99. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 유리함수의 성질 이해하기
일 때
이므로 점근선의 방정식은 , 따라서
100. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 분수함수의 그래프 이해하기 함수
의 그래프의 점근선이 두 직선
이므로
( ≠ )이다.
에서
∴
101. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프 이해하기
O
곡선 의 두 점근선의 교점은 이다.
직선 가 이 교점을 지나므로
이다.
∴
∴
103. [정답]
[풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프의 점근선을 구할 수 있는가?
이므로 점근선의 방정식은 , 이다.
따라서 ×
104. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프에서 점근선의 방정식을 구한다.
유리함수
의 그래프는 유리함수
의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.
따라서 유리함수
의 그래프의 점근선의 방정식은 ,
이므로 ,
∴
105. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프의 성질을 이해하여 조건을 만족시키는 값을 구한다.
주어진 함수의 그래프는 함수
의 그래프를 축의 방향으로 ,
축의 방향으로 만큼 평행 이동한 그래프이므로 점근선의 방정식은
, 이다.
≤ 이면 곡선
는 반드시 제 사분면을 지나므로
이다.
인 범위에서 함수의 그래프는 제 사분면만을 지난다.
일 때 주어진 함수의 그래프가 제 사분면을 지나지 않기 위해서는
일 때 의 값은 0이상이 되어야 한다.
그러므로
≥ 이다.
따라서 조건을 만족시키는 최소의 정수 는 이다.
106. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 유리함수의 점근선 이해하기
이므로 점근선은 두 직선
,
이므로
[출제의도] 유리함수의 그래프의 성질을 추론하기 유리함수
의 그래프는 아래 그림과 같다.
O
위의 그림으로부터
ㄱ. 점근선의 방정식은 , 이다. (참) ㄴ. 그래프는 제사분면을 지난다. (참)
ㄷ. 그래프는 점근선의 교점 을 지나고 기울기가 또는 인 직선에 대하여 대칭이다.
이때, 이 직선의 방정식을 구하면,
±
즉 , 또는 이다.
그러므로 그래프는 직선 에 대하여 대칭이 아니다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
108. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 유리함수의 평행이동 이해하기 유리함수
의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로
만큼 평행이동한 그래프는 유리함수
의 그래프와 같다.
유리함수
의 그래프가 점 를 지나므로
이다. ∴
109. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 분수함수의 평행이동 계산하기
이므로
의 그래프를 축의 방향으로 , 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.
따라서 이고, 이다.
110. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프의 점근선을 구하여 상수의 값을 구한 다.
이고
곡선 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 곡선은
이므로
[다른풀이]
에서
곡선 의 점근선의 방정식이 , 이므로 두 점근선의 교점의 좌표는 이다.
곡선 는 곡선 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 곡선이므로 곡선 의 두 점근선의 교점은 점 을 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 점 과 같다.
점 이 곡선 위의 점이므로
×
∴
111. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프를 활용하여 참, 거짓을 추론한다.
ㄱ. 함수 의 정의역은 이 아닌 모든 실수이고 치역은 이 아닌 모든 실수이다. (거짓)
ㄴ. 함수 의 그래프는
의 그래프를 축 방향으로 ,
축 방향으로 만큼 평행이동한 그래프이다. (참) ㄷ. 그림과 같이 제 사분면을 지나지 않는다. (참)
112. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프의 특징을 이용하여 함수식을 구할 수 있는가?
유리함수
의 점근선은 , 이므로 유리함수
의 그래프는 점 에 대하여 대칭이다.
따라서 점 는 직선 위에 있어야 하므로
113. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프 이해하기
은
와 에 대하여 대칭인 유리함수
을 축의 방향으로
, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 유리함수이다.
따라서 함수
는 두 직선 와 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 직선에 대하여 각각 대칭이다. 즉, 와 에 대하여 대칭이다.
∴
점근선의 교점이 직선 위에 있어야 한다.
이므로 점근선은 두 직선 , 따라서
[다른풀이]
함수
( ≠ , ≠ )의 역함수를 구하면
( ≠ , ≠ )
과
의 그래프가 일치하므로
115. [정답]
[풀이]
[출제의도] 분수함수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.
두 분수함수
,
의 그래프가 직선 에 대하여 대칭이면 두 함수는 서로 역함수이다.
에서 를 서로 바꾸면
이를 정리하면
,
∴
따라서
의 역함수는
이다.
