ , DOM 이면 모든 자연수 O에 대하여 BODOCO이지만 MJN BOMJN COMJN DO OAZb. OAZb. OAZb. 예제. 2. 수열 \BO^이 모든 자연수 O에 대하여. O O

(75) 를 만족시킬 때, BO O

(76) O

(77) . MJN BO의 값을 구하시오.. O)Zb. 풀이. 모든 자연수 O에 대하여 MJN. OAZb. O O

(78) 이고 BO O

(79) O

(80) . O O

(81) , MJN O

(82) OAZb O

(83) . 이므로 수열의 극한의 대소 관계에 따라 MJN BO. . OAZb. 문제. 문제. 4. 수열 \BO^이 모든 자연수 O에 대하여 다음을 만족시킬 때, MJN BO의 값을 구하시오.. 5. 수열 \BO^이 모든 자연수 O에 대하여 다음을 만족시킬 때, MJN OBO의 값을 구하시오.. OAZb. O

(84) OOBOO

(85) O. OAZb. BO O

(86) O. 1. 수열의 극한 │. 19.

(87) 공학 도구. 수학 들여다 보기. 하. ᙿᩛᮿɠ⧃y⪼ᯟ⦿ʗ. 수열 <. 활동 ❶. 개념 탐구 중. 난이도. OO

(88) =의 극한값을 구해 보고, 컴퓨터 프로그램을 사용하여 확인해 보자. O

(89) O. 수열의 극한값 구하기 분모에서 차수가 가장 큰 항 O으로 분모, 분자를 각각 나누면 OO

(90) MJN MJN OAZb OAZb O

(91) O. 활동 ❷.

(92) O OA

(93) O. . 스프레드시트로 수열의 극한값 확인하기 일반항을 BO. OO

(94) 이라고 하고, 수열 \BO^의 값과 그래프를 확인해 보자. O

(95) O. ❶ A열에 , , , U, , U을, #셀에. ❷ ‘채우기 핸들’을 이용하여 #셀을. ‘=(2*A1^2-A1+1)/(A1^2+4*A1)’ 을. 아래로 끌면 수열 \BO^에서. 입력하면 B의 값이 나타난다.. B, B, B, U, B, U의 값이 나타난다.. ❸ 메뉴에서 ‘표식이 있는 꺾은선형’ 그래프를 선택하면 수열 \BO^의 그래프가 그려진다.. ❹ 이 그래프에서 O의 값이 커질수록 BO의 값은 에 가까워진다. 즉, MJN BO임을 확인할 OAZb. 수 있다.. 탐구. 20 │Ⅰ. 수열의 극한. 수열 <. O

(96) O =의 극한값을 구해 보고, 컴퓨터 프로그램을 사용하여 확인해 보자. OO

(97) . 상.

(98) 등비수열의 극한 학습 목표 •등비수열의 극한값을 구할 수 있다.. 개념. 1. क़ካᙿᩛᮿɠ⧃yᮧᨛਢóǓ⧇ʳ". 생각 열기. 어느 전자 제품의 배터리는 처음에 시간 동안 사용이 가능하지만, 재충전할 때마다 사용 시간이 씩 줄어든다고 한다. 이 배터리를 한없이 재충전하면 사용 시간은 어떻게 변할지 생각해 보자.. @yf @[yf]A U. U 등비수열 \SO^은 첫째항이 S, 공비가 S이다.. 배웠어요!. 수I. I일 때, Oy인 모든 자연수 O에서 부등식

(99) I O

(100) OI 가 성립함은 수학적 귀납법 으로 증명할 수 있다.. 등비수열 \S O^의 수렴, 발산을 공비 S의 값에 따라 알아보자. S일 때, S

(101) I I 라고 하면 S O

(102) I O

(103) OI Oy. 이다. 이때 MJN

(104) OI b이므로 OAZb. MJN S Ob. OAZb. . 이다. 즉, 수열 \S O^은 양의 무한대로 발산한다. BOCO일 때, MJN COb이면 OAZAb. MJN BOb이다.. OAZAb. S일 때, 수열 \S O^의 모든 항이 이므로 MJN S OMJN . OAZb. OAZb. 이다. 즉, 수열 \S O^은 에 수렴한다.. 1. 수열의 극한 │. 21.

