Lecture Note: Kinetics of Rigid Bodies Integral Principles

(1)

Lecture Note: Kinetics of Rigid Bodies

Integral Principles

귀를 막아 가난한 자의 부르짖는 소리를 듣지 아니하면 자기의 부르짖을 때에도 들을 자가 없으리라.

(잠언 21:13)

(2)

평면운동을 하는 강체의 운동역학 – 적분 원리

강체의 운동에너지

2

2 2

1 1

( ) ( ) ( )

2 2

1 1 1 1

( ) ( )

2 2 2 2

P G G

G G G

G

K v dm v r v r dm

dm v v rdm r r dm mv H

 

   

      

          

 

  

위 유도과정에는

( a b  ) ( c  d  ) ( a  c  )( b  d  ) ( a  d  )( b  c  )















벡터관계식이 이용된다.

일과 에너지의 원리

일과 에너지의 원리는 질점 동역학에서 소개된 형태와 동일하다. 즉,

K

₂

 K

₁

 W

₁_₂

다만 여기서 강체의 운동에너지는 이제 회전운동에 의한 항이 추가된다. 즉, 평면운동을 하는 강체의 경우

H ^

^G

 I

^G

 ^

이므로 이를 위에 유도된 식에 대입하면 운동에너지는 다음과 같은 형태로 간략하게 표시된다.

2 2

2 1 2

1 mv

_G

I

^G



K  

여기서 v_G는 질량중심 속도의 절대값,



는 강체의 각속도 크기를 의미한다.

강체 상 한 점

P

에 가해지는 한 힘

F 

는 다음과 같은 일을 한다.

1 2 ^P

(

^G

)

^G

( )

G

W F dr F dr d r F dr r F d

F dr M d

 





          

   

   

 

위 유도과정에서

( a  b  )  c   ( b   c  )  a

의 벡터 관계식이 이용되며, 위 식에 나타나는

 ^M ^ ^ ^d ^ ^

는 평면운동의 경우는

 ^M ^ ^d ^

로 표기할 수 있다. 아울러 아래 그림을 통해

(3)

P

 

G F 

 F

위 그림에 나타난 바와 같이 서로 크기가 같고 방향이 다른 두 힘을 짝힘이라 부른다.

이러한 짝힘에 의해서 발생하는 모멘트를 토크라고 부른다. 짝힘에 의한 모멘트는 모든 점에 대해 같은 값을 갖는다는 특이한 특성을 갖는다. 즉 위 그림에서 두 힘에 의한 모멘트의 합은

P

점에 대해서 구하든지

G

점에 대해 구하든지 같은 값을 갖는다.

에너지 보존의 법칙

2 2 1

1

U K U

K   

역학적 에너지 보존의 법칙을 강체의 운동에 적용할 때, 회전운동에너지와 회전변형에 의한 보존에너지를 고려하는 경우가 있다.

강체에 작용하는 힘에 의한 일률

하나의 힘

F 

가 강체 상 한 점

Q

에 작용할 때 그에 의한 일률을 구하면 다음과 같다.

dW

^Q

(

^G ^GQ

)

^G

(

^GQ

)

^G

P F v F v r F v r F F v M

dt   

               

여기서

G

는 질량중심점이고

M   r

^GQ

 F

로 강체에 작용하는 모멘트를 나타낸다.

평면운동 시 고정 점을 갖는 강체의 운동에너지

2

2 2 2 2

2 1

) 2 (

1 2 1 2

1 



O G G

G G

I

md I

K d v

I mv K















G

O



^d

(4)

<예제: #17.1>

질량

B

의 초기 속도가 아래와 같이 주어졌다 할 때, 1.2m 를 풀려 내려간 후의 풀리

R

의 각속도와 질점

B

의 속도를 구하라.

<주어진 조건>

m y

m N k M

s m v

m kg I

m r

kg m

B A B

2 . 1

) ˆ (

80 ) / ( 2 15 4 . 0

100

1

2























<기하하적 조건식>

) / ( 5 2

) ˆ ( ˆ ˆ

) ( 4 3 . 0

2 . 1

1 1

1 1 1

s rad r

v j r i r k

r v

v

rad y

r

B R

A B















































<일과 에너지 원리>

2 . 937 3 80 2 . 1 981

5 . 2 15

) 1 2 (

1 ) ( 5 . 2 387

) 1 2 (

1

2 1

2 2 2

2 2

2 1 2

1 1



































M y g m W

I r

m K

J I

v m K

B

A A B

B

(5)

초기에 정지해 있던 마찰차가 움직이기 시작해

B

의 각속도가 10 rps 가 된 시점까지

B

가 돌아간 각도와 마찰차 사이에 작용하는 마찰력을 구하라.

