제10장

(1)

제10장

지수함수와 로그함수

제10장

지수함수와

로그함수

(2)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 지수함수와 로그함수 u 지수함수와 로그함수

è 개요(introduction)

- 앞 장에서는 다항함수 또는 유리함수에서 하나의 선택 변수를 갖는 경우 극값의 문제 해결에 중점

- 본 장에서는 이러한 논리를 지수함수나 로그함수에 적용함.

- 지수함수와 로그함수는 경제학에서 광범위하게 응용됨 (특히, 경제성장 문제, 동태분석 등).

- 여기서는 선택변수가 시간(time)이 되는 최적화문제를 다루는데 응용됨.

è 개요(introduction)

- 앞 장에서는 다항함수 또는 유리함수에서 하나의 선택 변수를 갖는 경우 극값의 문제 해결에 중점

- 본 장에서는 이러한 논리를 지수함수나 로그함수에 적용함.

- 지수함수와 로그함수는 경제학에서 광범위하게 응용됨 (특히, 경제성장 문제, 동태분석 등).

- 여기서는 선택변수가 시간(time)이 되는 최적화문제를 다루는데 응용됨.

(3)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 지수함수의 성질 u 지수함수의 성질

è 지수함수의 성질(the nature of exponential function) - 지수(exponent)는 변수가 거듭제곱될 때 그 멱(the power)을

나타내는 지표임.

- 일반적으로 멱이 x³, x⁵에서 지수는 상수(constant)임.

- 그러나 멱이 3^x, 3^t과 같이 가변적인 지수, 즉 3은 가변 적인 멱에 의해서 거듭제곱됨.

- 이처럼 함수의 독립변수가 지수의 역할을 하는 함수를 지수함수(exponential function)라고 함.

- 즉, 지수가 상수가 아닌 변수인 경우를 지수함수라 함. è 지수함수의 성질(the nature of exponential function)

- 지수(exponent)는 변수가 거듭제곱될 때 그 멱(the power)을 나타내는 지표임.

- 일반적으로 멱이 x³, x⁵에서 지수는 상수(constant)임.

- 그러나 멱이 3^x, 3^t과 같이 가변적인 지수, 즉 3은 가변 적인 멱에 의해서 거듭제곱됨.

- 이처럼 함수의 독립변수가 지수의 역할을 하는 함수를 지수함수(exponential function)라고 함.

- 즉, 지수가 상수가 아닌 변수인 경우를 지수함수라 함.

(4)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 지수함수의 성질 u 지수함수의 성질

è 지수함수의 성질(the nature of exponential function) - 지수함수는 간단히 다음의 형태로 표시할 수 있음.

y=f(t)=b^t (단, b>1, b¹0)

여기서 y와 t는 각각 종속변수와 독립변수, b는 밑수 (base), t를 지수(exponent)라고 함.

- 그런데 왜 b>1이라는 제약을 가하는가?

⑴ 만약 b가 음이면(b<0) 예를 들어 b^1/2은 음수의

제곱근을 취하게 됨. 따라서 이러한 문제를 다루는 것은 복잡하고 어려움.

è 지수함수의 성질(the nature of exponential function) - 지수함수는 간단히 다음의 형태로 표시할 수 있음.

y=f(t)=b^t (단, b>1, b¹0)

여기서 y와 t는 각각 종속변수와 독립변수, b는 밑수 (base), t를 지수(exponent)라고 함.

- 그런데 왜 b>1이라는 제약을 가하는가?

⑴ 만약 b가 음이면(b<0) 예를 들어 b^1/2은 음수의

제곱근을 취하게 됨. 따라서 이러한 문제를 다루는 것은 복잡하고 어려움.

(5)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 지수함수의 성질 u 지수함수의 성질

è 지수함수의 성질(the nature of exponential function)

⑵ 만약 0<b<1이면 예를 들어 다음과 같다면 y=(1/5)^t=1/(5^t)=5^-t

즉, 밑수가 1보다 작은 함수인 경우는 밑수가 1보다 큰 함수로 다시 변환할 수 있음.

⑶ 만약 b=1이면 y=1^t=1이므로 사실상 지수함수는 상수함수가 됨.

- 따라서 지수함수는 b>1이라는 제약이 필요함.

⑵ 만약 0<b<1이면 예를 들어 다음과 같다면 y=(1/5)^t=1/(5^t)=5^-t

즉, 밑수가 1보다 작은 함수인 경우는 밑수가 1보다 큰 함수로 다시 변환할 수 있음.

⑶ 만약 b=1이면 y=1^t=1이므로 사실상 지수함수는 상수함수가 됨.

- 따라서 지수함수는 b>1이라는 제약이 필요함.

(6)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 지수함수의 성질 u 지수함수의 성질

è 지수함수의 성질(the nature of exponential function) è 지수함수의 성질(the nature of exponential function)

y=b^t(0<b<1) y

0 t

1

y=b^t(b>1)

(7)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 지수함수의 성질 u 지수함수의 성질

è 지수함수의 성질(the nature of exponential function) - 지수함수의 graph는 일반적으로 [그림 10.1]과 같은

곡선형태로 나타남(여기서는 b=2인 경우임).

- 앞에서 지수함수는 b>1이므로 항상 증가하는 형태임.

- 그러나 0<b<1이면 지수함수는 항상 감소하는 형태임.

지수함수 graph의 세 가지 특징(salient features)

⑴ 지수함수의 graph는 모든 점에서 연속이며 매끄러움.

따라서 모든 점에서 미분이 가능함.

è 지수함수의 성질(the nature of exponential function) - 지수함수의 graph는 일반적으로 [그림 10.1]과 같은

곡선형태로 나타남(여기서는 b=2인 경우임).

- 앞에서 지수함수는 b>1이므로 항상 증가하는 형태임.

- 그러나 0<b<1이면 지수함수는 항상 감소하는 형태임.

지수함수 graph의 세 가지 특징(salient features)

⑴ 지수함수의 graph는 모든 점에서 연속이며 매끄러움.

따라서 모든 점에서 미분이 가능함.

(8)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 지수함수의 성질 u 지수함수의 성질

⑵ 지수함수의 graph는 강증가하고 사실상 y는 모든 영역에서 기울기는 체증함.

⑶ 지수함수의 정의역이 양수뿐만 아니라 음수라도, 즉 독립변수 t의 부호에 관계없이 종속변수 y의 값은 항상 양(+)임[정의역은 (-¥, ¥), 치역은 (0, ¥)].

⑵ 지수함수의 graph는 강증가하고 사실상 y는 모든 영역에서 기울기는 체증함.

⑶ 지수함수의 정의역이 양수뿐만 아니라 음수라도, 즉 독립변수 t의 부호에 관계없이 종속변수 y의 값은 항상 양(+)임[정의역은 (-¥, ¥), 치역은 (0, ¥)].

(9)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 지수함수의 성질 u 지수함수의 성질

è 지수함수의 성질(the nature of exponential function) è 지수함수의 성질(the nature of exponential function)

(10)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 지수함수의 성질 u 지수함수의 성질

è 지수함수가 강단조성을 갖는다는 의미

⑴ 지수함수는 반드시 역함수를 가지며, 그 역함수 역시 강단조성을 가짐.