(105) S일 S S 일때 ① S이면, 수열의 모든 항이 이므로 MJN S O이다. OAZb. ② S

(106) 이면, MJN. BO일 때, MJN b O Zb BO. OAZb. 이므로 에 의하여 ]S] MJN [ ]OAb ]S O] OAZb ]S]. 이다. 따라서 MJN ]S O]이므로 OAZb. 1 MJN BO O Zb. O. MJN S . OAZb. 에 에 수렴 수렴한다. 렴 즉, 수열 \S O^은 SS일 일 일 때 ① S이면, 수열 \S O^은 , , , , U이므로 발산한다. 발산 발산한 발산 산한 한 ② S이면, ]S]이므로 에 의하여 MJN ]S O]MJN ]S]Ob. OAZb. OAZb. . 이다. 이때 S O의 값은 O의 값이 한없이 커질 때, 교대로 음수와 양수가 되면서 발산한 발산한 발산 그 절댓값이 한없이 커지므로 수열 \S O^은 발산한다.. 위의 내용을 정리하면 다음과 같다.. 등비수열 \S O^의 수렴과 발산. 등비수열 \S O^이 수렴한다. 1 S. O MJN S b 1. S일 때, OAZb. 발산. O MJN S 2. S일 때, OAZb. 수렴. O MJN S 3. S일 때, OAZb. 수렴. O 4. S일 때, 수열 \S ^은 발산한다. 발산. 보기. ⑴ 등비수열 <[Å]OA=은 공비가 Å이고, Å이므로 에 수렴한다. ⑵ 등비수열 \O^은 공비가 이고, 이므로 발산한다.. 문제. 22 │Ⅰ. 수열의 극한. 1. 다음 수열의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 극한값을 구하시오.. ⑴ <[]OA =. ⑵ \.O^. ⑶ \ . O^. ⑷ \ O^.

(107) 예제. 1. 수열 <. 풀이. O

(108) =의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 극한값을 구하시오. O

(109) . 분모, 분자를 각각 O으로 나누면 MJN. OAZb. O

(110) MJN O

(111) OAZb. @[]OA

(112) [Å]OA. MJN []OA OAZb. . MJN

(113) MJN [Å]OA. OAZb. 따라서 수열 <. OAZb. @

(114) . O

(115) =은 수렴하고, 그 극한값은 이다. O

(116) 수렴, . 문제. 2. 다음 수열의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 극한값을 구하시오.. ⑴<. O = O

(117) . ⑵<. 문제 해결. 생각과 표현. 지아는 오른쪽과 같이 S일 때, 수열 <. 추론. 창의・융합. 의사소통. SO =의

(118) S O. 수렴, 발산을 조사하였다. 지아의 풀이에서 잘못된 부분을 말하고, 바른 풀이를 완성해 보자.. O

(119) O = OO

(120) . O MJN S b ᑐწ MJN . OAZb. MJN . OAZb. OAZb. SO. SO MJN

(121) SO OAZb

(122) O S. 1. 수열의 극한 │. 23.