<주어진 조건>

s rad m N M

k kg m

r r

B

GB B

GA A

B A

/ 20

6 08 . 0 ,

3 2 . 0 ,

10 1 . 0 ,

25 . 0



 





<관성모멘트>

I^A100.2² 0.4 kgm² I^B 3(0.08)² 0.0192 kgm²

<기하학적 조건식>

25 . 1 ( rad / s )

r r r

r

_B

A B A B

B A

A

     

    

<일과 에너지의 원리>

) ( 32 . 27

) 2 (

1 2 1 2

1 0

2 2

2 1

2 2

2 1

rad I M I

M W

I I

K K

B B A A B

B

B B A

A



























<기타>

A

에 대해서만 일과 에너지의 원리를 적용하면,

) ( 2 . 46

2 ) 1 (

) (

2

*

N F

I r

F

r r

r F

r F M

W

A A B

B

A A B B B

B

A A A

































(6)

<예제: #17.3>

정지되어 있던 균일한 회전체가 높이 h만큼 굴러 내려간 후의 각속도를 구하라.

<기하학적 조건>

 r v

_G



mgh W

I r

m K

K

G







2 1

2 2

2 1

2 ) 1 2 (

1 0



 v r

I mr

mgh mgh

K K

G



 





) , (

2 에서

2 1

2

여기서

2

5 I

^G

 2 mr

구 (Sphere)

²

2 1 mr

I

^G



실린더나 디스크 (Cylinder or Disk)

I

^G

 mr

² 후프 (Hoop)

(7)

막대가 수직위치에 도달했을 때 그 각속도와 지지점

O

가 막대에 가하는 반력을 구하라.

<주어진 조건>

) ( 025 . 0

) / ( 10 3

) ( 3 . 0

) ( 2 . 1

) ( 45 . 0

) ( 15

5 2

1

m x

m N k

m l

m d

kg m









<관성모멘트>

) ) (

85 . 5

) (

8125 . 2 ) 12 (

1

2 2

2 1 G

m kg md

I I

m kg l

l m I

G

O

   









<일과 에너지 원리>

2175 . 66 45 . 0 81 . 9 15 925

. 2 2

1 75 . 93 ) 2 ( 0 1

2 2

2 1

1











mgh U

I K

x k U K

O

 

2 2 1

1

U K U

K   



  3 . 0680 ( rad / s )

<자유물체도>

(8)

<운동방정식>

G x x

x

R ma

F  



⁽¹⁾

G y y

y

R mg ma

F   



⁽²⁾

45 .

0

_X ^G



G

R I

M   



⁽³⁾

 ^M

^O

^ ⁰ ^ ^I

^O

^

^(3’)

<2 점 정리>

j d i d

j d k k j d k

OG OG

a a

^G ^O

ˆ ˆ

ˆ ) ( ˆ

ˆ ˆ ˆ

) (



2































    



 d

a

^G_x

 

(4)



2

d

a

^G_y

 

(5)

이상에서 식의 총 개수가 5 이고 미지수 개수도 5 개이므로

( a

_x^G

, a

^G_y

,  , R

_x

, R

_y

)

풀이가 가 능하다. 풀이하면,

) ( 6 . 83 0 0

N R

R

y x



 

(9)

아래 그림에서



가 60 도일 때 정지된 상태에서 출발하여,



가 20 도가 되었을 때의 두 강체의 각속도와 점

D

의 속도를 구하라.

<주어진 조건>

) ( 6

) ( 05 . 0

kg m

m l



 막대의 길이와 질량

<기하학적 조건>



 



ˆ ) 2 cos sin ˆ

2 ( 3

sin ˆ 2 cos ˆ

2 3

l j i l v

l j i l r

M OM











2 2

2

( )

2 1 12

1 2 1 3

1 2

1

M

B

A

ml m v

ml

K   



 



 

 

 



   

 sin mgl U 

그런데



_A²

 

_B²

  ^

이므로

) 4 cos 4 sin

( 9 2 ) 1 24

1 6

( 1

²

2 2 2 2 2

2

ml  m  l  ^l 

ml

K      

운동에너지와 보존에너지는 모두 다음과 같이 각도의 함수이다.