지수함수의 역함수는 로그함수(logarithmic function)임.

⑵ 강단조성은 주어진 y의 값에 대해 유일한 t값이 존재한다는 것을 의미하고, 또 지수함수의 치역은 개구간 (0, ¥)이기 때문에 어떤 양수라도 1보다 큰 밑수 b의 유일한 멱으로 나타낼 수 있음.

è 지수함수가 강단조성을 갖는다는 의미

⑴ 지수함수는 반드시 역함수를 가지며, 그 역함수 역시 강단조성을 가짐.

지수함수의 역함수는 로그함수(logarithmic function)임.

⑵ 강단조성은 주어진 y의 값에 대해 유일한 t값이 존재한다는 것을 의미하고, 또 지수함수의 치역은 개구간 (0, ¥)이기 때문에 어떤 양수라도 1보다 큰 밑수 b의 유일한 멱으로 나타낼 수 있음.

(11)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 지수함수의 성질 u 지수함수의 성질

è 일반화된 지수함수(generalized exponential function) - 밑수변환(base conversion)

예를 들어 함수 y=9^t의 경우 이것을 y=(3²)^t=3^2t으로 변형이 가능함.

그러나 밑수변환이 반드시 새로운 형태의 함수를 만들어내는 것은 아님.

왜냐하면 w=2t로 놓으면 y=3^2t=3^w은 여전히 앞의 그림 형태와 같음.

è 일반화된 지수함수(generalized exponential function) - 밑수변환(base conversion)

예를 들어 함수 y=9^t의 경우 이것을 y=(3²)^t=3^2t으로 변형이 가능함.

그러나 밑수변환이 반드시 새로운 형태의 함수를 만들어내는 것은 아님.

왜냐하면 w=2t로 놓으면 y=3^2t=3^w은 여전히 앞의 그림 형태와 같음.

(12)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 지수함수의 성질 u 지수함수의 성질

è 일반화된 지수함수(generalized exponential function) 그러나 한 함수 y=f(t)=b^t이고, 다른 함수 y=g(t)=b^2t 이면 두 함수의 밑수가 같기 때문에 함수 g에 임의의 값 t=t₀를 주고, 함수 f에 t=2t₀를 주면 두 함수의 값은 반드시 같아야 함: f(2t₀)=g(t₀)=b =y₀

è 일반화된 지수함수(generalized exponential function) 그러나 한 함수 y=f(t)=b^t이고, 다른 함수 y=g(t)=b^2t 이면 두 함수의 밑수가 같기 때문에 함수 g에 임의의 값 t=t₀를 주고, 함수 f에 t=2t₀를 주면 두 함수의 값은 반드시 같아야 함: f(2t₀)=g(t₀)=b =y^2t⁰ ₀

(13)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 지수함수의 성질 u 지수함수의 성질

è 일반화된 지수함수(generalized exponential function) - 이는 [그림 10.2]에서 거리 y₀J는 y₀K의 절반이 됨.

- 마찬가지로 y의 어떤 값에 대해서도 함수 g는 함수 f와 세로축 사이의 중간에 위치함.

- 그러므로 지수를 두 배하는 것은 y축쪽으로 원래의 지수함수를 절반으로 축소(compress)하는 효과를,

그리고 지수를 반 배하는 것은 y축으로부터 수평거리로 두 배 확대(extend)하는 효과를 가져옴.

è 일반화된 지수함수(generalized exponential function) - 이는 [그림 10.2]에서 거리 y₀J는 y₀K의 절반이 됨.

- 마찬가지로 y의 어떤 값에 대해서도 함수 g는 함수 f와 세로축 사이의 중간에 위치함.

- 그러므로 지수를 두 배하는 것은 y축쪽으로 원래의 지수함수를 절반으로 축소(compress)하는 효과를,

그리고 지수를 반 배하는 것은 y축으로부터 수평거리로 두 배 확대(extend)하는 효과를 가져옴.

(14)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 지수함수의 성질 u 지수함수의 성질

è 일반화된 지수함수(generalized exponential function) - 한편, 두 함수는 모두 세로축의 같은 절편을 가짐. 즉,

f(0)=g(0)=b⁰=1

- 또 하나의 방법은 밑수 b^t과 2b^t에 계수를 붙이는 경우임. y=f(t)=b^t, y=g(t)=2b^t

이 경우에는 지수곡선을 축소 또는 확대하는 효과도 나타나지만 그 방향이 수직이 됨.

è 일반화된 지수함수(generalized exponential function) - 한편, 두 함수는 모두 세로축의 같은 절편을 가짐. 즉,

f(0)=g(0)=b⁰=1

- 또 하나의 방법은 밑수 b^t과 2b^t에 계수를 붙이는 경우임. y=f(t)=b^t, y=g(t)=2b^t

이 경우에는 지수곡선을 축소 또는 확대하는 효과도 나타나지만 그 방향이 수직이 됨.

(15)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 지수함수의 성질 u 지수함수의 성질

è 일반화된 지수함수(generalized exponential function) - 앞의 함수에서 t의 모든 값에 대하여 후자[y=g(t)=2b^t]는

전자[y=f(t)=b^t]보다 y의 값이 두 배이기 때문에 후자는 전자의 두 배 높이에 위치함(t₀J¢=J¢K¢).

- 이 경우는 세로축 절편도 바뀜: f(0)=b⁰=1, g(0)=2b⁰=2 - 결국, 계수를 두 배한다는 것은 곡선을 가로축으로부터

수직거리로 두 배 확대, 계수를 반 배하는 것은 반감하여 축소하는 것이 됨.

è 일반화된 지수함수(generalized exponential function) - 앞의 함수에서 t의 모든 값에 대하여 후자[y=g(t)=2b^t]는

전자[y=f(t)=b^t]보다 y의 값이 두 배이기 때문에 후자는 전자의 두 배 높이에 위치함(t₀J¢=J¢K¢).

- 이 경우는 세로축 절편도 바뀜: f(0)=b⁰=1, g(0)=2b⁰=2 - 결국, 계수를 두 배한다는 것은 곡선을 가로축으로부터

수직거리로 두 배 확대, 계수를 반 배하는 것은 반감하여 축소하는 것이 됨.

(16)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 지수함수의 성질 u 지수함수의 성질

è 일반화된 지수함수(generalized exponential function) è 일반화된 지수함수(generalized exponential function)

(17)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 지수함수의 성질 u 지수함수의 성질

è 일반화된 지수함수(generalized exponential function) - 일반적인 지수함수는 다음과 같이 나타낼 수 있음.

y=ab^ct

여기서 a, b, c는 파라미터이며, a와 c는 graph를 확대 또는 축소하는 인수들임.

- 만약 a와 c가 양이면 지수함수의 형태는 [그림 10.2]와 유사하지만 a와 c가 음이면 지수함수의 graph는

근본적으로 수정해야 함.

è 일반화된 지수함수(generalized exponential function) - 일반적인 지수함수는 다음과 같이 나타낼 수 있음.

y=ab^ct

여기서 a, b, c는 파라미터이며, a와 c는 graph를 확대 또는 축소하는 인수들임.

- 만약 a와 c가 양이면 지수함수의 형태는 [그림 10.2]와 유사하지만 a와 c가 음이면 지수함수의 graph는

근본적으로 수정해야 함.