(123) 자신감을 키우는. 수열의 극한. 바탕 다지기 1 수열 \BO^의 수렴과 발산. 01. ⑴ 수렴: MJN BO= 단, =는 실수. OAZb. 다음 수열의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 극한값을 구하시오.. ⑵ 발산. O ,U O. )AMJN BOb 양의 무한대로 발산. ⑴ , Ä, , , U,. )AMJN BOb 음의 무한대로 발산. ⑵ , , , , U,

(124) O, U. OAZb. OAZb. ⑶ , , , , U, , U. )A진동. ⑷ , , , , U, O

(125) , U 2 수열의 극한에 대한 기본 성질. 수열 \BO^, \CO^이 각각 수렴하고 MJN BO=, OAZb. MJN CO> =, >는 실수 일 때. 02. OAZb. MJN CO일 때, 다음 극한값을 구하시오.. OAZb. ⑴ MJN BO

(126) CO. OAZAb. ⑵ MJN BO

(127) CO MJN BO

(128) MJN CO=

(129) > OAZb. OAZb. OAZb. OAZb. ⑴ MJN DBOD MJN BOD= 단, D는 상수. OAZb. 두 수열 \BO^, \CO^에 대하여 MJN BO,. ⑵ MJN BOCO. OAZAb. OAZb. ⑶ MJN BOCO MJN BOMJN CO=> OAZb. OAZb. OAZb. ⑷ MJN BOCOMJN BO@MJN CO=> OAZb. OAZb. 03. OAZb. MJN BO. ⑸ MJN. OAZb. 다음 수열의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 극한값을 구하시오.. BO = OAZb 단, CO

(130) , >

(131) . > CO MJN CO OAZb. ⑴<. O

(132) = O. ⑵<. = O

(133) O. 3 수열의 극한의 대소 관계. 수열 \BO^, \CO^이 각각 수렴하고 MJN BO=, OAZb. 04. MJN CO> =, >는 실수 일 때. OAZb. 족시킬 때, MJN BO의 값을 구하시오.. ⑴ 모든 자연수 O에 대하여 BOCO이면 =>. OAZb. ⑵ 수열 \DO^이 모든 자연수 O에 대하여 BODOCO. OO O BO O

(134) O

(135) . 이고 =>이면 MJN DO= OAZb. 4 등비수열 \S ^의 수렴과 발산. 수열 \BO^이 모든 자연수 O에 대하여 다음을 만. O. ⑴ S일 때, MJN S Ob. 발산. ⑵ S일 때, MJN S O. 수렴. OAZb. OAZb. O. ⑶ S일 때, MJN S OAZb. 수렴. ⑷ S일 때, 수열 \S O^은 발산한다. 발산. 24 │Ⅰ. 수열의 극한. 05. 다음 수열의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 극한값을 구하시오. ⑴ <[Å]. O. =. ⑵ \ O^.

(136) 정답 및 해설 175쪽. 10. 기본 익히기. 06. MJN \Ã O

(137) O> BO

(138) C ^가 성립할. OAZb. 때, 상수 B, C의 값을 각각 구하시오. (단, B). B 수렴하는 수열 \BO^에 대하여 MJN O OAZb BO

(139) 일 때, MJN BO의 값을 구하시오. OAZb. 11. 수열 \BO^이 모든 자연수 O에 대하여 B 을 만족시킬 때, O O

(140) O

(141) O

(142) MJN BO의 값을 구하시오.. OAZb. 07. 08. O

(143) O. 의 값을 구하시오. MJN O . OAZb. 12. O

(144) O 의 값을 구하시오. MJN O OAZb O. 13. 다음 그림과 같이 넓이가 인 정삼각형에서 각. BO

(145) CO 등식 MJN 가 성립할 때, 상수 O OAZb B, C의 값을 각각 구하시오. 변의 중점을 연결하여 만든 개의 작은 정삼각 형 중 가운데 있는 정삼각형을 제거하고 개의 정삼각형만 남겼다. 남아 있는 각각의 정삼각형 에 대하여 같은 과정을 반복하여 〈O 단계〉에서 남아 있는 정삼각형의 넓이의 총합을 BO이라고 할 때, MJN BO의 값을 구하시오. OAZb. 09. 두 수열 \BO^, \CO^에 대하여 MJN BO, MJN BOCO . OAZb. …. OAZb. B C 일 때, MJN O O 의 값을 구하시오. OAZb BO

(146) CO. <단계>. <단계>. <단계>. 확인 학습 문제 │. 25.