) ( )

( )

(

)

(

₁ ₁ ₁ ₂ ₂ ₂ ₂

1

K  U U  K K  U U 

K    

주어진 시스템은 보존계이므로

K

₁

 U

₁

 K

₂

 U

₂^{, 따라서}

) / ( 90 .

3 rad s



 ^ 

그리고

( 2 l c o s i ˆ ) 2 l s i n i ˆ dt

v ^

^D

 d      ^

따라서 상태 2 에서

) / ( 00 .

2 m s

v

_D



(10)

A

y

A

x

P mg

 b

자유물체도 타격 중심 (Center of Percussion)

 A

a

 G

 B

위 물체의 질량을

m

그리고 관성반경을

k

_G라 하면,

I

^G

 mk

_G²이다.

임의의 한 점에 대한 타격 중심은 다음 같이 구한다. 즉

a  AG

라 하고

b  GB

라 하면,

A

점의 타격 중심을

B

라 하면 (이는

B

의 타격중심이

A

라는 말과 일치함)

ab  k

_G²이다.

타격 중심은 다음과 같은 성질을 갖는다.

(1)

A

를 고정시켜 진자운동을 시키면 마치 모든 질량이

B

에 집중된 것 같은 운동을 한다.

(2)

GB

에 수직인 방향으로

B

에 힘을 가해도

A

에는 아무런 반력이 발생하지 않는다.

(1)의 증명은 다음과 같다. 운동방정식은

0 sin 

 

 mga

I

^A

 

 _ g _sin  _ ₀ I

ma

A



 ^ ^  ^mk

G²

^ma ^ ^ma

²

 ^g ^sin ^ ^ ⁰



정리하면

 ¹   ^sin ^ ⁰

 

 g

a b



_이는

_B

에 질량이 집중된 단진자운동과 동일하다.

(2)의 증명은 다음과 같다.

위 자유물체도에 의해

 F

_x

 A

_x

 P  ma

^G_x

 ma   ^F

^y

^ ^A

^y

^ ^mg ^ ^ma ^

²

(11)

m v

d

 O

강체의 경우 일반적으로 병진운동과 회전운동을 모두 하므로

2 1 1 2

 L  I



L   

2 1 1 2

 ^   ^



 H

H

그런데 여기서

H 

와

 ^

는 질량중심점이나 고정된 점들에 대해서만 적용할 수가 있다.

평면운동의 경우는

k I H 

^G



^G

 ˆ

k I H 

^O



^O

 ˆ

그리고







2

2 1

1 t t

G

M  dt

 







2

2 1

1 t t

O

M  dt

 

<비고>

임의의 고정점

O

에 대한 평면운동을 하는 질점의 각운동량은 다음과 같다.

k mvd i

mv j

d

H 

^O

 ˆ  (  ˆ )  ˆ

jˆ iˆ

(12)

k t F r dt M

k F r M k I H H

t A

A A A

ˆ , ˆ , ˆ

0

2

2 1











 ^



 

<예제: #17.6>

마찰차가 정지되어 있다가 모멘트

M

에 의해 운동을 시작하여

B

의 각속도가 10 rps에 도달하기까지 걸리는 시간과 마찰력의 크기를 구하라.

<주어진 조건>

) / ( 20

) ( 6

) ( 08 . 0 ), ( 2 . 0

) ( 3 ), ( 10

) ( 1 . 0 ), ( 25 . 0

s rad m N M

m k

kg m

m r

B

B G A

G

B A



 





<관성모멘트>

) (

0192 . 0 ) (

) (

4 . 0 ) (

2 2

m kg k

m I

m kg k

m I

B G B B

A G A A









<기하학적 관계식>

구름마찰이므로 접촉점에서 두 강체의 속도가 같으므로

 r

_A



_A

 r

_B



_B

따라서

) / (

8 rad s r

r

B A B

A

 

    

<충격량 운동량 원리>

0 vG

이므로 병진방향 방정식은 불필요하다.

회전방향 방정식은 두 강체에 대해서 다음과 같이 유도된다.