(18)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 지수함수의 성질 u 지수함수의 성질

è 바람직한 밑수(a preferred base)

- 미적분학에서는 기호 e(exponential : e=2.71828×××)로 표시되는 특정한 무리수가 밑수인 지수함수가 가장 널리 사용됨.

- 밑수 e가 지수함수에 사용될 때 그 함수를 자연지수 함수(natural exponential function)라고 함.

- 예를 들어 다음과 같음.

y=e^t y=e^3t y=Ae^rt

- 미적분학에서는 기호 e(exponential : e=2.71828×××)로 표시되는 특정한 무리수가 밑수인 지수함수가 가장 널리 사용됨.

- 밑수 e가 지수함수에 사용될 때 그 함수를 자연지수 함수(natural exponential function)라고 함.

- 예를 들어 다음과 같음.

y=e^t y=e^3t y=Ae^rt

(19)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 지수함수의 성질 u 지수함수의 성질

- 또한 이 함수들은 다음과 같은 표기법으로도 나타냄.

y=exp(t) y=exp(3t) y=Aexp(rt)

- 단, 약어 exp(지수 exponential을 표시)는 밑수 e가 그의 지수로서 괄호 안의 표현을 갖는다는 의미임. è 바람직한 밑수(a preferred base)

- 또한 이 함수들은 다음과 같은 표기법으로도 나타냄.

y=exp(t) y=exp(3t) y=Aexp(rt)

- 단, 약어 exp(지수 exponential을 표시)는 밑수 e가 그의 지수로서 괄호 안의 표현을 갖는다는 의미임.

(20)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 지수함수의 성질 u 지수함수의 성질

- 함수 y=e^t의 도함수는 그 함수 자체임. 즉, e^t=e^t e^x=e^x

- 이 미분법칙을 이용하면 함수 y=Ae^rt 의 도함수는

우선, w=rt라 하면 함수는 y=Ae^w가 됨(A와 r은 상수).

그러면 연쇄법칙에 의해

= =Ae^w(r)=rAe^rt 즉, Ae^rt=rAe^rt è 바람직한 밑수(a preferred base)

- 함수 y=e^t의 도함수는 그 함수 자체임. 즉, e^t=e^t e^x=e^x

- 이 미분법칙을 이용하면 함수 y=Ae^rt 의 도함수는

우선, w=rt라 하면 함수는 y=Ae^w가 됨(A와 r은 상수).

그러면 연쇄법칙에 의해

= =Ae^w(r)=rAe^rt 즉, Ae^rt=rAe^rt d

dt

d dx

dy dt

dy dw

dw dt

d dt

(21)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 자연지수함수와 성장의 문제 u 자연지수함수와 성장의 문제

è e의 정의(the number e)

- 앞의 미분법칙을 만족하는 실수 e를 정의해 보기로 함.

- 임의의 m에 대하여 다음과 같을 때 f(m)=(1+ )^m

- 만약 m이 점점 더 큰 값을 가지면 f(m)도 역시 더 큰 값을 가짐.

- 더욱이 m이 무한히 증가하면 f(m)은 수 2.71828×××ºe에 수렴함.

- 앞의 미분법칙을 만족하는 실수 e를 정의해 보기로 함.

- 임의의 m에 대하여 다음과 같을 때 f(m)=(1+ )^m

- 만약 m이 점점 더 큰 값을 가지면 f(m)도 역시 더 큰 값을 가짐.

- 더욱이 m이 무한히 증가하면 f(m)은 수 2.71828×××ºe에 수렴함.

1 m

(22)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 자연지수함수와 성장의 문제 u 자연지수함수와 성장의 문제

- 따라서 e는 m®¥일 때 앞의 식의 극한값으로 정의할 수 있음. 즉,

eº f(m)= (1+ )^m

- 실제로 e는 무리수이며, 그 값은 대략 2.71828×××임.

- 따라서 e는 m®¥일 때 앞의 식의 극한값으로 정의할 수 있음. 즉,

eº f(m)= (1+ )^m

- 실제로 e는 무리수이며, 그 값은 대략 2.71828×××임.

1 m

m®¥lim lim

m®¥

(23)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 자연지수함수와 성장의 문제 u 자연지수함수와 성장의 문제

- e의 근사값은 함수 f(x)=e^x의 매클로린급수를 통해서 구할 수 있음. 즉,

e^x=f(x)=f(0)+f¢(0)x+ x²+ x³+

××× + xⁿ+ xⁿ⁺¹+R_n

=1+x+ x²+ x³+ ××× + xⁿ+R_n - 여기서 n®¥일 때 R_n®0이므로

- e의 근사값은 함수 f(x)=e^x의 매클로린급수를 통해서 구할 수 있음. 즉,

e^x=f(x)=f(0)+f¢(0)x+ x²+ x³+

××× + xⁿ+ xⁿ⁺¹+R_n

=1+x+ x²+ x³+ ××× + xⁿ+R_n - 여기서 n®¥일 때 R_n®0이므로

f²(0) 2!

f²¢(0) f⁽ⁿ⁾(0) 3!

n!

f⁽ⁿ⁺¹⁾(0) n+1!

1 2!

1 3!

1 n!

(24)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 자연지수함수와 성장의 문제 u 자연지수함수와 성장의 문제

- 따라서 e^x의 값은 다음과 같은 수렴하는 무한급수 (infinite series)로 표시할 수 있음.

e^x=1+x+ x²+ x³+ x⁴+ ×××

- e의 값을 구하기 위하여 x=1을 대입하면 e=1+ + + + + ×××

=2.7182819×××

- 따라서 e^x의 값은 다음과 같은 수렴하는 무한급수 (infinite series)로 표시할 수 있음.

e^x=1+x+ x²+ x³+ x⁴+ ×××

- e의 값을 구하기 위하여 x=1을 대입하면 e=1+ + + + + ×××

=2.7182819×××

1 2!

1 3!

1 4!

1 6

1 24

1 120 1

2

(25)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 자연지수함수와 성장의 문제 u 자연지수함수와 성장의 문제

è e의 경제적 해석(an economic interpretation of e) - 이자율의 복리계산에 이용됨.

- 연이자율 100%로 원금 1원을 은행에 예치한 경우 - 단, 괄호 안의 수는 1년간에 이자가 원금에 산입되는

회수임.

V(1)=초기의 원금(1+이자율)

=1(1+100%)=1[1+(1/1)]¹=2

è e의 경제적 해석(an economic interpretation of e) - 이자율의 복리계산에 이용됨.

- 연이자율 100%로 원금 1원을 은행에 예치한 경우 - 단, 괄호 안의 수는 1년간에 이자가 원금에 산입되는

회수임.

V(1)=초기의 원금(1+이자율)

=1(1+100%)=1[1+(1/1)]¹=2

(26)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 자연지수함수와 성장의 문제 u 자연지수함수와 성장의 문제

è e의 경제적 해석(an economic interpretation of e)

- 그러나 이자가 6개월마다 원금에 산입된다면 원금의 50%(100%의 절반)에 달하는 이자가 6개월이 경과한 후에 산입될 것임.

- 따라서 다음 6개월 기간의 새로운 원금은 1.50원이 되고, 이자는 1.50원의 50%로 계산됨.