이 때,
이어야 하므로
∴
[다른풀이]
두 분수함수의 그래프가 직선 에 대하여 대칭이면 점근선의 교점도 직선 에 대하여 대칭이다.
의 점근선은
이므로 점근선의 교점의 좌표는
이다.
의 점근선은
이므로 점근선의 교점의 좌표는
이다.이때, 두 점
,
가 직선 에 대하여 대칭이려면
이어야 한다.
∴
∴
116. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 분수함수의 그래프에서 절대부등식을 이용하여 넓이의 최 솟값을 구한다.
점 P, Q의 좌표를 각각 P
, Q
( , ) 이라 하면 점 A, B , C , D의 좌표는 A , B
, C , D
, 이므로
,
≥
×
(등호는 일 때 성립한다.)
∴
≥ × 따라서 육각형 APBCQD의 넓이의 최솟값은 이다.
117. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 절대부등식의 의미를 이해하여 문제 해결하기 점 P의 좌표를 라 하자.
이므로
직사각형 PRSQ의 둘레의 길이
PR PQ
는 ≥ ×
×
단, 등호는 일 때 성립하므로
, 이다.
따라서 직사각형 PRSQ의 둘레의 길이의 최솟값은
118. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 유리함수의 성질을 이용하여 최대, 최소 문제 해결하기
O
P
이므로 유리함수
의 그래프의 점근선은 ,
이다.
직선 은 두 점근선의 교점 를 지나므로 이 유리함수의 그래프는 직선 에 대하여 대칭이다.
따라서 인 경우만 생각해도 된다.
유리함수 그래프 위를 움직이는 한 점을 P
라 하면점 P 와 직선 사이의 거리는
이다.
이므로
≥ 이다.
따라서 구하는 거리의 최솟값은 이다.
점 P 와 직선 사이의 거리가 이므로
에서
따라서 ×
120. [정답]
[풀이]
[출제의도] 분수함수의 성질 이해하기 점 A
라 하면 점 B
, 점 C
이다.AB
AC
여기에서 ∆ABC 의 넓이가 이므로
× AB × AC
× ×
또는 그러므로 ∵
121. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 유리함수를 이용하여 수학내적문제 해결하기 함수
의 그래프와 직선 의 제사분면 위의 교점은
P 이므로 따라서
2. 무리함수 122. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 무리함수 그래프의 평행이동 이해하기 함수 의 그래프는
함수 의 그래프를 축에 대하여 대칭 이동한 후 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로
만큼 평행이동한 것이다.
그러므로 , 따라서
123. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 무리함수의 그래프를 평행이동할 수 있는가?
함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로
만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수는
이 함수의 그래프와 함수 즉, 의 그래프와 일치하므로
, ,
따라서
124. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 무리함수의 그래프의 성질을 이해하여 추론하기
무리함수 에 대하여
ㄱ. 정의역은 ≥ 이고 치역은 ≤ 이다. (참) ㄴ. 함수 의 그래프는 제사분면을 지나지 않는다. (거짓) ㄷ. 방정식 의 두 근이 또는 이므로
,
≤ ≤ 에서 함수 의 최댓값은
(참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
125. [정답]
[풀이]
[출제의도] 무리함수 이해하기
이므로
126. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 무리함수의 그래프 이해하기
에서
에서
따라서 무리함수 의 그래프 개형은 아래의 그림과 같다.
O
127. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 무리함수의 그래프를 이해하여 함수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
함수 는 ( )를 축 방향으로 만큼, 축 방향으로
만큼 평행이동한 것이므로
이다.
이므로 에서
따라서
∴
128. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 이차함수와 무리함수의 그래프를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.
이차함수 의 그래프에서 이므로 무리함수 의 그래프의 개형은 다음과 같다.
두 함수 와 의 그래프의 교점은 두 함수 와 의 그래프의 교점이다.
,
∴ 또는
따라서 두 교점의 좌표는 와 이므로 두 점 사이의 거리는 이다.
130. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 무리함수의 그래프의 성질 이해하기
O
≥1
그림에서 , 이므로 이고 의 역함수
≥1이다.
함수 의 그래프와 그 역함수 의 그래프의 교점은 역함수 의 그래프와 직선 의 교점과 같다.