A

에 대해서

A

(13)

k t F r M dt M

k F r M M

k I H H

B t

t B

B B

B B B B

) ˆ (

ˆ 0

2 1













 ^











²

1 1

2

t t

B B

B

H M dt

H   

를 적용하면

) ( F t r t M

I

^B



_B

  

_B



 

(sec) 871 . 0

21 . 40 1 . 0 20 0192 . 6 0 1

) 1 (























 r F t M I

t

^B _B _B

-- (2)

(1) 과 (2) 식에 의해서

) ( 15 .

46 N

F 

 Comment

이 문제와 같이 두 개 이상의 강체로 이루어진 시스템의 경우는 각 강체에 대해 충격량 운동량 법칙을 적용하여 두 개의 식을 유도하여 필요한 정보들을 추출하게 된다.

예제 17.2 와 달리 충격량-운동량 법칙이 적용되는 17.6 문제는 각각의 강체에 대해서 원리를 적용해야 한다. 시스템 전체에 대해 충격량-운동량 법칙을 적용하려면 고정된 동일한 한 점에 대해서만 적용이 가능하다.

(14)

<예제: #17.7>

공을 회전 없이 수평으로 던져서 지면에 닿기 시작한 시점부터 공이 구름운동만 하기까지 소요되는 시간은 얼마인가? 또 구름운동을 시작할 때 공의 각속도와 질량중심점의 속도는 얼마인가?

상태 1: 던져서 공이 지면에 닿기 시작했을 때 상태 2: 구름운동이 시작될 때

<관성모멘트>

² 5 2mr I^G 

2

r 

v  

(구르기 시작하면)

<자유물체도>

mgr Nr

M

mg N F

mg N

F

k k

G y

k k

x

























0 (1) -

) ˆ (

ˆ ˆ

에서

1 2

2 0 1 2

2 2 1

1

2 1 1 2

t mg mv

mr

dt mg I

i mr i

mv L i mv L

I L L

k

t k

























^









 ^



) ˆ ˆ (

0 에서

2 0 1 2

2 1

2 1 1 2

k dt mgr k

I H H

H H

t K

G

 









^











 



 



(15)

두 강체가 충돌할 때 충돌에 의해 발생하는 각 충격량은 시스템 전체에 대해서는 상쇄된다.

따라서 고정 점에 대한 강체 계의 각운동량은 보존된다.

이와 더불어 한 강체가 고정 점에 조인트로 지면과 연결되었을 경우 핀 조인트에 작용하는 반력은 그 점에 대한 각 충격량을 발생시키지 않으므로 시스템 전체의 고정 점에 대한 각운 동량은 보존된다.

고정 점에 대한 한 강체의 각운동량

 ^ ^  ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^  ^ ^

 p v dm q r v r dm q m v r r dm H 

^O

 

^P

(   ) ( 

^G

  )  

^G

 (   )



따라서

O G G

H   q mv  H

 O

 G

 P

q 

r 

p 

A B

O

(16)

편심 충돌 (Eccentric Impact)

두 강체의 접촉 시 법선이 두 강체의 질량중심을 지나면 Central Impact 이고 그렇지 않은 경우가 Eccentric Impact 이다.

t

n

A

 A

^*

 B

^*

p 

B

q 



O

) (

_An _Bn

An

Bn

v e v v

v     

---(1)

여기서

v

An,

v

_Bn: 충돌 후 강체

A

^와

B

의 접촉 점의 법선 방향 속도

v

An^,

v

_Bn: 충돌 전 강체

A

^와

B

의 접촉 점의 법선 방향 속도

예를 들어 평면운동을 하는 경우, 편심 충돌 시 (1)식과 함께 선형 운동량 보존법칙과 (2 개 식으로 구성됨) 각운동량 보존법칙 (1 개 식으로 구성됨) 그리고 두 질량중심점의 접선방향 속도성분은 변함이 없다는 식을 (2 개식으로 구성) 사용해 충돌 후 두 강체의 질량중심점의 속도와 두 강체의 각속도를 (미지수의 수 총 6 개) 구한다.

두 물체 사이의 충돌 시 탄성충돌계수는 변형량과 관련되므로 충돌되는 위치와 관련이 있다.

따라서 (1)식에 나오는 탄성충돌계수 값이 충돌위치에 따라 일정하지 않다는 사실은 (1)식의 유용성을 상당히 제약하는 것이다. 많은 문제의 경우 위에 언급된 식들을 다 사용하지 않고 해를 구할 수 있는 경우가 종종 나타난다.