- 결국, 연말의 자산가치는 1.50(1+50%)가 됨. 즉, V(2)=원금(1+50%)(1+50%)

=1[1+(1/2)]²=2.25

- 그러나 이자가 6개월마다 원금에 산입된다면 원금의 50%(100%의 절반)에 달하는 이자가 6개월이 경과한 후에 산입될 것임.

- 따라서 다음 6개월 기간의 새로운 원금은 1.50원이 되고, 이자는 1.50원의 50%로 계산됨.

- 결국, 연말의 자산가치는 1.50(1+50%)가 됨. 즉, V(2)=원금(1+50%)(1+50%)

=1[1+(1/2)]²=2.25

(27)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 자연지수함수와 성장의 문제 u 자연지수함수와 성장의 문제

è e의 경제적 해석(an economic interpretation of e) - 마찬가지로 3회, 4회인 경우는 다음과 같음.

V(3)=[1+(1/3)]³»2.37, V(4)=[1+(1/4)]⁴»2.44 - 따라서 m회인 경우를 일반화하면 다음과 같음.

V(m)=[1+(1/m)]^m

여기서 m은 1년간 이자가 원금에 산입된 회수임.

è e의 경제적 해석(an economic interpretation of e) - 마찬가지로 3회, 4회인 경우는 다음과 같음.

V(3)=[1+(1/3)]³»2.37, V(4)=[1+(1/4)]⁴»2.44 - 따라서 m회인 경우를 일반화하면 다음과 같음.

V(m)=[1+(1/m)]^m

여기서 m은 1년간 이자가 원금에 산입된 회수임.

(28)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 자연지수함수와 성장의 문제 u 자연지수함수와 성장의 문제

- 이제, 이자가 1년간 연속적으로 원금에 산입될 경우, 즉 m이 무한대로 커지면 연말에는 1원의 자산가치는

V(m)= (1+ )^m=e(원) 이 됨.

- 1년 후에 1원이 e원이 되는 경우 100%의 이자율은 명목이자율(nominal interest rate)이고, 그것은 1년 후 e=2.71828원이 된다면 실효이자율(effective interest rate)은 연간 약 172%임.

- 이제, 이자가 1년간 연속적으로 원금에 산입될 경우, 즉 m이 무한대로 커지면 연말에는 1원의 자산가치는

V(m)= (1+ )^m=e(원) 이 됨.

- 1년 후에 1원이 e원이 되는 경우 100%의 이자율은 명목이자율(nominal interest rate)이고, 그것은 1년 후 e=2.71828원이 된다면 실효이자율(effective interest rate)은 연간 약 172%임.

m®¥lim lim

m®¥

1 m

(29)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 자연지수함수와 성장의 문제 u 자연지수함수와 성장의 문제

è 복리(interest compounding)와 함수 Ae^rt

- 앞의 복리계산 문제를 일반화하면, 즉 ⑴ 복리계산 년수를 t년, ⑵ 원금을 A원, ⑶ 명목이자율은 r%임.

V(m)=A(1+ )^mt

- 여기서 =w(® m=rw)라 하면 V(m)=A(1+ )^wrt=Ae^rt

è 복리(interest compounding)와 함수 Ae^rt

- 앞의 복리계산 문제를 일반화하면, 즉 ⑴ 복리계산 년수를 t년, ⑵ 원금을 A원, ⑶ 명목이자율은 r%임.

V(m)=A(1+ )^mt

- 여기서 =w(® m=rw)라 하면 V(m)=A(1+ )^wrt=Ae^rt

r m m

r 1 w

(30)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 자연지수함수와 성장의 문제 u 자연지수함수와 성장의 문제

è 순간성장률(instantaneous rate of growth)

- 함수 V=Ae^rt이 주어지고 그것이 t의 각 시점에서 V값을 나타내면 V의 변화속도는 다음과 같은 도함수가 됨.

=rAe^rt=rV

- 어떤 주어진 시점에서 V의 성장률은 다음과 같음.

V의 성장률º = =r

- 위의 정의에 의한 성장률 r을 순간성장률이라 함. è 순간성장률(instantaneous rate of growth)

- 함수 V=Ae^rt이 주어지고 그것이 t의 각 시점에서 V값을 나타내면 V의 변화속도는 다음과 같은 도함수가 됨.

=rAe^rt=rV

- 어떤 주어진 시점에서 V의 성장률은 다음과 같음.

V의 성장률º = =r

- 위의 정의에 의한 성장률 r을 순간성장률이라 함. dV

dt

dV/dt V

rV V

(31)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 자연지수함수와 성장의 문제 u 자연지수함수와 성장의 문제

è 연속적 성장 대 이산적 성장(continuous vs. discrete growth) - 앞의 논의는 수학적으로는 흥미가 있지만 현실 경제에

결부시키기에는 문제가 있음.

- 왜냐하면 실제로 경제성장(또는 복리이자율)이 항상 연속적으로 이루어진다고 단정할 수 없기 때문임. - 그러나 변화가 순간순간이라기보다는 어느 기간당

한 번만 발생하는 이산적 성장의 경우라도 연속적 지수성장함수(continuous exponential growth function) 로 사용될 수 있음.

è 연속적 성장 대 이산적 성장(continuous vs. discrete growth) - 앞의 논의는 수학적으로는 흥미가 있지만 현실 경제에

결부시키기에는 문제가 있음.

- 왜냐하면 실제로 경제성장(또는 복리이자율)이 항상 연속적으로 이루어진다고 단정할 수 없기 때문임. - 그러나 변화가 순간순간이라기보다는 어느 기간당

한 번만 발생하는 이산적 성장의 경우라도 연속적 지수성장함수(continuous exponential growth function) 로 사용될 수 있음.

(32)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 자연지수함수와 성장의 문제 u 자연지수함수와 성장의 문제

è 할인과 음의 성장(discounting and negative growth) - 복리계산과 밀접하게 관련된 것이 할인(discounting)

이라는 개념임.

- 복리계산에 있어서는 원금 A의 미래가치 V에 관심을 가지며, 할인은 t기 이후에 이용가능한 금액인 V의 현재가치(present value) A는 얼마인가에 관심을 가짐.

- 앞에서 살펴본 바와 같이 현재의 원금 A의 t기 이후의 가치는 연이자율 i, 연간 1회의 복리로 계산하면

V=A(1+i)^t

è 할인과 음의 성장(discounting and negative growth) - 복리계산과 밀접하게 관련된 것이 할인(discounting)

이라는 개념임.

- 복리계산에 있어서는 원금 A의 미래가치 V에 관심을 가지며, 할인은 t기 이후에 이용가능한 금액인 V의 현재가치(present value) A는 얼마인가에 관심을 가짐.

- 앞에서 살펴본 바와 같이 현재의 원금 A의 t기 이후의 가치는 연이자율 i, 연간 1회의 복리로 계산하면

V=A(1+i)^t

(33)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 자연지수함수와 성장의 문제 u 자연지수함수와 성장의 문제

è 할인과 음의 성장(discounting and negative growth) - 즉, 현재가치 A원은 t기 후의 미래가치 V와 같음.