,
∴
(∵ ≥ )
∴
따라서
131. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 역함수의 성질 활용하여 문제 해결하기 함수 와 는 역함수의 관계이므로
함수
의 그래프와 직선 가 만나는 점 A
점 C 는 점 B 를 직선 에 대하여 대칭이동한 점이므로 C
점 B
를 지나고 기울기가 인 직선은
∴
점 A 에서 직선 에 내린 수선의 발을 H라 하면
AH
BC
따라서 삼각형 ABC 의 넓이는
× AH× BC
따라서 삼각형 OAB의 넓이는
× ×
이다.
133. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 무리함수의 그래프를 활용하여 문제 해결하기 그림과 같이 함수 의 그래프는
함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼,
축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이고 두 점 A , B 을 지난다.
직선
는 원점 O와 점 B 를 지난다.
O
A
B
∴ ∆OAB
× ×
134. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 유리함수와 무리함수 이해하기 함수 는 닫힌구간 에서 증가하므로
≤ ≤
이므로 함수 는 닫힌구간 에서 감소하고
이므로 ,
, 이므로 , 따라서
135. [정답]
[풀이]
[출제의도] 무리함수와 역함수 문제 해결하기
구하고자 하는 넓이를 라 하자. 함수 의 그래프는 함수
≤ 의 그래프를 축에 대하여 대칭이동한 후 에 대하여 대칭이동한 그래프와 일치하고 점 A 는 같은 방법의 대칭이동으로 점
B로 이동한다. 따라서 그림과 같이 ′의 영역과 ″의 영역의 넓이는 서로 같다.
O A
B
′
′′
따라서 의 값은 삼각형 OAB 의 넓이와 같다.
삼각형 OAB 에서 밑변을 AB라 하면, 높이는 원점과 직선
사이의 거리이다.
AB
이고 높이는A
B
O C′ H
′
″ C
직선 이 축과 만나는 점은 C
이다. 점 C 를 에 대하여 대칭이동한 점을 C′
이라 하고 점 B 에서 축에 내린 수선의 발을 H 라 하자.그림과 같이 ′의 영역과 ″의 영역의 넓이는 서로 같기 때문에 의 값은 사다리꼴 COHB 의 넓이에서 삼각형 BC′H의 넓이를 뺀 것과 같다.
(사다리꼴 COHB 의 넓이)
×
×
(삼각형 BC′H 의 넓이)
×
×
따라서
이다.
136. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 유리함수와 무리함수의 그래프의 성질을 알고 문제해결하 기
(가)에서 치역이 이고,
(나)에서 함수 는 일대일함수이므로 주어진 함수의 그래프는 그림과 같다.
O
이므로
∴
따라서
137. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 평행이동한 무리함수의 역함수의 그래프를 추측하여 문제 를 해결한다.
또, 의 역함수를 구하면 ( ≥ )이다.
의 값이 증가하면 곡선 가 점 A 를 지난 이후 삼각형과 만나지 않고 곡선 가 점 A 를 지날 때 이므로 는
이다.
즉, 이면 곡선 와 삼각형은 만나지 않는다.
따라서 함수 의 그래프와 역함수의 그래프가 삼각형과 동시에 만나도록 하는 실수 의 최댓값은 이다.
138. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 무리함수와 수열 문제 해결하기 선분 AB의 길이가 이므로
은 보다 크지 않은 최대의 정수이다.
ⅰ) 인 경우
≤ 이므로 이다.
ⅱ) 인 경우
이므로 이다.
ⅲ) 인 경우
≤ 이므로 이다.
ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의해
× × × 이다.
139. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 좌표평면에서 두 도형의 교점이 존재할 조건을 찾아 영역 으로 나타낼 수 있는가를 묻는 문제이다.
무리함수 의 그래프는 점 에서 시작하여 오른쪽 위로 증가하는 곡선이다. (그림참조)
곡선 가 반드시 반직선 와 만나기 위해서는 점
가 직선 의 왼쪽에 놓여야 한다.
∴ ≤ ⋯㉠
또한, 곡선 가 반직선 와 한 점에서 만나는 경우 중 가장 아래쪽에 놓일 때는 곡선 가 점 을 지날 때이다.
점 을 지나는 경우는
에서
∴ ≥ ⋯㉡
㉠, ㉡에 의하여 구하는 영역을 좌표평면 위에 나타내면 ①과 같다.
140. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 무리함수의 그래프와 역함수의 그래프 사이 관계를 이용 하여 미정계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
의 한 실근이 이므로
∴
의 역함수는
,
∴
141. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 무리함수의 그래프 이해하기
O
의 그래프가 점 을 지날 때 의 값은 최소가 된다.
따라서 이므로 의 최솟값은