(147) 자신감을 키우는. 14. 정답 및 해설 175쪽. YO

(148) 에서 O이 자연수일 때, 함수 G Y MJN O OAZb Y

(149) . 17. 두 수열 \BO^, \CO^에 대하여 MJN BOb, MJN COBO . OAZb. G

(150) G [Å]

(151) G 의 값을 구하시오.. 일 때, MJN [ OAZb. 15. 다음은 첫째항이 , 공비가 인 등비수열 \BO^에 B

(152) B

(153) B

(154) U

(155) BO 의 값을 구하는 서 MJN BO

(156) BO

(157) OAZb. OAZb. . 18. CO B O ]의 값을 구하시오. BO CO. 수열 \BO^이 모든 자연수 O에 대하여 OBOO

(158) 을 만족시킨다.. 과정이다. ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 각각 써넣으. 4OB

(159) B

(160) B

(161) U

(162) BO이라고 할 때,. 시오.. O MJN 의 값을 구하시오. OAZb 4O. 등비수열 \BO^의 첫째항이 , 공비가 이 므로 BO ㈎ , BO

(163) @O B

(164) B

(165) B

(166) U

(167) BO ㈏ MJN. OAZb. B

(168) B

(169) B

(170) U

(171) BO BO

(172) BO

(173) . MJN. OAZb. ㈏㈎

(174) @O. ㈐. 생각 톡!톡!. 19. 다음 대화에서 수열의 극한에 대해 잘못 설명한 사람을 찾고, 그 이유를 예를 들어 설명해 보자. (단, =는 실수) MJN BO=이면 OZb. MJN BO=이면. MJN BOMJN BO=야. OZb. OZb. OZb. MJN BO

(175) MJN BO

(176) =야. OZb. 실력 키우기. 16. 수열 <[. Y ]OA=이 수렴하도록 하는 정수 Y의 . 값을 모두 구하시오.. 26 │Ⅰ. 수열의 극한. OZb. MJN BO=이면 OZb. MJN BO=야. OZb.

(177) ●수학을 소재로 한 문학. 생각을 넓히는 수학. MJN. OAZAb. 창의. 융합. 문학에는 글쓴이의 감정과 생각이 담겨 있다. 다음은 수학시간에 배운 내용을 소재로 하여 쓴 짧은 글이다.. O. न†᭰ῐ MJN Ob┨ႌ‫ۀ‬ᣬ‌ Ҭᥭ‫ۈ‬ොቘ୴. ῐन†᭰ հ. OAZAb. O ⸵ⷨତᏄⷬஐତὀ↌ ୴. ⛬‫׼‬Ốⷸ‫ⷨݨ‬Ṽ. ὀ↌᨝Ῠनତῌწ᪨Ⴤⷰቜ⤌‡ῌ୘. ‫ۀ‬᣸῔Ꮔⷬஐწቜ൴հ. ՈᨠⷨհՈ⹘ⷬ᥆῔᥄ᷔҐհ†ⷬ୴. ⛬‫׼‬ṠԜତ MJN. OAZAb. ┨ႌᬼ⶘‌ Ҭᥭ‫ۈ‬ොቘ୴ O. ⛬‫׼‬ỐनઔṄ ᬼⶤ ṠҐۜ὜≐Ԝⷨ†. 출처 김상룡, 『내 마음 속의 수학풍경』. 탐구. 이번 단원에서 배운 내용을 소재로 하여 나의 감정이나 생각을 짧은 글로 표현해 보자.. 친구들이 쓴 글을 게시판에 붙여 놓고, 마음에 드는 것을 골라 다음 빈칸에 기록해 보자. 글 제목:. 이름:. 글의 주제: 느낀 점:. 생각을 넓히는 수학 │. 27.

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