- 여기서 양변을 (1+i)^t로 나누면 다음의 식을 얻음. A= =V(1+i)^-t

- 이 공식에서 미래가치 V와 현재가치 A의 역할은 반대임.

- 이제는 위 식에서 V는 주어지고, A는 i(할인률)와 년수 (t)로부터 계산되는 미지수임.

è 할인과 음의 성장(discounting and negative growth) - 즉, 현재가치 A원은 t기 후의 미래가치 V와 같음.

- 여기서 양변을 (1+i)^t로 나누면 다음의 식을 얻음. A= =V(1+i)^-t

- 이 공식에서 미래가치 V와 현재가치 A의 역할은 반대임.

- 이제는 위 식에서 V는 주어지고, A는 i(할인률)와 년수 (t)로부터 계산되는 미지수임.

V (1+i)^t

(34)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 자연지수함수와 성장의 문제 u 자연지수함수와 성장의 문제

è 할인과 음의 성장(discounting and negative growth) - 마찬가지로 연속적인 경우를 보면 원금 A가 공식

V=Ae^rt

에 따라 이자율 r로 연속 복리계산된 t년 후에 Ae^rt이 되고, 위의 방정식의 양변을 e^rt으로 나누면 다음과 같은 연속적인 할인공식을 얻음.

A= =Ve^-rt

- 여기서 e^-rt는 흔히 할인요인(discount factor)이라 함. è 할인과 음의 성장(discounting and negative growth)

- 마찬가지로 연속적인 경우를 보면 원금 A가 공식 V=Ae^rt

에 따라 이자율 r로 연속 복리계산된 t년 후에 Ae^rt이 되고, 위의 방정식의 양변을 e^rt으로 나누면 다음과 같은 연속적인 할인공식을 얻음.

A= =Ve^-rt

- 여기서 e^-rt는 흔히 할인요인(discount factor)이라 함. V

e^rt

(35)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 자연지수함수와 성장의 문제 u 자연지수함수와 성장의 문제

è 할인과 음의 성장(discounting and negative growth) - 한편, 앞의 식을 지수성장함수로 보면 -r은 A의 순간

성장률로 볼 수 있음.

- 그런데 여기서 이 성장률이 음이기 때문에 감모율 (rate of decay)이라고도 함.

- 결국, 복리계산 방식이 양의 성장과정을 보여주는 반면, 할인과정은 음의 성장과정을 보여줌.

è 할인과 음의 성장(discounting and negative growth) - 한편, 앞의 식을 지수성장함수로 보면 -r은 A의 순간

성장률로 볼 수 있음.

- 그런데 여기서 이 성장률이 음이기 때문에 감모율 (rate of decay)이라고도 함.

- 결국, 복리계산 방식이 양의 성장과정을 보여주는 반면, 할인과정은 음의 성장과정을 보여줌.

(36)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 로그 (logarithm) u 로그 (logarithm)

è 로그의 의미(the mean of logarithm)

- 예를 들어 방정식 4²=16으로 상호 관련되는 두 수 4와 16이 있을 때 그 식의 지수 2를 밑수 4에 대한 16의 로그라고 정의하고 다음과 같이 표기함.

log₄16=2

- 즉, 로그는 밑수(4)가 어떤 특정한 수(16)를 얻기 위해 거듭제곱되어야 하는 멱수(the power)임.

- 일반적으로 다음과 같이 나타냄.

y=b^t « t=log_by ® y=b

- 예를 들어 방정식 4²=16으로 상호 관련되는 두 수 4와 16이 있을 때 그 식의 지수 2를 밑수 4에 대한 16의 로그라고 정의하고 다음과 같이 표기함.

log₄16=2

- 즉, 로그는 밑수(4)가 어떤 특정한 수(16)를 얻기 위해 거듭제곱되어야 하는 멱수(the power)임.

- 일반적으로 다음과 같이 나타냄.

y=b^t « t=log_by ® y=b^log^b^y

(37)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 로그 (logarithm) u 로그 (logarithm)

- 지수함수는 강증가함수이므로 이것은 y의 어떤 양의 값에 대해서 y=b^t를 만족하는 유일한 지수 t(반드시 양수일 필요는 없음)가 존재함을 의미함.

- 또한 y의 값이 커지면 t의 값도 더 커져야 함. 따라서 y가 커지면 y의 로그도 커져야 함.

- y는 지수함수 y=b^t에서 반드시 양임. 그러므로 음수나 0은 로그(logarithm)를 가질 수 없음.

- 지수함수는 강증가함수이므로 이것은 y의 어떤 양의 값에 대해서 y=b^t를 만족하는 유일한 지수 t(반드시 양수일 필요는 없음)가 존재함을 의미함.

- 또한 y의 값이 커지면 t의 값도 더 커져야 함. 따라서 y가 커지면 y의 로그도 커져야 함.

- y는 지수함수 y=b^t에서 반드시 양임. 그러므로 음수나 0은 로그(logarithm)를 가질 수 없음.

(38)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 로그 (logarithm) u 로그 (logarithm)

è 상용로그와 자연로그(common log and natural log)

- 로그의 밑수(base)는 어떤 특정한 수로 제약할 필요는 없지만 실제로 로그계산에서는 두 개의 수(10과 e)가 밑수로 가장 널리 사용됨.

- 밑수가 10(십진법)인 로그를 상용로그(common logarithm)라 하고(log₁₀로 표기), 밑수가 e인 로그를 자연로그(natural logarithm)라 함.

- 특히, 자연로그는 log_e 또는 ln(natural logarithm을 의미) 으로 표기함.

- 로그의 밑수(base)는 어떤 특정한 수로 제약할 필요는 없지만 실제로 로그계산에서는 두 개의 수(10과 e)가 밑수로 가장 널리 사용됨.

- 밑수가 10(십진법)인 로그를 상용로그(common logarithm)라 하고(log₁₀로 표기), 밑수가 e인 로그를 자연로그(natural logarithm)라 함.

- 특히, 자연로그는 log_e 또는 ln(natural logarithm을 의미) 으로 표기함.

(39)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 로그 (logarithm) u 로그 (logarithm)

è 상용로그와 자연로그(common log and natural log) - 상용로그의 표(예)

log₁₀1,000=3 (® 10³=1,000) log₁₀100=2 (® 10²=100) log₁₀10=1 (® 10¹=10) log₁₀1=0 (® 10⁰=1) log₁₀0.1=-1 (® 10^-1=0.1) log₁₀0.01=-2 (® 10^-2=0.01)

è 상용로그와 자연로그(common log and natural log) - 상용로그의 표(예)

log₁₀1,000=3 (® 10³=1,000) log₁₀100=2 (® 10²=100) log₁₀10=1 (® 10¹=10) log₁₀1=0 (® 10⁰=1) log₁₀0.1=-1 (® 10^-1=0.1) log₁₀0.01=-2 (® 10^-2=0.01)

(40)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 로그 (logarithm) u 로그 (logarithm)

- 그러나 분석작업에서는 상용로그를 사용하는 것보다 자연로그를 사용하는 것이 훨씬 편리함.

- 로그의 정의에 의하여

y=e^t « t=log_ey (또는 t=lny)

- 그러나 분석작업에서는 상용로그를 사용하는 것보다 자연로그를 사용하는 것이 훨씬 편리함.

