Chapter 4. 적분
이문배
건국대학교 수학과
Chapter 4. 적분
Contents
4.2 정적분
4.3 미분적분학의 기본정리
4.4 부정적분과 순변환정리
4.5 치환법
Definition (정적분)
함수 f 가 구간 a ≤ x ≤ b 위에서 정의되어 있을 때, 구간 [a, b]를 동일한 폭
∆x = (b–a)/n을 갖는 n개의 부분 구간들로 분할하자. 이들 부분구간들의 끝점들을 x0(= a), x1, x2, · · · , xn(= b)로 놓자. 이 부분구간들에서 표본점 x∗1, x∗2, . . . ., x∗n를임의로 선택하자. 만약 오른쪽 식의 극한이 존재하면 a 로부터 b까지 f 의정적분은
Zb a
f (x) dx = lim
n→∞
n
X
i=1
f (xi∗
)∆x
이고 f 는 [a, b]에서적분 가능하다고 말한다.
▶ f (x) : 피적분함수
▶ a, b : 적분 영역의 끝값 또는 적분의 한계
▶ dx : 변수 x는 적분값에 영향을 미치지 못함
▶
Z b a
f (x)dx = Z b
a
f (t)dt = Zb
a
f (r)dr
Chapter 4. 적분 4.2 정적분
다음 합
n
X
i=1
f (xi∗
)∆x 을Riemann 의 부분합이라 한다.
만약 f 가 양 또는 음수값을 가질 때 Riemann 합은 x−축 위쪽 부분의 면적에 x−축 아래쪽 부분의 면적을 뺀 것이다.
정적분은 다음 두 영역의 차이로 이해할 수 있다.
Z b a
f (x) dx = A1− A2
▶ A1: x−축 윗 부분의 영역
▶ A2: x−축아래 부분의 영역
앞의 정의에서 구간 [a, b]를 동일하게 나눈 사각형들의 극한으로 적분을 정의하였으나, 균등분할을 하지 않아도 된다
Chapter 4. 적분 4.2 정적분
Theorem
함수 f 가 구간 [a, b]에서 연속이거나 유한개의 불연속점을 가지면 f 가 구간 [a, b]에서 적분가능하다. 즉, 정적분
Z b a
f (x) dx 가 존재한다.
Theorem
구간 [a, b]에서 f 가 적분가능이면, Z b
a
f (x) dx = lim
n→∞
n
X
i=1
f (xi) ∆x
단,
∆x =b − a
n and xi= a + i ∆x
복습 Xn
i=1
i = n(n + 1) 2
n
X
i=1
i2= n(n + 1)(2n + 1) 6
n
X
i=1
i3= n(n + 1) 2
2
Example 적분
Z 3 0
(x3− 6x)dx은 두 영역의 차이 A1–A2로이해할 수 있다.
Chapter 4. 적분 4.2 정적분
Z 3 0
(x3− 6x)dx = lim
n→∞
n
X
i=1
f (xi)∆x = lim
n→∞
n
X
i=1
f 3i n
3 n
= lim
n→∞
3 n
n
X
i=1
"
3i n
3
− 6 3i n
#
= lim
n→∞
3 n
n
X
i=1
27 n3i3−18
ni
= lim
n→∞
"
81 n4
n
X
i=1
i3−54 n2
n
X
i=1
i
#
= lim
n→∞
(81 n4
n(n + 1) 2
2
−54 n2
n(n + 1) 2
)
= lim
n→∞
"
81 4
1 + 1
n
2
− 27
1 +1
n
#
= 81
4 − 27 = −27
4 = −6.75
Theorem (적분의 성질) 1.
Z b a
f (x) dx = − Z a
b
f (x) dx, Z a
a
f (x) dx = 0
2.
Z b a
c dx = c(b − a), c는 임의의 상수
3.
Z b a
[f (x) ± g(x)] dx = Z b
a
f (x) dx ± Z b
a
g(x) dx
4.
Z b a
cf (x) dx = c Z b
a
f (x) dx, c는 임의의 상수
5. 만일 a ≤ x ≤ b인 x에 대하여 f (x) ≥ 0이면, Z b
a
f (x) dx ≥ 0
6. 만일 a ≤ x ≤ b인 x에 대하여 f (x) ≥ g(x)이면, Z b
a
f (x) dx ≥ Z b
a
g(x) dx 7. 만일 a ≤ x ≤ b인 x에 대하여 m ≤ f (x) ≤ M 이면,
m(b − a) ≤ Zb
a
f (x) dx ≤M (b − a)
Chapter 4. 적분 4.3 미분적분학의 기본정리
미적분학의 기본정리는 미분적분학의 두 분야 : 미분학과 적분학 사이의 연관성을 확립하고 있다. 미분학은 접선문제로부터 탄생하였으며, 그 반면에 적분학은 면적 문제로부터 탄생하였다.