<비고>

(17)

총알의 충돌 후 판의 각속도와

A

점에 작용하는 반력 크기를 구하라.

<주어진 조건>

) ( 10 kg

m

_p



^{(판의 질량)}

)

( 02 .

0 kg

m

_B



) / ( 450 m s v

_B



) ( 45 .

0 m

a 

,

b  0 . 33 ( m ) (sec)

0006 .

 0

t

중력 없음

충돌 후 판의 각속도를

 

^P

  k ˆ

라 하면,

G

점의 속도는

a i a j k AG v

v

^G ^A ^P

ˆ

) 2 ˆ ( 2

ˆ 



     



  



<관성 모멘트>

) (

33759 . 0 ) 12 (

1

2 2 2

m kg a

a m

I

^G



_p

  

)

2

( 2 a m I

I

^A



^G



_P

<자유물체도>

 F

x

^ A

x

 F

y

^ A

y x

G

a A

M   2



또는

 ^M

^A

^ ⁰

F

(18)

선형 운동량-충격량관계식

L₂ L₁I₁_₂ 에서

i v m L

_B _B

ˆ

1





L2

a i m

_P

) ˆ

( 2 



t A dt A

I

1^2

 

0^^t _x



_x





2 ) ( ^a  m t A v

m

_B _B



_x

 

_P



--- (1)

각 운동량-충격량 관계식

H ^

₂^A

 H ^

₁^A

  ^

₁^A_₂^에서

H

^A

m

_B

v

_B

b k ˆ

1





k I H

^A ^A

ˆ

2

 



2

0

1_^A



 ^



A B B

v b I

m 



--- (2)

주어진 조건과 식(1)과 (2)에 의해서

) / ( 73 .

3 rad s

 

(19)

충돌 후의 공의 속도와 막대의 각속도를 구하라.

<주어진 조건>

B

점은 초기에 정지해 있다.

m l

m d

e s m v

kg m

S

B S

2 . 1 , 6 . 0

8 . 0 ,

/ 5

8 ,

2 



<기하학적 관계식>

v

_B^'

 l 

_B^' --- (1)

<관성모멘트>

²

3 . 84

²

3 1 m l kg m

I

^O



_B

 

H ^

₂^O

 H ^

₁^O

  ^

₁^O_₂

 ^

₁^O_₂

 0

m

_s

v

_s

l  m

_s

v

_s^'

l  I

^O



^'_B --- (2)

<충돌 관계식>

( v

_B^'

 v

_S^'

)  e ( v

_S

 v

_B

)

--- (3)

식(1-3)에서 미지수는

v

^'_B

, 

_B^'

, v

_S^' 세 개이므로 풀이하면,



_B^'

 3 . 21 ( rad / s ) v

^'_S

  0 . 143 ( m / s )

<비고>

막대지지점

O

나

B

점에 가해지는 충격량은 다음과 같이 계산할 수 있다. 우선

B

점에 가 해지는 충격량

B

_x

 t

는 공에 가해지는 충격량과 크기가 같고 방향이 반대이므로,

m

_S

v

_S

 B

_x

 t  m

_S

v

^'_S

 B

_x

 t  m

_S

v

_S

 m

_S

v

_S^'

이제 막대의

O

점에 가해지는 충격량을

O

_x

 t

라 하면, 막대의 각 충격량-운동량 방정식을 막대의 질량중심점에 대해 세우면,

( B

_x

 t ) d  ( O

_x

 t ) d  I

^G



_B



d t I B t

O

^B

G x

x

 







 ) ( )

(

(20)

<예제: #17.11>

정육면체 상자가

O

점에서 걸려 넘어가기 위한, 충돌 직전 상자의 최소 속도를 구하라.

<각운동량 보존의 법칙>

a v

a ma m a m a

I a I mv

k I H a k

mv H

O O

O O O

1

2 2

2 2 1

2 1

1

4 3

3 ) 2 2 ( ) 12 (

그런데 2 ) (

ˆ ) ˆ

( 2

 









 





 



<운동에너지>

2 1 1 2

2 2

16 ) 3 4 )( 3 3 ( 2 2 1 2

1 mv

a ma v

I

^O

   

<에너지 보존의 법칙>

a h

a a

h

^o

2 2

4 60 6 2 sin

2

1

  

Lecture Note: Kinetics of Rigid Bodies Integral Principles