- 로그의 정의에 의하여

y=e^t « t=log_ey (또는 t=lny)

(41)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 로그 (logarithm) u 로그 (logarithm)

è 상용로그와 자연로그(common log and natural log) - 자연로그의 표(예)

lne³=log_ee³=3 lne²=log_ee²=2 lne¹=log_ee¹=1 ln1=log_ee⁰=0 ln =log_ee^-1=-1

- 상용로그와 자연로그는 서로 대체될 수 있음.

è 상용로그와 자연로그(common log and natural log) - 자연로그의 표(예)

lne³=log_ee³=3 lne²=log_ee²=2 lne¹=log_ee¹=1 ln1=log_ee⁰=0 ln =log_ee^-1=-1

- 상용로그와 자연로그는 서로 대체될 수 있음.

1 e

(42)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 로그 (logarithm) u 로그 (logarithm)

è 로그법칙(rules of logarithms)

로그는 지수의 성질을 가지므로 앞에서 다룬 바와 같이 밀접하게 관련된 일정한 법칙을 따름.

- 처음의 세 법칙(법칙 1, 법칙 2, 법칙 3)은 자연로그를 서술하고 있지만 그것들은 기호 ln이 log_b로 대체해도 그대로 성립함.

법칙 1 : 곱의 로그 ln(uv)=lnu+lnv (u, v>0) - 예 1 : ln(e⁶e⁴)=lne⁶+lne⁴=6+4=10

- 예 2 : ln(Ae⁷)=lnA+lne⁷=lnA+7 è 로그법칙(rules of logarithms)

로그는 지수의 성질을 가지므로 앞에서 다룬 바와 같이 밀접하게 관련된 일정한 법칙을 따름.

- 처음의 세 법칙(법칙 1, 법칙 2, 법칙 3)은 자연로그를 서술하고 있지만 그것들은 기호 ln이 log_b로 대체해도 그대로 성립함.

법칙 1 : 곱의 로그 ln(uv)=lnu+lnv (u, v>0) - 예 1 : ln(e⁶e⁴)=lne⁶+lne⁴=6+4=10

- 예 2 : ln(Ae⁷)=lnA+lne⁷=lnA+7

(43)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 로그 (logarithm) u 로그 (logarithm)

법칙 2 : 몫의 로그 ln(u/v)=lnu-lnv (u, v>0) - 예 3 : ln(e²/c)=lne²-lnc=2-lnc

- 예 4 : ln(e²/e⁵)=lne²-lne⁵=2-5=-3 법칙 3 : 멱의 로그 lnu^a=alnu (u>0) - 예 5 : lne¹⁵=15lne=15

- 예 6 : lnA³=3lnA

- 예 7 : ln(uv^a)=lnu+lnv^a=lnu+alnv

- 예 8 : lnu+alnv=lnu+lnv^a=ln(uv^a) [예 7의 역]

법칙 2 : 몫의 로그 ln(u/v)=lnu-lnv (u, v>0) - 예 3 : ln(e²/c)=lne²-lnc=2-lnc

- 예 4 : ln(e²/e⁵)=lne²-lne⁵=2-5=-3 법칙 3 : 멱의 로그 lnu^a=alnu (u>0) - 예 5 : lne¹⁵=15lne=15

- 예 6 : lnA³=3lnA

- 예 7 : ln(uv^a)=lnu+lnv^a=lnu+alnv

- 예 8 : lnu+alnv=lnu+lnv^a=ln(uv^a) [예 7의 역]

(44)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 로그 (logarithm) u 로그 (logarithm)

법칙 4 : 로그밑수의 변환 log_bu=(log_be)(log_eu) (u>0) - 예 9 : log_eu=(log_e10)(log₁₀u)

법칙 5 : 로그밑수의 역변환 log_be= =

- 예 10 : log_bb=(log_be)(log_eb), 여기서 log_bb=1임.

- 예 11 : log_e100=2.3026(log₁₀100)=2.3026(2)=4.6052 역으로, log₁₀100=0.4343(log_e100)

=0.4343(4.6052)=2

(10의 자연로그값 2.3026, e의 상용로그값 0.4343) è 로그법칙(rules of logarithms)

법칙 4 : 로그밑수의 변환 log_bu=(log_be)(log_eu) (u>0) - 예 9 : log_eu=(log_e10)(log₁₀u)

법칙 5 : 로그밑수의 역변환 log_be= =

- 예 10 : log_bb=(log_be)(log_eb), 여기서 log_bb=1임.

- 예 11 : log_e100=2.3026(log₁₀100)=2.3026(2)=4.6052 역으로, log₁₀100=0.4343(log_e100)

=0.4343(4.6052)=2

(10의 자연로그값 2.3026, e의 상용로그값 0.4343) 1

log_eb

1 lnb

(45)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 로그 (logarithm) u 로그 (logarithm)

è 응용(an application)

지수방정식이 다음과 같음. ab^x-c=0 (a, b, c>0)

- 위 방정식을 만족하는 x의 값을 구하기 위해서는 우선, 로그를 이용하여 이 지수방정식을 선형방정식으로 변형시킨 후 그 선형방정식을 풀면 됨.

- 우선, c를 우변으로 이항시킴.

ab^x=c

지수방정식이 다음과 같음. ab^x-c=0 (a, b, c>0)

- 위 방정식을 만족하는 x의 값을 구하기 위해서는 우선, 로그를 이용하여 이 지수방정식을 선형방정식으로 변형시킨 후 그 선형방정식을 풀면 됨.

- 우선, c를 우변으로 이항시킴.

ab^x=c

(46)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 로그 (logarithm) u 로그 (logarithm)

- 앞 식의 양변에 (10을 밑수로 하는) 로그를 취하면 다음을 얻음.

loga+xlogb=logc

- 이 식은 변수 x에 관한 선형방정식이며 해는 다음과 같음.

x=

- 앞 식의 양변에 (10을 밑수로 하는) 로그를 취하면 다음을 얻음.

loga+xlogb=logc

- 이 식은 변수 x에 관한 선형방정식이며 해는 다음과 같음.

x= logc-loga logb

(47)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 로그함수 (logarithmic function) u 로그함수 (logarithmic function)

è 로그함수와 지수함수

- 로그함수는 지수함수의 역함수임. 즉, t=log_by « y=b^t

t=log_ey (=lny) « y=e^t

- 왜냐하면 위의 두 로그함수는 그에 대응하는 지수함수 의 종속변수와 독립변수의 역할을 역전시킨 결과임. - 로그함수는 강증가함수(지수함수)의 역함수이므로

로그함수도 역시 강증가함수이어야 함. è 로그함수와 지수함수

- 로그함수는 지수함수의 역함수임. 즉, t=log_by « y=b^t

t=log_ey (=lny) « y=e^t

- 왜냐하면 위의 두 로그함수는 그에 대응하는 지수함수 의 종속변수와 독립변수의 역할을 역전시킨 결과임. - 로그함수는 강증가함수(지수함수)의 역함수이므로

로그함수도 역시 강증가함수이어야 함.

(48)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 로그함수 (logarithmic function) u 로그함수 (logarithmic function)

è 로그함수와 지수함수의 graph 형태

- 로그함수에 대응하는 지수함수의 graph는 원점을 통과하는 45°선에 대해 서로 대칭임(어떤 한 쌍의 역함수의 graph도 일반적으로 이런 성질을 가짐).