Remark
f (x) ≥ 0를 만족하는 임의의 연속함수 f 를 생각하자. 그러면 g(x) =
Zx a
f (t) dt 는 a부터 x까지 함수 f 의 그래프 아래에 있는 영역의 면적이다.
매우 작은 h에 대하여, 아래 그림의 빗금 쳐진 영역의 크기는 g(x + h) − g(x) ≈ hf (x)
따라서,
g(x + h) − g(x) h ≈ f (x)
Theorem (미적분학의 기본정리 1) 만일 함수 f 가 구간 [a, b] 위에서 연속이면,
g(x) = Z x
a
f (t) dt, a ≤ x ≤ b
에 의하여 정의된 함수 g는 구간 [a, b] 위에서 연속이고 구간 (a, b) 위에서 미분가능하며, g′(x) = f (x)이다.
증명.
Chapter 4. 적분 4.3 미분적분학의 기본정리
Example 함수 g(x) =
Z x 0
p1 + t2dt의 도함수를 구하여라.
풀이.
Example d dx
Z x4 1
sec tdt를 계산하여라.
풀이.
Theorem (미적분학의 기본정리 2) 만일 함수 f 가 구간 [a, b] 위에서 연속이면,
Z b a
f (x) dx = F (b) − F (a)
여기서 F 는 임의의 f 의 역도함수(antiderivative), 즉 F′= f 를 만족하는 함수이다.
증명.
Chapter 4. 적분 4.3 미분적분학의 기본정리
Example
다음의 계산에서 무엇이 잘못되었는가?
Z 3
−1
1
x2dx =hx−1
−1 i3
−1= −1
3− 1 = −4 3 풀이.
Theorem (미적분학의 기본정리)
함수 f 가 구간 [a, b] 위에서 연속이라고 가정하자.
1. 만일 g(x) = Z x
a
f (t) dt이면 g′(x) = f (x) 이다.
2.
Z b a
f (x) dx = F (b) − F (a), 여기에서 F 는 임의의 f 의 역도함수이다.
부정적분의 표 Z
cf (x) dx = c Z
f (x) dx Z
[f (x) + g(x)] dx = Z
f (x) dx + Z
g(x) dx Z
k dx = kx + C
Z
xndx = xn+1
n + 1+ C (n ̸= −1) Z
sin x dx = − cos x + C Z
cos x dx = sin x + C Z
sec2x dx = tan x + C Z
csc2x dx = − cot x + C Z
sec x tan x dx = sec x + C Z
csc x cot x dx = − csc x + C
Chapter 4. 적분 4.5 치환법
치환법칙
만약 u = g(x)가 미분가능한 함수이고, 그의 치역이 구간 I이며 f 가 I위에서 연속함수이면,
Z
f (g(x))g′(x)dx = Z
f (u)du 이다.
치환법칙은연쇄법칙 d
dx[F (g(x))] = F′(g(x))g′(x)
에 의하여 얻어진다. 변수변환을 하면 즉, ‘치환’ u = g(x)을 이용한다면, Z
F′(g(x))g′(x) dx = F (g(x)) + C = F (u) + C
= Z
F′(u) du F′= f 로 표기함으로써 위의 치환법칙을 얻을 수 있다.
Example Z
x3cos(x4+ 2)dx를 구하여라.
풀이.
Example
Z x
√1 − 4x2dx를 구하여라.
풀이.
Chapter 4. 적분 4.5 치환법
정적분에 대한 치환법칙
만익 g′이 구간 [a, b]에서 연속함수이고, f 가 u = g(x)의 치역 위에서 연속함수이면
Z b a
f (g(x))g′(x)dx = Z g(b)
g(a)
f (u)du 이다.
증명. 함수 F 를 f 의 역도함수라하자. 그러면, F (g(x))는 f (g(x))g′(x)의 역도함수이며, 따라서 미적분학의 기본정리 2에 의해
Zb a
f (g(x))g′(x)dx = F (g(x))ib a
= F (g(b)) − F (g(a)) 이다. 그러나 미적분학의 기본정리 2 를 다시 적용함으로써
Z g(b) g(a)
f (u) du = F (u) ig(b)
g(a)= F (g(b)) − F (g(a)) 를 얻는다.
Example Z2
1
dx
(3 − 5x)2를 계산하여라.
풀이.
Chapter 4. 적분 4.5 치환법
대칭함수의 적분
f 가 구간 [–a, a]위에서 연속함수라고 가정하자.
1. 만일 f 가 우함수 [f (–x) = f (x)]이면, Z a
−a
f (x) dx = 2 Z a
0
f (x) dx 2. 만일 f 가 기함수 [f (–x) = −f (x)]이면,
Z a
−a
f (x) dx = 0