- [그림 10.3]에서 그림 (b)를 그림 (a) 위에 포개놓고 y축은 y축, t축은 t축에 위치하도록 하면 두 곡선은 완전 일치함.

è 로그함수와 지수함수의 graph 형태

- 로그함수에 대응하는 지수함수의 graph는 원점을 통과하는 45°선에 대해 서로 대칭임(어떤 한 쌍의 역함수의 graph도 일반적으로 이런 성질을 가짐).

- [그림 10.3]에서 그림 (b)를 그림 (a) 위에 포개놓고 y축은 y축, t축은 t축에 위치하도록 하면 두 곡선은 완전 일치함.

(49)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 로그함수 (logarithmic function) u 로그함수 (logarithmic function)

è 로그함수와 지수함수 è 로그함수와 지수함수

(50)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 로그함수 (logarithmic function) u 로그함수 (logarithmic function)

è 로그함수와 지수함수의 graph 형태의 특징

- 두 곡선은 단조적으로 증가하고 있지만 지수곡선은 체증률로 증가하는 반면, 로그곡선은 체감률로 증가함. - 지수함수는 양의 치역(range)을 갖는 반면, 로그함수는

양의 정의역(domain)을 가짐(로그함수의 정의역이 양이라는 제약은 오직 양수로만 로그를 취함).

- 지수함수 y=e^t은 1에서 세로축 절편을 갖는 것처럼 로그함수 t=log_ey는 y=1에서 가로축과 교차함.

이것은 log_e1=0이라는 것을 의미함.

- 두 곡선은 단조적으로 증가하고 있지만 지수곡선은 체증률로 증가하는 반면, 로그곡선은 체감률로 증가함. - 지수함수는 양의 치역(range)을 갖는 반면, 로그함수는

양의 정의역(domain)을 가짐(로그함수의 정의역이 양이라는 제약은 오직 양수로만 로그를 취함).

- 지수함수 y=e^t은 1에서 세로축 절편을 갖는 것처럼 로그함수 t=log_ey는 y=1에서 가로축과 교차함.

이것은 log_e1=0이라는 것을 의미함.

(51)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 로그함수 (logarithmic function) u 로그함수 (logarithmic function)

- 로그곡선은 어떠한 밑수에 대해서도 다음의 관계가 성립함.

0<y<1 « logy<0 y=1 « logy=0 y>1 « logy>0

- 그리고 다음의 관계도 성립함.

y®¥일 때 logy®¥

y®0⁺일 때 logy®-¥

- 로그곡선은 어떠한 밑수에 대해서도 다음의 관계가 성립함.

0<y<1 « logy<0 y=1 « logy=0 y>1 « logy>0

- 그리고 다음의 관계도 성립함.

y®¥일 때 logy®¥

y®0⁺일 때 logy®-¥

(52)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 로그함수 (logarithmic function) u 로그함수 (logarithmic function)

- 일반적인 지수함수 y=Ae^rt과 이에 상응하는 로그함수를 비교하여도 동일한 결과를 얻음.

- (양의) 상수 A와 r이 지수곡선을 확대(extend) 또는 축소 (compress)시키는 효과를 갖더라도 그 곡선의 세로축 절편은 y=1이 아니라 y=A(t=0일 때 y=Ae⁰=A)임.

- 이에 따라 그 함수의 역함수도 y=A에서 가로축 절편을 가짐.

- 일반적인 지수함수 y=Ae^rt과 이에 상응하는 로그함수를 비교하여도 동일한 결과를 얻음.

- (양의) 상수 A와 r이 지수곡선을 확대(extend) 또는 축소 (compress)시키는 효과를 갖더라도 그 곡선의 세로축 절편은 y=1이 아니라 y=A(t=0일 때 y=Ae⁰=A)임.

- 이에 따라 그 함수의 역함수도 y=A에서 가로축 절편을 가짐.

(53)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 로그함수 (logarithmic function) u 로그함수 (logarithmic function)

- 일반적으로 지수함수와 그에 대응하는 로그함수는 45°

선에 대해 대칭이 됨.

- 만약 y=Ae^rt의 역함수를 특정 대수식으로 표시할 경우 이 지수함수의 양변에 자연로그를 취하고 t에 관해서 풀면 됨. 즉,

lny=ln(Ae^rt)=lnA+rtlne=lnA+rt - 따라서 역함수는 다음과 같음.

t= (r¹0)

- 일반적으로 지수함수와 그에 대응하는 로그함수는 45°

선에 대해 대칭이 됨.

- 만약 y=Ae^rt의 역함수를 특정 대수식으로 표시할 경우 이 지수함수의 양변에 자연로그를 취하고 t에 관해서 풀면 됨. 즉,

lny=ln(Ae^rt)=lnA+rtlne=lnA+rt - 따라서 역함수는 다음과 같음.

t= (r¹0)lny-lnA r

(54)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 로그함수 (logarithmic function) u 로그함수 (logarithmic function)

è 밑수변환(base conversion)

- 지수함수 y=Ab^t은 항상 자연지수함수 y=Ae^rt으로 변형될 수 있음.

- 이제 밑수변환 공식을 도출하기 위해 Ab^t 대신에 일반적인 식 Ab^ct을 Ae^rt으로 변환하는 문제를 고려 - 문제의 요점은 다음과 같음.

e^r=b^c

- 지수함수 y=Ab^t은 항상 자연지수함수 y=Ae^rt으로 변형될 수 있음.

- 이제 밑수변환 공식을 도출하기 위해 Ab^t 대신에 일반적인 식 Ab^ct을 Ae^rt으로 변환하는 문제를 고려 - 문제의 요점은 다음과 같음.

e^r=b^c

(55)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 로그함수 (logarithmic function) u 로그함수 (logarithmic function)

- 앞의 식의 양변에 자연로그를 취하면 lne^r=lnb^c

- 위 식의 좌변은 r이 되므로 구하려는 식(밑수변환 공식)은 다음과 같음.

r=lnb^c=clnb

- 이것은 함수 y=Ab^ct을 항상 자연로그가 밑수로 주어 지는 형태인 y=Ae^(clnb)t으로 변형시킬 수 있음을 나타냄. è 밑수변환(base conversion)

- 앞의 식의 양변에 자연로그를 취하면 lne^r=lnb^c

- 위 식의 좌변은 r이 되므로 구하려는 식(밑수변환 공식)은 다음과 같음.

r=lnb^c=clnb

- 이것은 함수 y=Ab^ct을 항상 자연로그가 밑수로 주어 지는 형태인 y=Ae^(clnb)t으로 변형시킬 수 있음을 나타냄.

(56)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 로그함수 (logarithmic function) u 로그함수 (logarithmic function)

예 1 : y=2^t을 자연지수함수로 변환하라. 여기서 A=1, b=2, c=1임.

- 따라서 r=clnb=ln2임.

- 구하려는 지수함수는 다음과 같음.

y=Ae^rt=e^(ln2)t

- 상용로그표를 사용하여 ln2의 값을 계산하면 ln2=2.3026log₁₀2=2.3026(0.3010)=0.6931 - 결국, y=e^0.6931t으로 달리 나타낼 수 있음.

예 1 : y=2^t을 자연지수함수로 변환하라. 여기서 A=1, b=2, c=1임.

- 따라서 r=clnb=ln2임.

y=Ae^rt=e^(ln2)t

- 상용로그표를 사용하여 ln2의 값을 계산하면 ln2=2.3026log₁₀2=2.3026(0.3010)=0.6931 - 결국, y=e^0.6931t으로 달리 나타낼 수 있음.

(57)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 로그함수 (logarithmic function) u 로그함수 (logarithmic function)

예 2 : y=3(5)^2t을 자연지수함수로 변환하라. 여기서 A=3, b=5, c=2임.

- 따라서 r=clnb=2ln5임.

y=Ae^rt=3e^(2ln5)t

- 다시, 상용로그표를 사용하여 ln2의 값을 계산하면 ln2=ln25=2.3026log₁₀25=2.3026(1.3979)=3.2188 - 결국, y=e^3.2188t으로 달리 나타낼 수 있음.

예 2 : y=3(5)^2t을 자연지수함수로 변환하라. 여기서 A=3, b=5, c=2임.

- 따라서 r=clnb=2ln5임.

y=Ae^rt=3e^(2ln5)t

- 다시, 상용로그표를 사용하여 ln2의 값을 계산하면 ln2=ln25=2.3026log₁₀25=2.3026(1.3979)=3.2188 - 결국, y=e^3.2188t으로 달리 나타낼 수 있음.

(58)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 로그함수 (logarithmic function) u 로그함수 (logarithmic function)

앞의 [로그법칙 4]를 적용하면, 즉 log_by=(log_be)(log_ey) - 이 결과를 주어진 로그함수에 대입하면 자연로그함수는

t= log_ey [로그법칙 5에 의해]

=

- 이와 같은 방식으로 일반적인 로그함수 y=alog_b(cy)는 다음과 같이 동치인 형태로 변형 가능함.

t=a(log_be)(log_ecy)= log_e(cy)= ln(cy) è 밑수변환(base conversion)

앞의 [로그법칙 4]를 적용하면, 즉 log_by=(log_be)(log_ey) - 이 결과를 주어진 로그함수에 대입하면 자연로그함수는

t= log_ey [로그법칙 5에 의해]

=

- 이와 같은 방식으로 일반적인 로그함수 y=alog_b(cy)는 다음과 같이 동치인 형태로 변형 가능함.

t=a(log_be)(log_ecy)= log_e(cy)= ln(cy) 1

log_eb lny lnb

a log_eb

a lnb

(59)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 로그함수 (logarithmic function) u 로그함수 (logarithmic function)

예 3 : 함수 t=log₂y를 자연로그형태로 변환하라.

여기서 b=2, a=c=1이기 때문에 - 구하려는 로그함수는 다음과 같음.

t= lny

- 상용로그표를 사용하여 ln2의 값을 계산하면 ln2=2.3026log₁₀2=2.3026(0.3010)=0.6931 - 결국, t=(1/0.6931)lny로 나타낼 수 있음.

예 3 : 함수 t=log₂y를 자연로그형태로 변환하라.

여기서 b=2, a=c=1이기 때문에 - 구하려는 로그함수는 다음과 같음.

t= lny

- 상용로그표를 사용하여 ln2의 값을 계산하면 ln2=2.3026log₁₀2=2.3026(0.3010)=0.6931 - 결국, t=(1/0.6931)lny로 나타낼 수 있음.

1 ln2

(60)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 로그함수 (logarithmic function) u 로그함수 (logarithmic function)

예 4 : 함수 t=7log₁₀2y를 자연로그형태로 변환하라.

여기서 a=7, b=10, c=2이기 때문에 - 구하려는 로그함수는 다음과 같음.

t= ln(2y)

- ln10(10의 자연로그)의 값을 계산하면 ln10=2.3026

- t=(7/2.3026)ln(2y)=3.0400ln(2y)로 나타낼 수 있음.

예 4 : 함수 t=7log₁₀2y를 자연로그형태로 변환하라.

여기서 a=7, b=10, c=2이기 때문에 - 구하려는 로그함수는 다음과 같음.

t= ln(2y)

- ln10(10의 자연로그)의 값을 계산하면 ln10=2.3026

- t=(7/2.3026)ln(2y)=3.0400ln(2y)로 나타낼 수 있음.

7 ln10

(61)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 지수함수와 로그함수의 도함수 u 지수함수와 로그함수의 도함수

è 로그함수의 미분법칙

자연로그함수 y=lnt의 도함수는 다음과 같음.

= lnt=

- 이것을 증명하기 위해 변수 t의 증분 ⊿t에 대응하는 y의 증분을 ⊿y라 하면 로그법칙에 의해

= = ln = ln 1+

자연로그함수 y=lnt의 도함수는 다음과 같음.

= lnt=

- 이것을 증명하기 위해 변수 t의 증분 ⊿t에 대응하는 y의 증분을 ⊿y라 하면 로그법칙에 의해

= = ln = ln 1+

dy dt

1 t

⊿y

⊿t

ln(t+⊿t)-lnt

⊿t

1

⊿t

t+⊿t t

1

⊿t

⊿t t d

dt

(62)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 지수함수와 로그함수의 도함수 u 지수함수와 로그함수의 도함수

- 그런데 여기서 h=⊿t/t라 하면 로그법칙에 의해 ln 1+ = ln(1+h)= ln(1+h)^1/h - 또한 ⊿t가 0에 무한히 접근하면 h도 0에 접근함.

= = ln(1+h)^1/h= lne=

즉, = (t>0) è 로그함수의 미분법칙

- 그런데 여기서 h=⊿t/t라 하면 로그법칙에 의해 ln 1+ = ln(1+h)= ln(1+h)^1/h - 또한 ⊿t가 0에 무한히 접근하면 h도 0에 접근함.

= = ln(1+h)^1/h= lne=

즉, = (t>0) dy

dt

⊿y

⊿t dlnt

dt

1 t 1

⊿t

⊿t t

1 t

1 h

1 t

⊿t®0lim lim

h®0

1 t

1 t 1

t

(63)

l 지수함수와 로그함수 l 지수함수와 로그함수

u 지수함수와 로그함수의 도함수 u 지수함수와 로그함수의 도함수

로그함수의 미분공식은 다음과 같음.

lnt= , log_bt= , lnt^k= 미분법칙의 일반화

- 주어진 함수 y=lnf(t)에서 연쇄관계를 형성하도록 우선, v=f(t)라 하면 y=lnv가 됨.

- 그러면 연쇄법칙에 의해 다음을 얻음.

lnf(t)= lnv= = f¢(t)=

로그함수의 미분공식은 다음과 같음.

lnt= , log_bt= , lnt^k= 미분법칙의 일반화

- 주어진 함수 y=lnf(t)에서 연쇄관계를 형성하도록 우선, v=f(t)라 하면 y=lnv가 됨.

- 그러면 연쇄법칙에 의해 다음을 얻음.

lnf(t)= lnv= = f¢(t)=

d dt

dlnv dv d

dt

1 t

1 tlnb

k t

f¢(t) f(t) d

dt

d dt

1 f(t) dv

dt